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第 08 讲 实验：探究弹簧弹力与形变量的关系
实验：探究两个互成角度的力的合成规律
目录
01 模拟基础练
【题型一】探究弹簧弹力与形变量的关系
【题型二】探究两个互成角度的力的合成规律
02 重难创新练
【题型一】探究弹簧弹力与形变量的关系
1．在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，实验装置如图甲所示，将弹簧的左端固定在刻度尺的
“0”刻度线处，实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将钩码挂在轻质绳子的下端，测量相应的数
据，通过描点法作出F-l（F为弹簧的拉力，l为弹簧的长度）图像，如图乙所示。
(1)下列说法中正确的是（ ）
A．每次增加的钩码数量必须相等
B．通过实验可知，在弹性限度内，弹力与弹簧的长度成正比
C．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧水平且处于平衡状态
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与弹簧伸长量，会得出拉力与弹簧伸长量之比相等
(2)根据乙图可求得该弹簧的劲度系数为 N/m。（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)C(2)25
【详解】（1）A．对每次增加的钩码数量没有要求，只需保证弹簧始终在弹性限度范围内，记录下每次弹
簧的伸长量及所挂钩码的质量即可，故A错误；
B．通过实验可知，在弹性限度内，弹力与弹簧的伸长量成正比，故B错误；
C．用悬挂钩码的方式给弹簧施加拉力，应保证弹簧水平且处于平衡状态，使弹簧所受拉力的大小等于钩
码的重力，故C正确；
D．不同弹簧的劲度系数不一定相等，即弹簧的弹力与伸长量之比不一定相等，故D错误。
故选C。
（2）在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比，在点出现拐点是因为超过了弹簧的弹性限度。
故弹簧的劲度系数为
2．某实验小组为测量自动笔里面被压缩弹簧的劲度系数，他们一开始设计如图甲所示的实验：将自动笔
活动端竖直置于电子秤上，当竖直向下按下约0.80cm时（未触底且未超过弹簧弹性限度），稳定后电子秤
上的读数增加了37.85g（重力加速度大小g取10m/s2）。
(1)此笔里的弹簧劲度系数为 N/m（结果保留3位有效数字），这支笔的重力对实验 （填
“有”或“无”）影响；
(2)由于弹簧较短，施加适当外力时长度变化不太明显，于是他们将实验设计成图乙所示：将三根相同的弹
簧串起来，竖直挂在图乙所示的装置中。小组成员通过测量，作出三根弹簧的总长度l与相应所挂重物重
力即拉力大小F的关系图像如图丙，则一根弹簧的劲度系数为 N/m（结果保留3位有效数字）。
【答案】(1) 47.3 无
(2)50.0
【详解】（1）[1]根据胡克定律，可得弹簧劲度系数为
故填47.3；[2]没有影响，这是由于弹簧受挤压时弹力大小可借助于电子秤测出，所以与笔的重力无关，故填无；
（2）由于有三根弹簧，则弹簧劲度系数满足
故填50.0。
3．某实验小组要探究弹簧弹力的大小与伸长量之间的关系。用铁架台、毫米刻度尺以及若干个相同钩码
组成如图甲所示的装置，一轻弹簧竖直悬挂在铁架台的水平横杆上，指针固定在弹簧下端，刻度尺竖直固
定在弹簧一侧，刻度尺零刻度线与弹簧上端点对齐。重力加速度大小为 。
(1)在弹簧下依次挂上钩码，得到悬挂钩码的质量m与弹簧伸长量x的关系如图乙所示，则弹簧的劲度系数
。
(2)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹簧上端，则由实验数据得到的劲度系数值将 （选填“偏小”
“偏大”或“不受影响”）；若再多挂几个钩码，发现作出的 图像向下弯曲，其原因是 。
(3)若将原弹簧截去一半再做实验，将实验得到的多组悬挂钩码质量m及对应的弹簧伸长量x在图乙坐标系
中作图，则作出的图像斜率 （选填“大于”“小于”或“等于”）原弹簧图像的斜率。
【答案】(1)4.9
(2) 不受影响 弹簧超出了弹性限度
(3)大于
【详解】（1）由图可知弹簧的劲度系数为
（2）[1]根据 可知，若实验中刻度尺的零刻度略高于弹簧上端，对弹簧伸长量的计算无影响，则由
实验数据得到的弹簧的劲度系数将不受影响；
[2]若再多挂几个钩码，发现作出的 图像向下弯曲，向下弯曲的原因是弹簧超出了弹性限度。
（3）若将原弹簧截去一半再做实验，将实验得到的多组悬挂钩码质量m及对应的弹簧伸长量x在图乙坐
标系中作图，由于挂相同钩码，截去一半的弹簧形变量比原来的小，因此图像的斜率比原弹簧的斜率大。4．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量相等且已知的钩码做“探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸
长量的关系”实验，重力加速度g取 。
(1)实验中还需要的测量工具是 。
(2)根据实验数据绘图，如图乙所示，纵轴是钩码的质量m，横轴是弹簧的形变量 x。由图乙可知，弹簧的
劲度系数 N/m；图线不通过坐标原点的原因是
(3)实验中用两根不同的弹簧a和b得到的弹簧弹力F与弹簧长度L的关系图像，如图丙所示，下列说法正
确的是___________。
A．a的原长比b的长
B．a的劲度系数比b的小
C．a的劲度系数比b的大
D．弹力与弹簧长度成正比
【答案】(1)刻度尺
(2) 100 弹簧的自身重力
(3)C
【详解】（1）本实验需要测量弹簧的长度以及形变量，故还需要的测量工具是刻度尺。
