25李林《880》数一高数部分做题本_考研_数学_02.李林_25李林《880题》做题本（全）_数一

目录 目 录 高等数学 ................................................................................. 3 第一章 函数、极限、连续 ............................................................. 3 基础题 .......................................................................... 3 综合题 ......................................................................... 14 拓展题 ......................................................................... 29 第二章 一元函数微分学及其应用 ....................................................... 30 基础题 ......................................................................... 30 综合题 ......................................................................... 56 拓展题 ......................................................................... 73 第三章 一元函数积分学及其应用 ....................................................... 75 基础题 ......................................................................... 75 综合题 ......................................................................... 93 拓展题 ........................................................................ 116 第四章 空间解析几何 ............................................................... 120 基础题 ........................................................................ 120 拓展题 ........................................................................ 129 第五章 多元函数微分学及其应用 ...................................................... 130 基础题 ........................................................................ 130 综合题 ........................................................................ 142 拓展题 ........................................................................ 153 第六章 重积分及其应用 ............................................................. 154 基础题 ........................................................................ 154 综合题 ........................................................................ 166 拓展题 ........................................................................ 179 第七章 微分方程及其应用 ........................................................... 180 基础题 ........................................................................ 180 综合题 ........................................................................ 189 拓展题 ........................................................................ 199 第八章 无穷级数 ................................................................... 201 基础题 ........................................................................ 201 第 1 页，共248页目录 综合题 ........................................................................ 212 拓展题 ........................................................................ 224 第九章 曲线积分与曲面积分 ......................................................... 226 基础题 ........................................................................ 226 综合题 ........................................................................ 236 扩展题 ........................................................................ 247 第 2 页，共248页高数 · 1.函数、极限、连续 高等数学 第一章 函数、极限、连续 基础题 一、选择题 (1) 函数 f (x)= xsinxecosx,x(−,+), 是 ( ) . A. 单调函数 B. 周期函数 C. 偶函数 D. 有界函数 (2) 设函数 第 3 页，共248页 f ( x ) = c o s ( s in x ) , g ( x ) = s in ( c o s x ) , 则当 x 0 , 2     时, ( ). A. f ( x ) 单调增加, g(x) 单调减少 B. f ( x ) 单调减少, g(x) 单调增加 C. f ( x ) 与 g ( x ) 都单调增加 D. f ( x ) 与 g ( x ) 都单调减少 (3) 设函数 f (x)= 1+x+x2 − 1−x+x2 , 则 ( ). A. f ( x ) 为偶函数 B. f (x) 为奇函数 C. f (x) 为无界函数 D. lim f (x)=1 x→高数 · 1.函数、极限、连续 (4) 设当 第 4 页，共248页 x  → + 时, f ( x ) , g ( x ) 都是无穷大,则当 x  → + 时,下列结论正确的是( ). A. f ( x ) − g ( x ) 是无穷小 B. f (x)+g(x) 是无穷大 C. g f (( x x )) → 1 D. f ( f x ( ) x + ) g g ( ( x x ) ) 是无穷小 (5) 当 x → 0 时, 1 x 2 s in 1 x 是( ). A. 无穷大 B. 无穷小 C. 有界但非无穷小 D. 无界但非无穷大  x2  (6) 已知 lim −ax−b=0, 则( ). x→ x+1  A. a=1,b=1 B. a=−1,b=1 C. a=1,b=−1 D. a=−1,b=−1高数 · 1.函数、极限、连续 (7) 设当 第 5 页，共248页 x → 0 时, ( x − s in x ) ta n x 是比 ln ( 1+xn) 高阶的无穷小, 而 ln ( 1 + x n ) 是比 x2 高阶的无穷小, 则 n = ( ). A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 (8) 设 f ( x ) = ln 2 x , g ( x ) = x , h ( x ) = e 12 ( x  1 ) , 则当 x 充分大时, ( ). A. f ( x )  g ( x )  h ( x ) B. g ( x )  h ( x )  f ( x ) C. h ( x )  g ( x )  f ( x ) D. g ( x )  f ( x )  h ( x ) (9) 设 lim n a n  → 与 lim n b n  → 均不存在,则下列选项正确的是 ( ). (A) 若 lim n ( a n b n )  → + 不存在, 则 lim n ( a n b n )  → − 必不存在 (B) 若 lim(a +b ) 不存在, 则 lim(a −b ) 必存在 n n n n n→ n→ (C) 若 lim(a +b ) 存在, 则 lim(a −b ) 必不存在 n n n n n→ n→ (D) 若 lim n ( a n b n )  → + 存在, 则 lim n ( a n b n )  → − 必存在公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 (10)函数 第 6 页，共248页 f ( x ) = 2 1 + + e e 1x 2x + s in x x 在 x = 0 处为 ( ). A. 可去间断点 C. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 D. 振荡间断点 二、填空题 (1) 设 f ( x ) =  1 0 , , x x  1 , 1 , 则 f  f f (x)  =________ .   1 (2) 当 x→0 时, ( 1+ax2) 3 −1 与 c o s x − 1 是等价无穷小, 则 a=________ .高数 · 1.函数、极限、连续 (3) 设函数 第 7 页，共248页 f ( x ) =  s a in , 2 x + x e 2 a x − 1 , x x  = 0 0 , 在 x = 0 处连续, 则 a = ________ . (4) 设 a  0 , 若 lim x x P a 1x a x 1 1  → +  − +  存在, 则 P 的取值范围为________ . (5) lim x x 3 e x x 2 x 3 1 ( s in x c o s x )  → + + + + + = ________ .高数 · 1.函数、极限、连续 (6) 第 8 页，共248页 lim x → 0 e x 2 − e x e 4 2 − − 2 1 c o sx = ________ . (7) 设 f ( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 − ta n x , 当 x→0 时, f ( x ) 是比 x3 高阶的无穷小, 则 a + b + c + d = ________ . 三、解答题 (1) 设 f (x) 是定义在 (−a,a) 内的函数,证明: f (x) 可以表示为一个偶函数与一个奇 函数之和.高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 设函数 第 9 页，共248页 f ( x ) 满足 a f ( x ) + b f  1 x  = c x , 其中 a , b , c 均为常数, 且 a  b , 求 f ( x ) 的表达式, 并证明 f ( x ) 是奇函数. (3) 设函数 f (x) 在区间 ( − a , a ) 内有定义, 其中 a  0 , 且对任意 x 1 , x 2  ( − a , a ) , 有 f (x )− f (x ) x −x , 证明: 1 2 1 2 F ( x ) = f ( x ) + x 在 ( − a , a ) 内单调增加. (4) 设数列  x n  满足 lim k x 2 k lim k x 2 k 1 a   → = → + = , 证明: lim n x n a  → = .高数 · 1.函数、极限、连续 (5) 求下列极限: (I) 第 10 页，共248页 lim x →  x x 2 2 − + x s in x s in x 1 x ; (II) lim x a 1x b 3 1x c 1x x ( a , b , c  → +  + +  为正数); ln ( sin2x+ex) −x (III) lim ; (IV) x→0 ln ( e2x −x2) −2x lim x → 0 (1 + x ) x 3x − e 3 ; (V) lim x → 0 e ta n x x − 3 e x  1 1 ; (VI) limcotx −  ; x→0 sinx x公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 1 (III) lim ( 1−x2) 1− 1−x2 ; (VII) x→0 第 11 页，共248页 lim x → 0 + x sin x . (6) 求下列极限: ( I ) lim n n 2 1 n 1 n 2 2 n 2 n 2 n n n  →  + + + + + + + + +  ; (II) lim n 1 2 n 1 2 ( n 1 )  →  + + + − + + + −  ;高数 · 1.函数、极限、连续 n 1 (III) lim ; n→ 4k2 −1 k=1 1 1 1 (IV) lim n1+ + + + ; n→ 2 3 n n 1+n3 ( V ) lim  .   n→ 2  第 12 页，共248页高数 · 1.函数、极限、连续 (7) 求 第 13 页，共248页 f ( x ) = (1 + x ) ta n  x x − x4  在 ( 0 , 2 )  内的间断点, 并指出其类型. xn+2 −x−n (8) 讨论函数 f (x)= lim 的连续性. n→ xn +x−n (9) 设 f (x) 在  a , b  上连续, 且 acd b, 证明: 在 (a,b) 内必存在一点 , 使得 mf (c)+nf (d)=(m+n) f (), 其中 m , n 为任意给定的自然数.高数 · 1.函数、极限、连续 (10)设 第 14 页，共248页 x 1 = a ( a  0 ) , x n + 1 = a + x n , 证明: lim n x n  → 存在, 并求其值. (11)设 x 1 = a 0 , y 1 = b 0 , a b , x n + 1 = x n y n , y n + 1 = x n + 2 y n ( n = 1 , 2 , ) ,证明: limx = lim y . n n n→ n→ 综合题 一、选择题 1 sin e x −1 (1) lim =a0 成立的充要条件是( ). x→ 1 k  1 1+  −1+   x  x A. k 1 B. k 1 C. k  0 D. 与k无关高数 · 1.函数、极限、连续 (2) 知 第 15 页，共248页 lim x → 0 2 a r c ta n x x − p ln 1 1 + − x x = c  0 , 则( ). A. p = 3 , c = − 4 3 B. p = − 3 , c = 4 3 C. p = 4 3 , c = 3 D. p = − 4 3 , c = − 3 (3) 设当 x → 0 时, ( x ) ta n x s in x , ( x ) 1 x 2 1 x 2 , ( x ) 1 0 c o sxs in t d t    = − = + − − =  − 都是无穷 小, 将它们关于 x 的阶数从低到高排列, 正确的顺序为 ( ). A. ( x ) , ( x ) , ( x )    B. ( x ) , ( x ) , ( x )    C. ( x ) , ( x ) , ( x )    D. ( x ) , ( x ) , ( x )    (4) 设 y = y ( x ) 是方程 y+2y+ y=e3x 的解, 且满足 y(0)= y(0)=0, 则当 x → 0 时,与 y ( x ) 为等价无穷小的是 ( ). A. sinx2 B. sinx C. ln ( 1+x2) D. ln 1+x2高数 · 1.函数、极限、连续 (5) 设 第 16 页，共248页 F ( x ) =  f f ( x x( 0 ) ) , , x x  = 0 0 , , 其中 f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 , f ( 0 ) = 0 ,则( ). A. x = 0 是 F(x) 的连续点 B. x = 0 是 F ( x ) 的第一类间断点 C. x = 0 是 F(x) 的第二类间断点 D. 以上说法均错误 (6) 设 f ( x ) =  ( 0 x , + 1 ) a r c ta n x 2 1 − 1 , x x  =   1 1 , , 则 f ( x ) ( ). A. 在 x = 1 , x = − 1 处都连续 B. 在 x = 1 , x = − 1 处都间断 C. 在 x = − 1 处间断, x=1 处连续 D. 在 x = − 1 处连续, x=1 处间断 (7) 下列结论中错误的是 ( ). (A) 设 lima =a1, 则存在 n n→ M  1 , 当 n 充分大时, 有 a n  M (B) 设 a lim n a n lim n b n b   = →  → = , 则当 n 充分大时, 有 a b n n (C) 设 M a n N ( n = 1 , 2 , ) , 若 lima =a, 则 n n→ M a N (D) 若 lima =a0, 则当 n n→ n 充分大时, a n  a − 1 n高数 · 1.函数、极限、连续 (8) 设 第 17 页，共248页  x n  与  y n  为两个数列, 则下列说法正确的是 ( ). (A) 若 x  与 n  y n  无界, 则  x n + y n  无界 (B) 若  x n  与  y n  无界, 则  x n y n  无界 (C) 若  x n  与  y n  中, 一个有界,一个无界, 则  x n y n  无界 (D) 若  x n  与  y n  均为无穷大, 则  x n y n  一定为无穷大 (9) [25新增]设  x n  为数列, 则下列结论正确的是 ( ). ① 若  a r c ta n x n  收敛, 则  x n  收敛; ② 若  a r c ta n x n  单调, 则  x n  收敛; ③ 若 x n   − 1 ,1  , 且  x n  收敛, 则  a r c s in x n  收敛; ④ 若 x n   − 1 ,1  , 且 x  单调, 则 arcsinx  收敛. n n A. ① ② B. ③ ④ C. ① ③ D. ② ④ (10) 下列极限存在的是 ( ). A. lim x → 1 1 + 1 2 1 1− x B. lim x 1 s in x x x  → +  +  1 C. n l → im    n+(−1)n(n+1)  D. n l → im    1 1 2 + 2 1 2 + + n 1 2    n高数 · 1.函数、极限、连续 (11) 设 第 18 页，共248页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内为连续的奇函数, a 为常数, 则必为偶函数的是 ( ). A.  x 0 d u  u a tf ( t )d t x u B.  du f (t)dt a 0 C.  x 0 d u  u a f ( t )d t D.  x a d u  u 0 tf ( t )d t (12) (11) 设 f ( x ) lim t x 1 2 2 x x x  = → + + + , 则 F ( x ) =  x − 1 f ( t )d t 在 x = 0 处 ( ). A. 可导 B. 间断点 C. 不可导但连续 D. 无法判定 (13) 设 f ( x ) ( 0 x x , 3 ( 1 1 ) s x in 2 x ) , x x 0 0 , , x ( , )   =  − +  = − + , 则( ). A. f ( x ) 在 (−,+) 内有界 B. 存在 X  0 , 当 x  X 时, f ( x ) 有界, 当 x  X 时, f ( x ) 无界 C. 存在 X 0, 当 x  X 时, f (x) 无界, 当 x  X 时, f (x) 有界 D. 对任意 X  0 , 当 x X 时, f ( x ) 有界, 但在 (−,+) 内无界高数 · 1.函数、极限、连续 二、 填空题 (1) 当 第 19 页，共248页 x → 0 时, f ( x ) = 3 x − 4 s in x + s in x c o s x 是关于 x 的 ________ 阶无穷小. (2) 极限 lim x → 0 ( c o 2 x 2 s x + − 1 e − x 2 ) 1 s + in x x 2 2 = ________ . (3) 设 f ( x ) 是连续函数, lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = − 1 , 当 x → 0 时,  sin 0 2 x f ( t )d t 是关于 x 的 n 阶无穷小,则 n = ________ .高数 · 1.函数、极限、连续 f (x)−b (4) [25新增]设 lim = A, 则 x→a x−a 第 20 页，共248页 lim x → a e f ( x x ) − − a e b = ________. (5) 设 a n = 3 2  n 0 n+ 1 x n − 1 1 + x n d x , 则 lim n n a n  → = _______ . 1 (6) 设 k  , 则 2 lim n ln n n ( 2 1 n k 2 k 1) n  →  − − +  = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 1.函数、极限、连续 (7) 设 第 21 页，共248页 0  a 1  a 2 , 则 lim n ( a 1 n a 2 n ) 1n  → − + − = ________ . (8) 设 lim x →  ( 3 1 − x 6 − a x 2 − b ) = 0 , 则 a = _______ , b = _______ . (9) 设 lim x → 0  a  x  + ln ln  1 1 + + e e 2x 1x   = b ,其中x表示不超过 x 的最大整数, 则 a = _______ , b=_______.高数 · 1.函数、极限、连续 (10) 已知连续函数 第 22 页，共248页 y = f ( x ) 关于点 ( a , 0 ) ( a  0 ) 对称,则对常数 c , I =  c − c f ( a − x )d x = ______. 三、 解答题 (1) 设数列  a n  满足 lim n a na n 1 q  → + = , 且 q  1 , 证明: lim n a n 0  → = . 1 (2) 设 a =22k,u =aa a (n=1,2, ), 求 k n 1 2 n lim n u n  → .高数 · 1.函数、极限、连续 (3) 设数列 第 23 页，共248页 x n = (1 + a ) n + (1 − a ) n , 证明: lim n x nx n 1 1 1 , a , a a 0 0  → + =  +  = (4) 证明: lim n n a n1 a n2 a nk m a x  a 1 , a 2 , , a k  ( a i 0 , i 1 , 2 , , k )  → + + + =  = . (5) 如下： (I) 设 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( 3 x n + 1 − x n ) ( n = 1 , 2 , ) , 求 lim n x n  → ； (II) 设 x 1 = 1 , x 2 = 2 , x n + 2 = 1 2 ( x n + x n + 1 ) , 求 lim n x n  → .高数 · 1.函数、极限、连续 (6) 设 第 24 页，共248页 f n ( x ) = 1 − (1 − c o s x ) n ( n = 1 , 2 , ) . (I) 证明: 方程 f n ( x ) = 1 2   在 0,  内有且仅有一个实根  2 x n ; (II)设 x n 0 , 2     1 1   , 满足 f (x )= , 证明: arccos x  , 且 lim x = . n n 2 n n 2 n→ n 2 (7) 如下： (I) 证明: 方程 x = 1 + 2 ln x 在 (e,+) 内有唯一实根 ; (II) 取 x 0 ( e , )   , 令 x n = 1 + 2 ln x n − 1 ( n = 1 , 2 , ) , 证明: lim n x n   → = .高数 · 1.函数、极限、连续 (8) 设 第 25 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) , 证明:  1 (I) 至少存在一点 (0,1), 使得 f ()= f +  ;  2 (II) 至少存在一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) f 1 n ( n 2   =  +  为自然数). (9) [25新增]设 f (x)=xn −cosx(n=1,2, ). n (I) 证明方程 f n ( x ) = 0 在 x  ( 0 ,1 ) 内有唯一实根 x n ; (II) 求 lim n ( 1 x n ) 1n ln c o sx n  → − .高数 · 1.函数、极限、连续 (10) 计算极限 第 26 页，共248页 lim x → 0  x 0  ( 3 + 2 ta 3 3 x e n t − t ) 1 − 3 t  d t . (11) 设 0 x 1 , x n 1 s in x n    + = . (I) 证明: lim n x n  → 存在, 并求值; (II) 求 lim n x nx n 1 12 x n  →  +  . (12) 设 n 1 + 1  ln  1 + 1 n   1 n , 证明: 极限 lim n 1 1 2 1 n ln n  →  + + + −  存在.