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第 5 课时 实验二：探究弹簧弹力与形变量的关系
实验三：探究两个互成角度的力的合成规律
目标要求 1.会通过实验探究弹簧弹力与形变量的关系。2.进一步理解胡克定律，掌握以胡
克定律为原理的拓展实验的分析方法。3.会通过实验探究两个互成角度的力的合成规律，掌
握数据处理方法。
考点一 实验：探究弹簧弹力与形变量的关系
1．实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小
相等。
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大
小F，以横坐标表示弹簧的 伸长量 x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，
用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可得出弹力大小与形变量间的关系。
2．实验器材
铁架台、弹簧、刻度尺、钩码若干、坐标纸等。
3．实验步骤
(1)将弹簧的一端挂在铁架台上，让其自然下垂，用刻度尺测出弹簧自然伸长状态时的长度
l，即原长。
0
(2)如图所示，在弹簧下端挂质量为m 的钩码，测出此时弹簧的长度l ，记录m 和l ，得出
1 1 1 1
弹簧的伸长量x，将这些数据填入自己设计的表格中。
1(3)改变所挂钩码的质量，测出对应的弹簧长度，记录 m 、m 、m 、m 和相应的弹簧长度
2 3 4 5
l、l、l、l，并得出每次弹簧的伸长量x、x、x、x。
2 3 4 5 2 3 4 5
钩码个数 长度 伸长量x 钩码质量m 弹力F
0 l
0
1 l x＝l－l m F
1 1 1 0 1 1
2 l x＝l－l m F
2 2 2 0 2 2
3 l x＝l－l m F
3 3 3 0 3 3
… … … … …
4.数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作
图。用平滑的曲线(包括直线)连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式。首先尝试一次函数，如果不
行则考虑二次函数。
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义。
5．注意事项
(1)不要超过弹簧的弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，
超过弹簧的弹性限度。
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作
的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点。
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。
例1 一兴趣小组想测量某根弹性绳的劲度系数(弹性绳的弹力与形变量的关系遵守胡克定
律)。他们设计了如图甲所示实验：弹性绳上端固定在细绳套上，结点为O，刻度尺竖直固
定在一边，0刻度与结点O水平对齐，弹性绳下端通过细绳连接钩码，依次增加钩码的个数，
分别记录下所挂钩码的总质量m和对应弹性绳下端P的刻度值x，如表所示：
钩码质量m/g 20 40 60 80 100 120
P点刻度值x/cm 5.53 5.92 6.30 6.67 7.02 7.40
(1)根据表中所给数据，在图乙中充分利用坐标纸，作出m－x图像；(2)请根据图像数据确定：弹性绳原长约为______ cm，弹性绳的劲度系数约为____ N/m(重力
加速度g取10 m/s2，结果均保留三位有效数字)；
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点 O，则由实验数据得到的劲度系数将
________(选填“偏大”“偏小”或“不受影响”)；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数
时视线保持水平，则由实验数据得到的劲度系数将________(选填“偏大”“偏小”或“不
受影响”)。
答案 (1)见解析图 (2)5.15(5.10～5.20均可) 53.3(52.2～54.5均可) (3)不受影响 偏小
解析 (1)作出m－x图像如图；
(2)根据图像数据确定：弹性绳原长约为5.15 cm，弹性绳的劲度系数约为k＝＝＝
N/m≈53.3 N/m
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，不影响直线的斜率，则由实验数据
