文档内容
2025-2026 学年湖南省天一联考高三（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，0] C．[0，3） D．[1，3）
2．（5分）在复平面内， 对应的点位于（ ）
3
1−2
A．第一象限 B =．第二 象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，设甲：f（x）＝f（|x|），乙：f（x）是偶函数，则甲是乙的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E上的动点，点A（2026，45），则|PA|+|PF|的最小值
为（ ）
A．841 B．2026 C．2027 D．4111
6．（5分）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱
的体积，若三者的体积之和为144 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． π C． D．
7．（5分4）3已5 知函数f（x）＝x4aax（37a N*，a＞1），记f9（x3）5 的非零极值点为9t，则37取 t最大值时，a＝（ ）
A．2 B．3 ∈ C．4 D．5
8．（5分）设A，B是两个随机事件，已知 ， ， ，记C＝A∪B，则P（A|C）
3 2 2
＝（ ） ( )= 5 ( )= 3 ( | )= 5
A． B． C． D．
6 1 9 3
二、多项
13
选择题：本题共3小
2
题，每小题6分，共1183 分。在每小题给出的
4
选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在菱形ABCD中， ，点E，F满足 ， ，则（ ）
→ → → → → → →
1 2
⋅ = =2 =3
2
第1页（共19页）A．∠BAD＝60° B．EF∥BD
C． D．
→ → → → → →
1 1 1 2
（多选） 1 = 0．2（ 6 分−）3已 知a＞b＞c＞1，且log2a，log 2 b，⋅ lo g = 2c6成 等 比数列，则（ ）
A．b2＞ac
B． ＜
+
C．1+log22a，1+log2b，1+log2c不可能成等比数列
D．log2a，1+log2b，2+log2c可能成等比数列
（多选）11．（6分）已知f（x），g（x）均为奇函数，f（x+1）﹣1是奇函数，g（x+1）﹣x是偶函数，且
当x [0，1]时，f（x）＝g（x）＝x2，则（ ）
∈
A．
3 5
B．对 (任2 )意+ n ( N2*)，= f（4 n）＝g（n）＝n
C．当且仅当∈x [4k﹣1，4k+1]（k Z）时，f（x）＝g（x）
∈ ∈
D．|f（x）﹣g（x）|
1
三、填空题：本题共3小≤题2 ，每小题5分，共15分。
12．（5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（2，σ2），且 ＜ ＞ ，则 P（2＜X＜4）
1
＝ ． ( 0)= 5 ( 0)
13．（5分）已知 ＞0，函数 在区间 ， 上单调递增，则 的最大值为 ．
ω ( )= + 3 (0 ) ω
14．（5 分）若对任意 t R，点 ， 总在一3个椭圆上运动，则该椭圆的离心率
∈ ( ( + ) )
为 ． 3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统
计如下：
非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣
男生 100 60 40
女生 50 50 100
（1）从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为A，事件“该学生对象棋不
感兴趣”为B，求P（B）和P（B|A）；
第2页（共19页）（2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”
分类，根据小概率值 ＝0.01的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？
α
附： ．
2
2 ( − )
=
P（χ( 2≥+ k)）( + )( + )( + 0).050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2﹣a2＝bc．
（1）证明：2C＝A+ ；
（2）若△ABC的面积π为 ， ，求b．
2+2 3 =
17．（15分）如图，AC，BD为圆柱的母线6，CD，AB分别为圆柱上、下底面的直径，点F在下底面圆周
