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专题 4.9 函数 的图象及应用-重难点题型精讲
1．匀速圆周运动的数学模型
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
2． , A对函数 的图象的影响
(1) 对 的图象的影响
函数 （其中 ）的图象，可以看作是把正弦曲线 上所有的点向左(当 >0
时)
或向右(当 <0时)平移| |个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).
(2) 对 的图象的影响
函数 的图象，可以看作是把 的图象上所有点的横坐标缩短(当 >1时)或
伸长(当0< <1时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到.
(3) 对 的图象的影响
函数 的图象，可以看作是把 图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)
或缩短(当00,A>0)的图象，即：
二是由诱导公式将余弦型函数 转化为正弦型函数，即
，再由 的图象通过变换作图法得到 的图象即可.【题型1 函数 的图象】
【方法点拨】
用“五点法”画函数 (x∈R)的简图，先作变量代换，令X= ，再用方程思想由X
取
来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.
π
【例1】（2021·全国·高一专题练习）用五点法作函数f(x)＝sin(2x− )的图象时，所取的“五点”是
3
（ ）
π 5π 2π 11π 7π
A．( ,0)，( ,1)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 11π
B．( ,0)，( ,1)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 7π
C．( ,0)，( ,1)，( ,1)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π 5π 2π 11π 7π
D．( ,0)，( ,0)，( ,0)，( ,−1)，( ,0)
6 12 3 12 6
π π
【解题思路】令2x－ ＝0可得x＝ ，再由函数的最小正周期可得选项.
3 6
π π 2π 1 π
【解答过程】令2x－ ＝0可得x＝ ，又函数的最小正周期为T= =π，则 T= ，
3 6 2 4 4
π 5π 2π 11π 7π
所以五点的坐标依次是( ,0)，( ,1)，( ,0)，( ,−1)，( ,0).
6 12 3 12 6
故选：A.
( π)
【变式1-1】（2022·全国·高一课时练习）用“五点法”作函数y=cos 4x− 在一个周期内的图像时，
6
第四个关键点的坐标是
(5π ) ( 5π )
A． ,0 B． − ,1
12 12
(5π ) ( 5π )
C． ,1 D． − ,0
12 12
【解题思路】利用余弦函数的五点作图求解即可π 3π 5π (5π )
【解答过程】令4x− = ，得x= .∴该点坐标为 ,0 .
6 2 12 12
故选A.
【变式1-2】（2022·广东揭阳·高一期末）某同学用“五点法”画函数
π
f (x)=Asin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
2
π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
π 5π
x
3 6
Asin(ωx+φ) 0 5 −5 0
π
根据表格中的数据，函数f (x)的解析式可以是（ ）A．f (x)=5sin ( 2x− ) B．
6
π
f (x)=5sin ( 2x+ )
6
π π
C．f (x)=5sin ( 2x− ) D．f (x)=5sin ( 2x+ )
3 3
【解题思路】根据函数最值，可求得A值，根据周期公式，可求得ω值，代入特殊点，可求得φ值，即可
得答案.
【解答过程】由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5，
T 5π π π 2π
= − = ，解得T=π= ，解得ω=2，
2 6 3 2 ω
π π π
又2× +φ= ，解得φ=− ，
3 2 6
π
所以f (x)的解析式可以是f (x)=5sin ( 2x− ) ，
6
故选：A.
( π)
【变式1-3】（2022·全国·高一课时练习）用五点法作函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的图象
2
时，得到如下表格：
π 2π
x
6 3π 3π
ωx+φ 0 π 2π
2 2
y 0 4 0 -4 0
π 1 π π 1
则A，ω，φ的值分别为（ ）A．4，2，− B．4， ， C．4，2， D．4，
3 2 3 6 2
π
，−
6
π
【解题思路】由表中数据求出A、T的值，利用周期公式可求ω的值，根据图象过( ，0)，即可求得φ的
6
值．
【解答过程】解：由表中的最大值为4，最小值为−4，可得A=4，
2π π 1 2π
由 − = T，则T=π，∴ω= =2，
3 6 2 π
π
∵y=4sin(2x+φ)，图象过( ，0)，
6
π π π
∴0=4sin( ×2+φ)，∴ ×2+φ=2kπ，(k∈Z)，解得φ=2kπ− ，
6 6 3
π π
∵|φ|< ，∴当k=0时，φ=− ．
2 3
故选：A．
【题型2 三角函数的图象变换】
【方法点拨】
可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
( π)
【例2】（2022·山西临汾·高三期中）为了得到y=sin3x的图象，只需将y=cos 3x− 的图象（ ）
4
3π 7π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
4 12
5π π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4 4
【解题思路】由函数图像平移的左加右减原则即可求解.