得到的劲度系数将不受影响；若实验中刻度尺没有完全竖直，而读数时视线保持水平，则测
得的弹簧伸长量偏大，则由实验数据得到的劲度系数将偏小。
例2 (2021·广东卷·11)某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，
固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过
程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200 g的钢球(直径略小于玻璃
管内径)逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数n和弹簧上
端对应的刻度尺示数L ，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差
n
法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。n 1 2 3 4 5 6
L/cm 8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
n
(1)利用ΔL＝L －L(i＝1,2,3)计算弹簧的压缩量：ΔL ＝6.03 cm，ΔL ＝6.08 cm，ΔL ＝
i i＋3 i 1 2 3
________ cm，压缩量的平均值＝＝________ cm；
(2)上述是管中增加________个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
(3)忽略摩擦，重力加速度g取9.80 m/s2，该弹簧的劲度系数为________ N/m(结果保留3位
有效数字)。
答案 (1)6.04 6.05 (2)3 (3)48.6
解析 (1)ΔL＝L－L＝(18.09－12.05) cm
3 6 3
＝6.04 cm
压缩量的平均值为＝
＝ cm＝6.05 cm
(2)因三个ΔL是相差3个钢球的压缩量之差，则所求平均值为管中增加3个钢球时产生的弹
簧平均压缩量；
(3)根据钢球的平衡条件有3mgsin θ＝k·，
解得k＝＝ N/m
≈48.6 N/m。
考点二 实验：探究两个互成角度的力的合成规律
1．实验原理
如图所示，分别用一个力F、互成角度的两个力F 、F ，使同一条一端固定的橡皮条伸长到
1 2
同一点O，即伸长量相同，根据合力的定义，F为F 和F 的合力，作出力F及F 、F 的图
1 2 1 2
示，分析F、F 和F 的关系。
1 2
2．实验器材
方木板，白纸，弹簧测力计(两个)，橡皮条，小圆环，细绳套(两个)，三角板，刻度尺，图
钉(若干)，铅笔。3．实验步骤
(1)装置安装：在方木板上用图钉固定一张白纸，如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，
另一端固定，橡皮条的原长为GE。
(2)两力拉：如图乙，在小圆环上系上两个细绳套，用手通过两个弹簧测力计互成角度地共
同拉动小圆环，小圆环处于O点，橡皮条伸长的长度为EO。用铅笔描下O点位置、细绳套
的方向，并记录两弹簧测力计的示数F、F。
1 2
(3)一力拉：如图丙，改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环，仍使它处于O点，记下细绳套
的方向和弹簧测力计的示数F。
(4)重复实验：改变拉力F 和F 的大小和方向，重复做几次实验。
1 2
4．数据处理
(1)用铅笔和刻度尺从点O沿两细绳套的方向画直线，按选定的标度作出F、F 和F的图示。
1 2
(2)以F 和F 为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线代表
1 2
的力记为F′，如图丁。
(3)分析多次实验得到的多组数据，比较F与F′在误差允许的范围内是否完全重合，从而总
结出两个互成角度的力的合成规律：平行四边形定则。
5．注意事项
(1)弹簧相同：使用弹簧测力计前，要先观察指针是否指在零刻度处，若指针不在零刻度处，
要设法调整指针，使它指在零刻度处，再将两个弹簧测力计的挂钩钩在一起，向相反方向拉，
两个测力计的示数相同方可使用。
(2)位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时小圆环的位置一定要相同。
(3)角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也
不宜太大，以60°～120°之间为宜。
(4)尽量减少误差：在合力不超出弹簧测力计的量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一