高数 · 1.函数、极限、连续 (13) 设 第 27 页，共248页 x 1  0 , 数列  x n  满足 x n + 1 = ln ( e x n − 1 ) − ln x n , 证明: lim n x n  → 存在, 并求值. (14) 求下列极限: (I) 当 x  1 时, 求 lim n ( 1 x ) ( 1 x 2 ) ( 1 x 4 ) ( 1 x 2 n )  → + + + + ; (II) 当 x  0 时, 求 lim n c o s x 2 c o s x 4 c o s x n 2  → ; (III) lim x 2 ( 1 s in x ) ( 1 (1 3 s s in in x x ) )n 1 ( 1 n s in x )  → − − − − − .高数 · 1.函数、极限、连续 (15) 求下列极限: (I) 设 第 28 页，共248页 lim x → 0 ln  1 a + x f s − ( in 1 x x )  = 1 2 ( a  0 , a  1 ) , 求 lim x → 0 f ( x x 2 ) ; (II) 设 f ( x ) 是三次多项式,且有 lim x → 2 a x f − ( x 2 ) a = lim x → 4 a x f − ( x 4 ) a = 1 ( a  0 ) ,求 lim x → 3 a x f ( − x 3 ) a . (16) 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 内连续, 且 lim x a f ( x ) , lim x b f ( x )   → + = − → − = − , 证明: f (x) 在 ( a , b ) 内有最大值.高数 · 1.函数、极限、连续 拓展题 (1) 设 第 29 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上可导, 且 f  ( x )  1 , 当 x   a , b  时, 有 a  f ( x )  b , F ( x ) = 1 2  x + f ( x )  , 证明: (I) 存在 x *  ( a , b ) , 使得 F ( x * ) = x * ; (II) 对 x a,b, 数列 x  满足 x =F(x )(n=0,1,2, ), 有 limx =x*. 0 n n+1 n n n→ (2) (I) 设 f ( x ) 是  0 , )  + 上单调减少且非负的连续函数. 证明: f ( k + 1 )  k k + 1 f ( x ) d x f ( k ) ( k = 1 , 2 , ) (II) 证明: ln ( 1 + n ) 1 + 1 2 + + 1 n 1 + ln n 1 1 1+ + + 2 n , 并求极限 lim . n→ lnn高数 · 2.一元函数微分学及其应用 第二章 一元函数微分学及其应用 基础题 一、 选择题 1−cosx , x0,  (1) 设 f (x)= x 其中  x2(x), x 0,  第 30 页，共248页 ( x )  是有界函数, 则 f ( x ) 在 x = 0 处 ( ). A. 可导 B. 连续, 但不可导 C. 极限存在, 但不连续 D. 极限不存在 (2) 设 f  ( x ) 存在, a , b 为任意实数, 则 lim Δ x → 0 f ( x + a Δ x ) Δ − x f ( x − b Δ x ) = ( ). A. ( a + b ) f  ( x ) B. ( a − b ) f  ( x ) C. a f  ( x ) D. b f  ( x ) (3) 设 f ( x ) = 1 + x x + 1 , 则 f (x) 在 x=0 处( ). A. 连续且可导 B. 右连续但右导数不存在 C. 右连续且右导数存在 D. 右极限存在且右导数存在公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 第 31 页，共248页 f ( x ) = ( x 2 + 3 x + 2 ) x 3 − x 不可导点的个数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (5) 下列函数中, 在 x = 0 处不可导的是 ( ). A. f ( x ) = x s in x B. f ( x ) = x s in x C. f ( x ) = c o s x D. f ( x ) = c o s x (6) 设 f (x)可导且 f  ( x 0 ) = 1 2 ,则当 Δ x → 0 时, f (x)在 x 0 处的微分 d y 是 Δ x 的( )无穷 小. A. 等价 B. 同阶 C. 低阶 D. 高阶高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 32 页，共248页 f ( − x ) = − f ( x ) , 且在 ( 0 , )  + 内, f  ( x )  0 , f  ( x )  0 , 则 f ( x ) 在 ( , 0 )  − 内 必有( ). A. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 B. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 C. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 D. f  ( x )  0 , f  ( x )  0 (8) [25新增]设 f ( x ) 在  − 1 ,1  上二阶可导, 且 f  ( x )  0 ,  1 − 1 f ( x ) = 2 , 则 ( ). A. f ( 0 ) 0 B. f ( 0 )  0 C. f ( 0 ) 1 D. f (0)1 (9) 设 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内连续, f ( 0 ) = 0 , lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = 2 ,则 f ( x ) 在 x = 0 处( ). A. 不可导 B. 可导且 f  ( 0 )  0 C. 有极小值 D. 有极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (10) 第 33 页，共248页 y = ( x − 1 ) 2 ( x − 3 ) 2 的拐点个数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (11) 设 f  ( x 0 ) = f  ( x 0 ) = 0 , f  ( x 0 )  0 , 则下列选项正确的是 ( ). A. x 0 是 f ( x ) 的极值点 B. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极大值 C. f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的极小值 D. ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是 y = f ( x ) 的拐点 (12) 设 f ( x ) 有一阶连续导数, F ( x ) = f ( x ) ( 1 + s in x ) , 则 f ( 0 ) = 0 是 F ( x ) 在 x = 0 处可导的 ( ). A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设 第 34 页，共248页 f ( x ) 有任意阶导数, 且 f  ( x ) = f 2 ( x ) , 则 f (n ) ( x ) = ( ) ( n  3 ) . A. n!fn+1(x) B. nfn+1(x) C. f2n(x) D. n!f2n(x) (14) 设 y = ln ( 1 − 2 x ) , 则 y (10) =( ). A. (1 − − 9 2 ! x ) 1 0 B. (1 − 9 2 ! x ) 1 0 C. − (1 9 − ! 2 2 x 1 0 1 ) 0 D. 1 (1 0 − ! 2 2 x 9 1 ) 0 (15) 设 0 , f ( x )   在 (−,) 内有定义, 当 x ( , )   − 时, 有 f ( x ) x 2 , 则 x = 0 是 f (x) 的 ( ). A. 间断点 B. 连续但不可导点 C. 可导点且 f  ( 0 ) = 0 D. 可导点且 f  ( 0 )  0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (16) 设 第 35 页，共248页 f ( x ) 连续, 且 f  ( x 0 )  0 , 则存在 0   , 使得 ( ). A. 对任意 x ( x 0 , x 0 )   − , 有 f ( x )  f ( x 0 ) B. 对任意 x ( x 0 , x 0 )   + , 有 f ( x )  f ( x 0 ) C. f ( x ) 在 ( x 0 , x 0 )  − 内单调减少 D. f ( x ) 在 ( x n , x n )  + 内单调增加 (17) 已知 y = x 3 + a x 2 + b x + c 在 x = − 2 处取得极值,且与直线 y = − 3 x + 3 相切于点 ( 1 , 0 ) ,则 ( ). A. a = 1 , b = − 8 , c = 6 B. a = − 1 , b = − 8 , c = − 6 C. a = 1 , b = 8 , c = − 6 D. a=−1,b=8,c=−6 (18) 设 f  ( x ) = ( x 2 − 1 1 ) + ( x x 2 + 3 ) , 则 f ( x ) ( ). A. 在 x = 1 , x = − 3 处取得极大值, 在 x=−1 处取得极小值 B. 在 x = − 1 处取得极大值, 在 x = 1 , x = − 3 处取得极小值 C. 在 x=−1,x=1,x=−3 处都取得极小值 D. 在 x=−1,x=−3,x=1 处都取得极大值高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (19) 曲线 第 36 页，共248页 y = 1 1 + − e e − − x x 2 2 渐近线的条数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (20) [25新增]设 f ( x ) 为连续函数,且 lim x e x 1 x f ( x )  → +  + +  存在,则曲线 y = f ( x ) 有斜渐近 线 ( ). A. y = x B. y = − x C. y = x + 1 D. y = − x − 1 (21) 曲线 y = x 2 − a 2 的渐近线的条数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3高数 · 2.一元函数微分学及其应用 二、填空题 (1) 第 37 页，共248页 f ( x ) =  a a r c x ta + n b 1 x , , x x  0 0 , 在 x = 0 处可导, 则 a = _ _ _ _ _ _ _ , b = _ _ _ _ _ _ _ _ . (2) 设 f ( x ) 在 x = 0 处可导, 且 f  ( 0 ) = 2 , f ( 0 ) = 0 , 则 lim x → 0 ( f ln 1( − 1 + c o x s 2 x) ) = _______. (3) 设 y = f ( x ) 由方程 x 1 y x s in 2 4 t d t  =  −   确定, 则 lim n n f 1 n 1  →    −  = ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 设函数 第 38 页，共248页 f ( x ) 有连续导数, 且 lim x → 0  s in 2 x x + f ( x x )  = 2 , 则 f ( x ) 的一阶麦克劳林展 开式为 ________ . (5) 设函数 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续, f  ( x ) 的图形如右图所示, 则曲线 y = f ( x ) 的拐点个数为 ________ . (6) 设 f  ( 0 ) 存在, f ( 0 ) = 0 , 且 lim x → 0  1 + 1 − c o s s in f x ( x )  1x = e ,则 f(0)= ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 当 第 39 页，共248页 x → 0 时, x − s in x c o s x 与 a x b 为等价无穷小, 则 a= _______ , b = ________ . (8) 当 x → 0 时, e x + ln ( 1 − x ) − 1 与 x n 是同阶无穷小, 则 n = ________ . (9) 曲线 y = e − x 2 的上凸区间是 ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (10) 曲线 第 40 页，共248页 y = ( 2 x − 1 ) e 1x 的斜渐近线方程为 ________ (11) 设 f ( x ) = n 2 e xn − ( 1 + n ) x 在 x = x n 处有水平切线, 则 lim n e x n  → = ________ . (12) 设 y = f ( x ) 由参数方程  x y = = 2 t 4 t + − 1 , 2 t ( t 0 ) 确定,则 lim n n f 2 n n 1 3  →   +  −  = _______ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设连续函数 第 41 页，共248页 y = f ( x ) 在点 ( 1 , 0 ) 处满足 Δ y = Δ x + o ( Δ x ) ,则极限 lim x → 0 x 2 e  1 + x f ln ( ( 1 t )d + t x 3 ) = _______. (14) 设 f ( x ) = x ( 2 x − 1 ) ( 3 x − 2 ) ( 1 0 0 x − 9 9 ) , 则 f  ( 0 ) = ________ . (15) 设 d d x  f ( x 3 )  = 1 x , 则 f  ( x ) = ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (16) 设 第 42 页，共248页 f ( x ) = 1 1 x − 0 x , 则 f (1 0 ) ( x ) = _________ . (17) 设 f (x) 可导, 且 lim x → 0 f ( 1 ) − 2 f x ( 1 − x ) = − 1 , 则曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的 切线斜率为 ________ . (18) 设 f (x)=cos x +x2 x 在 x=0 处存在的最高阶导数的阶数为 ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (19) 曲线 第 43 页，共248页 x = a c o s 3 t , y = a s in 3 t ( a  0 ) 在 t 4  = 处的曲率 = ________ . 三、解答题 (1) 计算下列函数的导数: (I) y = 3 x 1  3 x ; (II) y = x a a + a x a + a a x ( a  0 ) ; (III) y = 2 sin x ; (IV) y = ln ta n x + s e c x .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (2) 求下列函数的导数: (I) 第 44 页，共248页 y = ( 1 + x 2 ) sin x ; (II) y = ln x + 1 x 2 + 1 . (3) 求下列函数的微分: (I) y a r c ta n 1 x  =   , 其中  可导,求 d y ; (II) 设 y = y ( x ) 由 e x + y − y s in x = 0 确定, 求 dy; (III) 设 y = y ( x ) 由  x y = = 2 5 t t , 2 + 1 确定, 求 d y .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (4) 设 第 45 页，共248页 y = y ( x ) 由方程 x 2 + y 2 = e a rc ta n yx 确定, 求 d d 2 x y 2 . (5) 设 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = t 1 − − s c in o t s t 确定, 求 d d y x , d d 2 x y 2 . (6) 求心形线 r 1 c o s  = − 在对应于 2   = 处的切线方程.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 46 页，共248页 f ( x ) =  x 0 k , s in 1 x , x x  = 0 0 , . (I) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处不可导; (II) 当 k 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导, 但导函数不连续; (III) 当 k 为何值时, f (x) 在 x=0 处导函数连续. (8) 设 f (x) 在 ( 0 , )  + 内满足 f (xy)= f (x)+ f (y), 且 f(1)=1, 证明: f (x) 在 ( 0 , )  + 内可导,并求 f ( x ) .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (9) 设 第 47 页，共248页 f ( x ) =  e 0 − , 12 x , x x  = 0 0 , , 求 f (n ) ( 0 ) . (10) 设气体以 1 0 0 c m 3 / s 的速率注人球状气球, 求当半径为 1 0 c m 时, 气球半径增加的 速率. (设气体压力不变) (11) 一动点P在曲线9y=4x2上运动,已知点P横坐标变化速率为 3 0 c m / s ,当点P经过 ( 3 , 4 ) 时,从原点到点 P 的距离 S 变化率为多少?(设坐标轴的单位长为 1 c m )高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (12) 设 第 48 页，共248页 f ( x ) 二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , f  ( 0 ) = 2 , 求 lim x → 0 f ( x x )2 − x . (13) 证明: f ( x ) =  1 1 + − x x 2 2 , , 0 − 1 x x 1 ,  0 满足拉格朗日中值定理, 并求满足定理的 的值. (14) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b , 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , 证 明: (I) 至少存在一点 ( a , b )   , 使得 2 f ( ) f ( ) 0    +  = ; (II) 至少存在一点 (a,b), 使得 2 f ( ) f ( ) 0    −  = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (15) 设 第 49 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b , 且 f (a)=0, 证明: 至 少存在一点 ( a , b )   , 使得 a f ( ) ( b ) f ( ) 0    + −  = . (16) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续, 在 ( 0 , )  + 内可导, 且 f ( 0 ) = 0 , lim x → +  f ( x ) = 0 , 证 明: 至少存在一点 ( 0 , )    + , 使得 f ( ) 0   = . (17) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续, 在 ( 0 , )  + 内可导, 且 0 f ( x ) 1 + x x 2 , 证明: 至 少存在一点 ( 0 , )    + , 使得 f ( ) ( 1 1 2 ) 2 2     = − + .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (18) 设 第 50 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 在 ( 0 ,1 ) 内可导, 且 f  ( x ) 0 , f ( 0 ) = 0 , 证明: 对任 x  意 x 0,1, 有 f (x ) 2f 0 . 0 0   2   (19) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , 且 f ( x ) 不恒等于 x , 证明: 存 在一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f ( ) 1    . (20) [25新增]设 f (x) 在 0,1 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 . 证明: (I) 存在 x 0  ( 0 ,1 ) , 使得 f (x )=2(1−x ); 0 0 (II) 存在  与 ( 0 ,1 )   , 且 , 使得 f()1+ f()=2.  公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (21) 设 第 51 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f  ( x ) 1 , f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内取得最小值, 证明: f(0) + f(1) 1. (22) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, f ( a ) = f ( b ) , 且 f ( x ) 在  a , b  上不恒为常数. 证明: 存在相异的 , ( a , b )   , 使得 f ( ) f ( ) 0       .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (23) 设 第 52 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, 且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 2  1 12 f ( x )d x , 证明: (I) 至少存在一点 (0,1), 使得 f ( ) 0   = ; (II) 对    R , 至少存在一点 (0,1), 使得 f ( ) f ( ) 0     −  = . (24) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 0  a  b , 证明: 存在 , ( a , b )   , 使得 2 f ( ) ( b a ) f ( )     = +  .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (25) 设 第 53 页，共248页 a , b 为正数, 证明: 至少存在一点 ( a , b )   aeb −bea , 使得 =e(1−). a−b (26) 证明下列不等式: (I) 当 0 x    时,有 s in x 2 x   ; (II) 当 e  a  b 时, 有 a b  b a ; (III) 当 x  0 时,有 ( x2 −1 ) lnx (x−1)2; (IV) 若 lim x → 0 f ( x x ) = 1 , 且 f  ( x )  0 , 有 f ( x ) x .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (27) 求函数 第 54 页，共248页 y ( x 1 ) e 2 a rc ta n x  = − + 的单调区间与极值, 并求其渐近线. (28) 设 f ( x ) =  x x 2 x + , 2 , x x  0 0 , , 求 f ( x ) 的单调区间与极值. (29) 设函数 y = y ( x ) 由参数方程  x y = = tln t 1 ln t , t ( t 1 ) 确定, 求 y = y ( x ) 的单调区间、凹 凸区间、极值和拐点.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (30) 求曲线 第 55 页，共248页 y = 4 x 2 + x ln  2 + 1 x  的全部渐近线. (31) 对数曲线 y = ln x 上哪一点的曲率半径最小?求出该点的曲率半径. (32) 证明: 方程 2 x − x 2 − 1 = 0 有且仅有三个不同实根.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (33) 证明: 方程 第 56 页，共248页 ln x x e 0 1 c o s 2 x d x  = −  − 在 ( 0 , )  + 内有且仅有两个不同实根. (34) 讨论曲线 y=4lnx+k 与 y=4x+ln4x 交点的个数. 综合题 (1) 选择题 (1) 设 f ( x ) 在 ( 1 ,1 ) ( 0 )    − +  内存在导数, f  ( x ) 严格单调减少, 且 f ( 1 ) = f  ( 1 ) = 1 , 则 ( ). A. 在 (1−,1) 和 (1,1+) 内, 均有 f (x)x B. 在 (1−,1) 和 (1,1+) 内, 均有 f (x)x C. 在 ( 1 ,1 )  − 内, f ( x )  x ; 在 ( 1 ,1 )  + 内, f ( x )  x D. 