( π)
【解答过程】设f(x)=cos 3x− ，
47π 7π π 3π
由f(x+ )=cos[3(x+ )− ]=cos(3x+ )=sin3x得：
12 12 4 2
( π) 7π
只需将y=cos 3x− 的图象向左平移 个单位长度，
4 12
即可得到y=sin3x的图象.
故选：B.
【变式2-1】（2022·贵州遵义·高三期中（理））为了得到函数y=sinx的图象，只要把函数
π
y=sin ( x+ )
图象上所有的点（ ）
3
π π
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
6 6
π π
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
3 3
【解题思路】根据三角函数图象的平移变换规律，即可判断出答案.
π π
【解答过程】因为sinx=sin[(x+ )− ]，故为了得到函数y=sinx的图象，
3 3
π π
只要把函数y=sin ( x+ )
图象上所有的点向右平移 个单位长度，
3 3
故选：C.
π
【变式2-2】（2022·天津·高一期末）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)（其中ω>0,|φ|< ）图像相邻两条
2
π ( π )
对称轴的距离为 ，一个对称中心为 - ,0 ，为了得到g(x)=sinωx的图像，只需将f (x)的图像
2 6
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 12
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 12
( π)
【解题思路】根据三角函数的性质得f (x)=sin 2x+ ，再根据平移变换求解即可.
3
π 2π
【解答过程】解：由题设T=2× =π，所以ω= =2，
2 π
所以，f (x)=sin(2x+φ)，( π ) π
因为一个对称中心为 - ,0 ，且|φ|< ，
6 2
π π π
所以，将(- ,0)代入可得sin(- +φ)=0，解得φ= ,
6 3 3
( π) [ ( π)]
所以，f (x)=sin 2x+ =sin 2 x+ ,
3 6
π
所以，函数f (x)的图像向右平移 个单位可得到g(x)=sin2x的图像.
6
故选：C.
(
2π
)
【变式2-3】（2022·江西·高三阶段练习（文））为了得到函数y=2cos 2x- 的图象，只需将函数
3
y=2sinx的图象（ ）
1 π
A．所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度
2 12
π
B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度
6
π
C．向右平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3
π 1
D．向左平移 个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
6 2
【解题思路】根据三角函数平移和伸缩变换原则，结合诱导公式可得到结果.
1 π
【解答过程】对于A，将y=2sinx横坐标缩短到原来的 ，可得y=2sin2x；再向右平移 个单位，可
2 12
[ ( π )] ( π) (π 2π ) ( 2π )
得y=2sin 2 x- =2sin 2x- =2sin +2x- =2cos 2x- ，A正确；
12 6 2 3 3
1 π
对于B，将y=2sinx横坐标伸长到原来的2倍，可得y=2sin x；再向左平移 个单位，可得
2 6
[1( π)] (1 π )
y=2sin x+ =2sin x+ ，B错误；
2 6 2 12
π ( π)
对于C，将y=2sinx向右平移 个单位，可得y=2sin x- ；再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
3 3(1 π)
可得y=2sin x- ，C错误；
2 3
π ( π) 1
对于D，将y=2sinx向左平移 个单位，可得y=2sin x+ ；再将所有点的横坐标缩短到原来的 ，
6 6 2
( π) (π π) ( π)
可得y=2sin 2x+ =2sin +2x- =2cos 2x- ，D错误.
6 2 3 3
故选：A.
【题型3 由图象确定函数 的解析式】
【方法点拨】
根据部分图象求出解析式中的A， ，即可得解.
π π
【例3】（2022·四川省高三阶段练习（文））函数 f (x)=2sin(ωx+φ) (ω>0，- <φ< ) 的部分
2 2
图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
π π
A．2，− B．2，−
3 6
π π
C．4，− D．4，
6 3
【解题思路】根据周期即可求解ω，代入最高点即可求解φ.