（2）[1]由图乙可知， 图像的斜率表示弹簧的劲度系数k，有
[2]由图乙可知，当 时，x大于零，说明没有挂钩码时弹簧伸长，其原因是由于弹簧自身的重力造成的。
（3）A．其 图像，当图像与横轴的交点为弹簧的原长，由题图可知，其a的原长比b的短，故A项
错误；
BC． 图像的斜率表示弹簧的劲度系数k，由题图可知，a的劲度系数比b的大，故B错误，C正确；
D．弹簧的弹力有胡克定律有
即弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，故D项错误。
故选C。
5．（2024·湖北·一模）某同学利用图1装置测量轻弹簧的劲度系数。图中光滑的细杆和游标卡尺主尺水平
固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂砝码（实验中，每个砝码的质量均为 ）弹簧右端连有一竖直指针，其位置可通过移动游
标使其零刻度线对准指针读出。实验步骤如下：
①在绳下端挂上一个砝码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细线水平且弹簧与细杆没有接触；
②系统静止后，记录指针的位置l₁如图2所示；
③逐次增加砝码个数，并重复步骤②（保持弹簧在弹性限度内），记录砝码的个数n及指针的位置l；
④将获得的数据作出 图像如图3所示，图线斜率用a表示。
回答下列问题：
(1)图2所示读数 ；
(2)弹簧的劲度系数表达式 （用砝码质量m、重力加速度g和图线的斜率a表示）。若g取
则本实验中 （结果保留2位有效数字）。
【答案】(1)6.170
(2) 70
【详解】（1）图2所示读数
（2）[1] 由胡克定律可得
故
解得
[2]根据图3可知斜率为
联立可得
6．某兴趣小组利用轻弹簧与刻度尺设计了一款加速度测量仪，如图甲所示。轻弹簧的右端固定，左端与一小车固定，小车与测量仪底板之间的摩擦阻力可忽略不计。在小车上固定一指针，装置静止时，小车的
指针恰好指在刻度尺正中间，图中刻度尺是按一定比例的缩小图，其中每一小格代表的长度为 。测定
弹簧弹力与形变量的关系图线如图乙所示：用弹簧测力计测定小车的重力，读数如图丙所示。重力加速度
取 。
(1)根据弹簧弹力与形变量的关系图线可知，弹簧的劲度系数 。（保留两位有效数
字）。根据图丙读数可知小车的质量为 。（小数点后保留一位）。
(2)某次测量小车所在位置如图丁所示，则小车的加速度方向为水平向 （填“左”或
“右”）、大小为 。
(3)若将小车换为一个质量更小的小车，其他条件均不变，那么该加速度测量仪的量程将 。
（选填“不变”“增大”或“减小”）
【答案】(1) 20 0.2
(2) 左 5
(3)增大
【详解】（1）[1]根据弹簧弹力与形变量的关系图线可知，弹簧的劲度系数
[2]根据图丙读数可知小车的重力为2.0N，则质量为0.2 。
（2）[1][2]某次测量小车所在位置如图丁所示，则弹簧被压缩，弹力向左，则小车的加速度方向为水平向
左、大小为
（3）若将小车换为一个质量更小的小车，其他条件均不变，根据
则相同的形变量时小车的加速度变大，那么该加速度测量仪的量程将增大。
7．某同学探究图甲中台秤的工作原理。他将台秤拆解后发现内部简易结构如图乙所示，托盘A、竖直杆
B、水平横杆H与齿条C固定连在一起，齿轮D半径为R可无摩擦转动，与齿条C完全啮合，在齿轮上固
定指示示数的轻质指针E，两根完全相同的弹簧将横杆H吊在秤的外壳Ⅰ上。他想根据指针偏转角度测量
弹簧的劲度系数，经过调校，托盘中不放物品时，指针E恰好指在竖直向上的位置。若放上质量为m的物
体时指针偏转了θ弧度（ ）齿条的位移为 ，重力加速度为g。(1)指针偏转了θ弧度的过程，弹簧变长了 （用题干中所给的参量表示）。
(2)每根弹簧的劲度系数表达式为k= （用题干所给的参量表示）。
(3)该同学进一步改进实验，引入了角度传感器测量指针偏转角度，先后做了六次实验，得到数据并在坐标
纸上作出图丙，可得到每根弹簧的劲度系数为 N/m（R=2.50cm，g=9.8m/s2，结果保留3位有效
数字）。
【答案】(1)
(2)
(3)154
【详解】（1）由图乙可知，弹簧的形变量等于齿条C下降的距离，由于齿轮D与齿条C啮合，所以齿条
C下降的距离等于齿轮D转过的弧长，根据数学知识可得
即弹簧变长了
（2）对托盘A、竖直杆B、水平横杆H与齿条C和重物整体研究，根据平衡条件得
mg=2F
根据胡克定律有
联立解得
（3）由（2）可知
变形有
图像的斜率为
rad/kg
解得k≈154N/m
8．某实验小组利用“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验装置测量弹簧的劲度系数。
将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧。弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，读出弹簧长度，记为
；弹簧下端挂上砝码盘时，读出弹簧长度，记为 ；在砝码盘中每次增加一个10g的砝码，弹簧长度依
次记为 至 ，数据如下表：
代表符号
数值（cm） 24.35 27.35 29.35 31.33 33.36 35.35 37.37 39.35
(1)由表中数据可以看出，所用刻度尺的最小分度为 （选“1mm”或“0.1mm”）；
(2)如图是根据表中数据做图像，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与 的差值（填“ ”或“
”）；
(3)通过图像可得弹簧的劲度系数为 N/m（取重力加速度 ）
【答案】(1)1mm
(2)
(3)4.9
【详解】（1）用刻度尺测量长度时要估读到分度值的下一位，记录数据的最后一位是估读位，故刻度尺
的最小分度为1mm。
（2）弹簧下端挂上砝码盘时，根据胡克定律可得