些；细绳套应适当长一些，便于确定力的方向。
(5)统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使
力的图示稍大一些。
例3 (2023·黑龙江哈师大附中检测)在“探究两个互成角度的力的合成规律”实验中，实
验装置及实验过程如图甲、乙、丙所示，E为橡皮筋原长时小圆环的位置，O为实验时小圆
环被拉至的位置。(1)图丁中弹簧测力计的示数为________ N；
(2)在实验过程中，不必记录的有________；
A．甲图中E的位置
B．乙图中O的位置
C．OB、OC的方向
D．弹簧测力计的示数
(3)下列选项中，与本实验要求相符的是________；
A．两细绳OB、OC夹角越大越好
B．读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度
C．实验时，只需保证两次橡皮筋伸长量相同即可
(4)某次实验记录纸如图戊所示，拉力F 和F 的方向分别过P 和P 点，拉力F的方向过P
1 2 1 2
点；三个力的大小分别为：F＝2.70 N、F＝2.30 N和F＝4.00 N，得出正确实验结论后，请
1 2
根据实验结论和图中给出的标度：①在图中作出F 和F 的合力；②根据作图求出该合力大
1 2
小为________ N。
答案 (1)2.35 (2)A (3)B (4)①见解析图
②3.99
解析 (1)弹簧测力计最小分度值为0.1 N，估读到0.01 N，题图丁中读数为2.35 N。
(2)必须要记录的有两个分力F 和F 的大小和方向、合力F的大小和方向，力的大小通过弹
1 2
簧测力计读出，两次都要使小圆环被拉到O点位置，所以必须记录的有B、C、D；不需要
记录的是题图甲中E的位置，故选A。
(3)两个细绳OB、OC夹角要适当大一些，但不能太大，合力一定时，两分力夹角太大导致
两分力太大，测量误差变大，A错误；读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度，规范操作，
B正确；实验时，不仅需保证两次橡皮筋伸长量相同，还必须都是沿竖直方向伸长至O点才
行，C错误。
(4)①由于标度已经选定，作图时要保证表示F 、F 的线段长度分别为标度的2.7倍和2.3倍，
1 2
作图如图所示；②量出作图法求出的合力长度约为标度的3.99倍，所以合力大小为3.99 N。
例4 (2024·广东珠海市斗门一中月考)有同学利用如图所示的装置来探究两个互成角度的
力的合成规律：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮 A和B，将绳子打一个结点
O，每个钩码的重力相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力 F、F 和
1 2
F，回答下列问题：
3
(1)改变钩码个数，实验可能完成的是________(填正确答案前的字母)。
A．钩码的个数N ＝N ＝2，N ＝5
1 2 3
B．钩码的个数N ＝N ＝3，N ＝4
1 3 2
C．钩码的个数N ＝N ＝N ＝4
1 2 3
D．钩码的个数N ＝3，N ＝4，N ＝5
1 2 3
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是________(填选项前字母)。
A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向
B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为________(填“甲”或“乙”)是正确的。
答案 (1)BCD (2)A (3)甲
解析 (1)实验中的分力与合力的关系必须满足：|F －F|≤F≤F ＋F(等号在反向或同向时
1 2 3 1 2
取得)，因此B、C、D三项都是可以的。
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向。
(3)F 的方向一定竖直向下，由于测量误差，F 和F 的合力方向可能偏离竖直方向，所以甲
3 1 2
是正确的。
课时精练
1．(2023·全国乙卷·22)在“验证力的平行四边形定则”的实验中使用的器材有：木板、白纸
两个标准弹簧测力计、橡皮条、轻质小圆环、刻度尺、铅笔、细线和图钉若干。完成下列实
验步骤：
(1)用图钉将白纸固定在水平木板上。
(2)将橡皮条的一端固定在木板上，另一端系在轻质小圆环上。将两细线也系在小圆环上，
它们的另一端均挂上测力计。用互成一定角度、方向平行于木板、大小适当的力拉动两个测
力计，小圆环停止时由两个测力计的示数得到两拉力F 和F 的大小，并________。(填正确
1 2
答案标号)
A．用刻度尺量出橡皮条的长度