(11π 5π)
【解答过程】由图象知函数周期 T=2 − =π，
12 12
2π (5π )
∴ω= =2， 把 ，2 代入解析式，
π 12
( 5π ) (5π )
得2=2sin 2× +φ ， 即sin +φ =1.
12 65π π π
∴ +φ= +2kπ(k∈Z)，φ=− +2kπ(k∈Z).
6 2 3
π π π
又− <φ< ，∴φ=− .
2 2 3
故选：A.
π
【变式3-1】（2022·天津市高三期中）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)+b（其中A>0，ω>0，|φ|< ）的
2
部分图像如下图，则f (2023π)=（ ）
√3 √3
A．−√3−1 B．√3−1 C． D． +1
2 2
【解题思路】由图像最高的与最低点x的距离得出f (x)的周期，通过周期得到ω；
再由函数最小值点的x值与三角函数性质得出φ；
再由图像上两点代入f (x)得出A，b；
通过周期得到f (2023π)=f (0)即可代入f (x)得出答案.
【解答过程】设图中最高点的x=a，
由正弦型函数的性质可得x=a是f (x)的一条对称轴，
π π
− +
则 12 4 π ，
a= =
2 12
1 π ( 5π) π
则由图可得 T= − − = ，
2 12 12 2
2π
则T= =π，
|ω|
∵ω>0，
∴ω=2，
5π
∵A>0，且x=− 为f (x)最小值点的x值，
12( 5π) π π
∴2× − +φ=2kπ− ，即φ=2kπ+ ，
12 2 3
π
∵|φ|<
，
2
π
∴φ= ，
3
( π)
∴f (x)=Asin 2x+ +b，
3
( 5π ) ( π )
由图知f (x)上的点 − ,−3 与 − ,0 ，
12 12
( π)
代入f (x)=Asin 2x+ +b得：¿，
3
化简为¿，解得¿，
( π)
则f (x)=2sin 2x+ −1，
3
∵f (x)的周期为π，
( π)
∴f (2023π)=f (0)=2sin 2×0+ −1=√3−1.
3
故选：B.
【变式3-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））将函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<0)的
π π
图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数y=g(x)的图象，则f(0)+f ( )=（ ）
6 3
A．0 B．1 C．2 D．−1
【解题思路】由三角函数的图象变换得到g(x)的解析式，再由其图象性质得出A,ω,φ后计算原式
【解答过程】依题意，g(x)=Acos [ ω ( x− π )+φ ] =Acos ( ωx− ωπ +φ ) ，
6 6故A=2，
T π π
又g(x)的周期T满足 = − ，得T=π，所以ω=2，
4 3 12
π
所以g(x)=2cos ( 2x− +φ ) ，
3
π π π
又g ( )=2，得2× − +φ=2kπ,k∈Z，
3 3 3
π π
又−π<φ<0，所以φ=− ，所以f(x)=2cos ( 2x− ) ，
3 3
π π π
所以f(0)+f ( )=2cos ( − )+2cos =2，
3 3 3
故选：C.
π
【变式3-3】（2022·四川·高三阶段练习（理））已知函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部
2
分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
π
B．f (x)=3sin ( 2x− )
3
kπ 5π
C．f (x)关于直线x= + (k∈Z)对称
2 12
5π
D．将f (x)的图像向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
12
【解题思路】根据图象求出A，ω和φ的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解．
T π π 3π
【解答过程】解：由图可知A=3， = −(− )= ，即T=π，故选项A正确；
4 6 12 122π
由 =π，可得ω=2，则f(x)=3sin(2x+φ)，
ω
π π π π
因为f(− )=3sin[2×(− )+φ]=3sin(− +φ)=−3，即sin(− +φ)=−1，
12 12 6 6
π π π
所以− +φ=2kπ− ，k∈Z，得φ=2kπ− ，k∈Z，
6 2 3
π π π
因为 |φ|< ，所以φ=− ，所以f(x)=3sin(2x− )，故选项B正确；
2 3 3
π π kπ 5π
由2x− =kπ+ ,k∈Z ，可得x= + (k∈Z)，
3 2 2 12
kπ 5π
即f (x)关于直线x= + (k∈Z)对称，故选项C正确；
2 12
5π 5π π π
将f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到y=3sin[2(x+ )− ]=3sin(2x+ )=3cos2x，
12 12 3 2
所以f(x)为偶函数，图象不关于原点对称.