在砝码盘中增加砝码，根据胡克定律可得
可得
可知横轴是弹簧挂砝码后弹簧长度与弹簧挂砝码盘时弹簧长度 的差值。
（3）根据胡克定律，弹簧的劲度系数为9．实验小组利用图甲所示装置探究弹力与弹簧形变量的关系。重物放在水平放置的电子秤上面，轻质弹
簧一端与重物相连，另一端与跨过处于同一水平高度的两个光滑定滑轮的细线的 端相连，调整滑轮1的
位置，使其下方的细线处于竖直状态。初始时，细线各部分均伸直但无张力，滑轮2的右侧竖直固定一刻
度尺，调整刻度尺的高度，使其零刻度线恰与细线 端点对齐。现缓慢竖直向下拉端点 ，分别记录端点
移动的距离 及对应的电子秤的示数 ，如下表所示。
5 10 15 20 25 30
3.5 3.0 2.4 2.0 1.5 1.0
(1)以电子秤的示数 为纵轴，端点 移动的距离 为横轴建立的坐标系，如图乙所示，请在坐标系中描点
画出 图像 。
(2)小组查得当地的重力加速度 ，据画出的 图像可以求得弹簧的劲度系数
（结果取整数），重物的质量 （结果保留一位小数）。
(3)若拉动端点 时偏离了竖直方向，则弹簧劲度系数的测量值与其真实值相比将 （填“偏大”“偏
小”或“相等”）。
【答案】(1)见解析
(2) 98（96～100之间均可） 4.0
(3)偏大
【详解】（1）根据表格数据在 图像中描点，作出对应图线如图所示（2）[1][2]设重物的质量为 ，对重物有
即
结合作出的 图像，可知
，
解得弹簧的劲度系数为
（3）由
可得
若拉动端点 时偏离了竖直方向，则弹簧伸长量 的测量值偏小，故弹簧劲度系数的测量值比其真实值偏
大。
10．在“探究弹力与弹簧伸长的关系，并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图所用的每个钩码
的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐
个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据描点在如坐标图中，请作出 图线 ；(2)由此图线可得出的结论是 ，该弹簧的原长为 ，劲度系数k＝
；
(3)试根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格 ；(不必填写其实验测
得的具体数据)
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较；
优点在于：
缺点在于： 。
【答案】(1)
(2) 在弹性限度内，弹力和弹簧的伸长量成正比
(3)
次 数 1 2 3 4 5 6
弹力F/N
弹簧的长
度
L/(×10－2
m)
(4) 避免弹簧自身所受重力对实验的影响 弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差
【详解】（1）根据题意可知，应将题中给出的各点用直线连接，让各点均匀的分布在直线两侧，如图所
示（2）[1]此图像为一次函数图像，结合胡克定律可知，即此图线可得出的结论是在弹性限度内，弹力和弹
簧的伸长量成正比。
[2]由图像可知，当 时，此时 即为弹簧的原厂， 。
[3]此图像结合胡克定律可知，图像的斜率即为弹簧的劲度系数为
（3）
次 数 1 2 3 4 5 6
弹力F/N
弹簧的长
度
L/(×10－2
m)
（4）[1]弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，优点在于避免弹簧自身所受重力对实验的影响。
[2]弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较，缺点在于弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差。
【题型二】探究两个互成角度的力的合成规律
11．某实验小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验。
(1)本实验采用的实验方法是__________。
A．控制变量法 B．等效替代法 C．理想模型法
(2)实验时，下列不正确的是__________。A．实验前需对弹簧测力计校零 B．实验时两个拉力的大小能相等
C．实验时应保持细绳与长木板平行 D．进行多次操作时每次都应使结点拉到O点
(3)实验结果如图甲所示。在 、 、F、 四个力中，不是由弹簧测力计直接测得的力为 。
A． B． C． D．
(4)若用如图乙所示的装置来做实验，OB处于水平方向，与OA夹角为 ，则 （填
“OA”、“OB”或“OC”）的力最大。现保持弹簧测力计A和B细线的夹角不变，使弹簧测力计A和B均
逆时针缓慢转动至弹簧测力计A竖直。在此过程中，弹簧测力计A的示数 。（填“不断减小”、
“不断增大”、“先减小后增大”或“先增大后减小”）
【答案】(1)B
(2)D
(3)C
(4) OA 不断减小
【详解】（1）该实验过程，其合力与分力的作用效果，所以本实验采用的科学方法是等效替代法。
故选B。
（2）A．实验前需对弹簧测力计校零，故A正确，不满足题意要求；
B．实验时两个拉力的大小能相等，也可以不相等，故B正确，不满足题意要求；
C．为了减小误差，实验时应保持细绳与长木板平行，故C正确，不满足题意要求；
D．每次实验时，两个力拉和一个力拉需拉到结点O的位置，但是不同次实验，O的位置可以改变，故D
错误，满足题意要求。
故选D。
（3） 、 、 ，都是弹簧测力计测量得到，F是通过作图得到的。
故选C。
（4）[1]以O为对象，OB与OC垂直，根据平行四边形可知OA为斜边，则OA的力最大。
[2]当弹簧测力计A和B均逆时针缓慢转动至弹簧测力计A竖直的过程中，两弹簧细线夹角保持不变，由
正弦定理可得
为锐角且不断减小，可得弹簧测力计A的拉力 不断减小。