在 (1−,1) 内, f (x)x; 在 (1,1+) 内, f (x)x高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (2) 设 第 57 页，共248页 f ( x ) 在  0 , )  + 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( x )  0 , 当 0  a  x  b 时,有( )。 A. a f ( x )  x f ( a ) B. b f ( x )  x f ( b ) C. x f ( x )  b f ( b ) D. x f ( x )  a f ( a ) (3) 设 f (x) 在  a , b  上可导, f (x) 在 x=a 处取得最小值, 在 x=b 处取得最大 值, 则 ( ). A. f '+ ( a )  0 且 f'(b)0 B. − f '+ ( a )  0 且 f'(b)0 − C. f '+ ( a ) 0 且 f'(b) 0 D. − f '+ ( a )  0 且 f '− ( b )  0 (4) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上有二阶导数,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) , f  ( x )  0 ,则下列选项正确的是( ) A. 至少存在一点 (0,1),使得 f ()=0 B. 在 (0,1) 内, f  ( x )  0 C. 存在唯一一点 ( 0 ,1 )   , 使得 f ( ) 0   = D. 至少存在不同两点 , (0,1), 使得 f()= f( )=0 1 2 1 2高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (5) 设 第 58 页，共248页 f ( x ) 在 x = 0 的某邻域内有定义,则 F ( x ) = f ( x ) s in x 在 x=0 处可导的充要 条件是 ( ). A. lim x → 0 f ( x ) 存在 B. lim x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) C. f ( x ) 在 x = 0 处可导 D. lim x → 0 − f ( x ) 与 lim x → 0 + f ( x ) 均存在, 且 lim x → 0 − f ( x ) = − lim x → 0 + f ( x ) (6) [25新增]设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内是连续的奇函数, F ( x ) =  0 x f ( t )d t , 则正确的是 ( ). A. F ( x ) 是不可导的奇函数 B. F ( x ) 是可导的偶函数 C. F ( x ) 是不可导的偶函数 D. F ( x ) 是可导的奇函数 (7) 设 y = f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有四阶连续导数, 且 f(x )= f(x )= f(x )=0, 0 0 0 且 f (4)(x )0, 则 ( ). 0 A. f (x) 在 x 0 处取得极小值 B. f (x) 在 x 0 处取得极大值 C. (x , f (x )) 是 y= f (x) 的拐点 D. f (x) 在 x 的某邻域内单调减少 0 0 0高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (8) 设 第 59 页，共248页 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 lim x → x0 f ( ( x x ) − − x f 0 ( ) ) x n 0 ) = 1 , 则 ( ). A. 当 n 为奇数时, x 0 是 f ( x ) 的极大值点 B. 当 n 为奇数时, x 0 是 f ( x ) 的极小值点 C. 当 n 为偶数时, x 0 是 f (x) 的极小值点 D. 当 n 为偶数时, x 是 0 f ( x ) 的极大值点 (9) 设 f (x) 在 ( , )   − + 内可导, 则下列命题正确的是( ). A. 若 lim f (x)=−, 则必有 lim f(x)=− x→− x→− B. 若 lim x f ( x )   → −  = − , 则必有 lim x f ( x )   → − = − C. 若 lim x f ( x )   → + = + , 则必有 lim x f ( x )   → +  = + D. 若 lim x f ( x )   → +  = + , 则必有 lim x f ( x )   → + = + (10) 设 k 0, 方程 ln x − x e + k = 0 在 (0,+) 内不同实根的个数为 ( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (11) 设当 第 60 页，共248页 x  0 1 时,方程 kx+ =1 有且只有一个实根, 则( ). x2 A. k  2 9 3 B. k  2 9 3 C. k = 2 9 3 2 D. k =− 3 9 (12) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , f  ( x ) M  0 , 则方程 f ( x ) = 0 在 ( 0 , )  + 内不同实根的个数为 ( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 (13) 设可导函数 f ( x ) , x   0 ,1  满足 f  ( x ) M  0 ,且 f  1 2  0 ,则在区间( )上,有 f ( x ) 1 4 M .  1 A. 0, B.    4  1 4 , 1 2  C.  1 2 , 3 4  3  D. ,1   4 公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (14) 设函数 第 61 页，共248页 f1 ( x ) , f 2 ( x ) 有二阶连续导数, 且 '' f1 ( x )  0 , f '' 2 ( x )  0 , 若曲线 y= f (x) 1 与 y = f 2 ( x ) 在点 (x ,y ) 处有公切线 0 0 y = g ( x ) , 且在该点处曲线 y= f (x) 的曲 1 率半径小于 y = f 2 ( x ) 的曲率半径, 则在点 x 的某邻域内有 ( ). 0 A. g ( x ) f 2 ( x ) f1 ( x ) B. g ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) C. f1 ( x ) f 2 ( x ) g ( x ) D. f1 ( x ) g ( x ) f 2 ( x ) 二、填空题            (1) 设函数 f (x)=  tan x−1  tan x2 −2   tan x100 −100  , 则  4   4    4   f  ( 1 ) = ______. (2) 设 f (x)=3x2 +kx−3,若对任意x(0,+),都有 f ( x ) 2 0 ,则 k 至少为 ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (3) 函数 第 62 页，共248页 y = e − x  1 + x + x 2 2 ! + + x n n !  ( n 为正奇数) 的极大值为 ________ . (4) 已知 f ( x ) 在 ( , )   − + 内可导,且 lim x f ( x ) e , lim x x x k k x lim x f ( x ) f ( x 1 )    →  = →  + −  = →  − −  则 k = ________ . (5) 设 y= f (x) 在 (−,) 上连续, 且其导函数 f  ( x ) 的图形如图所示, 其中 x = 0 和 x = x 5 是 f(x) 的铅直渐近线, 则 y = f ( x ) 极值点的个数为 ________ , 拐点 的个数为 ________ .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (6) 设 第 63 页，共248页 f ( x ) 在 x = x 0 处可导, 且 f ( x 0 )  0 x   1  f   x 0 + x    , 则 lim  = ________ . x→ f (x )  0     (7) 设 y = f ( x ) 在 x 0 处有三阶连续导数, f  ( x 0 ) = 1 , f  ( x 0 ) = 2 , f  ( x 0 ) = 3 , y = f ( x ) 有 反函数 x = g ( y ) , 且 y 0 = f ( x 0 ) , 则 g  ( y 0 ) = ________ . 三、解答题 (1) 设 f ( x ) =  a x ln 2 ( 1 + + b s in ) x , x + c , x x  0 , 0 , 问 a , b , c 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处一阶导数 连续, 但二阶导数不存在?高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (2) 设 第 64 页，共248页 z f ( x ) y 2  =  +  , 其中 x , y 满足 y e y x , f ,  + = 均具有二阶导数, 求 dz d2z , . dx dx2 (3) 已知 f ( x ) 是周期为 5 的连续函数, f ( x ) 在 x = 1 的某邻域内满足 − 3 f ( 1 − s in x ) 8 x ( x ) f ( 1 + s in x )  = + 其中 ( x )  是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f ( x ) 在 x = 1 处可导, 求曲线 y= f (x) 在点 ( 6 , f ( 6 ) ) 处的切线方程. (4) 设 f ( x ) = n x (1 − x ) n ( n 为正整数), 求 f (x)在  0 ,1  上的最大值 M ( n ) 及 lim n M ( n )  → .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (5) 设 第 65 页，共248页 f ( x ) =  | 0 x , p| s in 1 x , x x  = 0 0 , . ( I ) 当 p 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处连续; (II ) 当 p 为何值时, f ( x ) 在 x = 0 处可导; (III) 当 p 为何值时, f(x)在x=0处连续. (6) 设 f (x) 在  0 ,1  f (x) f (x) 上二阶可导, 且 lim = lim =1, 证明: x→0+ x x→1− x−1 (I) 至少存在一点 (0,1), 使得 f ()=0; (II) 至少存在一点 (0,1), 使得 f ( ) f ( )    = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (7) 设 第 66 页，共248页 f ( x ) 与 g ( x ) 在  a , b  上连续,在 ( a , b ) 内可导, 且 f ( a ) = g ( b ) = 0 , 证明: 至少存在一点 ( a , b )   , 使得 f ( ) b g ( t )d t g ( ) a f ( t )d t 0       +   = . (8) 在 x = 0 的右邻域内, 用多项式 e + a x + b x 2 1 近似表示函数 f (x)=(1+x)x, 使其误 差是比 x 2 高阶的无穷小 ( x → 0 + ) , 求 a , b 的值.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (9) 设 第 67 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上可导,证明: (I) 若 f'(a)f'(b)0, 则存在 (a,b), 使得 f()=0; + − (II) 若 f '+ ( a )  f '− ( b ) , 则对介于 f'(a) 和 + f '− ( b ) 之间的每个实数 , 都存在 (a,b),使得 f ( )    = . (10) 设函数 f ( x ) 在区间 a,b 上有二阶导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f '+ ( a ) f '− ( b )  0 . 证明: 在 (a,b) 内存在两点  与 , 使得 f ( ) 0 , f ( ) 0   =  = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (11) 设 第 68 页，共248页 f ( x ) 在  0 , )  + 上有二阶导数, f ( 0 ) = 0 , f '+ ( 0 )  0 , f  ( x ) M  0 ( x  0 ) .证明: f (x)=0 在 (0,+) 内有唯一实根. (12) 设 f (x)在  0 ,1  上连续, 在 ( 0 ,1 ) 内可导, f ( x )  0 f (x+1) , 且 lim 存在, 证 x→0− x 明: (I) 存在 ( 0 ,1 )   1−e 1 , 使得 =− ; e 1 f (t)dt ef () 0 (II) 存在 ( 0 ,1 )   , 使得 e 1 0 f ( t )d t ( e 1 ) e ( 1 ) f ( )     = − −  .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (13) 设 第 69 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上具有二阶导数, 且 f ( x ) a , f  ( x ) b , 其中 a , b 都是非负常 数, c 是 ( 0 ,1 ) 内任一点. (I) 写出 f (x) 在 x = c 处带拉格朗日余项的一阶永勒公式; (II) 证明: f  ( c ) 2 a + b 2 . (14) 证明下列结论: (I) 设 f ( x ) =  x 0 1 d + t t 2 +  1x 0 1 d + t t 2 ( x  0 ) , 则 f ( x ) 2  = ; (II) 当 x 1 时, a r c ta n x 1 2 a r c c o s 1 2 x x 2 4  − + = .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (15) 设函数 第 70 页，共248页 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 (x−1)f(x)=1−e1−x +2(x−1)f(x), 证明:当 x = x 0 是 f ( x ) 的极值点时, f ( x ) 在 x 0 处取得极小值. (16) 求椭圆 x 2 − x y + y 2 = 3 上纵坐标最大和最小的点. (17) 设曲线 y = 1 x 的一条切线与 x 轴和 y 轴围成一个平面图形 D, 如图所示. (I) 记切点的横坐标为 a , 求切线方程和图形 D 的面积; (II) 当切点沿曲线趋于无穷远时, 该面积的变化趋势如何?公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (18) 设 第 71 页，共248页 f ( x ) = a r c ta n x , 求 f (n ) ( 0 ) . (19) 设 f ( x ) = a 1 s in x + a 2 s in 2 x + + a n s in n x , 其中 a 1 , a 2 , , a n 为实数, n 为正整数. (I) 求 f  ( 0 ) ; (II) 若 f ( x ) s in x , 证明: a +2a + +na 1. 1 2 n (20) 已知 f (x)可导,证明: 曲线y= f (x)(f (x)0)与曲线 y = f ( x ) s in x 在交点处相切.高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (21) 确定 第 72 页，共248页 k 的取值, 使方程 x3+2x2 +x=k 有 3 个不同实根. (22) 设 R = R ( x ) 是抛物线 y = x 上任一点 M ( x , y ) ( x 1 ) 处的曲率半径, s = s ( x ) 是该抛物线上介于点 A(1,1) 与 M 之间的弧长, 计算 3 R d d 2 R 2 s −  d R d s  2 的值. (23) 已知函数 f (x) 在  0 , )  + 上有二阶连续导数, f (0)= f(0)=0, 且 x  0 , )  + , 有 f  ( x )  0 , 设 F ( x ) 是曲线 y= f (x) 上任一点 (x, f (x)) 处的切线在 x 轴的 截距 (x0), 求 lim x → 0 +  F ( x ) + F  ( x )  .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 拓展题 (1) 设 第 73 页，共248页 f ( x ) 有二阶连续导数, f ( 0 ) = f  ( 0 ) = 0 , f  ( 0 )  0 , u = u ( x ) 是曲线 y = f ( x ) 在点 (x, f (x)) 处的切线在 x 轴上的截距, 求 lim x → 0 u x( x ) (2) 设 f ( x ) 在  a , b  上. 有二阶连续导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , M = ma a x b f  ( x ) . 1 (I) 证明: max f (x) M(b−a)2; a r b 8 (II) 证明: ma ax x b f  ( x ) 1 2 M ( b − a ) .高数 · 2.一元函数微分学及其应用 (3) [25新增]设 第 74 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上有连续的导数, 且 f  ( x )  0 , 假设 f f (x) 存在,   证明: 存在 ( a , b )   , 使得 f f (b)− f f (a)=f() 2(b−a).      高数 · 3.一元函数积分学及其应用 第三章 一元函数积分学及其应用 基础题 一、选择题 (1) 设 第 75 页，共248页 f ( x ) 是连续函数,且 f ( x )  0 ,若  x f ( x )d x = a r c s in x + C ,则  f d x( x ) = ( ). A. 1 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C B. 2 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C C. − 1 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C D. − 2 3 ( 1 − x 2 ) 32 + C (2) 设 f (x) 是连续函数, F(x) 是 f (x) 的原函数, 则 ( ). A. 当 f (x) 为奇函数时, F ( x ) 必为偶函数 B. 当 f (x) 为偶函数时, F ( x ) 必为奇函数 C. 当 f (x) 为周期函数时, F ( x ) 必为周期函数 D. 当 f (x) 为单调函数时, F ( x ) 必为单调函数 (3) 设 F(x) 是 sinx2 的一个原函数, 则 dF ( x2)=( ).   A. sinx4dx B. sinx2d ( x2) C. 2 x s in x 2 d x D. 2 x s in x 4 d x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (4) 设 第 76 页，共248页 f ( x ) s 2 in , x , 0 x x 2 , , , F ( x ) x 0 f ( t )d t    =   =  , 则 ). A. x  = 是 F ( x ) 的跳跃间断点 B. x= 是 F ( x ) 的可去间断点 C. F ( x ) 在 x  = 处连续但不可导 D. F ( x ) 在 x  = 处可导 (5) [25新增] f ( x ) =  x c 2 o + s x 1 , , x x  0 , 0 的一个原函数为( ). A. F ( x ) =  1 3s x in 3 x + + x , 1 , x x  0 0 1  x3 +x+1, x 0 B. F(x)=3  sinx+2, x0 C. F ( x ) =  1 3s x in 3 x + , x + 1 , x x  0 0 1  x3 +x, x 0 D. F(x)=3  sinx, x0 (6) 设 f (x) 在  0 ,1  上连续, f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 1 , 记 M = f (x)dx, 0 N = f ( 1 ) , P = 1 2  f ( 0 ) + f ( 1 )  , 则( ). A. M  N  P B. N  M  P C. P  M  N D. P  N  M高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (7) 设 第 77 页，共248页 lim x → 0 s in x 1 − a x  x b 1 2 t + t 2 d t = c , 且 c  0 , 则 ( ). A. a = 1 , b = 0 , c = − 2 B. a = 1 , b = − 2 , c = − 2 C. a = 0 , b = 1 , c = − 2 D. a = 1 , b = 1 , c = 1 (8) 下列反常积分收敛的是 ( ). A. 1 x 2 d x 1 x   + B.  1 0 ln ( d 1 x + x ) c.  1 − 1 s d x in x x D.  dx 1+x2 二、填空题 (1) 设 F ( x ) 是 f ( x )  的一个原函数, F =0, 当 4 4 x 2     时,F(x)0, F ( x ) f ( x ) = ln(tanx) , 则 sinxcosx f ( x ) = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设对任意 第 78 页，共248页 x , 有 f ( x + 4 ) = f ( x ) , 且 f  ( x ) = 1 + x , x   − 2 , 2  , f ( 0 ) = 1 , 则 f ( 9 ) = ________ . x (3) 设 f (x)= sin(x−t)2dt,则 0 f  ( x ) = ________ ; (4) 设 F ( x ) =  x 0 tf ( x 2 − t 2 )d t , f ( x ) 是连续函数,则 F  ( x ) = ________ ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 设 第 79 页，共248页 F ( x ) =  x 0 tf ( x 2 − t 2 ) d t , f ( x ) 在 x = 0 某邻域内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 ,则 F(x) lim = ________ . x→0 x4 (6) 设 ( x ) 5 0 x s in t t d t , ( x ) sin 0 x (1 t ) 1t d t   =  =  + , 则 lim x 0 (( x x ))   → = ________ ; 1  tlntdt (7) 极限 lim cosx = ________ ; x→0 x4高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 极限 第 80 页，共248页 lim x → 0  x 0   u 0 2 a x r ( c 1 ta − n c ( o 1 s + x t ) )d t  d u = ________ . (9) 函数 y = 1 x − 2 x 2 在  1 2 , 2 3  上的平均值为________ . (10) 曲线 y = 1 + x x 2 绕x轴旋转一周所得的旋转体,将它在x=0与x=(0)之间部分的 1 体积记为V(),且V(a)= lim V(), 则 2→+ a = ________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (11) 曲线 第 81 页，共248页 r a s in 3 3 ( a 0 , 0 3 )    =  的弧长 s = ________ . (12) 曲线 y x 2 c o s t d t  =  − 的全长 s = ________ . (13) 由曲线 y = ln x 与两直线 y=(e+1)−x 及 y = 0 所围平面图形的面积 S = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (14) 设 第 82 页，共248页 D 是由曲线 y = s in x + 1 与直线 x 0 , x , y 0  = = = 所围平面图形, 则 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V = ________ . (15) 设 n 为正数, lim x 0 n n x x 2x 1n x e 4 x d x  →  − +  =  + − , 则 n=________ . 