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第03课 奇偶性、对称性与周期性（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2022秋·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在 上单调递
增的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·高一单元测试）函数 在 单调递减，且为奇函数．若 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]
4．（2022秋·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考期中）设函数 是定义在实数集上的奇函数，在区间
上是增函数，且 ，则有
A． B．
C． D．
5．（2022秋·福建泉州·高一石狮市第一中学校考期中）已知 是定义在 ， 上的偶函数，且在 ，
上为增函数，则 的解集为
A． B． C． D．
6．（2022秋·高一课时练习）已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足 的 x 取值
范围是（ ）A． B． C． D．
7．（2023春·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知函数 为偶函数，且函数 在
上单调递增，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则下列说法
正确的是（ ）
A． 是周期为 的周期函数 B． 是周期为 的周期函数
C． 为奇函数 D． 为奇函数
9．（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考开学考试） 是定义在 上周期为4的函数，且
，则下列说法中正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当 时，
C． 图象的对称轴为直线
D．方程 恰有5个实数解
10．（2023春·高一单元测试）已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数
为奇函数，则（ ）
A．函数 是周期函数 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 为 上的偶函数 D．函数 为 上的单调函数
11．（2023春·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知 是定义在R上的偶函数，且对任意 ，有
，当 时， ，则（ ）
A． 是以2为周期的周期函数
B．点 是函数 的一个对称中心
C．
D．函数 有3个零点
12．（2020·全国·高三专题练习）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 ，都有 ， 为奇函数，且
时， ，下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图像关于点 中心对称
B． 是周期为2的函数
C．
D．三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条
件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称
图形的充要条件是函数 为奇函数，则 的图象的对称中心为 .
15．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
.① 是定义域为 的奇函数；② ；③ .
16．（2020·全国·高三专题练习）已知 ，函数 为偶函数，且在 上是减
函数，则关于 的不等式 的解集为 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
．
18．（2020秋·内蒙古包头·高一包头市第六中学校考期中）已知函数 的图象关于点
对称，则 ．
【二层练综合】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 满足 ，且 是奇函
数，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 是奇函数 D． 的图象关于点 对称
2．（2022·江西赣州·赣州市赣县第三中学校考模拟预测）已知定义在 的函数满足 ，，则下列结论正确的是（ ）
A． 不是周期函数
B． 是奇函数
C．对任意 ，恒有 为定值
D．对任意 ，有
3．（2022秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若函数 为偶函数，对任意的 ，且 ，
都有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·陕西安康·高三校考阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 都有
，当 时， ，则
A． B． C． D．
5．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数 满足
，且当 时， ，则下列不等式正确的是
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递减，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
．则下列结论正确的是（ ）．
A．当 时，
B．函数 有五个零点
C．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
D．对 ， 恒成立
8．（2023·全国·高三专题练习）关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）
A．对任意的a， 都不是偶函数 B．存在a，使 是奇函数
C．存在a，使 D．若 的图像关于 对称，则
9．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，
是偶函数，当 ，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 关于直线 对称
B．4是函数 的周期C．
D．方程 恰有4不同的根
10．（2023春·安徽·高二马鞍山二中校考阶段练习）已知函数 （ ）是奇函数，
且 ， 是 的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4
C． 是偶函数 D．
11．（2022春·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，f(x+1)=f(1-
x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=-x2+2x，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的图象关于直线x=1对称 B．当 时，
C．当 时，f(x)单调递增 D．
12．（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，
下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于直线 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为R上的奇函数，且 ，当 时，
，则 的值为 ．
14．（2022秋·山东菏泽·高一校考阶段练习）设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式
<0的解集为 .
15．（2021秋·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）设 是定义在R上以2为周期的偶函数，当 时， ，则函数
在 上的解析式是
16．（2022春·江西吉安·高二校联考阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于 ，都
有 ，且当 时， ，则 的值为 .
17．（2022·高二课时练习）已知函数 的图象是以点 为中心的中心对称图形，
，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线互相垂直，
则 ．
18．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）关于函数 ，有如下四个命题：
①若 ，则 的图象关于点 对称；
②若 的图象关于直线 对称，则 ；
③当 时，函数 的极值为 ；
④当 时，函数 有两个零点．
其中所有真命题的序号是 ．
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）函数 、 的定义域为 ， 的导函数
的定义域为 ，若 ， ， ， ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数，
为偶函数，记 ，且当 时， ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是定义在 上的函数，且 为奇函数， 为偶函
数，当 时， ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·陕西渭南·高一统考期末）已知函数 、 定义域均为 ，且 ，
为偶函数，若 ，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·广东茂名·统考二模）已知定义在 上的函数 满足 ，函数 为
奇函数，且对 ，当 时，都有 .函数 与函数
的图象交于点 ， ，…， ，给出以下结论，其中正确的是（ ）A． B．函数 为偶函数
C．函数 在区间 上单调递减 D．
6．（2023·山西大同·统考模拟预测）定义在R上的函数 ， 满足 ， ，
， ，则（ ）
A． 是函数 图象的一条对称轴
B．2是 的一个周期
C．函数 图象的一个对称中心为
D．若 ，且 ， ，则n的最小值为2
