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专题26 导数中的同构问题
在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a＞0且a≠1时，有 ，
(2)当a＞0且a≠1时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)
(3) ，
(4) ，
(6) ，
再结合常用的切线不等式： ， ， ， 等，可以得到更多的结论
(7) ， ．
， ．
(8) ，
，
(9) ，
，
1
x+alnx+ >xa 对x ∈(1,+∞)恒成立，则实数a的
ex
1．已知不等式 最小值为（ ）
e
−
A. −√e B. 2 C. −e D. −2e∵x+alnx+ 1 ≥xa,∴x+ 1 ≥xa −alnx=xa −lnxa ∴ 1 −ln ( 1 ) ≥xa −lnxa
【解析】 ex ex ex ex ，
构造函数f (x)=x−lnx∴f ( 1 ) ≥f (xa)∵f '(x)=1− 1 = x−1
ex x x ⇒f(x)在(0,1)上↑，(1，+∞)↓
1
当x >1时，0< <1,xa 与1的大小不定，但当实数a最小时，
ex
只需考虑其为负数的情况，
此时0−
ex lnx
，
x −lnx+1
g(x)=− ,则g '(x)= ⇒g(x)在(1，e)上↑，(e,+∞)↓
lnx ln2x ∴g(x)≤g(e)=−e
令
a的最小值是−e.
故
b>0,存在a≥b使lna=memb (m>0)成立,则实数m
2．已知对任意给定的 的取值范围为： ．
lna=memb ≥lnb,∴mbemb ≥blnb=(lnb)e lnb
【解析】
当lnb≤0即00,lnb.e lnb ≤0∴mbemb ≥lnb.e lnb
显然成立，
当lnb>0即b >1时，构造函数f (x)=xex ∴f (mb)≥f (lnb)
lnb
f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴mb≥lnb,m≥ ,
b
显然
lnb 1−lnb
设g (b)= ,g'(b)= ,令g '(b)=0⇒b=e⇒g(b)在(1,e)上↑，(e,+∞)↓
b b2
1 1 1
∴g(b) =g(e)= ,∴m≥ ,故实数m的取值范围为[ ,+∞)
max
e e e
.
3．若对任意 ，恒有 ，则实数 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【解析】由题意可知，不等式 变形为 .
设 ，则
.
当 时 ，即 在 上单调递减.
当 时 ，即 在 上单调递增.
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最小值点.
所以 ，即 在 上单调递增.
若使得对任意 ，恒有 成立.
则需对任意 ，恒有 成立.
即对任意 ，恒有 成立，则 在 恒成立.
设 则 .
当 时， ，函数 在 上单调递增
当 时， ，函数 在 上单调递减
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最大值点.
所以 ，即 ，则实数 的最小值为 .故选：D
4．若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围是______．【解析】 整理为： ，其中 ，
故 ，令 ，则 ， ，注意到： ，
其中 ，当 时，令 ，解得： ，令 ，解得： ，则 ，
满足题意；
当 时，令 得： ，令 得： ，则 在 上单调递增，
在 上单调递减，且 ， ，所以当 时， ，不合题意，舍去；
故不满足题意，舍去；
当 时，令 得： ，令 得： ，所以 在 上单调递减，在
上单调递增，且 ， ，所以当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，故不合题意，舍去.
综上：a的取值范围是 .
5．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为___________.
【解析】∵对于任意 ， ，不等式 恒成立
∴对于任意 ， ，即 恒成立
当 时， ；当 ， ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
由 ，知 ，即 ，即
设 ， ，求导 ，令 ，得当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ 在 处取得极大值，且为最大值，
所以 时，不等式 恒成立，故答案为：
6．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【解析】
若 ， 时， ， ，∴ ，
此时 不恒成立，∴ ， ，
令 ， ，
时， ， ， ，
在 单调递减， 单调递增，∴ ，
， 时， ， ，原不等式恒成立；
时， ，令 ， ， ，
时， ， 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ．故答案为： .
7．已知函数 ，若 ，求 的取值范围.【解析】将 按照左右结构相同、变量移至一边的原则进行变形：
由 移项得：
即 ，两边同时加（ ）得
即 ，
设 ，则 ，所以 单增
所以 ，即
设 ，则 ，所以 在 单减，在 单增，
所以 ，所以 .
8．对于任意实数 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】解法一：将 变形为 ， （说明：将参数移至一边）
两边同时乘x得 （说明：目的是凑右边的结构）
即 （说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#）
设 ，则 ， 单增
故由（#）得 ，
再令 ，则 ，易知当
所以 ，即 .
解法二：将 变形为 ，即
，设 ，易知 单增
故 （以下同解法一，从略）.9．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若函数 有两个零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为 ，
．
函数 的单调递增区间为 ；单减区间为 ．
(2)要使函数 有两个零点，即 有两个实根，
即 有两个实根．即 ．
整理为 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ．
所以只需使 有两个根，设 ．
由（1）可知，函数 ）的单调递增区间为 ；单减区间为 ，
故函数 在 处取得极大值， ．
当 时， ；当 时， ，
要想 有两个根，只需 ，解得： ．
所以a的取值范围是 ．
10．已知 ， ， ．(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： ．
【解析】 (1) ，当 时， ，即 在 上单调递减，
故函数 不存在极值；
当 时，令 ，得 ，
x
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
故 ，无极小值.
