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第六章 机械能及其守恒定律
第 01 练 功、功率 动能定理及其应用
知识目标 知识点
目标一 恒力做功、变力功的计算
目标二 平均功率与瞬时功率
目标三 机车启动问题的分析
目标四 动能定理及其应用
1．(2021·山东省·历年真题)如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一
端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v 出发，恰好能完
0
成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为( )
mv2 mv2 mv2 mv2
A. 0 B. 0 C. 0 D. 0
2πL 4πL 8πL 16πL
【答案】B
【知识点】变力做功、动能定理的基本应用
【解析】
对小球完成一个完整的圆周运动过程，由动能定理列式可求解。因为细杆为轻质细杆，又因为其一
端绕竖直光滑轴O转动，所以杆对球的力沿杆，即杆对球不做功，对小球完成一个完整的圆周运动
过程，
1 mv2
由动能定理得-f⋅2πL=0- mv2 ，解得摩擦力f = 0，故B正确，ACD错误。
2 0 4πL
故选：B。
2．(2020·全国·单元测试)将一小球竖直向上抛出，小球在运动过程中所受到的空气阻力不可忽略。
a为小球运动轨迹上的一点，小球上升和下降经过a点时的动能分别为E 和E .从抛出开始到小球
k1 k2
第一次经过a点时重力所做的功为W ，从抛出开始到小球第二次经过a点时重力所做的功为W .下
1 2
列选项正确的是( )
A. E =E ，W =W B. E >E ，W =W
k1 k2 1 2 k1 k2 1 2C. E E ，W E ，故B正确，ACD错误。
f k2 k1 k1 k2
故选B。
3．(2020·全国·其他类型)质量为1.5×103kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20m/s，受到
的阻力大小为1.8×103N。此时，汽车发动机输出的实际功率是( )
A. 90W B. 30kW C. 36kW D. 300kW
【答案】C
【知识点】瞬时功率、功率的概念
【解析】解：汽车在水平路面上匀速行驶，故牵引力与阻力的大小相等为1.8×103N，根据功率
P=Fv=1.8×103×20W =36kW，故ABD错误，C正确；
故选：C。
根据牵引力与阻力的大小相等及P=Fv计算即可；
会根据物体的运动状态分析物体的受力情况，牢记功率公式P=Fv。
4．(2021·浙江省·历年真题)一辆汽车在水平高速公路上以80km/h的速度匀速行驶，其1s内能量分
配情况如图所示。则汽车( )
A. 发动机的输出功率为70kW
B. 每1s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104J
C. 每1s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104JD. 每1s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104J
【答案】C
【知识点】能量守恒定律
【解析】
W
根据题意可得克服转动阻力做功，由功率公式P= 求解；根据能量守恒求解。
t
A、由图可知，发动机1s内克服转动阻力和空气阻力做功均为W =0.45×104J，则输出功率为：
2W 2×0.45×104
P= = W =9×103W =9kW，故A错误；
t 1
BCD、 每 1s消 耗 的 燃 料 有 ΔE=6.9×104J进 入 发 动 机 ， 则 最 终 转 化 成 的 内 能 为 ：
Q=ΔE=6.9×104J，故C正确，BD错误。
故选：C。
5．(2022·江苏省·历年真题)风力发电是一种环保的电能获取方式。某风力发电机的叶片转动形成的
圆面积为S，某时间风的速度大小为v，风向恰好跟此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该风力发电
机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为( )
1 1
A. ηpSv2 B. ηρSv2 C. ηpSv3 D. ηρSv3
2 2
【答案】D
【知识点】能量守恒定律、动能的概念和表达式
【解析】
先求空气的动能，再根据效率求出风力发电机发电的功率。单位时间内垂直吹向旋转叶片有效受风
面积的空气的质量为m=ρSv；
1
这些空气所具有的动能为 E = ρSv3
k 2
风力发电机将风能转化为电能的效率为η，则风力发电机输出的电功率为
1
P=ηE = ηρSv3 ；故D正确；ABC错误；
k 2
故选D。
6．(2020·上海市·模拟题)如图(a)，ABC为金属杆做成的轨道，固定在竖直平面内。AB段水平且