三、解答题 (1) 求下列积分: (I)  2 9 x x  − 3 4 x x d x ; (II)  x 2 ( d 1 x − x 4 ) ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 83 页，共248页  x 4 ( d 1 x + x 2 ) ; (V)  x a 2 r( c 1 ta + n x 2 x ) d x ; (V)  x + ln x ( 1 2 − x ) d x ; (2) 求下列积分: (I)  x ( 1 d + x x ) ; (II)  x e e x x − 1 d x ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 84 页，共248页  1 x + 3 x 2 d x ; (IV)  ( 2 x 2 + d 1 x ) 1 + x 2 ; (V)  a r c ta x n x − x 1 − 1 d x ; (VI)  1 − x x x d x . (3) 求下列积分: (I)  s in 2 d x x c o s 4 x ; (II)  1 + d x s in x ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 85 页，共248页  s in s x in + x c o s x d x ; (IV)  3 s s in in x x + + 2 c c o o s s x x d x ; (V)  s in 2 x d + x 2 s in x (VI)  dx ( a2 +b2 0 ) . a2sin2x+b2cos2x (4) 求下列积分: (I) arctan xdx; (II)  (1 ln − x x ) 2 d x高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 86 页，共248页  ( x x 2 + x e 2 ) 2 d x ; (IV) sin(lnx)dx; 1 1−x (V)  dx; (VI) x2 1+x  e 2 x (1 + ta n x ) 2 d x . (5) 求下列积分: (I) 4 4 x 2 ln 1 1 x x c o s x d x    −  + − −  ; (II)  1 − 1 ( 2 + s in x ) 1 − x 2 d x ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 87 页，共248页  2 − 2 ( x + x ) e − x d x ; (IV)  1 − 1 2 x 2 1 + + x ( e 1 x − + x e 2 − x ) d x . (6) 求下列积分: ( I )  2 0 ( x − 1 ) 2 2 x − x 2 d x ; (II) 0 ( e c o sx e c o sx )d x   − − . (7) 求下列积分: (I)  2 − 3 m in  2 , x 2  d x ; (II)  x − 1 ( 1 − t ) d t ( x − 1 ) ;高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (III) 第 88 页，共248页  1 − 1 x − y e x d x ( y 1 ) ; (IV) 0 1 s in x d x   − . (8) 求下列积分: (I) 2 2 ( x s in 2 x ) c o s 2 x d x    − + ; (II)  1 0 x ( 1 − x 4 ) 32 d x ; (III) 0 ts in td t   ; (IV)  1 0  2 x − x 2 + ( 1 − x 2 ) 3  d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (9) 求下列积分: (I) 第 89 页，共248页 1 e x d 1 x e 3 x   + +  + − ; (II)  3212 x d x − x 2 . (10) 设 f ( x ) 在  0 , a  上具有二阶导数 ( a  0 ) ,且 f ( x )  0 , f  ( x )  0 ,证明: a a  f (x)dxaf   . 0 2 (11) 设 f ( x ) 在  a , b  上连续且单调增加,证明:  b a x f ( x )d x a + 2 b  b a f ( x )d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (12) 设 第 90 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上连续,且 y = f ( x ) 的图形关于直线 x = a + 2 b 对称,证明:  b a x f ( x ) d x = a + 2 b  b a f ( x ) d x (13) 设 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续,且单调增加,证明:当0ab时,有  b a x f ( x ) d x 1 2  b  b 0 f ( x ) d x − a  a 0 f ( x ) d x  . x 2t−1 (14) 求 f (x)= dt在−1,1上的最大值与最小值. 0 t2 −t+1公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (15) 设点 第 91 页，共248页 A ( a , 0 ) ( a  0 ) ,梯形 O A B C 的面积为 S ,曲边梯形 O A B C 的面积为 S 1 ,其曲边由 y = 1 2 + x 2 确定,证明: S S 1  3 2 . (16) 设曲线 y s in x 0 x 2  =   ,直线 y = k ( 0 k 1 ) 与 x = 0 所围面积为 S 1 , y s in x 0 x 2 , y k  =   = 与 x 2  = 所围面积为 S 2 ,求 S = S 1 + S 2 的最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (17) 设曲线 第 92 页，共248页 y s in x 0 x 2 , y 1  =   = 及x=0所围平面图形为 D 1 , y = s in x ( 0 x )  及 y = 0 所围平面图形为 D 2 . (I) 求 D 绕直线 1 x 2  = 旋转一周所得体积 V ; 1 (II) 求 D 2 绕 y 轴旋转一周所得体积 V 2 . (18) 设星形线 x y a a c s o s in 3 t 3 t ( 0 t 2 , a 0 )   = =  . (I) 求所围面积 A ; (II) 求弧长 L ; (III) 求绕 x 轴旋转一周所得体积 V 和表面积 S .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (19) 设立体图形的底是介于 第 93 页，共248页 y = x 2 − 1 和 y = 0 之间的平面区域,而它的垂直于 x 轴的任一 截面是等边三角形,求立体体积 V . 综合题 一、选择题 x+2 (1) 设 F(x)= esint sintdt, 则正确的是 ( ). x A. F ( x ) 为正的常数 B. F ( x ) 为负的常数 C. F(x) 不是常数 D. F(x) 恒为零 (2) 设 0, 在 ( , )  −  内有 f (x) x2, f(x)0,I = f (x)dx, 则( ). − A. I = 0 B. I  0 C. I  0 D. 不能确定高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (3) 设 第 94 页，共248页 I 1 2 0 s in ( s in x )d x , I 2 2 0 c o s ( s in x )d x   =  =  , 则( ). A. I 1  1  I 2 B. I 2  1  I 1 C. 1  I 1  I 2 D. I 1  I 2  1 (4) 设 f ( x ) 二阶可导, 则下列结论正确的是 ( ).  ① 当 f(x)0 时, 则  f (x)sinxdx0; − ② 当 f  ( x )  0 时, 则 f ( x ) s in x d x 0    −  ; ③ 当 f  ( x )  0 时, 则 f ( x ) c o s x d x 0    −  ; ④ 当 f  ( x )  0 时, 则 f ( x ) c o s x d x 0    −  . A. ② ③ B. ① ② C. ② ④ D. ① ④  1  + −cos (5) 设反常积分  xke x −e−1dx 收敛,则正确的是( ).   1   A. k  − 1 B. k  − 1 C. k  1 D. k  1高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (6) 设连续函数 第 95 页，共248页 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( 2 a − x ) ( a  0 ) , b 为常数,则  b − b f ( a − x ) d x = ( ) A. 2  b 0 f ( 2 a − x )d x B. 2  b − b f ( 2 a − x )d x b C. 2 f (a−x)dx D. 0 0 (7) [25新增]设螺线 r ( 0 2 )    = 与极轴所围区域的面积为 A, 则 A = ( ). A. lim n n i 1 4 n 3 3 i 2   →  = B. lim n n i 1 4 n 3 2 i 2   →  = C. lim n n i 1 8 n 3 i 3 2   →  = D. lim n n i 1 2 n 3 2 i 2   →  = (8) 设 f ( x ) 有连续导数, f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 6 , ( x ) x 0 3 f ( t )d t , ( x ) x 0 f ( t )d t 3   =  = =  =    ,则当 x→0 时,(x)与 ( x )  是 ( ). A. 同阶无穷小 B. 等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (9) 设 第 96 页，共248页 I = 1 s  st 0 f  t + x s  d x , s  0 , t  0 , 则正确的是 ( ) . A. I 仅依赖于 s B. I 仅依赖于 t C. I 依赖于 s,t D. I 依赖于 s,t,x (10) 设积分 I 1 x d x p ln q x ( p 0 , q 0 )  =  +   收敛, 则 ( ). A. p  1 且 q  1 . B. p  1 且 q  1 C. p1 且 q1 D. p1 且 q1 二、填空题 (1) f (x)=max  1,x2 在 ( , )   − + 内满足 F(0)=1 的一个原函数为________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设 第 97 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上连续, 若 x 0   a , b  , x   a , b  , 则极限 lim Δ x → 0 Δ 1 x  x x0  f ( t + Δ x ) − f ( t )  d t = ________ . (3) 由曲线 y=x(x−1)(2−x) 与 x 轴围成的平面图形的面积 A = ________ . (4) 双纽线 ( x2 + y2)2 =x2 − y2 围成的平面图形的面积为 ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 已知 第 98 页，共248页 f  ( e x ) = x e − x , 且 f ( 1 ) = 0 , 则 f ( x ) = ________. (6) 已知 f ( x ) 1 c o s 2 x , x 2 , 2 , f ( 0 ) 0    = −   −  = , 则 f ( x ) = ________. (7) 设 f ( x ) x2 连续, g(x)= xf (t)dt, 且 0 g ( 1 ) = 1 , g  ( 1 ) = 5 , 则 f ( 1 ) = ________ .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 1 (8) 设 f (2)= , f(2)=0, 且 2 第 99 页，共248页  2 0 f ( x )d x = 1 , 则 I =  1 0 x 2 f  ( 2 x )d x = ________ . x (9) 设 f (x)= ecostdt, 则 0 I 0 f ( x ) c o s x d x  =  = ________ . +sinx  +sin2x (10) 设  dx= , 则 I = dx=________ . 0 x 2 0 x2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (11) [25新增] 第 100 页，共248页 lim n k n 1 1 n ln n 3 n 2 2 k k  →  = + − = ________. (12) [25 新增]已知曲线 y= y(x)上任一点 ( x , y ) 处的切线斜率为 x 1 2 x − 1 ,且曲线通过点 ( − 2 , 0 ) ,则该曲线方程为 y = ________. (2) 解答题 (1) 求下列积分: x dt 1 (I)设 f (x)= , 求 I = x2f (x)dx; 1 1+t4 0 (II)设 f (x)= x2 e−t2 dt , 求 I = 1 xf (x)dx. 1 0公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 设 第 101 页，共248页 f ( s in 2 x ) = s x in x , 求 I =  1 x − x f ( x ) d x . (3) 计算积分 I =  e sin x  x c o s c 3 o x s − 2 x s in x d x . e-sinxsin2x (4) 计算 I = dx.  x sin4  −  4 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) 设 第 102 页，共248页 f ( ln x ) = ln ( 1 + x x ) , 求 I =  f ( x )d x . (6) 设 f(x)=arctan(x−1)2,f (0)=0, 求 I =  1 0 f ( x )d x . (7) 求极限 lim x → 0 1 2  2 0 x 4 1 − + x 2 2 x u 3 2 − d u 1 − 2 x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (8) 设 第 103 页，共248页 f ( x ) 在 ( , 0   − 上连续, 且满足  xtf 0 ( t 2 − x 2 ) d t = 1 x + 2 x 2 − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) ，求函数 f ( x ) 及其极值. (9) 设 f ( x ) 在 (0,+) 内一阶可导, g ( x ) 为 f ( x ) 的反函数, 且 g ( x ) 连续, 若  1 f ( x ) g ( t ) d t = x 2 e x − 4 e 2 −  x 1 − 1 f ( t + 1 )d t , f ( 2 ) = 1 ,求 f ( x ) 的表达式. (10) 设 f ( x ) 在 1 , 2  上可导, 且  x 0 tf ( 2 x − t )d t = 1 2 a r c ta n x 2 , f ( 1 ) = 1 2 , 证明: 至少存 在一点 ( 1 , 2 )   , 使得 f()=0.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (11) 设 第 104 页，共248页 f ( x ) 满足 e − x − x 2 2 = 1 +  x 0 f ( t − x )d t , 求 f ( x ) 在 ( , )   − + 内的最值. (12) 求 f ( x ) =  x 0 2 ( 2 − t ) e − t d t 的最大值和最小值. (13) 证明: lim n 1 0 1 x n x d x 0  →  + = .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (14) 求极限 第 105 页，共248页 lim n n 2 1n 1 n 2 2n 1 2 n 2 nn 1 n  →  + + + + + +  . (15) 求极限 lim n 1 n n n ( n 1 ) ( n 2 ) ( 2 n 1 )  → + + − . (16) 设 0 f ( x )d x   + 收敛, 且 f ( x ) 1 1 x 2 1 e x e x 0 f ( x )d x  = + − + −  + , 求 0 f ( x )d x   + .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (17) 设 第 106 页，共248页 a n 4 0 ta n n x d x  =  , 证明: 2 ( n 1 + 1 )  a n  2 ( n 1 − 1 ) ( n 2 ) . (18) 求积分 I n =  1 0 x ln n x d x ( n 0 且为整数) 的递推关系, 并计算 I n . (19) 如下： (I) 求积分 I n =  ( x 2 1 + a 2 ) n d x ( n 1 , a  0 ) 的递推关系; (II) 计算 I =  ( x 2 3 + x 2 + x 4 + 2 ) 2 d x .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (20) 证明: 第 107 页，共248页 f ( x ) =  x 0 ( t − t 2 ) s in 2 n t d t ( x  0 ) 的最大值为 f ( 1 ) ,且 f ( 1 ) ( 2 n + 2 1) ( 2 n + 3 ) . (21) 设 f ( x ) 在  a , b  上有二阶连续导数, 且 f (b)= f(b)=0, 证明:  b a f ( x ) d x = 1 2  b a f  ( x ) ( x − a ) 2 d x . (22) 设 f (x) 在  a , b  上二阶可导, 且 f(x)0, 证明: a+b 1 b f (a)+ f (b) f    f (x)dx .  2  b−a a 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (23) 设 第 108 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  ( a  b ) 上连续, 且  b a f ( x )d x =  b a x f ( x )d x = 0 . 证明: 至少存在 不同的 1 , 2 ( a , b )    , 使得 f ()= f ( )=0. 1 2 (24) 设 f ( x ) 在 (−a,a)(a0) 内连续, 且 f(0)= A0. (I) 证明:对 x  ( 0 , a ) ,存在 ( 0 ,1 )   ,使得 x 0 f ( t ) d t 0 x f ( t ) d t x f ( x ) f ( x )    +  − =  − −  . 1 (II) 证明: lim= . x→0+ 2高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (25) 设 第 109 页，共248页 y = f ( x ) 在  0 ,1  上是非负连续函数. (I) 证明:存在x (0,1),使得在 0  0 , x 0  上以 f (x )为高的矩形面积,等于在 0  x 0 ,1  上以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积; (II) 又设 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  − 2 f ( x x ) ,证明:(I)中的 x 0 是唯一的. (26) 设曲线 y = f ( x ) 上任一点 ( x , f ( x ) ) 处的切线斜率为 a 2 x 2 − 4 a x + 3 ,且 y = f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值0. (I) 求 f ( x ) 及 f ( x ) 的其它极值; (II) 证明: 0  1 0 f ( u t ) d t 2 3 u , u  ( 0 ,1 ) .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (27) 设 第 110 页，共248页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续, 且满足 f ( x + T ) = f ( x ) , T  0 , f ( − x ) = f ( x ) . (I) 证明:  n 0 T x f ( x )d x = n 2 2 T  T 0 f ( x )d x ( n 为正整数);  (II) 计算I = x cosx dx 0 (28) 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有连续导数,证明: lim a → 0 + 4 1 a 2  a − a  f ( t + a ) − f ( t − a )  d t = f  ( 0 ) .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (29) 设曲线 第 111 页，共248页 y = a x ( a  0 ) 与 y = ln x 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有公切线. (I) 求常数 a 及点 (x ,y ); 0 0 (II) 求两曲线与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. (30) 设 f ( x ) 在  a , b  上可导, f ( a )  0 , f  ( x )  0 , S 1 ( x ) 与 S 2 ( x ) 为如图所示阴影部分的面 积, 证明:存在唯一的,使得 S S 1 2 (( )) k   = ( k 为正的常数).高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (31) 求曲线 第 112 页，共248页 4 y =  2 0 x 1 2 − x 2 u 2 d u ( x 0 ) 的全长. (32) 设平面图形 D 由 x2 + y2 2x 与 y x 确定, 求图形 D 绕直线 x = 2 旋转一周 所得旋转体的体积. (33) 求曲线 y=e−x sinx(x 0) 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (34) 设摆线 第 113 页，共248页 x y a a (( t 1 s c in o ) t , ) s t ( 0 t 2 , a 0 )   = = − −  与 x 轴所围平面图形为 D . (I) 求 D 绕 x 轴, y 轴各旋转一周所得旋转体的体积; (II) 求 D 绕直线 y = 2 a 旋转一周所得旋转体的体积. (35) 设 f ( x ) = x n 1 − x 2 , x   0 ,1  与 y = 0 所围平面区域的面积为 s in n2 x , x 0 , 2 S n , g ( x ) =     与y=0所围平面区域绕 x 轴旋转一周所得体积为 V n ( n = 1 , 2 , ) ,求极 限 lim n V S n n   → .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (36) 将半径为 第 114 页，共248页 R 的球沉入水中,它与水面相切,设球的密度与水的密度相等,现将球从水中 取出,问至少需要做功多少? (37) 设如图1(左),图2(右)所示为同一等腰三角形薄板,已知其底为 2 b 、高为 h ,将其垂 直放入静水中,图1是其底与水面相齐,图2是其顶点与水面相齐,设图1与图2薄板 一侧所受压力分别为 P 1 和 P 2 ,求 P P 2 1 .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (38) 求曲线 第 115 页，共248页 y = 3 − x 2 − 1 与 x 轴围成封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得旋转体的体积. (39) 设心形线 r 4 ( 1 c o s )  = + 与 0 , 2    = = 所围图形为D,求D绕极轴旋转一周所得旋转 体的体积. (40) 设 D 位于曲线 y x ( ln 1 x ) 1 ( 0 , 2 x )    = −   + 下方, x 轴上方的无界区域. (I) 求 D 的面积 S(); (II) 求 S() 的最小值.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (41) 设 第 116 页，共248页 f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且单调减少, f ( x ) 0 , a n = k n = 1 f ( k ) −  n 1 f ( x ) d x ( n = 1 , 2 , ) ,证明: lim n a n  → 存在. (42) 设 a n 1 0 x n 1 x 2 d x , b n 2 0 s in n x c o s n x d x  =  − =  , 求 lim n b a n n  → . 拓展题 解答题 (1) 已知曲线 L 的极坐标方程为 r 1 c o s 0 2    = +   . (I) 求曲线 L 在 4   = 对应点处的切线 T 的直角坐标方程; (II) 求曲线 L 、切线 T 与 x 轴所围图形的面积.高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (2) 如图1(左)所示,在水平放置的粗圆底柱形容器内存放液体(密度为 第 117 页，共248页 k g / m 3  ),容器长 为 4 m , 椭圆方程为 x 4 2 + y 2 = 1 (单位: m ),即如图2(右). (I) 当液面在过点 ( 0 , y ) ( − 1 y 1 ) 处的水平线时,问容器内液体的体积是多少? (II) 当容器内存满了液体后,平均每分钟从容器顶端抽出0.16m3的液体,当液面降至 y = 0 处时,求液体下降的速度; (III) 问抽出全部液体需做多少功?