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第 06 讲 圆的证明与计算
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024·湖北·模拟预测）△ABC的三边AB，AC，BC的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，2.4为
半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
2．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线?”甲乙的作
法如图：
甲的作法连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点
乙的作法连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分
别，以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧
G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于
交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM．直
M，作直线PM．直线PM即为所求．
线PM即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误．
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误
3．（2025·湖北·一模）如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，D是B´C的中点，P是A´C上的动点（不
与点A，C重合），连接PD交AC于点E，则∠DEC的度数可能是（ ）
A．20° B．25° C．55° D．95°
4．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF和正六边形GHIJKL均以点O为中心，连接
AG，BH，CI，DJ，EK，FL（A，G，H三点共线），若CI=2,IJ=3，则正六边形ABCDEF的
边长为（ ）
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A．√3 B．5 C．√19 D．19
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）中国太极图中，黑色和白色均衡对称、稳定和谐地组成了一幅美丽的图画．
如图，太极图内切于正六边形ABCDEF中，则图中黑色部分的面积与正六边形ABCDEF的面积之比是
（ ）
√3π √3 √3π √3
A． B． C． D．
12 12 6 6
6．（2025·河南周口·一模）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，以点A为圆心，AC的长为半径作
⏜ ，再以点 为圆心， 的长为半径作 ⏜ ，若 ，则图中阴影部分的面积是（ ）
D CD AB=1
CE CE
5π 5π π π
A． B．2√3− C．2√3− D．2√3+
6 6 6 6
7．（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在
y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO=120°，AB=4，则圆心点D的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
(√3，1) (−√3，1) (−1，√3) (−2，2√3)
8．（24-25九年级上·北京丰台·期末）勾股容圆记载于《九章算术》，是关于直角三角形的三边与其内切
圆的直径的数量关系的研究．刘徽用出入相补原理证明了勾股容圆公式，其方法是将4个如图1所示的全
等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）沿其内内切圆心与顶点、切点的连线裁开，拼成如图2
所示的矩形（无缝隙、不重叠），再根据面积的关系可求出直角三角形的内切圆的直径d（用含a，b，c
的式子表示）为（ ）
2ab ab ab 2c
A．d= B．d= C．d= D．d=
a+b+c a+b+c 2(a+b+c) a+b+c
9．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，将劣弧CD沿弦CD折叠，折叠后的弧恰好与AB相
切于OB的中点M，若CD=√11，则⊙O的半径为（ ）
5
A．1 B．2 C． D．4
2
1
10．（2024·浙江宁波·二模）如图△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AD= AB=a，直线BD与直线
3
CE交于点P，在△ABC与△ADE绕点A任意旋转的过程中，P到直线BC的距离的最小值为（ ）
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3 7 5
A．√2a B． √2a C． √2a D． √2a
2 6 4
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·云南怒江·一模）某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线
长为9cm，底面圆的直径为8cm，则该圆锥的全面积为 cm2．
12．（2024·江苏扬州·一模）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，AE分别相切于点F，G．点H是
优弧FmG上任意一点，则∠FHG= °．
13．（23-24九年级下·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=58°，△ABC的内切圆⊙O与AB，
AC分别相切于点D，E，连接DE，BO的延长线交DE于点F，则∠BFD= ．
14．（2024·云南昆明·一模）如图，⊙O的直径为20，弦AB=16 ， P是弦AB上一动点，则OP长的取
值范围是 ．
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15．（2023·陕西西安·一模）如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一
点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当AB取最大值
时，点A的坐标为 ．
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点D为AC边上一动点，点E为BC上一点，且满足
，连接 ， ，当线段 的长度最小时，S 的值为 ．
AD=CE AE BD CF △ABF
S
△ABC
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，
BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．ED=EG，若AB=2√7，OG=2，求⊙O的半径．
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18．（2025·广东揭阳·一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为OA延长线上一点，E为OA
上一点，延长CE交⊙O于点F，已知CD=DE，CD为⊙O的切线．
(1)求∠BCF的度数；
(2)过点A作AG⊥CF，垂足为G，若BC=4OG=4，求CF．
19．（2025·广东·模拟预测）如图，点D，E在以AC为直径的⊙O上，∠ADC的平分线交⊙O于点B，
连接BA，EC，EA，过点E作EH⊥AC，垂足为H，交AD于点F．
(1)求证：AE2=AF⋅AD；
2√5
(2)若sin∠ABD= ，AB=5，求S ．
5 △BOG
20．（2024·山西·中考真题）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行
研究．
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研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、
相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形
（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边
形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么
AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
(2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并
说明理由；
(3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
21．（2024·云南昆明·一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BC，连接BD，
过点D的直线与CA的延长线交于点E，且∠EDA=∠ECD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)以下与线段AD，线段CD，线段BD有关的三个结论：①AD+CD=BD，
②AD+CD=√2BD，③AD+
CD=√3BD，你认为哪个正确？请说明理由．
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22．（2025·江西·模拟预测）如图1，在⊙O中，直径AB=6，P是线段AB延长线上的一点，PC切⊙O
于点C，D是⊙O上一点，切PC=PD，连接AC，BD．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)当∠CPD=90°时（如图2），求BP的长；
(3)若四边形ACPD是菱形（如图2），求弧CD与线段PC，PD围成的阴影图形的面积．
23．（2025·湖南娄底·模拟预测）圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常
常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线l 与直线l 交于点O，点A、B分别在直线l 、l 上运动，
1 2 1 2
点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知S =4．
△ABC
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(1)如图1，若OB=2，∠AOB=∠ABC=90°，①写出以AC为直径的圆与直线l 交点个数；②求OC的最
2
大值；
(2)如图2，若OA=2，∠AOB=∠BAC=120°，求OC的最大值
24．（2025·陕西西安·一模）（1）如图1，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D为BC上一
点，DE⊥AB于点 E，若BE=3，则DE= ．
（2）如图2，在锐角△ABC中（AB