粗糙，长度L=3.6m，足够长且光滑的BC段与水平方向夹角为θ=37°.质量为m=3kg、可视为质
1
点的小球穿在杆上，与AB间的动摩擦因数μ= .小球在与水平方向成θ=37°的力F作用下由静止
3
开始运动，F的大小随路程s的变化关系如图(b)所示，小球最高可以运动到C点。不考虑小球在B
处的动能损失，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
(1)小球在AB段运动过程中拉力F所做的功W；
(2)小球从A运动到C的总时间t。【答案】
解：(1)在AB段运动分两个阶段：
第一阶段：s =3m，W =F s cosθ=12×3×0.8J=28.8J
1 1 1 1
第二阶段：s =0.6m，W =F s c0sθ=10×0.6×0.8J=4.8J
2 2 2 2
所以在AB段上力F所做的功为：W =W +W =33.6J。
1 2
(2)从A开始运动s =3m的过程，设小球受到的支持力为F ，所受摩擦力为F ，
1 N1 f1
F =mg-Fsinθ=22.8NF =μF =7.6N由牛顿第二定律得：F cosθ-F =ma
N1 f1 N1 1 f1 1
2
解得：a = m/s❑2
1 3
小球在AB段先做匀加速运动，由运动学公式可得：2a s =v2
1 1 1
解得：v =2m/s
1
v
则加速时间为：t = 1=3s
1 a
1
接下来运动s =L-s =0.6m的过程中，设小球受到的支持力为F ，所受摩擦力为F ，则有：
2 1 N2 f2
F =mg-F sinθ=24NF =μF =8N由牛顿第二定律可得：F cosθ-F =ma
N2 2 f2 N2 2 f2 2
解得：a =0
2
所以小球做匀速运动，则匀速运动的时间为：
s
t = 2 =0.3s小球在BC段运动的过程中，由牛顿第二定律得：
2 v
1
8
F -mgsinθ=ma 解得：a = m/s2
2 3 3 3
小球在BC段上做匀减速直线运动，其减速运动时间为：
v
t = 1=0.75s总时间为：t=t +t +t =4.05s
3 a 1 2 3
3
答：(1)小球在AB段运动过程中拉力F所做的功W为33.6J；
(2)小球从A运动到C的总时间t为4.05s。
【知识点】恒力做功、牛顿第二定律的理解及简单运用
【解析】(1)因为AB段长3.6m，所以在AB段有F 和F 均对小球做功，根据功的定义式即可计算
1 2
出总功来；
(2)分别计算出小球在AB段上和BC段上运动的时间，即可得到总时间。解题的关键是要能够分析清楚小球的整个运动过程，小球先是做匀加速运动，然后做匀速运动，最
后做匀减速运动。所以分别得出各个阶段的时间才能得到总时间。
7．(2021·福建省·历年真题)如图(a)，一倾角37°的固定斜面的AB段粗糙，BC段光滑。斜面上一
轻质弹簧的一端固定在底端C处，弹簧的原长与BC长度相同。一小滑块在沿斜面向下的拉力T作用
下，由A处从静止开始下滑，当滑块第一次到达B点时撤去T。T随滑块沿斜面下滑的位移s的变化
关系如图(b)所示。已知AB段长度为2m，滑块质量为2kg，滑块与斜面AB段的动摩擦因数为0.5，
弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10m/s2，sin37°=0.6。求：
(1)当拉力为10N时，滑块的加速度大小；
(2)滑块第一次到达B点时的动能；
(3)滑块第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离。
【答案】
解：(1)小滑块的质量为m，斜面倾角为θ，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块受斜面的支持力
大小为N，滑动摩擦力大小为f，拉力为10N时滑块的加速度大小为a。由牛顿第二定律和滑动摩
擦力公式有
T+mgsinθ-f =ma①
N-mgcosθ=0②
f =μN③
联立①②③式并代入题给数据得
a=7m/s2④
(2)设滑块在AB段运动的过程中拉力所做的功为W，由功的定义有
W =T s +T s ⑤
1 1 2 2
式中T 、T 和s 、s 分别对应滑块下滑过程中两阶段所受的拉力及相应的位移大小。依题意，
1 2 1 2
T =8N，s =1m，T =10N，s =1m。设滑块第一次到达B点时的动能为E ，由动能定理有
1 1 2 2 k
W+(mgsinθ-f )(s +s )=E -0⑥
1 2 k
联立②③⑤⑥式并代入题给数据得
E =26J⑦
k
(3)由机械能守恒定律可知，滑块第二次到达B点时，动能仍为E 。设滑块离B点的最大距离为s ，
k max由动能定理有
-(mgsinθ+f )s =0-E ⑧
min k
联立②③⑦⑧式并代入题给数据得
s =1.3m⑨
max
答：
(1)当拉力为10N时，滑块的加速度大小为7m/s2；
(2)滑块第一次到达B点时的动能为26J
(3)第一次在B点与弹簧脱离后，沿斜面上滑的最大距离为1.3m。