故选：D.
【题型4 图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
结合具体题目，研究函数 的图象与性质时，可将 看作一个整体，利用换元法和
数
形结合思想灵活求解.
【例4】（2022·山东·高二阶段练习）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像
如图所示．
(1)求f (x)的解析式及对称中心；(α) 4 ( π)
(2)若f = ，求cos 2α+ 值；
2 3 3
1
(3)先将f (x)的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍，得到函数g(x)图像，再将g(x)图像右平移
2
π [ π 3π ]
个单位后得到ℎ (x)的图像，求函数y= ℎ (x)在x∈ , 上的单调减区间．
12 12 4
3 3π ( 5π )
【解题思路】（1）根据函数图像得A=2， T= ，ω=2，进而根据|φ|<π，再将点 ,2 代入求解
4 4 12
π
得φ=- ，最后求解对称中心即可；
3
( π) 2 ( π) ( π)
（2）结合（1）得sin α- = ，再根据 2α+ -2 α- =π，结合二倍角公式求解即可；
3 3 3 3
[π 3π ] 3π
（3）由函数图像平移变换得ℎ (x)=-cos2x，进而得2x∈ , ，再解不等式π≤2x≤ 即可得
6 2 2
答案.
【解答过程】（1）
解：由图可知，A=2， 3 T= 5π - ( - π) = 3π ，即T=π= 2π ，解得ω=2，
4 12 3 4 ω
所以f (x)=2sin(2x+φ)，
( 5π ) ( 5π ) 5π π
再将点 ,2 代入得2=2sin +φ ，即 +φ= +2kπ,k∈Z，
12 6 6 2
π
因为|φ|<π，所以φ=- ，
3
( π)
所以f (x)=2sin 2x- .
3
π π kπ
令2x- =kπ,k∈Z，解得x= + ,k∈Z，
3 6 2
(π kπ )
所以，f (x)的对称中心为 + ,0 ,k∈Z
6 2
（2）
( π)
解：由（1）知f (x)=2sin 2x- ，
3
(α) ( π) 4 ( π) 2
所以f =2sin α- = ，即sin α- = ，
2 3 3 3 3( π) ( π)
因为 2α+ -2 α- =π，
3 3
所以cos
(
2α+
π)
=cos
[
π+2
(
α-
π)]
=-cos
[
2
(
α-
π)] =2sin2(
α-
π)
-1=-
1
.
3 3 3 3 9
（3）
1 ( π)
解：将f (x)的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的 倍得g(x)=sin 2x- ，
2 3
π ( π π)
再将g(x)图像右平移 个单位后得到ℎ (x)的图像，故ℎ (x)=sin 2x- - =-cos2x，
12 6 3
[ π 3π ] [π 3π ]
因为x∈ , ，所以2x∈ , ，
12 4 6 2
3π π 3π
所以令π≤2x≤ ，解得 ≤x≤ ，
2 2 4
[ π 3π ] [π 3π ]
所以，函数y= ℎ (x)在x∈ , 上的单调减区间为 , .
12 4 2 4
【变式4-1】（2022·江西·高二阶段练习）已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图
2
象如图所示，将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平
3
π
移 个单位长度，得到函数g(x)的图象．
6
(1)求函数g(x)的解析式；
[ π] 2
(2)若对于∀x∈ 0, ,[g(x)] −mg(x)−3≤0恒成立，求实数m的取值范围．
3
【解题思路】（1）先根据函数图象求出f (x)的解析，再利用图象变换规律可求出g(x)的解析式；
[ π] π [π 7π]
（2）由x∈ 0, ，得3x+ ∈ , ，从而可得g(x)∈[−1,2]，然后分g(x)=0，
3 6 6 6g(x)∈[−1,0)和g(x)∈(0,2]求解即可.