高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (3) [25新增]设 第 118 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上有二阶导数, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f  ( x )  0 , 证明: 当 x  ( a , b ) 时, 有 0  f ( x )  b 2 − a  b a f ( x )d x . (4) [25新增]设 f (x) 在  a , b  上有连续的二阶导数. b 1 1 b (I) 证明:  f (x)dx= (b−a)f (a)+ f (b)+  (x−a)(x−b)f(x)dx;   a 2 2 a (II) 记 M = mx aa x,b  f  ( x )  , 证明:  b a f ( x )d x − 1 2 ( b − a )  f ( a ) + f ( b )  ( b − 1 2 a ) 3 M .高数 · 3.一元函数积分学及其应用 (5) [25新增]设 第 119 页，共248页 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续的导数, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,证明： lim n n 1 0 f ( x ) d x 1 n k n 1 f k n 1 2 .  →   −  =    = −高数 · 4.空间解析几何 第四章 空间解析几何 基础题 一、选择题 (1) 设向量 第 120 页，共248页 a = ( 1 , 2 ,1 ) , b = ( − 1 , 0 , 2 ) , c = ( 0 , k , − 3 ) 共面, 则 k = ( ). A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 (2) 设直线 L 1 : x − 1 1 = y − − 2 5 = z + 1 8 与 L 2 :  x 2 − y y + = z 6 = , 3 , 则 L 1 与 L 2 的夹角为 ( ). A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  (3) 设直线 L :  x 2 + x 3 − y y + − 2 1 z 0 + z − 2 1 = = 0 , 0 , 平面 : 4 x 2 y z 2 0  − + − = , 则直线 L( ). A. 平行于平面  B. 在平面  上 C. 垂直于平面  D. 与平面  斜交公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 4.空间解析几何 (4) 方程 第 121 页，共248页 x 2 − y 4 2 + z 2 = 1 表示( ). A. 旋转双曲面 C. 双曲柱面 B. 双叶双曲面 D. 锥面 (5) 设非零向量 α 与 β 满足 α − β = α + β , 则必有( ). A. α − β = α + β B. α = β C. α  β = 0 D. α  β = 0 二、填空题 (1) 设向量 a = ( − 1 , 3 , 0 ) , b = ( 3 ,1 , 0 ) , c = r (常数).当 c 满足 a = b  c 时, r 的最小值为 ________ .高数 · 4.空间解析几何 (2) 设向量 第 122 页，共248页 a = ( 2 , − 3 ,1 ) , b = ( 1 , − 2 , 3 ) , c = ( 2 ,1 , 2 ) , 向量 r 满足 r ⊥ a , r ⊥ b , Prj r=14, c 则 r = ________ . (3) 过点 ( 2 , 0 , − 3 ) 且与直线  x 3 − x + 2 y 5 + y − 4 z 2 − z + 7 1 = = 0 , 0 垂直的平面方程为________ . (4) 点 P ( 1 , − 1 , 2 ) 到平面 : 2 x y 5 z 1 2 0  − + − = 的距离 d = ________ .高数 · 4.空间解析几何 (5) 点 第 123 页，共248页 P ( 1 , − 1 , 0 ) 到直线 L : x 3 = y 3 = z + 2 1 的距离 d = ________ . x−1=0 x+2y=0, (6) 直线 L : 与 L : 之间的距离 1 y= z 2 z+2=0 d = ________ . (7) 直线 L :  x 2 + x 2 − y y − + 3 z z = = 3 2 , 在平面 z=0 上的投影为 , 在平面 z = 1 上的投影为 ________高数 · 4.空间解析几何 (8) 过点 第 124 页，共248页 A ( 1 ,1 , − 1 ) , B ( − 2 , − 2 , 2 ) 和 C ( 1 , − 1 , 2 ) 三点的平面方程为 ________ . (9) 曲线  x y 2 = + 0 2 z 2 = 4 , 绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程为________ . (10) 曲线  z z = = 2 1 x 2 2 − + x 3 2 y − 2 , 3 y 2 在 xOy 面上的投影曲线方程为________ .高数 · 4.空间解析几何 (11) 设 第 125 页，共248页 α 与 β 均为单位向量,其夹角为 6  ,则以 α + 2 β 与 3 α + β 为邻边的平行四边形的面积 为 ________ . (12) 设 α 与β是非零常向量, β = 2 ( β 表示β 的模), α  与β 之间的夹角为 ,求 3 lim x → 0 α + x β x − α = ________ . 三、解答题 (1) 求平行于平面 x + y + z = 9 且与球面 x2 + y2 +z2 =4 相切的平面方程.高数 · 4.空间解析几何 (2) 设平面  与点 第 126 页，共248页 P ( 1 , 2 ,1 ) 3x−2y+2=0, 的距离为 1 , 且过直线 L: , 求平面  x−2y−z+6=0, 的方程. (3) 设平面  过直线 L :  x x + − 5 z y + + 4 z = = 0 0 , , , 且与平面 1 : x 4 y 8 z 1 2 0  − − + = 的夹角为 4 5 , 求平面  的方程. x+2 2−y z+1 (4) 求直线 L: = = 在平面 :2x+3y+3z−8=0 上的投影直线方程. 3 1 2高数 · 4.空间解析几何 (5) 求过点 第 127 页，共248页 ( − 1 , 2 , 3 ) , 垂直于直线 x 4 = y 5 = z 6 且平行于平面 7 x + 8 y + 9 z + 1 0 = 0 的直线 方程. (6) 求与直线 L 1 : x + 2 = 3 − y = z + 1 和 L 2 : x + 2 4 = y = z − 3 4 都垂直相交的直线方程. x−3 z−1 (7) 求直线 L : = y= 与 1 2 0 L 2 : x + 1 1 = y − 0 2 = z 的公垂线方程.高数 · 4.空间解析几何 x−1 y z−1 (8) 求直线 = = 绕 0 1 2 第 128 页，共248页 z 轴旋转一周所得的旋转曲面方程. x−1 y−2 z+1 (9) 求直线 L: = = 绕直线 3 4 1  x y = = 2 3 , 旋转一周所得的曲面方程.高数 · 4.空间解析几何 拓展题 解答题 求满足下列条件的动点的轨迹方程, 并说明它们分别表示什么曲面. (I)动点到坐标原点的距离等于它到平面 第 129 页，共248页 z = 4 的距离; (II)动点到坐标原点的距离等于它到点 (2,3,4) 的距离的一半; (III)动点到点 ( 0 , 0 , 5 ) 的距离等于它到 x 轴的距离; (Ⅳ)动点到 x 轴的距离等于它到 y O z 面的距离的两倍.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 第五章 多元函数微分学及其应用 基础题 一、选择题 (1) 设 第 130 页，共248页 f ( x , y ) = a r c s in x 2 + y 4 , 则下列选项正确的是 ( ). A. f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 存在 B. f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f'(0,0) 存在 y C. f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f'(0,0) 不存在 y D. f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在 (2) 设 f 'x ( x 0 , y 0 ) , f 'y ( x 0 , y 0 ) 均存在,则下列选项正确的是 ( ). A. lim x → y → x0y 0 f ( x , y ) 存在 B. f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处连续 C. lim f (x,y ) 存在 D. 0 x→x 0 f ( x , y ) o 在 U(x ,y ) 内有定义 0 0 (3) 设方程 x y − z ln y + e rz = 1 , 存在点 ( 0 ,1 ,1 ) 的一个邻域, 在此邻域内该方程 ( ). A. 可确定隐函数 y= y(x,z) 和 z = z ( x , y ) B. 可确定隐函数 x=x(y,z) 和 z=z(x,y) C. 可确定隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) D. 只能确定隐函数 z=z(x,y)公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (4) 设可微函数 第 131 页，共248页 f ( x , y ) 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处取得极大值, 则 ( ). A. f (x ,y) 在 0 y = y 0 处导数小于零 B. f ( x 0 , y ) 在 y= y 处导数大于零 0 C. f ( x 0 , y ) 在 y = y 0 处导数等于零 D. f ( x 0 , y ) 在 y = y 0 处导数不存在 (5) 设 f ( x , y ) = e 2 x ( x + y 2 + 2 y ) , 则 f ( x , y ) 1  在点 P ,−1 处( ). 2  A. 取得极小值 − e 2 B. 取得极大值 − e 2 C. 取得极大值 e D. 不取得极值 (6) 设 z = f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义, 且 f 'x ( 0 , 0 ) = 1 , f 'y ( 0 , 0 ) = 1 ,则( ). A. d z (0 ,0 ) = d x + d y B. 曲线  z y = = f 0 ( x , y ) , 在点 (0,0, f (0,0)) 处的切向量为 (1,0,1) C. 曲面 z= f (x,y) 在点 (0,0, f (0,0)) 处的法向量为 (1,1,1) D. lim f (x,y) 必存在 x→0 y→0高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (7) 设 第 132 页，共248页 f ( x , y ) = x e − x y , 则 ( ). A. f 'x + f 'y = 0 B. f 'x − f 'y = 0 C. f 'x − f 'y = f D. f 'x + f 'y = f (8) 设曲面 S 由方程 F(ax−bz,ay−cz)=0 所确定, F 有连续偏导数, a,b,c 是不为 零的常数, 则曲面 S 上任一点的切平面都平行于直线 ( ). A. x a = y b = z c B. x b = y c = z a C. x c = y b = z a D. x c = y a = z b 二、填空题 ln ( x+ey) (1) lim =________ . x→3 x2 + y2 y→0高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (2) 第 133 页，共248页 lim x y x 2 x x y y y 2   → → − + + = ________ . (3) lim x y 0 1 1 2 x xx 2 y  → →  −  + = ________ . (4) 设 z = (1 + x y ) y , 则 dz =________ . (1,1)高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (5) 设函数 第 134 页，共248页 f ( x , y ) 可微,且 f ( 1 , 2 ) = 2 , f 'x ( 1 , 2 ) = 3 , f ?y ( 1 , 2 ) = 4 , F ( x ) = f  x , f ( x , 2 x )  ,则 F(1)= ________ (6) 设 z = z ( x , y ) 由方程 x = z e y + z 确定, 则 d z (e ,0 ) = ________ . (7) 设  y F = ( x f , ( y x , t ) , t ) = , 0 , , F 有一阶连续偏导数, 则 d d y x = ________ .高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (8) 设 第 135 页，共248页 y = f ( x , t ) , t = t ( x , y ) 由方程 G ( x , y , t ) = 0 确定, f , G 可微, 则 d d y x = ________ . (9) 设 z = f  y x  + g ( e r , s in y ) , f 有二阶连续导数, g 有二阶连续偏导数, 则   x 2  z y = ________ . (10) 设 f ( u , v ) 有二阶连续偏导数, y = f ( e x , c o s x ) , 则 d d 2 x y 2 x = 0 = ________ .高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (11) 设 第 136 页，共248页 z = z ( x , y ) 由方程 e 2 y z + x + y 2 + z = 7 4 确定, 则 dz 1 1 =________ .  ,  2 2 xy sint (12) 设 f (x,y)= dt, 则 0 1+t2   2 x f 2 (0 ,2 ) = ________ . (13) 设 z ( x , y ) 的全微分 dz= ( x2 +2xy−y2) dx+ ( x2 −2xy−y2) dy, 则 z(x,y)= ________ .高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (14) 设 第 137 页，共248页 z = z ( x , y ) 由方程 z + ln z −  x y e − 2t d t = 0 2z 确定, 则 =________ . xy (15) 设 z = f  x y , x y  + g  y x  , f 具有二阶连续偏导数, g 具有二阶连续导数, 则   x 2  z y = ________ . (16) 曲面 z = x 2 + y 2 − 1 在点 P ( 2 ,1 , 4 ) 处的切平面方程为 ________ , 法线方程为 ________高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (17) 曲线 第 138 页，共248页 L :  x x 2 2 + + y z 2 2 = = 1 1 0 0 , 在点 P ( 3 ,1 ,1 ) 处的切线方程为 ________ , 法平面方程为 ________ . (x+ky)dx+ ydy (18) 设 为某二元函数的全微分, 则 (x+ y)2 k = ________. (19) 设 f ( x , y ) 有连续偏导数, 在 P (1 , − 2 ) 处有 f'(1,−2)=1, f'(1,−2)=−1,则 x y f ( x , y ) 在 P (1 , − 2 ) 处增加最快的方向为 ________.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (20) 函数 第 139 页，共248页 u = ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) 在点 P ( 1 , 2 , − 2 ) 处的梯度 g r a d u ( P ) = ________. 三、解答题 (1) 设 u = f ( x , y , z ) 有连续偏导数, y = y ( x ) , z = z ( x ) 分别由方程 e x y − y = 0 和 e z − x z = 0 确定, 求 d d u x . (2) 设 y = y ( x ) , z = z ( x ) 由方程组  x 2 2 x + − y 3 2 y + + z 5 2 z = = 3 4 x 确定, 求 d d y x , d d z x .高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (3) [25新增]求 第 140 页，共248页 f ( x , y ) = ( 1 + e y ) c o s x − y e y 的极值. (4) 设曲面 S : ( x − y ) 2 − z 2 = 1 , 求坐标原点到 S 的最短距离. (5) 求双曲线 x y = 4 与直线 2 x + y = 1 之间的最短距离.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (6) 求函数 第 141 页，共248页 z = x 3 − 3 x 2 − 3 y 2 在闭区域 D : x 2 + y 2 1 6 上的最大值. (7) 设椭圆  z x = + x y 2 + + z y = 2 , 4 上的点 ( x , y , z ) 到原点的距离为 d , 求其最值以及使得 d 取 最大和最小的点. (8) 设 u ( x , y ) 有二阶连续偏导数, 利用变换 =x+ay,=x+by, 将方程 2u 2u 2u +4 +3 =0化为 2u =0, 求 a,b 的值. x2 xy y2 高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (9) 设 f (u) 有二阶连续导数, 且 第 142 页，共248页 z = f ( e x s i n y ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = z e 2 x , 求 f (u). 综合题 一、选择题 (1) 设 f (x,y) 在点 (x ,y ) 处不可微, 则下列命题一定不成立的是 ( ). 0 0 A. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续 B. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数均存在且偏导数连续 C. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数均存在且至少有一个不连续 D. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处沿任何方向的方向导数均不存在高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (2) 设 第 143 页，共248页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) f (x,y) 处连续, 且 lim =1, 则 ( ). x→0ex2+y2 −1 y→0 A. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值 B. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极大值 C. f (x,y) 在点 (0,0) 处不取得极值 D. 不能确定 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极值 (3) 设 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内连续, 且 lim x → y → 0 0 f ( x , y x ) − + f 4 y ( 0 , 0 ) = − 1 , 则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处 ( ). A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 无法确定是否取得极值 (4) 设 f ( x , y ) =  y 0 a , r c ta n x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处( ). A. 连续但不可微 B. 偏导数存在但不连续 C. 可微 D. 连续但偏导数不存在高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (5) 设 第 144 页，共248页 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义, f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 lim x → y → 0 0 f ( x , y ) x − 2 + x y 2 2 + y 2 = k (k为 常数),则当 k −1 时, ( ). A. f (x,y) 在点 (0,0) 处可微 B. f (x,y) 在点 (0,0) 处取得极小值 C. f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极大值 D. f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都存在 (6) 设 f ( x , y ) 可微, 对任意的 x , y , 有  f (  x x , y )  0 ,  f (  x y , y )  0 , 则使得 f ( x 1 , y 1 )  f ( x 2 , y 2 ) 成立的一个充分条件是 ( ). A. x x ,y  y B. 1 2 1 2 x 1  x 2 , y 1  y 2 C. x x ,y  y D. 1 2 1 2 x 1  x 2 , y 1  y 2 (7) 设 F(x,y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内有二阶连续偏导数, 且 F(x ,y )=0, 0 0 F 'x ( x 0 , y 0 ) = 0 , F 'y ( x 0 , y 0 )  0 , F ''x x ( x 0 , y 0 )  0 , 则由方程 F(x,y)=0 确定的隐函数 y= y(x) 在 x=x 处( ). 0 A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 不取得极值 D. 不能确定是否取得极值高数 · 5.多元函数微分学及其应用 二、填空题 (1) 设 第 145 页，共248页 z = z ( x , y ) 满足   2 y z 2 = 2 , 且 z ( x , 0 ) = 1 , z 'y ( x , 0 ) = x , 则 z ( x , y ) = _______. (2) 设 z = z ( x , y ) 有二阶连续偏导数, 满足 2z =x+ y, 且 z(x,0)=x,z(0,y)= y2 ,则 yx z ( x , y ) = ________ . (3) 设 z = x 2 2 − x y 2 nz , 则 = ________ . yn (2,1)高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (4) 设曲面 第 146 页，共248页 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 2 1 的切平面平行于平面 x + 4 y + 6 z = 0 , 则该切平面方程为 ________ . (5) 设可微函数 f ( x , y ) 对任意 x , y , t , 满足 f ( tx , ty ) = t 2 f ( x , y ) , P 0 ( 1 , − 2 , 2 ) 是曲面 z = f ( x , y ) 上一点, 且 f'(1,−2)=4, 则曲面在 x P 0 点处的切平面方程为 ________ (6) 设 u ( x , y , z ) = 1 + x 6 2 + y 1 2 2 + z 1 2 8 , n = 1 3 ( 1 ,1 ,1 ) , 则   u n (1,2 ,3 ) = _______.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (7) 设 第 147 页，共248页 u ( x , y , z ) = x y 2 z 3 在点 P (1 , 2 , − 1 ) 处沿曲面 x2 + y2 =5 的外法线方向的方向导数 为_______. 三、解答题 (1) 已知 x + y − z = e z , x e x = ta n t , y = c o s t , 求 d d 2 t z 2 t= 0 . (2) 设 f x 有一阶连续导数, 证明: z= f   的充要条件是 y x   z x + y   z y = 0 .高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (3) 设 第 148 页，共248页 z = z ( x , y ) 是由方程 F  1 x − 1 y − 1 z  = 1 z 确定的隐函数, 其中 F 可微, 求 x 2   z x + y 2   z y . (4) 设 y = g ( x , z ) 与 z = z ( x , y ) 是由方程 f ( x − z , x y ) = 0 确定的函数, 求 d d y x . (5) 求函数 f ( x , y ) = (1 + y ) 2 + (1 + x ) 2 在条件 x 2 + y 2 + x y = 3 下的最大值.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (6) 求椭球面 第 149 页，共248页 x a 2 2 + y b 2 2 + z c 2 2 = 1 ( a , b , c  0 ) 在第一卦限上的切平面与三个坐标面围成的四 面体的最小体积. (7) 设函数 f ( x , y ) = 3 x + 4 y − a x 2 − 2 a y 2 − 2 b x y , 问 a , b 满足什么条件时, f ( x , y ) 有 唯一的极大值和唯一的极小值? (8) 设 f (x,y)=e−x( ax+b−y2) 在点 ( − 1 , y 0 ) 处取得极大值, 求 a,b 满足的条件.