上（不与A，B重合），E为BF的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面FBD；
（2）若AB＝AC＝2AF＝4，求平面ACE与平面CDF的夹角的余弦值．
18．（17分）已知函数 ．
2
（1）当f（x）为偶 函( 数)时=，2求+曲 线 y −＝ f（ + x） (在 点∈（ ) ，f（ ））处的切线方程；
（2）若a＝﹣1，证明：f（x）≥x； π π
（3）若实数a，b使得 对任意x R恒成立，当b取最大值时，求a．
1
( )≥ + ∈
2
19．（17分）已知双曲线E： ＞，＞ 的左、右顶点分别为A（﹣2，0）和B（2，0），过
2 2
右焦点F且垂直于x轴的直2线−与2E=交1于( M，0N 两点0，) 其中点M在第一象限，|MN|＝12．
（1）求E的方程．
（2）已知点P，Q在直线AM上，满足 ，记点P的横坐标为m．
→ →
（i）求点Q的坐标（用m表示）； ⋅ =22
（ii）若PQ的中点S在△ABN的外接圆内，求|PQ|的取值范围．
第3页（共19页）2025-2026 学年湖南省天一联考高三（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A C D B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BCD ABD
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|2x≥1}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，0] C．[0，3） D．[1，3）
【分析】根据一元二次不等式的解法、指数函数的单调性，结合交集的定义进行求解即可．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}＝（﹣2，3），
B＝{x|2x≥1}＝{x|x≥0}＝[0，+∞），
故A∩B＝[0，3）．
故选：C．
2．（5分）在复平面内， 对应的点位于（ ）
3
1−2
A．第一象限 B =．第二 象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数乘方及除法求出复数z，再求出z对应点的坐标即可．
【解答】解：在复平面内， 对应的点为（2，﹣1），位于第四象限．
3
1−2 2
故选：D． = =−2 − =2−
3．（5分）若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】利用等差数列的性质与前n项和性质计算即可．
【解答】解：一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，
第4页（共19页）记数列为{an}，前n项和为Sn ，则S5 ＝5a3 ＝15，
解得a3 ＝3，公差d＝a4 ﹣a3 ＝2，
∴a1 ＝a3 ﹣2d＝﹣1．
故选：A．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，设甲：f（x）＝f（|x|），乙：f（x）是偶函数，则甲是乙的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由偶函数的定义，以及充要条件的概念即可判断．
【解答】解：因为对任意x R，若f（x）＝f（|x|），
则f（﹣x）＝f（|﹣x|）＝f（∈|x|）＝f（x），所以f（x）是偶函数，
反之，若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），
当x≥0时，|x|＝x，有f（x）＝f（|x|），
当x＜0时，|x|＝﹣x，有f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|），
所以甲是乙的充要条件．
故选：A．
5．（5分）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E上的动点，点A（2026，45），则|PA|+|PF|的最小值
为（ ）
A．841 B．2026 C．2027 D．4111
【分析】根据抛物线的定义计算即可．
【解答】解：抛物线E：y2＝4x，准线方程x＝﹣1，
注意到452＝2025＜4×2026，故A在E内，过点P作E的准线的垂线，垂足为H，
过点A作E的准线的垂线，垂足为A′，
第5页（共19页）故PA|+|PF|＝|PA|+|PH|≥|AA′|＝2027，当且仅当点P在线段AA′上时等号成立，
即|PA|+|PF|的最小值为2027．