【解答过程】（1）
T 5π π π
由f (x)的图象可得A=2， = − ( − )= ，
2 12 12 2
2π
所以T=π，所以 =π，得ω=2，
ω
所以f (x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π)，
(5π )
因为f (x)的图象过 ,−2 ，
12
( 5π ) (5π )
所以2sin 2× +φ =−2，所以sin +φ =−1，
12 6
5π π 4π
所以 +φ=2kπ− ,k∈Z，得φ=2kπ− ,k∈Z，
6 2 3
2π
因为|φ|<π，所以φ= ，
3
2π
所以f (x)=2sin ( 2x+ ) ，
3
2
将函数f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，可得
3
y=2sin ( 2× 3 x+ 2π) =2sin ( 3x+ 2π ) ，
2 3 3
π
再将所得函数图象向右平移 个单位长度，得
6
y=2sin [ 3 ( x− π )+ 2π] =2sin ( 3x+ π ) ，
6 3 6
π
所以g(x)=2sin ( 3x+ )
6
（2）
[ π] π [π 7π]
由x∈ 0, ，得3x+ ∈ , ，
3 6 6 6
所以sin ( 3x+ π ) ∈ [ − 1 ,1 ] ，
6 2
π
所以2sin ( 3x+ ) ∈[−1,2]，
6
所以g(x)∈[−1,2]，当g(x)=0时，−3≤0恒成立，
当g(x)∈[−1,0)时，则由[g(x)] 2 −mg(x)−3≤0，
3
得m≤g(x)− ，
g(x)
3
因为函数y=x− 在[−1,0)上为增函数，
x
[ 3 ] 3
所以 g(x)− =−1− =2
g(x) −1
min
所以m≤2，
当g(x)∈(0,2]，则由[g(x)] 2 −mg(x)−3≤0，
3
得m≥g(x)− ，
g(x)
3
因为函数y=x− 在(0,2]上为增函数，
x
[ 3 ] 3 1
所以 g(x)− =2− =
g(x) 2 2
max
1
所以m≥ ，
2
1
综上 ≤m≤2，
2
[1 ]
即实数m的取值范围为 ,2 .
2
π
【变式4-2】（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））函数f (x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< ) 的部
2
分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式，并求出f(x)图象的对称轴方程.(2)是否存在实数a，使得函数F(x)=f(x)−a在[0,nπ](n∈N∗)上恰有2023个零点？若存在，求出a和
对应的n的值；若不存在，请说明理由.
π
( )
【解题思路】（1）由图可得T=π，由周期公式可得由图可得ω，f (x)的图象过点 ,1 可得φ，求出
12
f (x)的解析式可得对称轴方程；
（2）由（1）可得y=f (x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2023个交点，分a<−1或a>1、
√3 √3 √3
a=−1或a=1、−11时，y=f (x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上无交点.
②当a=−1或a=1时，y=f (x)的图象与直线y=a在[0,π]上仅有一个交点，且在区间(0,π)内部，根据周
期性，在区间((k−1)π,kπ](k=2,3,⋯,n)上各有一个交点.
此时y=f (x)的图象与直线y=a在[0,nπ](n∈N*)上恰有2023个交点，则n=2023.
√3 √3
③当−10，ω>0，
π
0<φ< ）的图象如图所示.
2
(1)求函数f (x)的解析式及其对称轴方程；
π
(2)若f (x)的图象向右平移 个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，
6
当x∈[0,π]时，方程g(x)=2a有两个不等的实根x ，x ，求实数a的取值范围.
1 2
(π )
【解题思路】（1）由图知A、T及ω，代入 ,0 及φ的范围可得φ，再由整体代入法可得f (x)的对称轴
6
方程；
（2）由图象平移规律可得g(x)，根据x的范围可得g(x)范围，转化为y=g(x)的图象与直线y=2a有两个不同的交点可得答案.
【解答过程】(1)
1 5π π 2π
由图知，A=2， T= − ，所以T=π，ω= =2，
4 12 6 T
( π ) (π ) π π
由2sin 2× +φ =2，即sin +φ =1，故 +φ=2kπ+ ，k∈Z，
6 3 3 2
π ( π) π
所以φ=2kπ+ ，∈Z，又φ∈ 0, ，所以φ= ，
6 2 6
( π)
故f (x)=2sin 2x+ ，
6
π π π kπ
令2x+ = +kπ则x= + (k∈Z)，
6 2 6 2
π kπ
所以f (x)的对称轴方程为x= + (k∈Z).
6 2
(2)
( π)
由题意可得g(x)=2sin x− ，
6
π [−π 5π]
因为x∈[0,π]，所以x− ∈ , ，
6 6 6
( π)
所以g(x)=2sin x− ∈[−1,2]，
6
所以方程g(x)=2a有两个不等实根时，
y=g(x)的图象与直线y=2a有两个不同的交点，
1
作图可得1≤2a<2，所以 ≤a<1.