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (9) 设函数 第 150 页，共248页 z = z ( x , y ) 由方程 x 2 − 6 x y + 1 0 y 2 − 2 y z − z 2 + 1 8 = 0 确定, 求 z = z ( x , y ) 的 极值. (10) 设 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 , 证明: z = f ( x ) ln f ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的充分条件是 f  ( 0 )  0 且 f ( 0 )  1 . (11) 已知 z = f ( x , y ) 的全微分 d z = ( y − x 2 ) d x + ( x − 1 ) d y 1 , 且 f (1,1)=− , 求 3 f ( x , y ) 在 D:0 y 7−x,0 x 7 上的最大值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (12) 求曲线 第 151 页，共248页 x 2 + x y + y 2 = 1 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离. (13) [25新增]设可微函数 f ( u , v ) 满足   f u +   f v = ( u + v ) e u − v ,且 f ( 0 , v ) = 0 ,若 u=x,v=x+ y,求: (I)  f ( x ,  x x + y ) ; (II) f (u,v) 的极值. (14) 设 x = x ( y ) , z = z ( y ) 由方程组  F G (  y x − y , x z y , y  = − 0 z ) = 0 , dx dz 确定, 求 , . dy dy高数 · 5.多元函数微分学及其应用 (15) 已知曲面 第 152 页，共248页 e 2 x z f ( y 2 z ) , f  − = − 可微. 证明: 该曲面上任一点的切平面都平行于 一条定直线. (16) 设 ,  为正数, 且 1 1 1   + = , 求 f ( x , y ) 1 x 1 y     = + 在条件 xy=1(x0, y  0 ) 下的最小值. (17) 求函数 u = x a 2 2 + y b 2 2 + z c 2 2 在点 P(x,y,z) 处沿 l =xi+ yj+zk 的方向导数, 并讨论 在哪些点该方向导数等于梯度的模.高数 · 5.多元函数微分学及其应用 拓展题 一、选择题 (1) 下列 ( ) 选项条件成立时, 能够推出函数 第 153 页，共248页 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微, 且全微 分 df (x,y) =0. (x ,y ) 0 0 A. f 'x ( x 0 , y 0 ) = f 'y ( x 0 , y 0 ) = 0 B. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f = ( Δ x Δ ) x 2 Δ + y ( Δ y ) 2 C. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f = s in  ( ( Δ Δ x x ) ) 2 2 + + ( ( Δ Δ y y ) ) 2 2  D. f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的全增量 Δ f =  ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2  s in ( Δ x ) 2 1 + ( Δ y ) 2 二、解答题 (1) 设 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定义, f ( 0 , 0 ) = 0 ,且 lim x → y → 0 0 f x ( 2 x , + y y ) 2 = 1 + k ( k 为 常 数 ) . 证明: (I) f (x,y)在点 ( 0 , 0 ) 处连续; (II) 当 k  − 1 时, f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不可微; (III) 当 k = − 1 时, f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.高数 · 6.重积分及其应用 第六章 重积分及其应用 基础题 选择题 (1) 设 第 154 页，共248页 D 为由直线 x + y = 1 2 , x + y = 1 与两坐标轴所围的区域,I = [ln(x+ y)]9dxdy, 1 D I 2 =   D ( x + y ) 9 d x d y , I 3 =   D [ s in ( x + y ) ] 9 d x d y 则( ). A. I 1 I 2 I 3 B. I 1 I 3 I 2 C. I 3 I 2 I 1 D. I 3 I 1 I 2 (2) 设 D 为由 y = x 2 − 4 和 y = 0 所围区域, I = (kx+ y)dxdy, 则 ( ). D A. I = 0 B. I  0 C. I  0 D. I 的正负与 k 有关 (3) 设 D 是 xOy 平面上以 A ( 1 ,1 ) , B ( − 1 ,1 ) , C ( − 1 , − 1 ) 为顶点的三角形区域, D 1 是 D 在第一象限的部分, 则 I = (xy+cosxsiny)dxdy=( ). D A. 0 B. 2   D 1 x y d x d y C. 2   D 1 c o s x s in y d x d y D. 4 (xy+cosxsiny)dxdy D 1高数 · 6.重积分及其应用 (4) 积分 第 155 页，共248页 I =  2 0 d x  2 x 2 0 f ( x , y )d y +  2 2 2 d x  0 8 − x 2 f ( x , y )d y = ( ). A.  0 2 d y  8 y − y 2 f ( x , y )d x B.  0 2 d y  8 2 − y y 2 f ( x , y )d x C.  2 0 d y  8 2 − y y 2 f ( x , y )d x D.  2 0 d y  8 y − y 2 f ( x , y )d x (5) 设 D : x 2 + y 2 x , 则   D f ( x , y )d x d y = ( ). A. 0 d co 0 s f ( r c o s , r s in ) r d r        B. 0 d sin 0 f ( r c o s , r s in )r d r          cos sin C. 2 d f (rcos,rsin)rdr D. 2 d? f (rcos,rsin)rdr   − 0 − 0 2 2 (6) 将二重积分 I 2 4 d 2 0 sin f ( r c o s , r s in )r d r       =   化为直角坐标系下的二次积分, 则 I = ( ). A.  1 0 d x  x 1 − 1 − x 2 f ( x , y )d y 1 1−x2 B.  dx f (x,y)dy 0 x 1 y 2 2y−y2 C.  dy f (x,y)dx+ dy f (x,y)dx D. 0 0 1 0  1 0 d y  y 2 y − y 2 f ( x , y )d x高数 · 6.重积分及其应用 (7) 设 第 156 页，共248页 V : x 2 + y 2 + z 2 R 2 , z 0 ,V 1 是 V 位于第一卦限的部分, 则 ( ). A.    V z d V = 4    V 1 z d V B.    V x d V = 4    V 1 x d V C.    V y d V = 4    V 1 y d V D.    V x y z d V = 4    V 1 x y z d V 二、填空题 (1) 二重积分 I =  1 0 x 2 d x  1 x e − y 2 d y = ________ . (2) 二重积分 I 2 1 d x x x s in 2 x y d y 4 2 d x 2 x s in 2 x y d y   =   +   = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (3) [25新增]设 f (t)= t dx t e−(x−y)2 dy(t 0), 则 0 x 第 157 页，共248页 f  ( 1 ) = ________. (4) 设 D : x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 , f ( x ) 在  0 , )  + 上连续且取正值,则 I =   D a f f ( ( x x ) ) + + b f f ( ( y y ) ) d x d y = ________ . (5) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续, 且  1 0 f ( x )d x = A 1 1 , 则 I = dx f (x) f (y)dy= 0 x ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (6) 设 第 158 页，共248页 D : x 2 + y 2 1 , x 0 , y 0 , 则 I =   D 1 1 + + x x 2 − + y y 2 d x d y = ________ . (7) 设 D : − 1 x 0 ,1 − 1 − x 2 y − x , 则 I =   D x 2 + y d 2 x d 4 y − x 2 − y 2 = ________ . (8) 设 D : 2 x x 2 + y 2 , 0 y x 2 , 则 I =   D d x x 2 d + y y 2 = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (9) 设 第 159 页，共248页 D : x 2 + y 2 1 , 则 I =   D  x 4 2 + y 9 2  d x d y = ________ . (10) 设区域 D 由 x = − 2 y − y 2 , x = − 2 , y = 0 , y = 2 所围, 则 I =   D y d x d y = ________ . (11) 设 D : x 2 + y 2 2 x , 则 I =   D ( 2 x + 3 y ) d x d y = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (12) 设 第 160 页，共248页 V : x 2 + y 2 + z 2 2 y − 2 x , 则 I =    V ( x + y + z ) d V = ________ . (13) 球体 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ( R  0 ) 被圆柱面 x 2 + y 2 = R x 所截得含在圆柱面内的立休的 体积为 ________________ . (14) r 1 与 r 1+cos 所围平面区域的形心坐标为 ________高数 · 6.重积分及其应用 (15) 设平面薄片 (密度 第 161 页，共248页 1  = ) 由 y 2 = x 3 与直线 y = x 所围, 则 D 对 x 轴和 y 轴的转动惯量分别为 I x = ________ , I y = ________ . 三、解答题 (1) 计算下列二重积分: (Ⅰ)设 D 由 x − y = 0 , x + y = 0 及 x = 1 所围, 求 I =   D x y ( x − y )d x d y ; (Ⅱ)设 D 由 y = x , y = x siny 所围, 求 I = dxdy; D y (Ⅲ)设 D 由 y = x 2 ( x 0 ) , y = 1 , x = 0 所围, 求 I =   D 1 x + y y 3 d x d y ; (Ⅳ)设 D : 1 x s in y , y 2  − , 求 I =   D x ( e x 2 + c o sy s in y − 1 )d x d y .高数 · 6.重积分及其应用 (2) 设 第 162 页，共248页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 , x 2 + y 2 2 x , y 0  , 计算 I =   D x y d x d y . (3) 设 D : x 2 + y 2 2 x , 0 y x , 计算 I =   D x 2 + y 2 − 1 d x d y . (4) 设 D : x 2 + y 2 9 , 计算 I = x2 + y2 −4dxdy. D高数 · 6.重积分及其应用 (5) 设 第 163 页，共248页 D : 1 x 2 + y 2 2 x , y 0 , 计算 I =   D ( 1 + x 2 + y y 2 ) x 2 + y 2 d x d y . (6) 设 D:0 x 2,0 y 2, 计算 I =   D 1 + x + y d x d y , 其中 1 + x + y  表示不超过 1 + x + y 的最大整数. (7) [25新增]计算 I =   D m a x  2 x − x 2 , (1 − y ) 2  d x d y , 其中 D : 0 x 1 , 0 y 1 .高数 · 6.重积分及其应用 (8) 计算 第 164 页，共248页 I =   D s g n ( x 2 − y 2 + 2 )d x d y , 其中 D : x 2 + y 2 4 . (9) 设 f ( x , y ) =  ( 0 x , 2 + 1 y 2 ) 2 , 1 其 x 他 3 , , 3 3 x y x , y = 3 所围,计算 I =   D f ( x , y )d x d y . (10) 计算 I =   D x y d x d y , 其中 D 由下列双纽线所围. (I) ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 ( x 2 − y 2 ) ; (II) ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 x y .高数 · 6.重积分及其应用 (11) 设 第 165 页，共248页 V 由曲面 z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = x 2 + y 2 所围,求 I = zdV . V (12) 设V 是由曲面z= 1−x2 −y2 与z+1= x2 + y2 所围的区域,计算 I =    V z 2 d V . (13) 求曲面 z= 5−x2 −y2 与 x2 + y2 =4z 所围立体体积.高数 · 6.重积分及其应用 (14) 设 第 166 页，共248页 V 是由 x2 + y2 +z2 =R2 与 x 2 + y 2 + ( z − R ) 2 = R 2 所围的区域, 计算 I =    V z 2 d V . 综合题 选择题 (1) I 1 =   D c o s x 2 + y 2 d x d y , I 2 =   D c o s ( x 2 + y 2 )d x d y , I 3 =   D c o s ( x 2 + y 2 ) 2 d x d y , 其中 D : x 2 + y 2 1 , 则( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I I I C. 1 2 3 I 2  I 1  I 3 D. I 3  I 1  I 2 (2) lim n n i 1 n j 1 1 i n 1 ( n 2 j 2 )  →  =  =  +  + = ( ).    A. ln2 B. ln2 C. ln2 D. 4 8 2 ln 2 高数 · 6.重积分及其应用 (3) 积分 第 167 页，共248页 I 2 0 d c 0 o s f ( r c o s , r s in )r d r      =   = ( ). A.  1 0 d y  0 y − y 2 f ( x , y )d x B.  1 0 d y  0 1 − y 2 f ( x , y )d x C.  1 0 d y  1 0 f ( x , y )d x D.  1 0 d x  0 x − x 2 f ( x , y ) d y 二、填空题 (1) 设 D:0 x y 2, 则 I =   D s in ( x − y ) d x d y = ________ . x, 0 x 1, (2) 设 f (x)= , 0, 其他, x , y     −   + −   + , 则 I =   D f ( y ) f ( x + y )d x d y = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (3) 设 第 168 页，共248页 D =  ( x , y ) x 4 x 2 + y 2 x 2 , y 4 x 2 + y 2 y 2  , 则 I =   D 1 x y d x d y = ________ . (4) 积分 I =  1 0 d y  y 0 2 y s in (1 − x ) 2 d x = ________ . (5) 积分 I 2 0 d 2 2 e r 2 d r      =   = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (6) 交换积分顺序 第 169 页，共248页 I 2 0 d a 0 sin 2 f ( r c o s , r s in )r d r ( a 0 )      =    为________ . (7) (选做) 设 D : x a 2 2 + y b 2 2 1 , 则 I = y2dxdy=________ . D (8) 设 V 是由 z = x 2 + y 2 , z = 1 , z = 2 所围成的立体, 计算 I =    V x e 2 z + y 2 d x d y d z = ________ .高数 · 6.重积分及其应用 (9) 积分 第 170 页，共248页 I =  1 0 d x  1 0 − x d z  1 0 − x − z ( 1 − y )e − (1 − y − z 2) d y = ________ . (10) 设 V 是由曲面 x 2 + y 2 − 2 z 2 = 1 、平面 z=1 及 z=2 所围成的区域, 则 I = zdV =________ . V (11) 设 V 由曲面 z = x 2 + y 2 与 z = 1 − x 2 − y 2 所围, 则 I = (x+z)dV = V ________ .高数 · 6.重积分及其应用 三、解答题 (1) 设 第 171 页，共248页 D : x 1 , 0 y 2 , 计算 I =   D y − x 2 d x d y . (2) 计算积分 I =  1 0 d x  2 − 1 − xe x ( x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d y +  2 1 ?d x  2 0 − xe ( x + y 2) ( s in 2 x + c o s 2 y ) d y (3) 求极限 lim t→ 0 + 1 6 t  t 0 d x  t x s in ( x y ) 2 d y .高数 · 6.重积分及其应用 (4) 设 第 172 页，共248页 D ( , r ) 0 2 , 0 r 1    =   , 计算 I D r 3 e r 2c o s 2 s in 2 d d r   =   . (5) 设可导函数 f ( x ) 满足 lim x → 0 f ( x x ) = 1 , 求极限 lim t→ 0 +  t 0 d x  − 2t − 2t x − 2 x 2  f ( t 3 x 2 + y 2 ) + 2 y  d y (6) 设 F ( t ) =  xx 0 ∬ 2 +  0 , 2 2 y  t ,y  0 x  1 − F ( x x 2 2 + + y y 2 2 )  d x d y , t t  = 0 0 , , ,求函数F(t)的表达式.[Mathtype版的不 知道为什么这么丑..]高数 · 6.重积分及其应用 (7) 设 第 173 页，共248页 f ( t ) 在 ( , )   − + 内有连续导数, 且 f ( t ) = 2   D ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 )d x d y + t 4 , D : x 2 + y 2 t 2 求 f ( t ) . (8) 设 f ( x , y ) 在区域: 0 x 1 , 0 y 1 上连续, f ( 0 , 0 ) = 0 , 且 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处 可微, f 'y ( 0 , 0 ) = 1 , 求 lim x → 0 +  x 0 2 d  t 1 x − t e f − ( t 4 x4 , u )d u .高数 · 6.重积分及其应用 (9) 设 第 174 页，共248页 D : x 2 + y 2 4 , x 0 , y 0 , f ( x , y ) 在 D 上连续, 且 f ( x , y ) = ( x 2 + y 2 − x + y − 1 ) +   D f ( u , v )d u d v 求 f ( x , y ) . (10) 设 f ( x ) 是连续正值函数, 且单调减少, 证明: 1  x f 0 1  x f 0 2 ( ) x d x ( ) x d x 1  0 1  0 f f 2 ( ) x d x ( ) x d x .高数 · 6.重积分及其应用 (11) 设 第 175 页，共248页 D 为由摆线 x y t 1 s c in o t , s t ( 0 t 2 )   = = − − 及 x 轴所围的平面区域, 求 D 的质心坐标. (12) 设 V : 0 z R 2 − x 2 − y 2 , 求 I =    V ( 3 x 2 + 5 y 2 + 7 z 2 )d V .高数 · 6.重积分及其应用 (13) 设 第 176 页，共248页 F ( t ) =    V  z 2 + f ( x 2 + y 2 )  d V , f ( u ) 连续, 其中 V : 0 z h , x 2 + y 2 t 2 . (Ⅰ)求 d F d t ; (Ⅱ)求 lim t→ 0 1 2 t F ( t ) . (14) 设 V 是由平面 z=0,z=1 及圆柱面 x 2 + y 2 = 2 所围成的图形, 计算 I =    V z − x 2 + y 2 d x d y d z高数 · 6.重积分及其应用 (15) 某均匀物体由上、下两部分组成, 上部分是半径为 a 的半球体, 下部分是底面半径 为 第 177 页，共248页 a 、高为 3 的直圆锥体, 且半球体的底面圆与圆锥的底面重合, 问当 a 为何值 时, 此物体的质心恰好在球心位置? (16) 设 f ( x ) 在  0 ,1  上是连续正值函数, 且 f ( x ) 单调减少, D:0 x 1,0 y 1,证 明:  xf (x) f (y)f (x)− f (y)dxdy 0.   D (17) 设 f ( u ) 在 −1,1 上连续, D : x + y 1 , 证明:   D f ( x + y )d x d y =  1 − 1 f ( u ) d u高数 · 6.重积分及其应用 (18) 设 第 178 页，共248页 D : x 2 + y 2 2 tx , y 0 ( t  0 ) , f ( u ) 在 u = 0 处可导, 且 f ( 0 ) = 0 , 求 lim t→ 0 + 1 4 t   D f ( x 2 + y 2 ) y d x d y . (19) 设 f ( x ) 在 a,b 上非负可导, 且单调增加, ( x , y ) 为 D={(x,y∣) a x b,0 y f (x)} 的形心, 证明: x 1 2 ( a + b ) .高数 · 6.重积分及其应用 拓展题 一、解答题 (1) 设 第 179 页，共248页 D 由 x 轴,曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) 0 ) , x = 0 , x = a ( a  0 ) 围成,平面图形D的质心(形心) 2 的横坐标为x= a. 3 (I) 记 F ( x ) =  x 0 f ( t )d t , 证明: F  ( x ) = 2 F ( x x ) ; (II) 求 f ( x ) . (2) 设D是由曲线 x y 1 t c s o s t in t , ( 0 t 2 )   = = − − 与y轴所围平面区域,计算 I = (2x+ y)dxdy. D高数 · 7.微分方程及其应用 第七章 微分方程及其应用 基础题 一、选择题 (1) 下列选项中 ( 第 180 页，共248页 C 为任意常数), 是微分方程 d d y x + x y = 0 的通解的是 ( ). A. x 2 + y 2 = C 2 B. x 2 − y 2 = C 2 C. x 2 + y 2 = C D. x 2 − y 2 = C (2) 设 y  + P ( x ) y = 0 的一个特解为 y = c o s 2 x , 则该方程满足 y ( 0 ) = 2 的特解为( ). A. 2 c o s x B. 2 c o s 2 x C. c o s 2 x D. c o s 2 x + 1 (3) 微分方程 y  + 2 y  − 3 y = e − x + x 的一个特解形式为 ( ). A. ae−x +bx+c B. a x e − x + x ( b x + c ) C. a x e − x + b x + c D. a e x + x ( b x + c )高数 · 7.微分方程及其应用 (4) 设 第 181 页，共248页 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) 是 y  + P ( x ) y = 0 的两个不同特解, 其中 P ( x ) 在 ( , )   − + 内连 续, 且 P ( x ) 不恒为 0 , 则下列结论中错误的是 ( ). A. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) = 常数 B. C  y 1 ( x ) − y 2 ( x )  是方程的通解 C. y 1 ( x ) − y 2 ( x ) y (x) 在任一点不为 0 D. 2 常数 y (x) 1 ( y 1 ( x )  0 ) (5) 设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , y 3 ( x ) 是微分方程 y  + p ( x ) y  + q ( x ) y = f ( x ) 的三个线性无关的 解, f ( x )  0 , 则该方程的通解为 ( ). A. C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y 3 ( x ) B. C 1 y 1 ( x ) + ( 1 − 2 C 1 ) y 2 ( x ) + C 1 y 3 ( x ) C. ( C 1 − C 2 ) y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y 3 ( x ) D. C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + C 3 y 3 ( x ) ( C 1 + C 2 + C 3 = 1 ) 二、填空题 (1) 微分方程 (y−xsinx)dx+xdy=0 的通解为 ________高数 · 7.微分方程及其应用 (2) 微分方程 第 182 页，共248页 ( 1 + y 2 ) d x + ( 2 x − 1 ) y d y = 0 的通解为 ________ . (3) y  = y x + ta n y x 满足 y ( 1 ) 6  = 的特解为 ________ (4) 微分方程 y  − 6 y x + x y 2 = 0 (y不为常函数)的通解为 ________ .高数 · 7.微分方程及其应用 (5) 微分方程 第 183 页，共248页  1 + e 1y  d x + e 1x  1 − x y  d y = 0 ( y  0 ) 的通解为 ________ . (6) 微分方程 x y  = x 2 + y 2 + y 的通解为 ________ (7) 方程 y  + 2 y  + y = x e x 满足y(0)=0,y(0)=0的特解为 ________高数 · 7.微分方程及其应用 (8) 方程 第 184 页，共248页 y  − 3 y  + 2 y = 1 0 e − x s in x 满足当 x  → + 时, y ( x ) → 0 的特解为 ________ . (9) 方程 ( 1−x2) y−xy=0 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 的特解为 ________ (10) 设二阶线性非齐次微分方程 y+ p(x)y+q(x)y= f (x) 有三个特解为 x,ex,e−x,则 该方程的通解为 ________高数 · 7.微分方程及其应用 (11) 设二阶常系数线性微分方程 第 185 页，共248页 y  + a y  + b y = c e x 有特解 y * = e − x ( 1 + x e 2 x ) , 则该方程 的通解为 ________ . 三、解答题 (1) 求 x 2 y  − y '2 = 0 过点 P ( 1 , 0 ) , 且在点 P 与 y= x−1 相切的积分曲线. (2) 求微分方程 ( x c o s y + c o s x ) d d y x − y s in x + s in y = 0 的通解.高数 · 7.微分方程及其应用 (3) 设 第 186 页，共248页 f ( x ) 是连续函数, 且 f ( x ) = c o s x −  x 0 ( x − t ) f ( t )d t , 求 f ( x ) . (4) 设 f ( x ) 可导,对任何实数 x , y 满足 f (x+y)=exf (y)+eyf (x), 且 f  ( 0 ) = e , 求 f ( x ) . (5) 求微分方程 y  + 1 2 y '2 = 2 y 满足 y ( 0 ) = y  ( 0 ) = 2 的特解.高数 · 7.微分方程及其应用 (6) 求微分方程 第 187 页，共248页 y  − y  = 0 的一条积分曲线, 使此积分曲线在原点处有拐点, 且以直线 y = 2 x 为切线. (7) 设 f ( u ) 有二阶连续导数, z = f ( x 2 + y 2 ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = x 2 + y 2 ,求 z 的表达式. (8) 利用变换 u=ex, 求微分方程 y  − ( 2 e x + 1 ) y  + e 2 x y = e 3 x 的通解.高数 · 7.微分方程及其应用 (9) 设 第 188 页，共248页 L 是一条平面曲线, 其上任意一点 P ( x , y ) ( x  0 ) 到原点的距离恒等于该点处的 切线在 y 轴上的截距, 且 L 1  过点  ,0 . 2  (Ⅰ)求曲线 L 的方程; (Ⅱ)求 L 位于第一象限部分的一条切线, 使该切线与 L 以及两坐标轴所围的面积 最小. (10) 设 O A 是连接 O ( 0 , 0 ) 和 A ( 1 ,1 ) 的一段向上凸的曲线弧, P ( x , y ) 为 O A 上任一 点,曲线弧 O P 与有向线段 O P 所围图形的面积为 x 2 ,求曲线弧 O A 的方程.高数 · 7.微分方程及其应用 综合题 一、选择题 (1) 下列方程中, 以 第 189 页，共248页 y = C 1 e x + C 2 c o s x + C 3 s in x ( C 1 , C 2 , C 3 为任意常数) 为通解的是( ). A. y  − y  + y  − y = 0 B. y  + y  + y  − y = 0 C. y  + y  − y  − y = 0 D. y  − y  − y  − y = 0 (2) 若二阶常系数线性齐次微分方程 y  + p y  + q y = 0 的通解为 y=Cex +C xex, 则非 1 2 齐次微分方程 y  + p y  + q y = x 满足 y ( 0 ) = 2 , y  ( 0 ) = 0 的特解为 y=( ). A. x e x − x − 2 B. x e x − x + 2 C. − x e x + x + 2 D. − x e x − x + 2 (3) 设 C 为任意常数,则以 y = e C x + x 2 为通解的一阶微分方程为( ) A. x y  − y ln y = x 2 y B. xy+ ylny=xy2 C. xy−ylny2 =xy D. xy+ ylny= xy高数 · 7.微分方程及其应用 (4) 设 第 190 页，共248页 y 1 , y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y  + P ( x ) y = Q ( x ) 的两个解, 若常数 , , 使得 y 1 y 2   + 是该方程的解, y 1 y 2   − 是对应的齐次微分方程的解, 则 ( ). 1 1 А. =− ,=− B. 2 2 1 2 , 1 2   = = C. 1 3 , 2 3   = = D. 2 3 , 2 3   = = 二、填空题 (1) 微分方程 y  = x + ( y y + 1 ) 2 ( y 不为常函数) 的通解为________. (2) 微分方程 y− y=sinx 满足 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 3 2 的特解为________.高数 · 7.微分方程及其应用 (3) 微分方程 第 191 页，共248页 y  = 2 y y 2 ( − x + x 1 ) 的通解为________. (4) 微分方程 d d y x = y y − + x x 满足 y(1)=0 的特解为________. (5) 微分方程 y s e c 2 y + 1 + x x 2 ta n y = x 满足 y ( 0 ) = 0 的特解为________.高数 · 7.微分方程及其应用 (6) 微分方程 第 192 页，共248页 y  + y = x + c o s x 的通解为________. (7) [25新增]设函数 y ( x ) 满足 y  + 2 a y  + b 2 y = 0 ( a  b  0 ) ,且y(0)=1,y(0)=1,则 0 y ( x ) d x   + = ________. (8) 设 f ( x ) 有连续导数, 对任意 a 满足 f ( x + a ) =  x x + a t ( 2 t f ( + t 1 ) ) d t + f ( x ) , 且 f ( 1 ) = 2 , 则 f ( x ) = ________ .高数 · 7.微分方程及其应用 (9) 设 第 193 页，共248页 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 f ( x ) =  x 0 f ( 1 − t )d t + 1 , 则 f ( x ) = ________ . 解答题 (1) 设 f ( x ) 满足 f ( x + y ) = 1 f − ( x f )( + x ) f f (( y y )) , 且 f  ( 0 ) 存在, 求 f  ( x ) 及 f ( x ) .   (2) 利用变量替换 x=sint,y= y(t) 0t  化简方程  2 ( 1 − x 2 ) d d 2 x y 2 − x d d y x + y = 0 , 并 求该方程的通解.高数 · 7.微分方程及其应用 (3) 设 第 194 页，共248页 y  + ( 4 x + e 2 y ) ( y ') 3 = 0 . (Ⅰ)若视 x 为因变量, y 为自变量,化简该方程; (Ⅱ)求该方程的通解. (4) 设 f ( x ) 有二阶连续导数, 且 f ( 1 ) = 1 , f  ( 1 ) = 2 , 求 u ( x , y ) , 使得 d u = − 6 y f ( x ) d x +  x 2 f  ( x ) − 4 x f ( x )  d y高数 · 7.微分方程及其应用 (5) 设 第 195 页，共248页 f ( x ) 在 1 , )  + 上有二阶连续导数, f ( 1 ) = 0 , f  ( 1 ) = 1 ,且函数 z = ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = 0 ,求 f ( x ) 及 f ( x ) 在 1 , )  + 上的最大值. (6) 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y  + a y  + b y = ( c x + d ) e 2 x 有特解 2 e x + ( x 2 − 1 ) e 2 x y = ,求该方程的通解,并求 a , b , c , d 的值. (7) 设y(x)在  x 0 , )  + 上有一阶连续导数,且 lim y(x)+ y(x)=k,求   x→+ lim x y ( x )  → + .高数 · 7.微分方程及其应用 (8) 设 第 196 页，共248页 f ( x ) , g ( x ) 满足 f  ( x ) = g ( x ) , g ( x ) =  x 0  1 − f ( t )  d t + 1 , 且 f ( 0 ) = 1 , 求  I =2e−xg(x)− f (x)dx   0 (9) 设y= y(x)有一阶连续导数,y(0)=1,且满足 y  ( x ) + 3  x 0 y  ( t ) d t + 2 x  1 0 y ( x u ) d u + e − x = 0 ,求 y = y ( x ) . (10) [25 新增]设上凸曲线 y = y ( x ) ( y  0 ) 上任一点 M ( x , y ) 处的切线与 x 轴交于点 N ,且 满足 O M = O N , y ( 0 ) = 1 , y  ( x )  0 , 求 y = y ( x ) .高数 · 7.微分方程及其应用 (11) 设 第 197 页，共248页 y = y ( x ) 是向上凸的连续曲线, 其上任一点 ( x , y ) 处的曲率为 1 1 + y '2 , 且此 曲线上点 ( 0 ,1 ) 处的切线方程为 y = x + 1 , 求该曲线的方程. (12) 如下： (I) 设 a ( t ) 在  0 , )  + 上是非负连续函数, 证明: 当且仅当 0 a ( t )d t   + 发散时, 微分方程 d d x t + a ( t ) x = 0 的每一个解 x(t) 满足 lim x(t)=0; t→+ (Ⅱ)设 a  0 , f(t)在[0,+)上是非负连续函数，证明:当且仅当  + 0  a ( t ) d t 发散时,微 分方程 d d x t + a ( t ) x = 0 的每一个解x(t)满足 lim t→ +  x ( t ) = 0 .高数 · 7.微分方程及其应用 (13) 设函数 第 198 页，共248页 y ( x ) ( x 0 ) 二阶可导,且 y  ( x )  0 , y ( 0 ) = 1 ,过曲线 y = y ( x ) 上任一点 P ( x , y ) 作曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两条直线与 x 轴所围三角形的面积记为 S 1 ,区间  0 , x  上以y= y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S ,且2S −S =1,求曲线 2 1 2 y = y ( x ) . (14) 一架质量为 4.5 吨的歼击机以 6 0 0 k m / h 的航速开始着陆, 在减速伞的作用下滑跑 5 0 0 m 后速度减为 1 0 0 k m / h , 设减速伞的阻力与飞机的速度成正比, 忽略飞机所受 的其他外力, 求减速伞的阻力系数. 若保障飞机安全着陆, 跑道长度至少应为多少?高数 · 7.微分方程及其应用 拓展题 解答题 (1) 设环境保持恒定温度 第 199 页，共248页 2 0 C , 有一物体的温度在 10 秒内从 1 0 0 C 降到 6 0 C , 若 物体温度下降的速度与该物体与环境温度之差成正比, 问此物体从 1 0 0 C 降到 25 C 需要多少时间? (2) 设全微分方程  x y ( x + y ) − f ( x ) y  d x +  x 2 y + f  ( x )  d y = 0 , 其中 f ( x ) 有二阶连续导 数, 且 f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , 求 f ( x ) 及全微分方程的通解.高数 · 7.微分方程及其应用 (3) [25新增]发现一架飞机在原点 第 200 页，共248页 O ( 0 , 0 ) 处沿 y 轴正向以常速度 v 飞行, 随即从点 P (16,0) 处发射导弹追击, 且导弹方向始终指向飞机, 导弹速度为 0 2 v , 如图所示. 求: (I) 导弹飞行轨迹 y = y ( x ) 的表达式; (II) 飞机被击中的位置及所需时间 T .高数 · 8.无穷级数 第八章 无穷级数 基础题 一、选择题 (1) 设级数 第 201 页，共248页 n 1 u n   =  与 v 均发散, 则 ( ). n n=1   A. (u +v ) 必发散 B. u v 必发散 n n n n n=1 n=1 C. n 1 ( u n v n )   = + 必发散 D. n 1 ( u 2n v 2n )   = + 必发散 (2) 下列结论正确的是 ( ). A. 若 n 1 u n v n   =  收敛,则 u2 与 n n=1 n 1 v 2n   = 都收敛   B. 若 u2 和 v2 都收敛,则 n n n=1 n=1 n 1 ( u n v n ) 2   = + 收敛 C. 若 n 1 v n   = 收敛且 u n v n , 则 n 1 u n   = 收敛 D. 若 n 1 u n   = 发散 ( u n 0 ) , 则 u n 1 n高数 · 8.无穷级数 (3) 下列结论正确的是 ( ). A. 若 第 202 页，共248页 n 1 u n   = 与 n 1 v n   = 都收敛,则 n 1 u n v n   = 必收敛 B. 若 n 1 u n   = 与 n 1 v n   = 都发散, 则 n 1 u n v n   = 必发散 C. 若 n 1 u n   = 收敛, n 1 v n   =  发散, 则 u v 必发散 n n n=1 D. 若 n 1 u n   = 收敛, n 1 v n ( v n 0 )   =  收敛, 则 n 1 u n v n   = 收敛 (4) 设 n 1 u n   = 收敛,则下列级数收敛的是( ). A. n 1 u 2n   = B. n 1 ( u n u n 1 )   = + + C. n 1 ( 1 ) n 1 u nn   = − − D. n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − − (5) 设 n 1 u n ( u n 0 )   =  收敛,则下列结论正确的是 ( ).  A. u2 收敛 B. n n=1 n n = 1 u n u 收敛 C. lim n+1 1 D. limnu 1 n→u n→ n n高数 · 8.无穷级数 (6) 下列结论正确的是 ( ). A. 若 第 203 页，共248页 n 1 u n ( u n 0 )   =  收敛, 则 lim n n 2 u n 0  → = B. 若 n 1 u n   =  收敛,则 (−1)n−1u 必条件收敛 n n=1 C. 若 n 1 ( 1 ) n 1 u n ( u n 0 )   = − −  条件收敛,则 n 1 u n   = 发散 D. 若 n 1 ( u 2 n 1 u 2 n )   = − + 收敛, 则 n 1 u n   = 必收敛 (7) 级数 n 1 n 1 n n 1 s in ( n k )   = + − − + ( k 为常数)( ). A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 k 有关 (8) 设幂级数 n 1 a n ( x 1 ) n   = − 在 x = − 1 处条件收敛, 则 n 1 a n   = ( ). A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法确定敛散性高数 · 8.无穷级数 二、填空题 (1) 设 第 204 页，共248页 f ( x ) n 0 x n  =  = xf (x) , 则 F(x)= 展开为 1−x x 的幂级数为________ . (2) 设 n 0 a n ( x 1 ) n   = − 的收敛域为  − 1 , 3  , 则 n 0 a n x 2 n   = 的收敛域为________ . (3) f ( x ) =  x 0 e − 2t d t 展开为 x 的幂级数为 ________ .高数 · 8.无穷级数 (4) 设 第 205 页，共248页 f ( x ) 1 1 , x 2 , 0 x x 0 , , f ( x )   =  − + −   以 2  为周期的傅里叶级数的和函数为 S ( x ) , 则 S ( )  = ________ (5) 设 f ( x ) =  x 2 , ( 1 − x ) , 0 1 2  x x 1 2  , 1 , f ( x ) 的傅里叶级数为 a 02 n 1 a n c o s n x , x ( , )     +  =  − + , 其和函数为 S ( x ) , a n 2 1 0 f ( x ) c o s n x  =  , 则 S  1 2  = ________ , S ( 9 9 ) = ________ . 三、解答题 (1) 判别下列级数的敛散性: (I) n 1 n n n 1 1 n 1 n n   =  + +  ; (II) n 1 a n n p ( a 0 , p 0 )   =   ;高数 · 8.无穷级数 (III) 第 206 页，共248页 n 1 n 0 1 1 x 3 d x   =  + ; (Ⅳ) n 1 a 1n a n 1 1 ( a 0 )   =  − −   ;  1  1 (V)   −ln1+  ; (V) n  n n=1 n 1 n a 1 1 n ( a 0 )   =  − +   . (2) 判别下列级数的敛散性, 若收敛, 判断是条件收敛还是绝对收敛:   (Ⅰ)设 (−1)n−1a en 收敛, 判别 a 的敛散性; n n n=1 n=1高数 · 8.无穷级数 (II) 第 207 页，共248页 n 1 ( 1 ) n 1 ln ( 1 1 n )   = − − + ; (III) n 1 ( n 1 n ) ln n   = − − ;  (IV) (−1)n−1( n3−1 ) . n=1 (3) 求下列级数的收敛域: (I) n 1 ( 2 1 n ) n x n n   = − ; (II) n 1 ( x n 3 3 ) n n   = −  ;高数 · 8.无穷级数 (III) 第 208 页，共248页 n 1 ( 1 ) n n n x n   = − ; (IV) n 1 x 2 3 n n 1   = − . (4) 求下列级数的收敛域: (I) n 1 x 2 2 n n   = ; (II) n 1 3 x n 2 n 1 n 2   = + + ; (III) n 1 1 1 n n 2 x n   =  +  − ; (IV) n 2 n 1 ln n 1 2 n x n   =  +  .高数 · 8.无穷级数 (5) 求下列幂级数的收敛域及和函数: (I) 第 209 页，共248页 n 1 x n n 2 1 n   = − ; (II) n 0 ( n n 1 ) 1 2 x n   = − + ; (III) n 0 n 2 n ! 1 x n   = + ; (IV) n 0 ( n 1 ) ( 2 n ( n 3 ) 1 ! ) x 2 n   = − + + . (6) 将下列函数展开为 x 的幂级数, 并确定收敛域: (I) f1 ( x ) = x 2 − 1 3 x + 2 ; (II) f 2 ( x ) = ln ( 1 − x − 2 x 2 ) ;高数 · 8.无穷级数 (III) 第 210 页，共248页 f 3 ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 ) ; (IV) f (x)=xarctanx−ln 1+x2 . 4 (7) 将 f ( x ) = x 2 − x 5 x + 6 展开为 x − 5 的幂级数.  (8) 将 f (x)=sin x 在 2 x = − 2 处进行幂级数展开.高数 · 8.无穷级数 (9) 求下列级数的和: (I) 第 211 页，共248页 n 2 ( n 2 1 1 ) 2 n   = − ; (II) n 0 2 n n ! 1   = + . (10) 如下: (I) 证明: y ( x ) 1 x 3 3 ! x 6 6 ! x 9 9 ! ( x 3 3 n n ) ! ( x )   = + + + + + + −   + 满足微分方程 y  + y  + y = e x ; (Ⅱ) 利用 (I) 的结果求 n 0 ( x 3 3 n n ) !   = .高数 · 8.无穷级数 (11) 将 第 212 页，共248页 f ( x ) 1 x 2 ( 0 x )  = − 展开为余弦级数, 并求 n 1 ( 1 n n ) 2 1   = − − . (12) 将 f ( x ) =  1 3 , − x , 1 2  x x  3 2 , 展开为以 2 为周期的傅里叶级数. 综合题 选择题 (1) 级数 n 1 ( 1 ) n ln 1 1 n s in k n 2 n    =  −  +  +  ( k 为常数)( ). A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性与 k 有关高数 · 8.无穷级数 (2) 设 第 213 页，共248页 a 0 , n 1 a n n n n !    = 收敛, n 2 n 2 n a n 2   = + − − 发散,则( ). A. a  e B. a = e C. 1 2  a  e D. 0  a 1 2 (3) 设 u n = a n + 2 a n , v n = a n − 2 a n , 则下列四个级数 ① n 1 a n   =  ②  a ③ n n=1 n 1 u n   = ④ n 1 v n   = 的收敛性关系是( ). A. 若 ① 收敛,则 ③ 和 ④ 都收敛 B. 若 ② 收敛, 则 ①, ③ 和 ④ 都收敛 C. 若 ③ 和 ④ 发散,则 ① 和 ② 都发散 D. ① ② ③ ④ 的收敛性无确定的关系 (4) 设有两个数列  a n  与  b n  , 若 lim n b n 0  → = , 则 ( ). A. 当 n 1 a n   = 收敛时, n 1 a n b n   = 收敛 B. 当 n 1 a n   = 收敛时, n 1 a n b n   = 收敛   C. 当 a 发散时,  a b u 发散 n n=1 n n n n=1 n=1 D. 当 n 1 a n   = 发散时, n 1 a 2n b 2n   = 发散高数 · 8.无穷级数 (5) 判别级数 第 214 页，共248页 2 1 − 1 − 2 1 + 1 + 3 1 − 1 − 3 1 + 1 + + n 1 − 1 − n 1 + 1 + 的敛散性,正确的 结论是 ( ). A. 由莱布尼茨定理, 可推得该级数收敛 B. 由于添加括号后级数发散,故原级数发散 C. 由于各项取绝对值后得到的级数发散, 故原级数发散 D. 由 lim n n 1 1 0  → − = , 可知原级数收敛 (6) n 0 ( 1 ) n ( 2 n n 1 1 ) !   = − + + ( ). A. 1 2 ( s in 1 + c o s 1 ) B. 2 s in 1 + c o s 1 C. s in 1 + 2 c o s 1 D. s in 1 + c o s 1 (7) 设级数 n 2 n 1 ln p n   = 与 0 e ( p 2 1 )x d x   + − 都收敛,则( ). A. 1 p2 B. 0  p  2 C. −2 p2 D. 1 p2高数 · 8.无穷级数 二、填空题 (1) 设 第 215 页，共248页 n 0 a n x n   = 的收敛半径为 3 , 则 n 0 n a n ( x 1 ) n 1   = + + 的收敛区间为________ . (2) 设 n 0 a n x n   = 的收敛半径为 R = 1 , 则 n 0 a n n! x n   = 的收敛域为________ . (3) lim n 1 n K 1 1 k 3 1 1 k k 2   →  =  +  =________ .高数 · 8.