12．“探究力的合成规律”的实验装置如图所示，在该实验中：(1)以下对减小实验误差有益的说法是（ ）
A．弹簧秤外壳应当与桌面尽量光滑
B．弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行
C．用两弹簧秤同时拉细绳时两弹簧秤示数之差应尽可能大
D．拉橡皮条的细绳要适当长些，标记同一细绳方向的两点要远些
(2)某次实验中弹簧秤示数如图所示，其读数为 N。
(3)用a、b弹簧秤拉橡皮条使结点到O点，当保持弹簧秤a的示数不变，而在角a逐渐减小到0的过程中，
要使结点始终在O点，可以（ ）
A．增大b的示数，减小β角度
B．减小b的示数，增大β角度
C．增大b的示数，先减小β角度，后增大β角度
【答案】(1)BD
(2)2.10~2.19
(3)B
【详解】（1）A．弹簧秤外壳与桌面的摩擦不会影响弹簧测力计的读数，不会引起实验误差，故A错误；
B．实验时弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行，故B正确；
C．为了减小作图的误差，两个拉力大小在量程范围内尽可能都大，拉力之差不能太大，故C错误；
D．为了更加准确地记录力的方向，拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些，故D正确。
故选BD。
（2）由图可知，弹簧秤的示数为2.12N。
（3）保持O点位置不动，即合力大小方向不变，弹簧测力计A的读数不变，因此根据要求作出力的平行
四边形，画出受力分析图如下
第一种情况，原来α、β的值较小，由图可知α角逐渐变小时，b的示数减小，β角减小；第二种情况，原
来α、β值较大，由图可以看出α角逐渐变小时，b的示数减小，β角增大，或者由图可以看出α角逐渐变
小时，b的示数减小，同时β角先增大，后减小。
故选B。
13．（2024·福建南平·三模）利用橡皮筋、弹簧测力计和圆形量角器等器材验证力的平行四边形定则。
（1）量角器固定在水平桌面上，将带细绳套的橡皮筋一端用图钉固定，如图（a）。
（2）两细绳套挂上弹簧测力计，互成角度拉两只弹簧测力计，将结点拉至量角器圆心O点，如图（b），此时右侧弹簧测力计示数为 N，记录此时力 、 的大小和方向。在纸上作力 、 的图示并得到
合力F，如图（c）。
（3）改变两细绳套的夹角，仍将结点拉至O点，记录此时力 、 的大小和方向。
（4）请在图（c）中作出 、 合力 的力的图示： 。
（5）多次重复步骤（3）和（4），比较每次作出的合力，如果这些合力在误差允许范围内都 ，则
说明一个力分解成两个力有多种分解方式，分力与合力的关系遵循平行四边形定则。
【答案】 5.00 大小相等，方向相同
【详解】[1]由图可知弹簧测力计的读数为5.00N
[2]根据平行四边形法则作出 、 的合力 ，如图
[3]根据实验规律可知，合力在误差允许范围内都大小相等，方向相同，则说明一个力分解成两个力有多种
分解方式，分力与合力的关系遵循平行四边形定则。
14．（2024·天津·一模）某同学用如图所示的实验装置来探究互成角度的力的合成规律。弹簧测力计A挂
于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点
O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和细线
的方向。(1)该实验用到以下的方法来选择两个弹簧测力计进行实验。有两种选择方案，方案一：两弹簧测力计竖直
悬挂在铁架台上对拉，方案二：两弹簧测力计置于尽量光滑的水平桌面对拉，下列说法正确的是______
A．弹簧测力计使用前必须进行调零
B．对拉的两个弹簧测力计的量程需一致
C．若方案一的两弹簧测力计读数相等，则可正常使用
D．若方案二的两弹簧测力计读数相等，则可正常使用
(2)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为 N。
(3)下列必要的实验要求是______。（请填写选项前对应的字母）
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计B的拉力尽可能大
C．细线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
【答案】(1)AD
(2)3.6
(3)AC
【详解】（1）对拉弹簧测力计是为了校准两弹簧测力计，但是在校准前必须要调零，然后在水平面上对
拉两弹簧测力计，若其读数相等，则可正常使用，竖直方向上对拉时应考虑弹簧自身重力的影响，并且与
弹簧的量程无关。故AD正确；BC错误。
故选AD。
（2）弹簧测力计的最小分度为0.2N，读数时不需要估读到下一位。所以图中A的示数为3.6N。
（3）A．实验通过作出三个力的图示，来验证“力的平行四边形定则”，因此重物M所受的重力必须要
测量。故A正确；
B．实验中弹簧秤的拉力大小要适中，便于作图即可，不要尽可能的大。故B错误；
C．拉线方向必须与木板平面平行，这样才能使各力在同一平面内。故C正确；
D．改变拉力，进行多次实验，每次实验都和上一次没有关系，因此不必每次静止在同一位置。故D错误。
故选AC。
15．在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，橡皮条的
另一端系两根细绳，细绳另一端带有绳套．先用两个弹簧秤分别勾住绳套并互成角度地拉橡皮条，使橡皮条的结点达到某一位置O，并记下该点的位置O．再用一个弹簧秤将橡皮条的结点拉到同一位置O点，如
图甲所示．
(1)物理学有很多的科学研究方法，本实验所采用的是__________；
A．理想模型法 B．等效替代法 C．控制变量法 D．演绎推理法
(2)图甲中沿OB方向拉的弹簧测力计的示数为 N；（保留三位有效数字）
(3)实验中，在白纸上画出的测量结果如图乙所示，其中O处为结点位置．图中的F与 两力中，方向一