2
[1 )
故实数a的取值范围为 ,1 .
2
【题型5 函数的零点（方程的根）的问题】
【方法点拨】
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用函数 的图象与
性质以及数形结合思想进行解题.
π 1
【例5】（2022·广西北海·一模（理））已知函数f (x)=cos ( ωx− ) − (ω>0)，将f (x)的图象上所有
3 21
点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，已知g(x)在[0,π]上恰有5个零点，则
2
的取值范围是（ ）
[ 8) ( 7] ( 8] [ 7)
A． 2, B． 2, C． 2, D． 2,
3 3 3 3
【解题思路】求得g(x)=cos( 2ωx− π ) − 1 ，换元转化为cost= 1 在t∈ [ − π ,2πω− π] 上恰有5个
3 2 2 3 3
不相等的实根，结合y=cost的性质列出不等式求解.
π 1 π
【解答过程】g(x)=cos( 2ωx− ) − ，令t=2ωx− ，由题意g(x)在[0,π]上恰有5个零点，即
3 2 3
1 [ π π]
cost= 在t∈ − ,2πω− 上恰有5个不相等的实根，由y=cost的性质可得
2 3 3
11π π 13π 7
≤2πω− < ，解得2≤ω< ．
3 3 3 3
故选：D．
( π)
【变式5-1】（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ< 的部分图像如
2
[π ]
图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若函数g(x)=f (ax)(a>0)在 ,π 上恰有3个零点，则实数a的
3
取值范围是（ ）
[3 7) (5 ) [3 7) (5 17) [11 7) (5 )
A． , ∪ ,3 B． , ∪ , C． , ∪ ,3 D．
2 3 2 2 3 2 6 6 3 2
[11 7) (5 17)
, ∪ ,
6 3 2 6
【解题思路】根据函数的部分图像及周期公式求出函数f (x)的解析式，进而得到g(x)，根据已知条件得出
2π
T≤ <2T，再结合g(x)有三个零点即可求解.
3π 2π
+
【解答过程】由题意知,BC//x轴，所以f (x)的图像的一条对称轴方程为 2 3 7π，
x= =
2 12
7π π π 1 2π
− = = ⋅ ，所以ω=2．
12 3 4 4 ω
π π π π
由于f (x)的图像过 ( ,0 ) 由2× +φ=π+2kπ,k∈Z ，且0<φ< ，得φ= ，
3 3 2 3
π
所以f (x)=sin ( 2x+ ) ．
3
π
故g(x)=f (ax)=sin ( 2ax+ )
3
[π ] π [2aπ π π] 2π π 4π
因为x∈ ,π ，所以2ax+ ∈ + ,2aπ+ ，其中 ≤π− <
3 3 3 3 3 2a 3 2a
3 4π 2aπ π 7π 10π π 19π
解得 ≤a<3，则 ≤ + < , ≤2aπ+ < ，
2 3 3 3 3 3 3 3
[4π 19π
)
因为y=sinx在 , 上的零点为2π,3π,4π,5π,6π，
3 3
[π ]
且g(x)在 ,π 内恰有3个零点，所以¿或¿，
3
[11 7) (5 17)
解得a∈ , ∪ , .
6 3 2 6
故选：D.
π
【变式5-2】（2022·全国·高三阶段练习（理））函数f (x)=2(cosx+sinx)⋅cosx−1的图象向左平移
24
[11π 19π]
个单位得到g(x)的图象，且当x∈ , 时，关于x的方程g(x)−a=0有三个不等实根，则实数a
24 12
的取值范围为（ ）
A．[−1,0] B．(−√2,−1] C．[−1,√2] D．[−√2,−1]
π π
【解题思路】先将f (x)化为f (x)=√2sin ( 2x+ ) ，即可得g(x)=√2sin ( 2x+ ) ，讨论g(x)单调性和
4 3
取值范围即可求出.
π
【解答过程】因为f (x)=2(cosx+sinx)⋅cosx−1=√2sin ( 2x+ ) ，
4所以g(x)=√2sin ( 2 ( x+ π )+ π) =√2sin ( 2x+ π ) .