无穷级数 (4) 第 216 页，共248页 lim n 1 a 2 a 2 n a n ( a 1 )  →  + + +   = ________ . (5) 设 n 1 ( 1 ) n 1 u n 2 , n 1 u 2 n 1 5    = − − =  = − = , 则 n 1 u n   = = ________ . (6) 设 n 1 u n ( u n 0 )   =  发散, S n = u 1 + u 2 + + u n , 则 n 1 1 S n S 1 n 1   =  − +  = ________ .高数 · 8.无穷级数 三、解答题 (1) 已知函数 第 217 页，共248页 y = y ( x ) 满足方程 y  = x + y , 且 y ( 0 ) = 1 , 讨论级数 n 1 y 1 n 1 1 n   =    − −  的敛散性. (2) 求 n 1 n 3 n x n ( 2 ) n   =  + −  的收敛区间,并讨论在端点处的敛散性. (3) 如下: (I) 设 k 0,x0, 证明不等式: k x  ( 1 + k 2 x 2 ) a r c ta n k x ; (II) 判别级数 n 1 ( 1 ) n a r n c ta n k n ( k 0 )   = −  是绝对收敛, 还是条件收敛.高数 · 8.无穷级数 (4) 设数列 第 218 页，共248页  a n  满足 a n = a 0 + n d , n = 1 , 2 , , 其中 a 0  0 , d  0 为常数. (Ⅰ)求 n 0 a n x n   = 的收敛域; （Ⅱ）求 n 0 a 2 nn   = . (5) 设 1 1 x x 2 n 0 a n x n  − − =  = . 证明: (I) a 0 = 1 , a 1 = 1 , a n + 2 = a n + 1 + a n ( n = 0 ,1 , 2 , ) ; (II) n 1 a a n na n 1 2   = + + 收敛, 并求其和.高数 · 8.无穷级数 (6) 设 第 219 页，共248页 f ( x ) 在  a , b  上可导, 且满足 a f ( x ) b , f  ( x ) k  1 , u 0   a , b  , u n = f ( u n − 1 ) ( u = 1 , 2 , ) , 证明: (I) n 1 ( u n 1 u n )   = + − 绝对收敛; (II) lim n u n  → 存在. (7) 设幂级数 n 0 a n x n   = 在 x ( , )    − + 上满足: a 0 1 , n 0 2 a n x n 1 n 0 ( n 1 ) a n 1 x n 0   =  = + +  = + − = ,  求级数 a 的和. n n=0高数 · 8.无穷级数 (8) 设 第 220 页，共248页 a n x 2 n e n x 2 d x ( n 1 , 2 , )   =  + − − = , 证明: 级数 n 1 a n   = 收敛. (9) 设 a 0 = 0 , a n + 1 = 2 + a n ( n = 0 ,1 , 2 , ) . (Ⅰ)证明: lim n →  a n 存在, 并求其值; (Ⅱ)判别 n 1 ( 1 ) n 1 2 a n   = − − − 是绝对收敛,还是条件收敛.高数 · 8.无穷级数 (10) 将 第 221 页，共248页 f ( x ) = x e x 在 x = 2 处展开为幂级数, 并求 f (n ) ( 2 ) . (11) 将 f ( x ) = x 3 − − 1 x 在 x = 1 处展开为幂级数, 并求 f (n ) ( 1 ) . (12) 将 f ( x ) = s in x + x c o s x  n+1 展开为 x 的幂级数, 并求 (−1)n 的和. (2n+1)! n=0高数 · 8.无穷级数 (13) 将 第 222 页，共248页 f ( x ) = x e x − x e 2 x + 1 展开为 x 的幂级数, 并求 n 1 ( n n 1 ) !   = + 的和. (14) 求级数 n 0 x e n x   = − 的收敛域及和函数. (15) 设 a 0 = 3 , a 1 = 5 , 且 n a n = 2 3 a n − 1 − ( n − 1 ) a n − 1 ( n  1 ) , 证明: 当 x  1 时, n 0 a n x n   = 收敛, 并求其和函数.高数 · 8.无穷级数 (16) 设 第 223 页，共248页 f ( x ) n 1 x n n 2  =  = , 证明: f ( x ) f ( 1 x ) ln x ln ( 1 x ) n 1 1 n 2  + − + − =  = . (17) 设 f ( x ) n 0 a n n! x n  =  = 满足  f f  ( ( 0 x ) ) = − 0 f ,  f ( x (  ) 0 − ) 2 = f 1 , ( x ) = 0 , 求 f ( x ) 及 a n .  (18) 求形如 b sinnx 的级数, 使其在 (0,) 内的和函数为 n n=1 1 2 ( x )  −  , 当 x= 时, 2 求此级数的和.高数 · 8.无穷级数 拓展题 解答题  1 (1) 设 a = xn 1−x2dx,b =2sinntdt(n=1,2, ), 求级数 n n 0 0 第 224 页，共248页 n 1 ( 1 ) n 1 a b n n   = − − 的和. (2) 设 a 0 1 , a 1 0 , ( n 1 ) a n 1 n a n a n 1 ( n 1 , 2 , ) , S ( x ) n 0 a n x n  = = + + = + − = =  = . (Ⅰ)求 lim n a n  → , 并计算级数 n 0 a n x n   = 的收敛半径; (Ⅱ)求 S ( x ) 满足的一阶微分方程, 并求和函数 S ( x ) .高数 · 8.无穷级数 (3) 设 第 225 页，共248页 f ( x ) 满足 f  ( x ) + 2 f  ( x ) + f ( x ) = 0 , 且 f ( 0 ) 1 , f ( 0 ) 0 , a n n f ( x ) d x  =  = =  + (Ⅰ)求 f ( x ) 及 a n ; (Ⅱ)求级数 n 1 a n   = 的和.高数 · 9.曲线积分与曲面积分 第九章 曲线积分与曲面积分 基础题 一、选择题 (8) 设 第 226 页，共248页 L 为圆周 x2 + y2 =2x, 则 I =  L x d s = ( ). A. 2 B.  C. 1 D. 0 (9) 设 S 为球面(x−a)2 +(y−b)2 +(z−c)2 =1(a,b,c均大于零),则I =   S ( x + y + z )d S = ( ). 4 A. 4 B. 4(a+b+c) C. 0 D. (a+b+c) 3 (3) 设 S:x2 +y2 +z2 =R2(z 0),S 为 1 S 在第一卦限的部分, 则 ( ). A.   S x d S = 4   S 1 x d S B.   S y d S = 4   S 1 y d S C.  zdS =4 zdS D.  xyzdS =4 xyzdS S S S S 1 1高数 · 9.曲线积分与曲面积分 二、填空题 (1) 设 第 227 页，共248页 S 为平面 x+ y+z=4 被圆柱面 x 2 + y 2 = 1 截出的有限部分, 则 I =   S z d S = _______. (2) 设 L 为 x 2 + y 2 = R 2 ( y 0 ) 上由点 A  − R 2 , R 2  到点 B ( R , 0 ) 的一段弧, 则  yds= ________,  ydx=________. L L (3) 设 L 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 与平面 x + y + z = 0 的交线,则I =  ( z+x2) ds=_______. L高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (4) 设曲线 第 228 页，共248页 L 为 x 2 + y 2 + z 2 = 9 2 与 x + z = 1 的交线,则 I =  L ( x 2 + y 2 + z 2 )d s = _______. (5) 设曲面 S : x + y + z = 1 , 则 I =   S ( x + y + z )d S = ________. (6) 设 L 为点 ( 1 , − 1 , 2 ) 到点 (2,1,3) 的直线段, 则 I =  L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = ________.高数 · 9.曲线积分与曲面积分 三、解答题 (1) 设 第 229 页，共248页 L 为由 r a ( a 0 ) , 0  =  = 和 4   = 所围凸平面区域的边界, ( r , )  为极坐标, 计算 I =  L e x 2 + y 2 d s . (2) 设 L 为曲线 y=1−1−x 从对应于 x = 0 的点到 x = 2 的点, 计算 I =  L ( x 2 + y 2 ) d x + ( x 2 − y 2 ) d y (3) 设 L 2  1 1 为 x−  + y2 = (y 0) 上从点  2 4 O ( 0 , 0 ) 到点 A ( 1 , 0 ) 的一段弧, 计算 I = 3+ ( 2− 2 ) y+exsinydx+ ( 2x+excosy ) dy   L高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (4) 计算积分 第 230 页，共248页 I =  L x d x y 2 − + y y d 2 x , 其中 (I) L 为 (x+2)2 +(y−2)2 =1, 取逆时针方向; (II) L 为 x 2 + y 2 = 1 , 取逆时针方向; (III) L 为 x a 2 2 + y b 2 2 = 1 , 取逆时针方向. (5) 设 L : x 2 + y 2 = R 2 ( R  1 ) , 取逆时针方向, 计算 I =  L x 4 d x y 2 − + y 9 d y x 2 .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (6) 设曲线 第 231 页，共248页 L : x 2 + y 2 = R 2 ( R  0 ) , 取逆时针方向, 问 R 为何值时, 积分 I ( R ) =  L y 3 d x + ( 3 x − x 3 ) d y 取得最大值, 并求最大值. (7) 设 f ( x ) 有一阶连续导数, 曲线积分  f (x)−exsinydx− f (x)cosydy与路径无关,   L 且 f ( 0 ) = 0 , 求 f ( x ) . (8) 设平面力场为 F = ( 2 x y 3 − y 2 c o s x ) i + ( 1 − 2 y s in x + 3 x 2 y 2 ) j , 求质心在 F 作用下,沿 L : 2 x y 2  =   从点 O(0,0) 到点 A ,1 所做的功 W .  2 高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (9) 计算 第 232 页，共248页 I =  L x d x y 2 − + y y d 2 x , 其中 L 是从点 A ( 1 ,1 ) 沿直线到点 B ( − 1 , 0 ) , 再沿曲线 y = x 2 − 1 到点 C ( 1 , 0 ) . (10) 设 P ( x , y ) = x ( x 2 + y y 2 ) k , Q ( x , y ) = − x 2 ( x 2 y + 2 y 2 ) k , D = { ( x , y )∣ y  0 } . (Ⅰ)若积分 I =  L P d x + Q d y 在 D 内与路径无关, 求 k 的值; (Ⅱ)在 D 内求函数 u ( x , y ) , 使得 d u = P d x + Q d y , 并计算 I =  (2 .2 ( ) 1 .1 ) P d x + Q d y .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (11) 设曲线 第 233 页，共248页 L 为 z=4−x2 −y2 与 z = 3 的交线, 从 z 轴正向看是逆时针方向, 计算 I =  L x 2 y 3 d x + z d y + y d z . (12) 计算 I =   S f ( x , y , z ) d S ,其中 S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 . f ( x , y , z ) =  x 0 2 , + y 2 , z z  x 2 x 2 + + y 2 y 2 . (13) 设曲面 S 为上半圆锥 z = x 2 + y 2 被圆柱面 x 2 + y 2 = 2 a x ( a  0 ) 所截出的有限部 分,计算 I =   S ( x 2 y + y z 2 + z 2 x )d S .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (14) 设 第 234 页，共248页 S 为z=x2 + y2介于 z = 0 与 z = 1 之间部分的下侧, 计算 I =   S x 2 d y d z + z d x d y (15) 设曲面 S : z = x 2 + y 2 ( 0 z 1 ) , 取上侧, 计算 I =   S ( x + 1 ) d y d z + z d x d y . (16) 设 S 为曲面 4-y= x2 +z2 上 y 0 的部分, 取外侧, 计算 I =   S y z d y d z + ( x 2 + z 2 ) y d z d x + x y d x d y高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (17) 设曲面为 第 235 页，共248页 z = x 2 + y 2 介于 z = 1 . 与 z = 2 之间的部分, 取上侧,计算 I = xz2dydz+ y2dzdx+zxdxdy S (18) 设 S 是 x 2 + y 2 = 1 , z = − 1 , z = 1 所围成的圆柱体的全表面,计算 I =   S 外 x d x y d 2 z + + y z 2 2 + d x z d 2 y ( S 外 表 示 外 侧 ). (19) 一个体积为 V , 表面积为 S (不含底面) 的雪堆, 融化速度为 d V d t = − a S , 其中 a0. 为常数, 设在融化期间雪堆的形状保持为 z = h − x 2 + h y 2 ( z  0 ) , 其中 h=h(t), 问一个高度为 h 0 ( h 0  0 ) 的雪堆全部融化需要多长时间?高数 · 9.曲线积分与曲面积分 综合题 一、选择题 (1) 设曲线 第 236 页，共248页 L 为 x 2 + y 2 = 1 , 取逆时针方向, f ( x , y )  0 , f ( x , − y ) = f ( x , y ) .L 1 , L 2 , L 3 如图所示, 记 I 1 =  L 1 f ( x , y )d x , I 2 =  L 2 f ( x , y ) d s , I 3 =  L 3 f ( x , y ) d x , 则 ( ). A. I 1  I 2  I 3 B. I 2  I 3  I 1 C. I 3  I 2  I 1 D. I 2  I 1  I 3 (2) 设 L 为闭曲线 x + y = 1 , 取逆时针方向, 则 I =  L a x d y x − + b y y d x = ( ). A. 8 ( a + b ) B. 2 ( a + b ) C. 8 ( a − b ) D. 2 ( a − b ) (3) 设 L 为平面光滑简单闭曲线, 取逆时针方向, L 所围区域的面积为 S , 则 ( ). A. S =  ydy−xdx B. L S = 1 2  L x d y − y d x C. S =  L x d y − y d x 1 D. S =  ydy−xdx 2 L高数 · 9.曲线积分与曲面积分 二、填空题 (1) 设 L:x2 + y2 =R2, 取顺时针方向, 则 第 237 页，共248页 I =  L e x x 2 2 − + x y 2 2 y d x + x y x 2 2 − + e y y 2 2 d y = ________. (2) 设积分 I =  L F ( x , y ) ( y d x + x d y ) 与路径无关,且 F ( x , y ) = 0 确定的隐函数的图形过点 ( 1 , 2 ) 且与坐标轴无交点,其中 F ( x , y ) 可微,则 F ( x , y ) = 0 确定的隐函数为 ________ (3) 设曲面 S : x 2 + y 2 + z 2 = 2 x ,其密度为 x 2 y 2 z 2  = + + , 则曲面 S 的质量 m = ______. (4) 设光滑有向曲面 S 的边界曲线为光滑有向闭曲线 L , 方向符合右手法则, 则  L g r a d s in ( x + y + z )d s = I = _________ .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (5) 向量场 第 238 页，共248页 A ( x , y , z ) = ( x + y + z ) i + x y j + z k 在点 P(1,1,1) 处的旋度 r o tA = ________ , d iv A = ________. (6) 设 x i y j z k , n  = + + 为球面 S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 的外单位法向量, 则 S n d S     = ________. 三、解答题 (1) 设 f ( x ) 有二阶连续导数, f ( 0 ) = 0 , f  ( 0 ) = 1 , 曲线积分 I = xe2x −6f (x)sinydx−5f (x)− f(x)cosydy与路径无关,求     L f ( x ) 表达式.高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (2) 设 第 239 页，共248页 D : x 2 + y 2 1 , x 0 , y 0 , L 为 D 的正向边界, 证明: L x e y 2 d y y e x 2 d x 2   − − . x2 (3) 设 f (x,y) 在 + y2 1 上有二阶偏导数, 4 L 为 x 4 2 + y 2 = 1 , 取顺时针方向, 计 算 I =  L  − 3 y + f 'x ( x , y )  d x + f 'y ( x , y ) d y (4) 设 L 为 y c o s x  = 从 A ( , )   − 到 B ( , )   − − (x+ y)dx−(x− y)dy 的曲线,计算I = . L x2 + y2高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (5) 设 第 240 页，共248页 f ( x ) 有连续导数, L 为从点 A ( 2 , 2 )  沿 ( x 1 ) 2 ( y ) 2 1 2   − + − = + 的上半圆 周到点 O ( 0 , 0 ) 的一段弧, 计算 I L f ( x ) s in y d x f ( x ) c o s y x d y  =   +  −  . (6) 设 f ( y ) 有连续导数, f ( 0 ) = 0 ,曲线OA的极坐标方程为 r a ( 1 c o s ) , a 0  = −  , 0 , O ( 0 , 0 )   与 A 分别对应于=0与  = ,计算 I O A f ( y ) e x y d x f ( y ) e x d y   =   −  +   − 高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (7) 设 第 241 页，共248页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内有连续导数, L 为从点 A  3 , 2 3  到点 B ( 1 , 2 ) 的直线段, 计算 I =  L 1 + y 2 f y ( x y ) d x + x 2 y  y 2 f ( x y ) − 1  d y . (8) 设 f (x),g(x) 在 (0,+) 内有连续导数, 且 V ( x , y ) = y f ( x y ) d x + x g ( x y ) d y . (Ⅰ)若存在函数 u ( x , y ) , 使得 d u = V , 求 f ( x y ) − g ( x y ) ; (Ⅱ)若 f ( x ) ( x )  =  , 求函数 u ( x , y ) , 使 d u = V .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (9) 设曲线 第 242 页，共248页 L 为微分方程y= f (x,y)(f (x,y)0)确定的一条简单闭曲线,且 L 所围平面区 域 D 的面积为 A ,计算 I =  L x f ( x , y ) d x − f ( y x , y ) d y .( L 为 D 的正向边界) (10) 设在 D = { ( x , y )∣ y  0 } 内, f ( x , y ) 有一阶连续偏导数, f ( x , y )  0 , 且对任意 t  0 , 有 f ( tx , ty ) = t 2 f ( x , y ) , 证明: 对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L y x , 都有  dx− dy=0. L f (x,y) f (x,y)高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (11) 设曲面 第 243 页，共248页 S 为由圆柱面 x 2 + y 2 = R 2 、平面 z = 0 和 z − x = R ( R  0 ) 所围立体的 表面,计算 I =   S z d S . (12) 设球面为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , 柱面为 x 2 + y 2 = R x ( R  0 ) , 球面在柱体内的面积为 S 1 , 柱面在球体内的面积为 S 2 , 求 S S 1 2 .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (13) 设薄片型物体 第 244 页，共248页 S 为圆锥面 z = x 2 + y 2 被柱面 z 2 = 2 x 割下的有限部分, 其上任 一点的密度为 ( x , y , z ) 9 x 2 y 2 z 2  = + + , 记圆锥面与柱面的交线为 C . (Ⅰ)求 C 在 x O y 面上的投影曲线方程; (Ⅱ)求 S 的质量. (14) 在半径为 a 的球表面上取一点, 以该点为球心作半径为 R 的球, 问 R 为何值时, 该球位于定球内的表面积最大?高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (15) 设 第 245 页，共248页 f ( u ) 有连续导数, S 为 z = x 2 + y 2 与两个半球面 4 − x 2 − y 2 z = 1 − x 2 − y 2 , z = 所围立体的全表面的外侧,计算  1 x+4   1 x+4  I =   f  +3xy2 dydz+ f  +3x2ydzdx+z3dxdy S y+3  y+3   x+4  y+3  (16) 设曲面 S : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 , ( c o s , c o s , c o s )    + + = n = 是 S 向外的单位法向量, 计 算 I S ( z n y n ) c o s ( x n z n ) c o s ( y n x n ) c o s d S ( n 1 )    =    − + − + −  .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (17) 设曲面 第 246 页，共248页 S : z = R 2 − x 2 − y 2 ( R  0 ) , 取下侧, 计算 I =   S R x d y d z x + 2 + ( R y + 2 + z ) z 2 2 d x d y (18) 设 S 为椭球面 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 1 外侧, 计算 I =   S x d y d ( z x + 2 + y d y z 2 d x + + z 2 z ) d 32 x d y . (19) 设曲面 S 为球面 x2 + y2 +z2 =4z 与锥面 z = x 2 + 3 y 2 所围, 且位于锥面上方部 分的立体表面, 流速场为 A ( x , y , z ) =  1 3 x 3 + x 2 y + x 2 z , 1 3 y 3 + y 2 z , 1 3 z 3  , 求 A ( x , y , z ) 从曲面 S 内部流向外部的流量 Φ.高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (20) 设 第 247 页，共248页 Σ : x 2 + y 2 + z 2 = 2 y , 计算 I =   Σ ( x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 )d S . (21) 设 f ( r ) ( r  0 ) ( ) 有二阶连续导数, u= f x2 + y2 +z2 满足 x 2 + y 2 + z 2 d iv ( g r a d u ) = , 求函数 u 的表达式. 扩展题 (1) [25新增]设 f (x,y) 在 D= (x,y∣) x2 +y2 1  上有二阶连续偏导数, 且 2f 2f − ( x2+y2) + =e , 计算 x2 y2 I =   D  x   f x + y   f y  d x d y .高数 · 9.曲线积分与曲面积分 (2) [25新增]设 第 248 页，共248页 f ( x , y ) 在 x 2 + y 2 1 上有一阶连续偏导数, 且在边界上取值为零, 证 明: lim t 0 2 1 D x f 'x ( x , y x ) 2 y y f 2 'y ( x , y ) d x d y f ( 0 , 0 ) ,  → + −   + + = 其中 D : t 2 x 2 + y 2 1 , t  0 . (3) [25新增]设 Σ 为光滑闭曲面, 取外侧 I =   Σ ( x 3 − x ) d y d z + ( y 3 − y ) d z d x + ( z 3 − z ) d x d y . (I) 确定曲面 Σ 使得 I 最小,并求 I 的最小值; (II) 若满足(I)的曲面Σ被锥面 z = x 2 + y 2 所截且位于锥面上方的部分为 Σ 1 ,求曲面 Σ 1 的面积.