定沿橡皮筋方向的是 ；
(4)关于本实验，下列说法正确的是__________．
A．弹簧秤、细绳、橡皮筋都应与木板平行
B．橡皮筋应与两绳夹角的平分线在同一直线上
C．两次拉伸橡皮条，只要使橡皮条伸长到相同长度即可
D．拉橡皮筋的细绳要适当长些，标记同一细绳方向的两点要适当远些
【答案】(1)B
(2)3.70
(3)
(4)AD
【详解】（1）本实验用一根弹簧测力计拉橡皮条的效果替代两根弹簧测力计拉橡皮条的效果，应用了等
效替代法。
故选B。
（2）弹簧测力计的精确度为0.1N，因此要估读到下一位，所以弹簧测力计的示数为3.70N。
（3） 是通过平行四边形得出的值，而 是用一个弹簧拉绳套时测得的力，其方向一定沿橡皮筋方向。
（4）A．测量力的实验要求尽量准确，为了减小实验中因摩擦造成的误差，操作中要求弹簧测力计、细绳、
橡皮条都应与木板平行，A正确；
B．橡皮筋可以与两绳夹角的平分线在同一直线上，也可以不在同一直线上，保证每次的结点相同即可，B
错误；
C．本实验采用“等效法”，为了使两次拉伸橡皮条的效果相同，要求两次拉橡皮条时必须将其结点拉至
同一个位置，即沿同一个方向拉伸相同长度，故C错误；
D．弹簧测力计标记同一细绳方向的两点要远些，作图时产生的角度误差会减小，故D正确。
故选AD16．（2024·广东广州·二模）1.如图甲，用量程为5N的弹簧测力计，测量一个超出其量程的物体的重力：
（1）将表面印有等距圆环的白纸固定在竖直放置的木板上；
（2）三根细线分别与弹簧测力计一端、一个图钉、待测重物相连，弹簧测力计的另一端固定，通过改变
图钉在木板的位置调节细线OB，使细线的结点O与圆环的圆心位置重合；
（3）标出OA、OB、OC的拉力方向，记录弹簧测力计的读数 N；
（4）①根据共点力平衡条件和平行四边形定则，用“力的图示”在图乙中作出OA、OB拉力的合力
；
②由作图结果可得重物的重力为 N（结果保留一位小数）。
【答案】 3.00/2.99/3.01 见解析 7.0/6.8/6.9/7.1/7.2
【详解】（3）[1]弹簧测力计的最小分度为0.1N，读数时需要估读到0.01N，所以其读数为3.00N。
（4）①[2]做出力的图示，如图所示
②[3]由作图结果可得重物的重力为7.0N。
17．（2024·广东·二模）小明在探究“两个互成角度的力的合成规律”时，用到两根相同的橡皮筋、木板、
白纸、笔、图钉、细线和刻度尺。请帮助他完善以下步骤。（1）如图甲所示，先把两根橡皮筋 和细绳 的一端连接，结点记为 。
（2）用刻度尺测量橡皮筋 的原长，记为 。
（3）如图乙所示，在木板上固定白纸，在白纸上的 点固定橡皮筋 的上端，用手拉动橡皮筋 的自由端，
记录此时橡皮筋 的长度 和结点 的位置。
（4）如图丙所示，左手拉动橡皮筋 的自由端，右手拉动细线 ，使得 点两次位置重合，记录此时橡皮
筋 的长度 和 。
（5）把橡皮筋 和细线 互换位置再拉动，使 ，记录 。
（6）根据胡克定律可知，橡皮筋 的弹力大小和形变是成正比，以形变量的大小作为弹力 、 及 ，
根据记录的信息作出平行四边形，比较对角线 与 的大小和方向是否大致相同，从而判断两个互成角度
的力的合成是否遵循平行四边形定则。
【答案】 与 的方向 点位置再次重合且拉动方向均不变 橡皮筋 的长度
【详解】（4）[1]实验时要记录力的大小和方向，力的大小可以通过橡皮筋的形变量获得，力的方向可以
沿橡皮筋作直线获得，即需要记录此时橡皮筋 的长度 和 与 的方向。
（5）[2][3]把橡皮筋 和细线 互换位置再拉动，需要使两次力的作用效果相同，故需要再次使 点位置
重合且拉动方向均不变，需要记录橡皮筋 的长度 。
18．在“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验中。
步骤一：如图甲（a），轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE。
步骤二：在图甲（b）中，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环受到拉力 、 的共同作用，
处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。
步骤三：撤去 、 ，改用一个力 单独拉住小圆环，如图甲（c）仍使它处于O点。(1)如下图所示，实验中需要的器材有 ；
(2)关于此实验的操作，下列说法正确的是 ；
A．测力计可以直接钩住小圆环进行实验
B．实验过程中，测力计外壳不能与木板有接触
C． 完成步骤三后重复实验再次探究时，小圆环的位置可以与前一组实验不同
D．为了减小误差，两个测力计的夹角越大越好
(3)弹簧测力计的示数如图乙所示，读数为 N。
(4)做实验时，根据测量结果在白纸上画出，如图丙所示， 和 为两个分力，请在答题纸上通过作平行四
边形的方法求出合力为 N。
【答案】(1)B
(2)C
(3)0.7/0.8
(4)3.20（3.00~3.30）
【详解】（1）探究两个互成角度的力的合成规律实验需要刻度尺确定力的方向和作图。
故选B。
（2）A．测力计若直接钩住小圆环进行实验，会在确定力的方向时出现误差，故A错误；
B．实验过程中，弹簧测力计与木板保持平行即可，故B错误；
C．实验过程中用一个弹簧测力计的作用效果替代两个弹簧测力计作用效果，只需同一次实验“结点”的
位置相同即可，但完成后重复实验再次探究时，小圆环的位置可以与前一组实验不同，故C正确；
D．画平行四边形时，夹角大的话画出的平行四边形会准确些，但不是要求夹角尽量大，故D错误。
故选C。（3）弹簧测力计的最小分度为 ，根据指针位置可以确定拉力为 。
（4）根据平行四边形定则得出下图
由图可知合力大小约为3.16N。
19．某同学利用如图所示的装置来探究两个互成角度的力的合成规律：在竖直木板上贴上白纸，固定两个