综上，当 时，函数 不存在极值；
当 时，函数 有极大值， ，不存在极小值．
(2)显然 ，要证： ，即证： ，即证： ，
即证： ．令 ，故只须证： ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，所以 ，从而有 ．故 ，即 ．
11．已知(1)当 时，求 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
【解析】 (1)因为 ， ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 单增，且 ，
当 时 ，当 时 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增
(2)解：因为
令 ，易知 在 上单调递增，且 ，
故 的零点转化为 即 ， ，
设 ，则 ，
当 时， 无零点；
当 时， ，故 为 上的增函数，
而 ， ，故 在 上有且只有一个零点；
当 时，若 ，则 ； ，则 ；
故 ，若 ，则 ，故 在 上有且只有一个零点；
若 ，则 ，故 在 上无零点；
若 ，则 ，此时 ，
而 ， ，
设 ， ，则 ，
故 在 上为增函数，故 即 ，
故此时 在 上有且只有两个不同的零点；
综上：当 时，0个零点；当 或 时，1个零点； 时，2个零点；
12．已知函数
(1)请讨论函数 的单调性
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围
【解析】 (1)
当 时， 在 上递增
当 时，在 ， 单调递减
在 上 ， 单调递增
(2)原式等价于 ，设 ，
由（1）当 时， 为增函数 ， ，
∴等式等价于 恒成立，时， 成立， 时， ，
设 ， ，
，设 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以在 上， ， ， 为减函数，
在 上， ， ， 为增函数， ， ．
13．已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 对 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明
理由.
【解析】 (1)因为 ，所以 ，
即 .当 时， ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递增，因为 ，
所以，当 时， ， ；当 时， ， ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
(2)设 ， ，易知 在 单调递增.又当 时， ，所以 的值域为 ；
当 时， 的值域为 .
所以 的值域为 .
故对于 上任意一个值 ，都有唯一的一个正数 ，使得 .
因为 ，即 .
设 ， ，所以要使 ，只需 .
当 时，因为 ，即 ，所以 不符合题意.
当 时，当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增.
所以 .设 ， ，
则 ，当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减.
所以 ，所以 ， ，当且仅当 时，等号成立.
又因为 ，所以 ，所以 .
综上，存在a符合题意， .
14．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求证：函数 有两个零点 ， 且 .【解析】(1)定义域为 ， ，当 时， ， 在 上单调递
增；
当 时，由 得 ，当 时， 单调递减，当 时，
单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
(2)当 时，因为 ，所以 ， 无零点.当 时，
由 ，
得 ，即 ，设 ，则有 ，
因为 在 上成立，
所以 在 上单调递减，当 时， ，所以 等价于 ，
即 ，所以 的零点与 在上 的零点相同.若 ，
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 在 和 上各有一个零点，即 在 上有两个零点，综上 有两个零点 .
不妨设 ，则 ，相减得 ，
设 ，则 ，代入上式，解得 ，所以 ，因为 ，所以 ，因此要证 ，只需证 ，即证
，
设 ，则 ，所以 在 递增， ，
即 ，因为 ，所以可化成 ，又因为 ，
所以 .
15．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间：
(2)若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】 (1)当 时
设 ，则
即 在 递减，在 递增，
当 ，当
而当 所以当 递减；
递增.故函数增区间为 ，减区间为
(2) ，
令在 递增，而 ，
，使 ，即
当 时， 在 递减，当 时， 在 递增
因为 可变形为
又 在 递增，
由（**）可得
故 取值范围为
16．已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)设 ，当 时， （ 是函数 的导数），求a的取值范围．
【解析】 (1) ，令 ，得 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极大值为 ，函数 的极小值为 ．(2) ，
，即 ，
即 ，设 ，
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，1）上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，
则函数 在 上单调递增，则由 ，
得 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
设 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在（0，e）上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ．
17．已知 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求正实数a的取值范围．
【解析】由题意， 恒成立，即 恒成立，
所以 恒成立，
构造函数 ，易知 在R上单增，
所以 恒成立，即 ，
令 ， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以正实数a的取值范围 .
18．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)证明：当 时， .
【解析】(1)∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
又 ， ，
∴当 或 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
综上， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
(2)∵ ， ，
要证 ，即证 ，
也就是证 ，设 ，则 ，∴当 时， 单调递增，
∴ ，由（1）可知当 时， ，即 ，
∴当 时， ，所以，当 时， .
19．已知函数 ．
(1)讨论f(x)的单调性．
(2)若a＝0，证明：对任意的x>1，都有 ．
【解析】(1)由题意可得 ．
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)证明：由题得， 时，对任意的 ，都有 ，即 ，
等价于 ，即 .
设 ，则 ．
由 ，得 ；由 ，得 ．
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，即 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．
设 ，则 ．由 ，得 ；由 ，得 ．则 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有解，
则 ，当且仅当 时，等号成立．
即 ，即 ．