故选：C．
6．（5分）已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆柱
的体积，若三者的体积之和为144 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． π C． D．
【分4析3】5设 三者半径均为r4，3根7 据圆锥、圆柱、球9的3体5 积公式结合题设可9求3得7 r＝3，再求得圆锥的高、
母线长，进而根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【解答】解：不妨设圆柱、圆锥的底面半径和球的半径均为r，
由题意知故圆锥的体积为2 r3，而球的体积为 ，
4 3
圆柱的高为2r，故其体积为π 2r• r2＝2 r3，
3
π π
故 ，解得r＝3，
3 4 3 16 3
144 =4 + =
记圆锥的高为h，由3 3 ，得h＝6r，
3 1 2
2 = ⋅ℎ
故圆锥的母线长 3 ，
2 2
于是圆锥的侧面积 = +ℎ = 37 =3 37 ．
故选：D． = = ×3×3 37=9 37
7．（5分）已知函数f（x）＝xaax（a N*，a＞1），记f（x）的非零极值点为t，则取t最大值时，a＝（ ）
A．2 B．3 ∈ C．4 D．5
【分析】求导，令f′（x）＝0，得出 ，设 ，再求导分析单调性，则可得t的最大
=− ( )=−
值，以及此时a的值．
【解答】解：f′（x）＝axa﹣1ax+xaaxlna＝xa﹣1ax（a+xlna），
令f′（x）＝0，得 或x＝0，则 ．
=− =−
设 ，a＞1，则 ，
−1
( )=− ′ ( )=− 2
当a （1，e ） 时，g′（a）＞0，g（( a） )单调递增，
当a∈（e，+∞）时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，
由g∈（a）的单调性可知，当a为整数时，最大值在a＝2或a＝3处取得，
又 ＜ ，
2 4
(2)=− =− = (4) (3)
2 4
第6页（共19页）故 ， ．
3
故选 =：− B ． 3 =3
8．（5分）设A，B是两个随机事件，已知 ， ， ，记C＝A∪B，则P（A|C）
3 2 2
＝（ ） ( )= 5 ( )= 3 ( | )= 5
A． B． C． D．
6 1 9 3
【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可．
13 2 13 4
【解答】解：根据题意，P（A） ，则 ，
3 2
= ( )=1− ( )=
而P（ |B） P（ ） ，5变形可得P（ B）＝P（5）P（B），
( ) 2
故事件 、B =相互 (独 )立=，故事 件= A5，B相互独立，
则有 ，
3 2 2
( )= ( ) ( )= × =
5 3 5 ，
3 2 2 13
又(因 )为= C ＝( A ∪∪ B )，=故 ( A ∩)+ C＝ ( A ，)− ( )= 5 + 3 − 5 = 15
所以 ．
3
( ) ( ) 5 9
( | )= = = 13 =
( ) ( ) 13
故选：C． 15
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）在菱形ABCD中， ，点E，F满足 ， ，则（ ）
→ → → → → → →
1 2
A．∠BAD＝60° ⋅ = B2． E F∥BD =2 =3
C． D．
→ → → → → →
1 1 1 2
= − ⋅ =
【分析】根2 据数量3积的定义结合 • 判断选项A；6 由题意判断E，F的位置，利用反证的思
→ → →
1 2
想判断选项B；根据向量线性运算 判断 选=项2C ； 根据数量积的运算律判断选项D．
【解答】解：对于A，菱形ABCD中，由 • | || |cos∠BAD cos∠BAD ，
→ → → → → →
2 1 2
= = =
解得cos∠BAD ，所以∠BAD＝60°，选项A正确； 2
1
=
2
对于B，由 2 ，得E是CD的中点，由 3 ，知F是BC上靠近点C的三等分点，
→ → → →
= =
第7页（共19页）若EF∥BD，则F为BC的中点，与F是BC的三等分点矛盾，选项B错误；
对于C， ，选项C正确；
→ → → → → → →
1 1 1 1
= + = − = −
对于D， • （ 2 ）3 •（ 2 ）3
→ → → → → →
1 1
= − +
2 • 3
→ → → →
1 2 1 2 1
= − +
2 3 6
→ → →
1 2 1 2 1 1 2
= − + ×
2 ，选3 项D错6误．2
→
1 2
=故选4 ： AC．