光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重力都相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读
出三段绳子的拉力大小 、 和 。回答下列问题：
(1)改变钩码个数，实验能完成的是 。
A．钩码的个数 ，
B．钩码的个数 ，
C．钩码的个数
D．钩码的个数 ， ，
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是 。
A．标记结点O的位置，并记录 三段绳子的方向
B．测量出 三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用弹簧测力计测出钩码的重力(3)在作图时，你认为图中图 是正确的（填“甲”或“乙”）。
【答案】(1)BCD
(2)A
(3)甲
【详解】（1）由于结点O在三个共点力的作用下处于平衡状态，则 、 的合力大小等于 ，且
每个钩码的重力都相等，可得
故能完成实验是BCD。
故选BCD。
（2）
为探究两个互成角度的力的合成规律，需作出受力图。应先明确受力点，其次要作出力的方向并读出力的
大小，最后作出力的图示。因此要做好记录，应从力的三要素角度出发，要标记结点O的位置，并记录
三段绳子的方向。
故选A。
（3）以O点为研究对象， 的实际作用效果在OC这条线上，由于误差的存在， 、 的合力的理论值
与实际值有一定偏差，故题图甲符合实际，题图乙不符合实际。
20．某同学学习“力的合成与分解”后，利用实验室的器材设计了如图（a）所示的实验装置进行“验证
力的平行四边形定则”实验，量角器竖直放置，结点O与量角器的中心点在同一位置。
(1)关于该实验，下列说法正确的是__________。（填正确答案标号）A．需要测量重物c的重力
B．弹簧测力计的重力对细线上拉力的测量有影响
C．连接结点O的三根细线必须等长
D．弹簧测力计必须与量角器平行
(2)某次测量时，弹簧测力计a的示数如图（b）所示，单位为N，则读数为 N。
(3)弹簧测力计a对准60°刻度，弹簧测力计b对准180°刻度，保持两弹簧测力计间的夹角不变，绕O点顺
时针缓慢旋转至a水平，则弹簧测力计a的示数 ，弹簧测力计b的示数 。（均选填
“一直增大”“一直减小”“先增大后减小”或“先减小后增大”）
【答案】(1)AD
(2)4.6
(3) 一直减小 一直增大
【详解】（1）A．验证力的平行四边形定则时，需要知道合力与分力的大小和方向，即需要测量重物c的
重力，即合力。故A正确；
BD．弹簧测力计的示数等于细线上的拉力，弹簧测力计的重力对细线拉力的测量无影响，测量时弹簧测力
计必须与量角器平行。故B错误；D正确；
C．连接结点O的三根细线等长与否对实验无影响。故C错误。
故选AD。
（2）题图（b）中弹簧测力计的最小分度为0.2N，则弹簧测力计a的读数为4.6N。
（3）[1][2]两弹簧测力计间的夹角不变，在圆内画出力的矢量三角形，如图所示，
可知弹簧测力计a的示数一直减小，弹簧测力计b的示数一直增大。
1．某同学设计了实验验证力的平行四边形定则，实验步骤如下：①用天平测得物块A的质量为m，②如
图甲两根竖直杆相距为D，用长为L的不可伸长的轻绳，穿过光滑的轻质动滑轮，动滑轮下端连接物体
A，轻绳两端分别固定在杆上P、Q两点，在轻绳的左端连接力传感器，力传感器的重力忽略不计。改变
物块A的质量m，记录力传感器的示数F，重力加速度为g。（1）要验证力的平行四边形定则，力传感器的示数F与物块A的质量m满足关系式 （用题中给出
的物理量表示）。
（2）轻绳的Q端沿杆向上移动到Q'，力传感器的示数 （填“变大”“变小”或“不变”）。
（3）某同学改变物块A的质量，作F－m的图像，如图乙，图像的斜率为k，但是他忘记了记录间距D的
大小，可否利用图乙和已知物理量求出D？并说明原因： （L，k，g已知）。
【答案】 不变 可以，理由见解析
【详解】（1）[1] 如图所示，设定滑轮处为 点， 段绳子长度为 ，设 段绳子长度为 ， 和
与竖直方向的夹角为 。
由几何关系可知
又
得
由平衡条件可得
又得
（2）[2] 由[1]分析可知，轻绳的Q端沿杆向上移动到Q'， 不变， 不变，力传感器的示数不变。
（3）[3] 可利用图乙和已知物理量求出D。原因如下：
由[1]可知
F－m的图像斜率为 ，则
解得
2．甲、乙、丙三个实验小组进行验证力的平行四边形定则的实验，甲实验小组用如图1所示装置进行实验，
其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳。
（1）某次实验中两弹簧测力计拉力及两个拉力的合力F的示意图如图2所示， 为一个弹簧测力计拉橡
皮筋时的拉力。如果没有操作失误，则图2中的F与 两力中，方向一定沿AO方向的是 。
（2）关于实验操作，下列步骤中必要的是 。
A．实验前要用力拉弹簧测力计挂钩，检查指针能否达到最大量程处
B．实验前要将两只弹簧测力计竖直互钩对拉，检查两弹簧测力计读数是否相同
C．两分力的夹角应取90°较好，便于之后运算中采用勾股定理以验证平行四边形定则
D．拉力方向应与木板平面平行，且两个分力的值要适当大些
（3）若实验中，两个分力的夹角为 ，合力为F，F与 的关系图像如图3所示。已知这两分力大小不变，
则任意改变这两个分力的夹角，能得到的合力大小的变化范围是 。
（4）乙实验小组接着进行了如图4所示的实验，一竖直木板上固定白纸，白纸上附有角度刻度线，弹簧测
力计a和b连接细线系于O点，其下端用细线挂一重物Q，使结点O静止在角度刻度线的圆心位置。分别
读出弹簧测力计a和b的示数，并在白纸上记录拉线的方向。则图中弹簧测力计a的示数为
N；弹簧测力计a、b均绕O点顺时针缓慢转动，且保持两弹簧测力计间的夹角不变，直到弹簧测力计a方向水平为止，此过程中弹簧测力计a的示数会 ，弹簧测力计b的示数会 （后两空