24 4 3
[11π 19π] π [5π 7π]
因为x∈ , ，所以2x+ ∈ , .
24 12 3 4 2
π [5π 3π]
当2x+ ∈ , 时，g(x)递减且g(x)∈[−√2,−1]；
3 4 2
π (3π 5π]
当2x+ ∈ , 时，g(x)递增且g(x)∈(−√2,√2]；
3 2 2
π (5π 7π]
当2x+ ∈ , 时，g(x)递减且g(x)∈[−√2,√2).
3 2 2
因为g(x)−a=0有个不等实根，所以a∈(−√2,−1].
故选：B.
π
【变式5-3】（2022·湖南省高三阶段练习）将函数f (x)=sinx的图象先向右平移 个单位长度，再把所得
3
1
函数图象的横坐标变为原来的 (ω>0) 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在
ω
π 3π
( , ) 上没有零点，则ω的取值范围是（ ）
2 2
A． (0, 2 ] ∪ [2 , 8 ] B． (0, 8 ] C． (0, 2 )∪ [8 ,1 ] D．(0,1]
9 3 9 9 9 9
π
【解题思路】先由三角函数图象平移规则求得函数g(x)=sin(ωx- )，再利用正弦曲线的零点即可求
3
得ω的取值范围.
π π
【解答过程】将函数f (x)=sinx的图象先向右平移 个单位长度，得到y=sin(x- )，
3 3
1
再把所得函数图象的横坐标变为原来的
(ω>0)
倍，纵坐标不变，
ω
π
得到函数g(x)=sin(ωx- )，
3
由函数g(x)在 ( π , 3π ) 上没有零点，则 T ≥ 3π - π ，则T≥2π，
2 2 2 2 2
2π
由 ≥2π ，可得0<ω≤1，
ωπ 3π
假设函数g(x)在 ( , ) 上有零点，
2 2
π kπ π
则ωx- =kπ,k∈Z，则x= + ,k∈Z，
3 ω 3ω
π kπ π 3π 2k 2 2 1
由 < + < ，可得 + <ω<2k+ ,k>- ,k∈Z，
2 ω 3ω 2 3 9 3 3
又0<ω≤1，则ω∈( 2 , 2 )∪( 8 ,1 ] ，
9 3 9
则由函数g(x)在 ( π , 3π ) 上没有零点，且0<ω≤1，可得ω∈(0, 2 ] ∪ [2 , 8 ] ，
2 2 9 3 9
故选：A.
【题型6 三角函数模型】
【方法点拨】
利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；
其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.
【例6】（2022·全国·高三专题练习）一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面1m，已知水轮
逆时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P ）开始计算时间.
0
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度 ℎ(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【解题思路】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图
( π )
所示的直角坐标系，进而设ℎ =Asin(ωt+φ)+k − <φ<0 ，再求解析式即可；
2
(2π π)
（2）令2sin t− +1=3，解得t=1+3k，k∈Z，进而当k=0时，P第一次到达最高点，求得对
3 6
应值即可.
【解答过程】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立
如图所示的直角坐标系，( π )
设ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+k A>0,ω>0,− <φ<0 ，则A=2，k=1，
2
2π 2π
∵T=3= ，∴ω= ，
ω 3
(2π )
∴ℎ =2sin t+φ +1，
3
1
∵t=0时，ℎ =0，∴0=2sinφ+1，∴sinφ=− ，
2
π π
∵− <φ<0，∴φ=− ，
2 6
(2π π)
∴ℎ(t)=2sin t− +1.
3 6
(2π π) (2π π)
（2）解：令2sin t− +1=3，得sin t− =1，
3 6 3 6
2π π π
∴ t− = +2kπ，k∈Z，∴t=1+3k，k∈Z，
3 6 2
∴当k=0时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要1s.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市
通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0°C时，才开放中央空调，否则关闭中央
空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：°C）随时间t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，
(
2π
)
若该曲线近似满足f (t)=Asin ωt− +b(A>0,ω>0)关系．
3(1)求y=f (t)的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【解题思路】(1)根据三角函数的图像即可求y=f (t)的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解f (t)<0,结合0≤t≤24即可求解.