B．用刻度尺量出两细线的长度
C．用铅笔在白纸上标记出小圆环的位置
D．用铅笔在白纸上标记出两细线的方向
(3)撤掉一个测力计，用另一个测力计把小圆环拉到________，由测力计的示数得到拉力F
的大小，沿细线标记此时F的方向。
(4)选择合适标度，由步骤(2)的结果在白纸上根据力的平行四边形定则作F 和F 的合成图，
1 2
得出合力F′的大小和方向；按同一标度在白纸上画出力F的图示。
(5)比较F′和F的________，从而判断本次实验是否验证了力的平行四边形定则。
答案 (2)CD (3)相同位置 (5)大小和方向
解析 (2)将橡皮条的一端固定在木板上，另一端系在轻质小圆环上。将两细线也系在小圆
环上，它们的另一端均挂上测力计。用互成一定角度、方向平行于木板、大小适当的力拉动
两个测力计，小圆环停止时由两个测力计的示数得到两拉力F 和F 的大小，还需要用铅笔
1 2
在白纸上标记出小圆环的位置以及用铅笔在白纸上标记出两细线的方向，故选C、D。
(3)撤掉一个测力计，用另一个测力计把小圆环拉到相同位置，由测力计的示数得到拉力 F
的大小，沿细线标记此时F的方向。
(5)比较F′和F的大小和方向，从而判断本次实验是否验证了力的平行四边形定则。
2．(2023·安徽省5月检测)如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码
探究在弹性限度内弹簧弹力与伸长量的关系。(1)实验中还需要的测量工具是______________。
(2)如图乙所示，根据实验数据绘图，纵轴是钩码的质量m，横轴是弹簧的形变量x。由图可
知：图线不通过坐标原点的原因是______________________；弹簧的劲度系数 k＝
________N/m(重力加速度g取10 m/s2)。
(3)如图丙所示，实验中用两根不同的弹簧a和b得到弹簧弹力F与弹簧长度L的关系图像。
下列说法正确的是________。
A．a的原长比b的长
B．a的劲度系数比b的大
C．a的劲度系数比b的小
D．弹力与弹簧长度成正比
答案 (1)刻度尺 (2)见解析 5 (3)B
解析 (1)本实验需要测弹簧的长度、形变量，故还需要的测量工具是刻度尺。
(2)由题图可知，当m＝0时，x大于零，说明没有挂钩码时，弹簧伸长，是由弹簧自身的重
力造成的。k＝＝，代入数据解得k＝5 N/m。
(3)F－L图像中横截距表示弹簧的原长，故b的原长比a的长，故A错误；F－L图像的斜率
表示弹簧的劲度系数k，故a的劲度系数比b的大，故B正确，C错误；弹簧的弹力满足胡
克定律，弹力与弹簧的形变量成正比，故D错误。
3．(2023·河北唐山市开滦第二中学期末)在“探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测定弹簧的
劲度系数”的实验中，实验装置如图甲所示。所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了水
平向左的恒定拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子
的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)通过以上实验把6组测量数据在坐标图乙中描点，请作出F－L图线。(2)由此图线可得出该弹簧的原长L＝______ cm，劲度系数k＝________ N/m。
0
(3)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较。优点在于：避免弹簧自身所受
________________对实验的影响；缺点在于：弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的
______________会造成实验误差。
答案 (1)见解析图 (2)5 20 (3)重力 摩擦力
解析 (1)如图所示
(2)当弹力为0时，弹簧的形变量为0，此时弹簧长度等于原长，可知弹簧原长为L ＝5 cm，
0
根据胡克定律可知k＝，可知图线的斜率表示劲度系数，即k＝＝ N/m＝20 N/m。
4．(2023·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)某同学利用如图甲所示的装置来验证力的
平行四边形定则，该同学的实验步骤为：
(1)在竖直木板上固定一张白纸，木板上固定两个光滑的定滑轮，两个物块通过轻绳被弹簧
测力计拉住而处于静止状态，O为OA、OB、OC三根轻绳的结点，此时弹簧测力计读数如
图乙所示，则F ＝________N；
弹
(2)此实验还需记录的有________；
A．两个物块的重力
B．OA、OB、OC的方向
C．OA、OB、OC的长度(3)由记录的物理量选择合适的标度画平行四边形来验证结论是否成立；