（多选）10．（6分）已知a＞b＞c＞1，且log2a，log2b，log2c成等比数列，则（ ）
A．b2＞ac
B． ＜
+
C．1+log22a，1+log2b，1+log2c不可能成等比数列
D．log2a，1+log2b，2+log2c可能成等比数列
【分析】根据等比数列的定义得y2＝xz，结合指数对数运算、基本不等式即可判断AB，对C假设成等
比数列，得到矛盾点即可；对D，根据等比数列定义得到方程，解出即可．
【解答】解：a＞b＞c＞1，且log2a，log2b，log2c成等比数列，
设x＝log2a，y＝log2b，z＝log2c，则a＝2x，b＝2y，c＝2z，
由题意知x＞y＞z＞0，且y2＝xz．
对于A，由基本不等式得 ＜ ，∴2y＜x+z，
+
∴22y＜2x+z，即b2＜ac，故 = A错 误 ；2
对于B，由A知 ＜ ＜ ，故B正确；
+
对于C，若1+x， 1+y ， 1+z成2 等比数列，
则（1+y）2＝（1+x）（1+z），得1+y2+2y＝1+z+x+xz，
又y2＝xz，可得2y＝x+z，与2y＜x+z矛盾，
∴1+x，1+y，1+z不可能成等比数列，故C正确；
第8页（共19页）对于D，若x，1+y，2+z成等比数列，
则（1+y）2＝x（2+z），得1+y2+2y＝2x+xz，
可得2y+1＝2x，取 ， ， ，符合条件，故D正确．
3 2
故选：BCD． = 2 =1 = 3
（多选）11．（6分）已知f（x），g（x）均为奇函数，f（x+1）﹣1是奇函数，g（x+1）﹣x是偶函数，且
当x [0，1]时，f（x）＝g（x）＝x2，则（ ）
∈
A．
3 5
B．对 (任2 )意+ n ( N2*)，= f（4 n）＝g（n）＝n
C．当且仅当∈x [4k﹣1，4k+1]（k Z）时，f（x）＝g（x）
∈ ∈
D．|f（x）﹣g（x）|
1
【分析】利用函数的≤奇2偶性、对称性可判断A；构造函数G（x）＝g（x）﹣x，根据奇偶性、对称性可
判断B；构造F（x）＝f（x）﹣x，由对称性、周期性画出函数图像可判断C；根据对称性、周期性，
以及F（x）与G（x）的值域可判断D．
【解答】解：对于A，由f（x+1）﹣1是奇函数，可得f（1+x）+f（1﹣x）＝2，
可知曲线y＝f（x）关于（1，1）对称，
又f（x）是奇函数，关于（0，0）对称，
可知对于任意整数k，y＝f（x）关于（k，k）对称，
于是 ，故A正确；
3 5 1 1
对于 B (，2 )由+ A ，( 2f（)= n） ＝(2 n −成2立)+， (2+ 2 )=2×2=4
构造G（x）＝g（x）﹣x，
由于g（x+1）﹣x是偶函数，则G（x+1）＝g（x+1）﹣x﹣1是偶函数，
则G（x）关于x＝1对称，
由于g（x）是奇函数，y＝x是奇函数，则G（x）是奇函数，
则G（2+x）＝G（﹣x）＝﹣G（x），G（4+x）＝﹣G（2+x）＝G（x），
即G（x）周期为4，
而G（0）＝0，G（1）＝g（1）﹣1＝0，G（2）＝﹣G（0）＝0，G（3）＝G（﹣1）＝﹣G（1）＝0，
则G（n）＝g（n）﹣n＝0，故B正确；
对于C，令F（x）＝f（x）﹣x，则F（x）为奇函数，
第9页（共19页）F（1+x）+F（1﹣x）＝f（1+x）+f（1﹣x）﹣2＝0，
F（x）关于（1，0）对称，则F（x）周期为4，
当x [0，I时，F（x）＝G（x）＝x2﹣x，在一个周期内画出F（x）和G（x）图像，
∈
则可得F（x）＝G（x），即f（x）＝g（x），当且仅当x [4k﹣1，4k+1]或x＝4k+2，k Z，故C错误；
∈ ∈
对于D，当x [0，1]时， ， ，
2 1
∈ ( )= ( )= − ∈[− 0]
则在R上， ， ， ， ， 4
1 1 1 1
( )∈[− ] ( )∈[− ]
则|f 4 4 ，故D 4正确4．
1
故选|(： )
A
−
BD
．( )|=| ( )− ( )|≤
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且 ＜ ＞ ，则P（2＜X＜4）＝ ．
1 1
( 0)= ( 0)
【分析】先根据正态分布的性质求得 ＜ ，进而求解即可5． 3
1
【解答】解：由X～N（2，σ2），则 ＝( 2，0)= 6
μ
因为 ＜ ＞ ，而P（X＜0）+P（X＞0）＝1，所以 ＜ ，
1 1
( 0)= ( 0) ( 0)=
则 ＜ ＜ 5 ＞ ＞ ＜ ． 6
1 1 1 1
(2 4)= ( 2)− ( 4)= − ( 0)= − =
故答案为： ． 2 2 6 3
1
13．（5分）已知3 ＞0，函数 在区间 ， 上单调递增，则 的最大值为 1 ．
ω ( )= + 3 (0 ) ω