(
2π
)
【解答过程】解：(1)因为f (t)=Asin ωt− +b(A>0,ω>0)图像上最低点坐标为(2,−4)，与之相邻
3
的最高点坐标为(14,12)，
12−(−4) T
所以A= =8， =14−2=12，b=−4+A=−4+8=4，
2 2
2π π
所以T= =24，解得ω= ．
ω 12
(π 2 )
所以f(t)=8sin t− π +4，0≤t≤24．
12 3
(π 2 )
(2)由(1)得，8sin t− π +4<0，
12 3
(π 2 ) 1
所以sin t− π <− ，
12 3 2
7π π 2π 11π
所以 +2kπ< t− < +2kπ,k∈Z，
6 12 3 6
解得22+24k0，ω>0)，根据所给条件求出A、b、ω、φ，即可得到函数解析式；
（2）由（1）中的解析式ℎ(t)=17，结合正弦函数的性质计算可得；
|( π ) [ π ]|
（3）依题意可得ℎ，ℎ，从而得到高度差函数H= 30sin t+32 − 30sin (t+8)+32 ，利用两
1 5 12 12
角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时t的值，即可得解；
【解答过程】（1）
设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为ℎ(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)
则A=30,b=32，
∴ℎ(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0)，
2π π
依题意T=24min，∴ω= = (rad/min)，
T 12
当t=0时，ℎ(t)=32∴φ=0，
π
∴ℎ(t)=30sin t+32(t≥0)．
12
（2）
π
令ℎ(t)=17，即30sin t+32=17，
12
π 1
∴sin t=− ，
12 2
π
∵0≤t≤24，∴0≤ t≤2π ，
12π 7π π 11π
∴
t=
或
t=
，
12 6 12 6
解得t=14或t=22，
∴t=14或t=22时，1号座舱与地面的距离为17米．
（3）
π π
依题意ℎ
=30sin t+32,ℎ =30sin (t+8)+32，
1 12 5 12
∴H= |( 30sin π t+32 ) − [ 30sin π (t+8)+32 ]|
12 12
| π (π 2π )|
= 30sin t−30sin t+
12 12 3
|3 π √3 π |
=30 sin t− cos t
2 12 2 12
=30√3 | sin ( π t− π )| ，
12 6
π π π
令 t− = +kπ,k∈Z ，解得t=8+12k(k∈N)，
12 6 2
所以当t=8+12k(k∈N)时，H取得最大值.
【变式6-3】（2022·浙江省高二开学考试）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游
客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，
当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B
π
（其中A>0,ω>0,|φ|≤ ），求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
2
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面
的高度差为ℎ米，求ℎ的最大值.
【解题思路】对于小问1，根据离地面的最大值140米、最小值20米和周期为30分钟，求出A、B、ω，再
代入点(0,20)解得φ.
对于小问2，令H(t)=50，解出t即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式H 、H ，
1 2
写出两人距离地面的高度差为ℎ =|H
1
−H
2
|米，由时间t的取值范围，化简求出ℎ最大值.
【解答过程】(1)
π
由题意，H(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0,ω>0,|φ|≤ ）
2
摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为140−120=20米，
所以¿，得A=60,B=80，
2π π
又函数周期为30分钟，所以ω= = ，
30 15
( π )
H(t)=60sin t+φ +80，
15
( π )
又H(0)=60sin ×0+φ +80=20，
15
π π
所以sinφ=−1，又|φ|≤ ，所以φ=− ，
2 2( π π)
所以H(t)=60sin t− +80,0≤t≤30.
15 2
(2)
( π π) π
H(t)=60sin t− +80=−60cos t+80，
15 2 15
π π 1 π π
所以−60cos t+80=50，整理cos t= ，因为0≤t≤30，所以0≤ t≤ ，
15 15 2 15 2
π π
所以 t= ,解得t=5（分钟）.
15 3
(3)
π
经过t分钟后甲距离地面的高度为H =−60cos t+80，
1 15
30
乙与甲间隔的时间为 ×6=5分钟，
36
π
所以乙距离地面的高度为H =−60cos (t−5)+80,5≤t≤30，
2 15
所以两人离地面的高度差
| π π | | ( π π)|
ℎ =|H −H |= −60cos t+60cos (t−5) =60 sin t− ,5≤t≤30，
1 2 15 15 15 6
π π π 3π
当 t− = 或 时，即t=10或25分钟时，ℎ取最大值为60米.
15 6 2 2