【知识点】动能和动能定理、牛顿第二定律
【解析】(1)根据受力分析、摩擦力公式和牛顿第二定律，求解加速度。
(2)根据功的定义和动能定理，求解到达B点的动能；
(3)根据动能定理，求解最大距离。
解答本题的关键是找准每个过程对应的物理规律和物理量。
1． (2022·浙江省·历年真题)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途经之一。如图所示，风
力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为
405kW，风速在5∼10m/s范围内，转化效率可视为不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A，
空气密度为ρ，风场风速为v，并保持风正面吹向叶片。下列说法正确的是( )
A. 该风力发电机的输出电功率与风速成正比
1
B. 单位时间流过面积A的流动空气动能为 ρAv2
2
C. 若每天平均有1.0×108kW的风能资源，则每天发电量为2.4×109kW·h
D. 若风场每年有5000h风速在6∼10m/s范围内，则该发电机年发电量至少为6.0×105kW·h
【答案】D
【知识点】功率、功、动能的概念和表达式
【解析】解：AB、叶片旋转所形成的圆面积为A单位时间内流过该圆面积的空气柱体积为
V =S⋅vt=Av
空气柱的质量为
m=ρ⋅V =ρAv
空气柱的动能为
1 1
E = ρAv⋅v2= ρAv3
k 2 2
1
设转化效率为η，转化成的电能为E=η⋅E = ηρAtv3
k 2
E 1
p= = ηρAv3 ，则该风力发电机的输出电功率与风速的三次方成正比；故AB错误；
t 2
2p
C、由B选项可知η=
ρAv3
发电量约为W =η⋅pt=η×1.0×108kW×24h=2.4η×109kW⋅h<2.4×109kW⋅h，故C错误。
D、由题意可知某风力发电机在风速为9m/s时，输出电功率为405kW
E 1
由p= = ηρAv3
t 2
p v3 93
= =
p v3 63
1 1
p =120kW
1
若风场每年有5000h风速在6～10m/s的风能资源，则该发电机年发电量
E=p ⋅t=120kW×5000h=6.0×105kW⋅h，故D正确；
1
故选：D。
2．(2022·全国·其他类型)从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气
阻力，该过程中小球的动能E 与时间t的关系图像是( )
k
A. B.
C. D.
【答案】A【知识点】动能的概念和表达式
【解析】本题考查动能的概念和E -t图象，意在考查考生的推理能力和分析能力。小球做竖直上
k
1 1
抛运动时，速度v=v -gt，根据动能E = mv2 得E = m(v -gt) 2 ，故图象A正确。
0 k 2 k 2 0
3．(2020·上海市·模拟题)如图所示，轻质弹簧的左端固定，并处于自然状态。小物块的质量为m，
以一定的初速度v从A点向左沿水平地面运动，压缩弹簧后被弹回，运动到A点恰好静止，物块向
左运动的最大距离为s，与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧未超出弹性限度。在上
述过程中( )
A. 物块克服摩擦力做的功为0
B. 物块克服摩擦力做的功为2μmgs
C. 弹雷的最大弹性势能为0．5mv2
D. 弹雷的最大弹性势能为0．5mv2+μmgs
【答案】B
【知识点】恒力做功、动能定理的基本应用
【解析】
整个过程中，物体受到的摩擦力恒定，根据恒力做功求得物块克服摩擦力做的功为2μmgs，对物
体向左运动的过程，利用动能定理求弹簧的最大弹性势能。
AB.整个过程中，物块所受的摩擦力大小恒定，摩擦力一直做负功，则物块克服摩擦力做的功为：
W =μmg⋅2s=2μmgs，故A错误，B正确；
f
1
CD.向左运动过程中，根据动能定理可知：-μmgs-E =0- mv2
p 2
解得：E =0.5mv2-μmgs，故CD错误；
p
故选B。
4．(2021·北京市·历年真题)如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不变)通过路面
abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面。不考虑整个过程中空
气阻力和摩擦阻力的大小变化。下列说法正确的是( )
A. 在ab段汽车的输出功率逐渐减小 B. 汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C. 在cd段汽车的输出功率逐渐减小 D. 汽车在cd段的输出功率比bc段的大
【答案】B
【知识点】平均功率与瞬时功率【解析】AB.在ab段，根据平衡条件可知，牵引力F =mgsinθ+f
1
所以在ab段汽车的输出功率P =F v不变，
1 1
在bc段牵引力F =f，
2
bc段的输出功率P =F v