【分析】利用辅助角公化简得 ，结合f（x）3 在 ， 上单调递增，运用正弦函数
( )=2 ( + ) (0 )
的性质建立关于 的不等式，进而解出 的最大值6． 3
ω ω
【解答】解：由题意得f（x）＝2（sin xcos cos xsin ）＝2sin（ x ），
ω + ω ω +
根据 ， ， ＞0，可得 ，6 ，6 6
∈(0 ) ω + ∈( ⋅ + )
因为f（x在）3区间 ， 上单调递增6， 6 3 6
(0 )
3
第10页（共19页）所以 ，解得0＜ ≤1，即 的最大值为1．
⋅ + ≤ ω ω
故答案为3：16． 2
14．（5分）若对任意t R，点 ， 总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为 ．
6
∈ ( ( + ) )
【分析】运用三角恒等变换，确定点A3 横纵坐标之间的关系，得到点A在椭圆 3上，再
2 2 3
由该曲线方程的特点可知椭圆的对称中心为原点，故长轴短轴均经过原点，再将 椭−圆 上 的+点 到=原4点距离
的最大值作为长半轴长a，将与长轴所在直线垂直且经过原点的直线与椭圆相交所得弦长作为短轴长2b，
再利用离心率公式，即可得解．
【解答】解：设点 ， （x，y），则y＝cost，
( ( + ) )= = ( + )= − =
3 3 3 3
，
1 3
−
2则 2 ，
1 2 3 2 3 2 3 3 2
( − ) =(− ) = (1− )= −
得 2 ，2 4 4 4
2 2 3
可知 若−点 （+ x ，y =）4在该椭圆上，则点（﹣x，﹣y）也在该椭圆上，故椭圆关于原点对称，
即椭圆的长轴与短轴均经过原点．
记椭圆的长半轴长为a，则a为 的最大值．
2 2
+
∵ ，∴ ，当且仅当 （由对称性，
2 2 2 2
2 2 3 2 2 + + 2 2 6 3
− + = ≥ + − = + ≤ = =
4 2 2 2 2
不妨设x，y＞0）时等号成立，此时 取得最大值 ，
2 2 6
+
即 ，且此时长轴所在的直线为y＝x， 2
6
由于 =椭圆
2
的长轴与短轴互相垂直，且短轴过原点，故易知短轴所在的直线为y＝﹣x．
联立得 ，可得 ，可得 ， ，故短轴长
=−
2 3 1 1 2
2 2 3 3 = 1 = 2 =− 2 = 1+(−1) | 1− 2|=
，得 − ， + = 4 4 2 2
2
2 =
故该椭圆的半2焦距 ，
2 2 6 2
= − = − =1
4 4
于是离心率为 ．
6
=
故答案为： ． 3
6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3
15．（13分）某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果统
第11页（共19页）计如下：
非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣
男生 100 60 40
女生 50 50 100
（1）从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为A，事件“该学生对象棋不
感兴趣”为B，求P（B）和P（B|A）；
（2）将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感兴趣”
分类，根据小概率值 ＝0.01的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋的兴趣程度有差异？
α
附： ．
2
2 ( − )
=
P（χ( 2≥+ k)）( + )( + )( + 0).050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【分析】（1）利用古典概型概率公式计算可求得P（B），利用条件概率的意义可求得P（B|A）；
（2）根据题中的数据可得列联表，由列联表可求得χ2，从而可得结论．
【解答】解：（1）由统计数据：
非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣
男生 100 60 40
女生 50 50 100
可得参与调查的总人数为100+60+40+50+50+100＝400，
所以 ，
40+100 7
( )= =
400 20．
40 1
（( 2 ）| 由)=题1意00，+可60得+4如0下= 25×2列联表：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 160 40 200
女生 100 100 200
合计 260 140 400