选填“变大”、“不变”、“变小”、“先变大后变小”或“先变小后变大”）。
（5）丙实验小组进行了图5、6的实验，先用5个钩码拉弹簧使之伸长至某个位置 ，并记录，如图5；
然后再用两组钩码（一组3个钩码，一组4个钩码）拉伸弹簧，如图6.每个钩码质量均相同，两次实验弹
簧均处于水平。
①完成该实验最关键的步骤是 ；
②如果该实验中“力的平行四边形定则”得到验证，则图6中的 和 （绳子与竖直方向夹角）满足
。
【答案】 D 5.80 变小 变大 第二次拉伸弹簧使伸长至
位置
【详解】（1）[1] 用一根弹簧秤拉皮筋时，拉力的方向与橡皮筋的方向在同一条直线上，即F与 两个
力中，方向一定沿AO方向的是 。
（2）[2] A．在使用弹之前不用将弹簧秤用力拉，看是否能达到最大量程，故A错误;
B．弹簧测力计使用前应该校零，即将两弹簧测力计调零后水平互钩对拉，选择两个读数相同的测力计，
竖直互拉会有重力的影响，故B错误；
C．两个分力夹角不宜过大，也不宜过小，不一定非要是90°，也不用勾股定理求解合力以验证平行四边形
定则，故C错误；
D．本实验是通过在白纸上作力的图示来验证平行四边形定则，为了减小实验误差，弹簧秤、细绳、橡皮
条都应与木板平行，否则，作出的是拉力在纸面上的分力，误差较大，为了减小作图时画线的误差，弹簧
秤的拉力适当大一些，故D正确。故D正确。
故选D。
（3）[3]设两个力分别为 、 ，由图3可知
解得
,
或
,合力大小的变化范围
得
（4）[4] 图中弹簧测力计a的示数为5.80N。
[5] [6] 由题意，根据几何关系可知，弹簧测力计a、b对O的拉力Fa、Fb以及Q对O的拉力G组成的矢
量三角形内接于圆内，如图所示
可知在弹簧测力计a、b均绕O点顺时针缓慢转动直到弹簧测力计a方向水平的过程中，弹簧测力计a示数
变小，弹簧测力计b的示数会变大。
（5）[7] 本实验的思想是等效替代的思想，所以其最关键的是两次拉伸弹簧的效果是相同的，即第二次拉
弹簧使之伸长至 位置。
[8] 由题图可知，其第二次拉伸时，两个力在竖直方向上的合力为零，设单个钩码的质量为m，有
整理得
3．（2023·河北石家庄·二模）某同学利用如图甲所示装置做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。
实验步骤如下：
①将力传感器 P通过一根轻质细绳提起重物保持静止，记下 P的示数 F；
②将力传感器P、Q分别固定在左右两侧杆上，与 P、Q相连的两根轻质细绳OA、OB 连接的结点O处用
轻绳OC系上同一重物。系统静止后，记下O点位置，P、Q的示数 ， 及三细绳的方向OA、OB、
OC；
③在白纸上从 O 点沿OC 反向延长做有向线段 ，以 为对角线做平行四边形 如图乙所示。
用毫米刻度尺测出线段 、 、 的长度分别为④调整力传感器 Q 的位置，重复以上步骤。
回答下列问题：
（1）下列做法有利于减小实验误差的是 。
A．调整力传感器 Q的位置时，必须保证结点 O 的位置不变
B．两侧杆必须用铅垂线调整为竖直放置，不能左右倾斜
C．记录细绳方向时，选取相距较远的两点
D．两个细绳间夹角适当大一些
（2）在误差允许的范围内，若l、l、l与F、F、F满足关系式 ，则能够证明力的合成遵循平行
1 2 1 2
四边形定则。
（3）某次实验中，若平衡时两细绳OA、OB 互相垂直，保持 OB 绳和结点O 的位置不动，取下力传感
器P，将细绳 OA 绕O 点在纸面内顺时针转动一小角度，此过程中 OA 绳的拉力 （选填“变
大”“变小”或“不变”）。
【答案】 CD/DC 变大
【详解】（1）(1）[1]A．因为两次在结点的下面挂同一质量的物体，则调整力传感器Q的位置时，改变结
点O的位置对实验无影响，故A错误；
B．两侧杆左右倾斜，对实验无影响，故B错误；
C．记录绳子方向时，选用较远的两点，这样可减小记录力的方向时产生的误差，故C正确；
D．为了减小误差，拉橡皮条的夹角可以适当大一些，故D正确。
故选CD。
（2）[2] 根据力的平衡，可以得到几何三角形和力的三角形会相似
就有
（3）[3]由图可知
稳定时两绳互相垂直，现保持右侧绳和结点O的位置不动，即两个力的合力不变， 方向不变，将细绳
OA绕O点在纸面内顺时针转动一小角度， 变大。
4．某学习小组利用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。一竖直木板上固定白纸，白纸
上附有角度刻度线。弹簧测力计a和b连接细线系于O点，其下端用细线挂一重物Q，使结点O静止在角
度刻度线的圆心位置。分别读出弹簧测力计a和b的示数，并在白纸上记录O点的位置和拉线的方向。（1）图中弹簧测力计a的示数为 N。
（2）关于实验下列说法正确的是 。（请填写选项前对应的字母）
A．应测量重物Q所受的重力
B．弹簧测力计a、b通过细线对O点作用力的合力就是重物Q的重力
C．连接弹簧测力计a、b以及重物Q的细线不必等长，但三根细线应与木板平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使Ｏ点静止在同一位置
（3）弹簧测力计a、b均绕O点顺时针缓慢转动，且保持两弹簧测力计间的夹角不变，直到弹簧测力计a
方向水平为止，此过程中弹簧测力计a的示数会 、弹簧测力计b的示数会 。（填“变大”、
“不变”、“变小”、“先变大后变小”、“先变小后变大”）
【答案】 5.80 AC 变小 变大
【详解】（1）[1]弹簧测力计 的分度值为0.1N，需要估读到0.01N，所以示数为5.80N。
（2）[2]A．实验中要验证的是弹簧测力计a、b对O点的拉力用平行四边形定则合成后，与重物Q对O点
的拉力是否等大反向，而Q对O点的拉力与Q的重力相等，所以应测量重物Q所受的重力，故A正确；
