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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一平移
1.在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，点 的坐标为 ，点 在 轴上，把 沿 轴向右平移到 ，若四
边形 的面积为9，则点 的坐标为_______．
3.如图，把 沿 边平移到 的位置，图中所示的三角形的面积 与四边
形的面积 之比为4∶5，若 ，则此三角形移动的距离 是____________．
4.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，
的三个顶点 、 、 均在格点上
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（1）将 向左平移 个单位得到 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
题型二对称
5.在平面直角坐标系中，点 与点 关于y轴对称，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
6.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
A． B． C． D．
7.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
8.下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
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A． B． C． D．
10.如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（
）
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
11.如图，在扇形 中， 平分 交狐 于点 ．点 为半径
上一动点若 ，则阴影部分周长的最小值为__________．
12. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点
，M，N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小
值是______．
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13.如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是
（1）将 向上平移4个单位长度得到 ，请画出 ；
（2）请画出与 关于 轴对称的 ；
（3）请写出 的坐标．
题型三旋转
14.如图，将 绕点 逆时针旋转70°到 的位置，若 ，则
（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
15.如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到
．此时恰好点C在 上， 交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（
）
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A． B． C． D．
16.如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C
（2，1）．（1）把 向左平移4个单位后得到对应的 ABC，请画出平移后的
1 1 1
ABC；
1 1 1
（2）把 绕原点O旋转180°后得到对应的 ABC，请画出旋转后的 ABC；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知， ABC 与 ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
17.已知 和 都是等腰直角三角形 ，
．
（1）如图1：连 ，求证： ；
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（2）若将 绕点O顺时针旋转，①如图2，当点N恰好在 边上时，求证：
；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长．
18.(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说
明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线
段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
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19．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开
展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得到：
， ， ； ， ，
（ ）
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刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不
变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转
到达扇形纸板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位
于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此
时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．
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20．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形 中，点 在边 上，点
是 的中点，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)将 绕点 逆时针旋转，使点 的对应点 落在 上，连接 ．当点 在边
上运动时（点 不与 ， 重合），判断 的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，已知 ，当 时，求 的长．
21．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何
问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的
点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马
点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和
“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中
选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
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由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故
，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小
值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图
3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点
P为 的“费马点”，求 的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知
．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺
设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ ，a元/ ， 元/
，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的
式子表示）
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22．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一
步进行以下探究活动：在正方形 的边 上任意取一点G，以 为边长向外作正方
形 ，将正方形 绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当 在 上时，连接 相交于点P，小红发现点P恰为 的中点，如图①．
针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接 ，并延长与 相交，发现交点恰好也是 中点P，如图②，根据
小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形 绕点B顺时针旋转 ，连接 ，点P是 中点，连接 ，
， ， 的形状是否发生改变？请说明理由．
23.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S 与
△ABC
S 的比是否为定值．
△ADC
（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S ：S 是否为定值？如果是，求出
△ABC △ADE
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此定值，如果不是，说明理由．（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S ：S 是否为
△ABC △ADE
定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n
为常数），S ：S 是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写
△ABC △ADE
出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）
题型四位似
24.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是 ， ， ，以
原点为位似中心，在原点的同侧画 ，使 与 成位似图形，且相似比为
2：1，则线段DF的长度为（ ）
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A． B．2 C．4 D．
25.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的
面积比为（ ）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
26.如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的
一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
ABC A(1,3),B(4,1),C(1,1)
27.在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是 ．
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ABC △ABC ABC
1 1 1
（1）画出 关于x轴成轴对称的 ；（2）画出 以点O为位似中心，
△A B C
位似比为1∶2的 2 2 2．
14