零假设H0 ：该校男生和女生对象棋的兴趣程度没有差异，
＞ ，
2
2 400×(160×100−40×100) 3600
= = ≈39.560 6.635
200×200×260×140 91 第12页（共19页）根据小概率值 ＝0.01的独立性检验，推断H0 不成立，
即该校男生与女α 生对象棋的兴趣程度有差异．
16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2﹣a2＝bc．
（1）证明：2C＝A+ ；
（2）若△ABC的面积π为 ， ，求b．
2+2 3 =
【分析】（1）利用余弦定理结合条件得出6 b﹣2acosC＝c，再利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可
证明；
（2）结合（1）先得出三个内角，构造直角三角形利用勾股定理及三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）证明：由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
又c2﹣a2＝bc，所以b2﹣2abcosC＝bc，于是b﹣2acosC＝c，
由正弦定理得sinB﹣2sinAcosC＝sinC，
再结合sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，
可得sinC＝sinCcosA﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），
由A，C （0， ），知C+C﹣A＝ ，∴2C＝A+ ；
∈ π π π
（2）当 时， ， ， ，
7 7
如图，不 妨=作6CD⊥2 AB =，6垂足 为= D1，2 = − − = 4
设CD＝x，则BD＝x， ，
= 3
由 ，得x＝2，
1
2+2 3= ( 3 + )
故 2 ．
2 2
= + =2 =4
17．（15分）如图，AC，BD为圆柱的母线，CD，AB分别为圆柱上、下底面的直径，点F在下底面圆周
上（不与A，B重合），E为BF的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面FBD；
（2）若AB＝AC＝2AF＝4，求平面ACE与平面CDF的夹角的余弦值．
第13页（共19页）【分析】（1）要证明面面垂直，则需要证明线面垂直，即证明FB⊥平面FAC；
（2）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面ACE与平面CDF的法向量坐标，进而根据
向量夹角的余弦公式求出结果．
【解答】解：（1）证明：由题易知FA⊥FB，AC⊥面FAB，故FB⊥AC，
又因为FA∩AC＝A，FA，AC 面FAC，故FB⊥面FAC，
又FB 面FBD，故可以证得面⊂ FAC⊥面FBD；
（2）⊂建立空间直角坐标系，如图所示：
，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ，
3 5
(0 0 0) (0 4 0) (0 0 4) (0 4 4) ( 3 1 0) ( 0)
，， ， ， ， ， 2 2
→ →
3 5
=(0 0 4) =( 0)
设平面ACE的法向量为 2 ，2 ， ，
→
=( )
→ → ，令x＝5，则 ， ， ，
→
⋅ =4 =0
→ → =(5 − 3 0)
3 5
⋅ = + =0
同理可得平2面CDF2 的法向量为 ，， ，
→
=(4 0 3)
所以 ， ，
→ →
→ →
⋅ 20 10 133
〈 〉= → → = =
即平面ACE与平面| C | D ⋅| F |的夹 2 角 8× 的余 19 弦值为 133 ．
10 133
18．（17分）已知函数 133 ．
2
（1）当f（x）为偶 函( 数)时=，2求+曲 线 y −＝ f（ + x） (在 点∈（ ) ，f（ ））处的切线方程；
第14页（共1 π 9页） π（2）若a＝﹣1，证明：f（x）≥x；
（3）若实数a，b使得 对任意x R恒成立，当b取最大值时，求a．
1
【分析】（1）根据f（x） ( 为)偶≥函2 数+， 求出a，可∈得函数解析式，根据导数的几何意义即可求得答案；
（2）将原不等式转化为证 ，构造函数 ，利用导数判断其单调性，
2 2
即可证明结论； + − 1 ≥ 0 ( )= + −1
2 2
（3）将 对任意x R恒成立转化为 恒成立，构造函数 ，利
1 1 1
用导数求 解( ) F ≥（2x） +的 最小值，即∈ 可求得答案． ≤ ( )− 2 ( )= ( )− 2
【解答】解：（1）由题意可得，f（﹣x）＝f（x），