B．弹簧测力计a、b对O点的拉力的合力与重物Q的重力是一对平衡力，而不是同一个力，故B错误；
C．连接弹簧测力计a、b以及重物Q的细线不必等长，但三根细线应与木板平行，以减小作图误差，故C
正确；
D．改变拉力，进行多次实验，每次O点静止时，Q对O点的作用效果与O点的位置无关，所以不要求每
次都使O点静止在同一位置，故D错误。
故选AC。
（3）[3][4]方法一：由题意，根据几何关系可知，弹簧测力计a、b对O的拉力F、F 以及Q对O的拉力
a b
G组成的矢量三角形内接于圆内，如图所示，可知在弹簧测力计a、b均绕O点顺时针缓慢转动直到弹簧测
力计a方向水平的过程中，弹簧测力计a的示数变小，弹簧测力计b的示数会变大。
方法二：由题意可知重物对O拉力的的对角（即力作用线的反向延长线所在的夹角）始终为120°，设 的
对角为 ， 的对角为 ，由于三个力中任意两个力的合力一定与另外一个力等大反向，所以根据几何关系以及正弦定理可得
在弹簧测力计a、b均绕O点顺时针缓慢转动直到弹簧测力计a方向水平的过程中， 由90°增加至150°，
由150°减小至90°，所以 变小， 变大。
5．2020年12月8日，中尼两国共同宣布了珠穆朗玛峰的最新高度为海拔8848.86米，此次珠峰高度测量
使用了重力仪、超长距离测距仪等一大批国产现代测量设备。重力仪的内部包含了由弹簧组成的静力平衡
系统。为测量弹簧劲度系数，探究小组设计了如下实验，实验装置如图1所示，角度传感器固定在可转动
的“T”形竖直螺杆上端，可显示螺杆转过的角度。“T”形螺杆中部套有螺母，螺母上固定力传感器。所测
弹簧上端挂在力传感器上，下端固定在铁架台底座上，力传感器可显示弹簧弹力大小。“T”形螺杆转动时，
力传感器会随着“T”形螺杆旋转而上下平移，弹簧长度随之发生变化。
（1）该探究小组操作步骤如下：
①旋转螺杆使弹簧初始长度等于原长，对应的角度传感器示数调为0；
②旋转“T”形螺杆使弹簧长度增加，记录力传感器示数 及角度传感器示数 ；
③多次旋转“T”形螺杆，重复步骤②的操作，记录多组对应 、 值；
④用所测数据作出 图像。图2已描出5个点，请在图中画出图像 。
（2）若螺杆的螺距（螺杆转动一周杆沿轴线前进的距离）为 ，则角度传感器示数为 时弹簧的伸
长量 。
（3）由 图像可知弹力 与弹簧的伸长量 成正比（填“ ”、“ ”、“ ”），结合图像算
出弹簧的劲度系数 。【答案】 15
【详解】(1)[1]如图
(2)[2]转动的角度与移动的距离关系为
解得
(3)[3]因为转动的角度与弹簧的伸长量成正比，而根据图像，转动的角度与弹簧弹力成正比，所以弹力 与
弹簧的伸长量 成正比。
[4]由图可知，当角度为 时，弹力为1N。此时的形变为
解得
弹簧的劲度系数
6．英国物理学家胡克发现，金属丝或金属杆在弹性限度内的伸长与拉力成正比，这就是著名的胡克定律．这个发现为后人对材料的研究奠定了重要的基础．现有一根用新材料制成的金属杆，长为4m，横截面积
为0.8cm2，设计要求它受到拉力后的伸长不超过原长的1/1000，由于这一拉力很大，杆又较长，直接测量
有困难，就选用同种材料制成样品进行测试，通过测试取得的数据如下：
(1)根据测试结果，推导出线材伸长量x与材料的长度L、材料的横截面积S与拉力F的函数关系为 ．
(2)在寻找上述关系中，你运用哪种科学研究方法？ .
(3)通过对样品的测试，求出新材料制成的金属细杆能承受的最大拉力约 ．
【答案】 x＝k 控制条件法 104N
【详解】（1）[1]．由表格知：
a、当受到的拉力F、横截面积S一定时，伸长量x与样品长度L成正比；①
b、当受到的拉力F、样品长度L一定时，伸长量x与横截面积S成反比；②
c、当样品长度L、横截面积S一定时，伸长量x与受到的拉力F成正比；③
由①②③三个结论，可以归纳出，x与L、S、F之间存在一定量的比例关系，设这个比值为k，那么有：线
材伸长量x与材料的长度L、材料的横截面积S与拉力F的函数关系为
（k为常数）
（2）[2]．由题可知伸长量x与样品的长度、横截面积、所受拉力都有关系，涉及的变量较多，因此采用
“控制变量法”来确定它们之间的正、反比关系．
（3）[3]．根据图表提供数据代入 解得：
k= ×10-10m2/N．
由题意知：待测金属杆M承受最大拉力时，其伸长量为原来的1/1000，即4×10-3m；
此时 S=0.8cm2=8×10-5m2，L=4m；代入上面的公式
解得：
F=10000N．【点睛】本题的难度很大，题中共涉及4个变量，在解题过程中，综合应用了控制变量法、归纳法、比值
定义法来进行分析、解答，对同学的综合素质要求很高，是一道考查能力的好题．
7．建筑、桥梁工程中所用的金属材料（如钢筋钢梁等）在外力作用下会伸长，其伸长量不仅与和拉力的
大小有关，还和金属材料的横截面积有关。人们发现对同一种金属，其所受的拉力与其横截面积的比值跟
金属材料的伸长量与原长的比值的比是一个常数，这个常数叫做杨氏模量。用E表示，即：E= ；某
同学为探究其是否正确，根据下面提供的器材：不同粗细不同长度的同种金属丝、不同质量的重物、螺旋
测微器、 游标卡尺、米尺、天平、固定装置等。设计的实验如图所示。
该同学取一段金属丝水平固定在固定装置上，将一重物挂在金属丝的中点，其中点发生了一个微小下移h
（横截面面积的变化可忽略不计）。用螺旋测微器测得金属丝的直径为D；用游标卡尺测得微小下移量为
h；用米尺测得金属丝的原长为2L；用天平测出重物的质量m（不超量程）。用游标卡尺测长度时如下图，
右图是左图的放大图（放大快对齐的那一部分），读数是 。
以上测量量的字母表示该金属的杨氏模量的表达式为： E = 。
【答案】 8.94mm
【详解】[1]游标卡尺上主尺读数为8mm，游标尺上第47个刻度与主尺上刻度对齐，所以读数为47×0．
02=0.94mm，故最后读数为
h=8mm+0.94mm=8.94mm
[2]由图中几何关系
由
解得所以该金属的杨氏模量的表达式为