(4)改变弹簧测力计拉力 F 的大小，重复实验，再次验证力的平行四边形定则时，
弹
__________(填“需要”或“不需要”)保证结点O的位置与第一次相同。
答案 (1)4.0 (2)AB (4)不需要
解析 (1)弹簧测力计读数为4.0 N；
(2)验证力的平行四边形定则需测量合力和分力的大小和方向，故选A、B；
(4)因为每一次都是独立的实验，对绳结受力平衡即可，故不需要保证结点O的位置与第一
次相同。
5．(2022·湖南卷·11)小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了
如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下：
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g；
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表：
序号 1 2 3 4 5
硬币数量n/枚 5 10 15 20 25
长度l/cm 10.51 12.02 13.54 15.05 16.56
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线；
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此
时橡皮筋的长度为________ cm；
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为______ g(计算结果保留3位有效数字)。
答案 (3)见解析图 (4)15.35 (5)128
解析 (3)根据表格数据描点连线如图；(4)由题图(c)可知刻度尺的分度值为1 mm，
故读数l＝15.35 cm；
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为l，则
0
nmg＝k(l－l)，nmg＝k(l－l)
1 1 0 2 2 0
则橡皮筋的劲度系数为k＝
从作出的l－n图线读取数据则可得
k＝＝mg (N/cm)，
l＝＝9.00 cm
0
设冰墩墩的质量为m，则有mg＝k(l－l)
1 1 0
可得m＝×6.05×(15.35－9.00) g≈128 g。
1
6．(2024·辽宁沈阳市一模)某同学在家中利用一个挂钟表盘探究“力的平行四边形定则”。
实验器材有橡皮筋、重6 N的小铁块、轻弹簧、细线、直尺、挂钟表盘。实验步骤如下：
①在轻弹簧下挂小铁块，平衡时弹簧伸长6.0 cm。
②如图甲所示，将表盘竖直固定，橡皮筋上端固定在表盘的“12”处，下端拴上两根细线套
a、b(未画出)，先用弹簧竖直向下拉细线套a，使橡皮筋下端至表盘中心O点处，此时弹簧
伸长了10.0 cm，将此时拉橡皮筋的力记为F。该同学取弹簧伸长2 cm为单位力长度，在表
盘上过O点作出了力F的图示。
③如图乙所示，再将小铁块挂在细线套b上，并将其搭在表盘“4”处的光滑钉子上，用弹
簧拉细线套a，调整弹簧拉力的大小和方向，使橡皮筋下端到达O点时，细线套a正好经过
表盘“7”处，此时弹簧伸长了8.2 cm，将弹簧的拉力记为F，铁块的拉力记为F。
1 2
请回答下列问题：
(1)弹簧的劲度系数为__________ N/m。(计算结果取两位有效数字)(2)实验中两次拉橡皮筋时都使其下端到达O点的目的是________。
A．让橡皮筋伸长适当长度
B．防止超过橡皮筋的弹性限度
C．保证两次拉橡皮筋的力效果相同
(3)该同学在图乙中画出F 和F 的力的图示，如图丙所示。
1 2
(4)随后该同学采用两种方案来分析实验数据。
方案一：在表盘上，分别将F 、F 两个力的图示的箭头与F的力的图示的箭头连成一个四
1 2
边形，观察这个四边形，若四边形非常接近__________，则猜想求两个力合力的方法可以采
用平行四边形定则；
方案二：在表盘上，以F 、F 两力为邻边作出平行四边形，如图丙所示，若其对角线对应
1 2
的力 F′与 F 的偏差在误差允许范围内，则该同学验证了力的平行四边形定则，其中
__________是F、F 两力的合力的理论值。
1 2
答案 (1)1.0×102 (2)C (4)平行四边形 F′
解析 (1)在第①步，由胡克定律F＝kΔx可得弹簧的劲度系数为k＝＝1.0×102 N/m；
(2)为了保证两次拉橡皮筋的力效果相同，则第二次拉橡皮筋时也使其下端到达O点，故选
C。
(4)探究力的平行四边形定则，在力的图示中，两个分力与合力构成的四边形接近平行四边
形，因为存在实验误差，合力的理论值是根据力的平行四边形定则这个理论作出来的，所以
F′是F、F 两力的合力的理论值。
1 2