则 ，即得﹣a（﹣x）＝﹣ax，
2 2
(− )
即2ax＝0+恒 成 (立−， 则) −a＝ (0−， )+ = + − +
2 2
此时 ， ，
2
( )= + ′ ( )= −
所以 2 ， ，
2
( )= −1 ′ ( )=
故 2 ，即 ；
2 2
= ( − )+ −1 = − −1
（2）证明：当a＝2﹣1时， 2 ，要证f（x）≥x，
2
( )= + + −1
2
即证 ．
2
+ − 1 ≥ 0
设 2 ，则g′（x）＝x﹣sinx，
2
令 u (（ ) x）=＝2x +﹣ s in x ，−得1 u′（x）＝1﹣cosx，由于﹣1≤cosx≤1，故u′（x）≥0，故g′（x）是R上
的增函数，g′（0）＝0，
当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
所以g（x）≥g（0）＝0，f（x）≥x得证；
（3） 恒成立，即 恒成立，
1 1
( )≥ + ≤ ( )−
2 2
设函数 ，即 ，
2
1 1
( )= ( )− ( )= + −( + ) +
则 2 ，由（2 2）可知F′（x）2是增函数，且易知其值域为R，
1
′ ( )= − −( + )
故存在xo R，使得F′（x 2
0
）＝0，即 ，
1
当x＜x0 时∈，F′（x）＜0，F（x）单调 递=减 ，−当 x ＞ 0 x − 0 时2 ，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
第15页（共19页）所 以
2 2
0 1 0
( ) = ( 0)= + 0−( − 0) 0+( 0− 0− )=− + 0+ 0 0+
， 2 2 2
1
要 0 使− b 最 大 0−，2则取b＝F（x0 ），再分析F（x0 ）的最大值．
设函数 ，
2
1
则G′（ ( x ）)=＝−﹣2x﹣+ s in x + s + inx + x co s + x+ 1﹣− c o sx ＝−（2x﹣1）（cosx﹣1），
因为cosx﹣1≤0，且仅在x＝2k （k Z）处等号成立，
所以当x＜1时，G′（x）≥0，πG（∈x）单调递增，当x＞1时，G′（x）≤0，G（x）单调递减，
所以
1 1
即b 的(最 ) 大 值=为 c ( o 1 s ) 1 =，−当2b +＝ c o s 1 1 +时 ， x 1 0 ＝+1 1，− 1− 2 = 1
得 ．
1
= − 1
2
19．（17分）已知双曲线E： ＞，＞ 的左、右顶点分别为A（﹣2，0）和B（2，0），过
2 2
右焦点F且垂直于x轴的直2线−与2E=交1于( M，0N 两点0，) 其中点M在第一象限，|MN|＝12．
（1）求E的方程．
（2）已知点P，Q在直线AM上，满足 ，记点P的横坐标为m．
→ →
（i）求点Q的坐标（用m表示）； ⋅ =22
（ii）若PQ的中点S在△ABN的外接圆内，求|PQ|的取值范围．
【分析】（1）因为双曲线E： ＞，＞ 的左、右顶点分别为A（﹣2，0）和B（2，0），
2 2
2 − 2 = 1( 0 0)
得到a＝2，设F（c，0）（c＞ 0）， 将x＝c代入双曲线 ，解得 ，过右焦点F且垂直
2 2 2
2 − 2 = 1 =±
于x轴的直线与E交于M，N两点，得到M，N的坐标 ，求出 ，由|M N|＝12，解得b2，从而
2
2
得到E的方程； | |=
（2）（i）由（1）可得M，N的坐标，从而得到直线AM的方程即P（m，m+2），设Q（n，n+2），利
用数量积求出 ，又 ，从而得到 ，继而得到 ，从而得到
→ → → →
2 +29 25
Q的坐标； ⋅ ⋅ =22 =− +2 +2=− +2
（ii）由P和Q的坐标利用中点坐标公式求出中点S的坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|，设△ABN
的外接圆的圆心为T，设T（0，t）利用两点间距离公式通过计算得到t的值，从而得到圆心的坐标，
求出圆的半径，从而求出△ABN的外接圆的方程．直线AM和△ABN的外接圆联立方程组，解得的x
第16页（共19页）值即为圆T与直线AM的两个交点的横坐标，因为点S在△ABN的外接圆内，从而得到不等式组，法
一：利用整体换元即可得到范围，法二：由 ＜ ＜ ，解得m的范围，利用“对勾函数”得
2
−29
−4 −2
到 的单调性，从而求出值域，继而得到2 +4 的取值范围．
25 25
【解 =答 】+解 ：（1）因为双曲线E的左、右顶点分别| 为 | A =（﹣2 2 | ，+ 0）2和+ B（+22，| 0），
所以a＝2，
设F（c，0）（c＞0），
过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于M，N两点，M（c，y1 ），N（c，y2 ），
