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2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁ B=（ ）
A
A．{4，8} B．{0，2，6}
C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}
2．（5分）若z=4+3i，则 =（ ）
A．1 B．﹣1 C． + i D． ﹣ i
3．（5分）已知向量 =（ ， ）， =（ ， ），则∠ABC=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均
最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为1
5℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（ ）
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M
，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入
一次密码能够成功开机的概率是（ ）
第1页 | 共7页A． B． C． D．
6．（5分）若tanθ= ，则cos2θ=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知a= ，b= ，c= ，则（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的
三视图，则该多面体的表面积为（ ）
第2页 | 共7页A．18+36 B．54+18 C．90 D．81
11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A B C 内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，
1 1 1
AB=6，BC=8，AA =3，则V的最大值是（ ）
1
A．4π B． C．6π D．
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点，A
，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF
交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（
）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=2x+3y﹣5的最小值为
．
14．（5分）函数y=sinx﹣ cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移
个单位长度得到．
15．（5分）已知直线l：x﹣ y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别
第3页 | 共7页作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|= ．
16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）
在点（1，2）处的切线方程是 ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）已知各项都为正数的数列{a }满足a =1，a 2﹣（2a ﹣1）a ﹣2a
n 1 n n+1 n n
=0．
+1
（1）求a ，a ；
2 3
（2）求{a }的通项公式．
n
18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨
）的折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以
证明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无
害化处理量．
附注：
参考数据： y=9.32， ty=40.17， =0.55， ≈2.646．
i i i
参考公式：相关系数r= ，
回归方程 = + t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
第4页 | 共7页= ， = ﹣ ．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3
，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
第5页 | 共7页20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l ，l 分别
1 2
交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜ ＜x；
（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．
请考生在第22-
24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-
1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，⊙O中 的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；
（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．
第6页 | 共7页[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α为参数），以
1
坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方
2
程为ρsin（θ+ ）=2 ．
（1）写出C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2
（2）设点P在C 上，点Q在C 上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
1 2
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
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