将x＝c代入双曲线 ，
2 2
2 − 2 = 1
得到 ，即 ，解得 ，
2 2 2 2 2 2
+
2 − 2 = 1 2 − 2 = 1 =±
则 ， ， ， ，
2 2
( ) ( − )
，得b2 ＝12，
2
2
| |= =12
故E的方程为 ；
2 2
（2）（i）由（1）−可得=M（1 4，6），N（4，﹣6），所以直线AM：y＝x+2，P（m，m+2），
4 12
设Q（n，n+2），则 ，
→ →
⋅ =( −4)( −4)+( +8)( +8)=2 +4 +4 +80=22
所以 ，从而 ，
−58−4 2 +29 25
= =− +2=−
于是 2 +4 ， +2； +2
2 +29 25
(− − )
（ii）因为（ m +，2 m+2） 和+2 ， ，因此中点 ， ，
2 2
2 +29 25 −29 −29
(− − ) ( +2)
因此 +2 +2 2 +4 2 +4
2 +29 2 25 2
| |= ( + ) +( +2+ )
+2 +2
2 2
+2 +2 +29 2 +2 +2 +4+25 2
= ( ) +( )
+2 +2
2 2 2
+4 +29 2 +4 +29 +4 +4+25
= 2( ) = 2| |= 2| |
+2 +2 ， +2
2
( +2) +25 25
= 2| |= 2| +2+ |
即 +2 ， +2
25
设|△ AB |= N的2外| 接+圆2的+圆 心+2为| T，因为A（﹣2，0），B（2，0），因此点T在y轴上，
设T（0，t），N（4，﹣6），因为 ，
2 2 2
| |= (0+2) +( −0) = 4+
第17页（共19页），|TA|＝|TN|，
2 2 2
|因 此|= (0−4) +( +6) =，16+( +6)
2 2
因此44+t+2＝ 16=+（1t+66+）(2 ，+因6)此t＝﹣4，因此22+t2＝22+（﹣4）2＝20，
因此△ABN的外接圆的半径为 ，
2 2
圆心为T（0，﹣4）， | |= 4+ = 4+(−4) = 20
因此△ABN的外接圆方程为x2+（y+4）2＝20，
直线AM：y＝x+2和△ABN的外接圆方程为x2+（y+4）2＝20联立方程组：
，解得x＝﹣2或x＝﹣4，
= +2
2 2
则 圆 +T( 与 + 直 4 线 ) A=M20 的两个交点的横坐标为x＝﹣2或x＝﹣4．
因为点 ， 在△ABN的外接圆内，
2 2
−29 −29
( +2)
因此 ＜2 +4 ＜2 +，4
2
−29
令 ＝− m 4 +2，2 解+得4 m＝−﹣2 2，
λ λ
则 ，
2 2 2
−29 ( −2) −29 −4 −25 1 25
= = = ( − ) − 2
法一2 ：+则4 ＜ 2 ＜ 转2化 为 ＜2 ＜ ，
2
−29 1 25
−4 −2 −4 ( − )−2 −2
解得 ＜ 2＜ +4， 2
25
−4 − 0
因为 ， ＝m+2，
25
| |= 2| +2+ | λ
+2
因此 ，
25 25 2 25 2
| |= 2| + |= 2 ( + ) = 2 ( − ) +100
因为 ＜ ＜ ，因此 ＜ ＜ ，
25 25 2
−4 − 0 0 ( − ) 16
因此 ＜ ＜ ，
25 2
100 ( − ) +100 116
因此 ＜ ＜ ，
25 2
10 ( − ) +100 116
因此 ＜ ＜ ，
25 2
因此10 2 2 (， −
) ，+100 2 58
因此，| |P|Q∈|的(1取0值2范围2 是58) ， ，
(10 2 2 58)
法二：同理得 ＜ ＜ ，解得 ， ， ，
2
−29
则 −4 2 ，+4 −2 ∈，(−4，− 29 −7)∪(−4+ 29 3)
+2 ∈ (−2− 29 −5)∪(−2+ 29 5)
第18页（共19页）设x＝m+2，则 ， ， ，
∈ (−2− 29 −5)∪(−2+ 29 5)
则 转化为 ，
25 25
| |= 2| +2+ | | |= 2| + |
+2
是奇函数，当x＞0时， ，
25 25 25
= + = + ≥2 ⋅ =10
当且仅当 ，即x＝5时等号成立，
25
=
则 在 ， 上单调递增，值域是 ， ，
25
在 = + ，(−上2−单调2递9 减−，5值)域是 ， ， (−2 29 −10)
(−2+ 29 5) (10 2 29)
则 ， ， ， ，
25 25
故| |P Q + |的 取|值∈范(10围为2 29) ，| |=．2| + |∈(10 2 2 58)
(10 2 2 58)
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