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14.3.1 提公因式法
夯实基础篇
一、单选题：
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解： A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可。
2．观察下列各式:①abx-adx；②2x y+6xy ；③8m -4m +2m+1；④a +a b+ab -b ；
⑤(p+q)x y-5x (p+q)+6(p+q) ；⑥a (x+y)(x-y)-4b(y+x).其中可以用提公因式法分解因式的是(
)
A．①②⑤ B．②④⑤ C．②④⑥ D．①②⑤⑥
【答案】D
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】
①abx-adx=ax(b-d)，可以用提公因式法分解因式；②2x y+6xy =2x(x+6 y ),可以用提公因式法分
解因式；③8m -4m +2m+1，不可以用提公因式法分解因式；④a +a b+ab -b 不可以用提公
因式法分解因式；⑤(p+q)x y-5x (p+q)+6(p+q) = (p+q)[x y-5x +6(p+q)]，可以用提公因式法分解因式；⑥a (x+y)(x-y)-4b(y+x)= (x+y)[ a (x-y)-4b] 可以用提公因式法分解因式；①②⑤⑥
【分析】此题考查了提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键.
故选D.
3．将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．-3a2b2 B．-3ab C．-3a2b D．-3a3b3
【答案】A
【知识点】公因式；提公因式法因式分解
【解析】【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项
系数通常要变成正数．
【解答】系数最大公约数是-3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是-3a2b2．
故选A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最
大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系
数为负数时，应先提出“-”号．
4．因式分解：2a(x-y)+3b(y-x)正确的是( )
A．(x-y)(2a-3b) B．(x+y)(2a-3b) C．(y-x)(2a+3b) D．(x+y)(2a+3b)
【答案】A
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：2a(x-y)+3b(y-x)=2a(x-y)-3b(x-y)=（x-y）（2a-3b）
故答案为：A
【分析】先将原式变形后。将x-y看着整体，再提取公因式x-y，即可得出答案。
5．把多项式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（ ）
A．m+1 B．2m C．2 D．m+2
【答案】D
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1），
=（m﹣1）（m+1+1），
=（m﹣1）（m+2）．故选D．
【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分．
6．如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy（x2-y2+xy），那么M等于( )
A．4xy3+4x2y2 B．4xy3-4x2y2 C．-4xy3+4x2y2 D．-4xy3-4x2y2
【答案】B
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵4xy（x2-y2+xy）=4x3y-4xy3+4x2y2=4x3y-(4xy3-4x2y2）=4x3y-M，
∴M=4xy3-4x2y2．
故答案为：B．
【分析】已知一个多项式分解因式的结果，将该结果去括号即可得到4x3y-M的结果，即可得出M所
代表的的多项式。
7．已知a-b=1，a=5，则a2-ab等于（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】
故答案为：C.
【分析】先将原式分解为a(a-b)，然后，再将a-b=1，a=5代入计算即可.
二、填空题：
8．因式分解 .
【答案】
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解： .
【分析】观察多项式，每一项都含有公因式xy，所以把提公因式提取出来即可.
9．5(m－n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．
【答案】 (m-n)4， （5+m-n）
【详解】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）.故答案为(m-n)4，（5+m-n）.
10．多项式 的公因式是 ．
【答案】5m2n
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：多项式15m3n2+5m2n-20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故答案是：5m2n．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
11．分解因式：2a（x－y）－3b（y－x）＝ ．
【答案】（x-y）（2a+3b）
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：2a（x-y）-3b（y-x）
=2a（x-y）+3b（x-y）
=（x-y）（2a+3b）．
故答案为：（x-y）（2a+3b）．
【分析】将（x-y）当作整体提取公因式即可。
12．因式分解： .
【答案】（x+1）（x﹣2）
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．
故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【分析】将原式化为x（x﹣2）+（x﹣2），再利用提公因式分解因式即可。
13．把多项式(x－2)2－4x＋8分解因式，哪一步开始出现了错误____
解：原式＝(x－2)2－(4x－8)…A
＝(x－2)2－4(x－2)…B
＝(x－2)(x－2＋4)…C
＝(x－2)(x＋2)…D
【答案】C【详解】根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，
再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C步出现错误.
故选C.
14．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ．
【答案】-11
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵代数式﹣2y2+y﹣1的值为7，
∴﹣2y2+y﹣1=7，
∴﹣2y2+y=8，
∴2y2﹣y=﹣8，
∴4y2﹣2y=﹣16，
∴4y2﹣2y+5=﹣16+5=﹣11，
故答案为：﹣11
【分析】将给定的代数式进行化简，得出2y2﹣y的值，再将所求代数式提取公因式，将2y2﹣y的值代
入求解。
15．已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可分解因式为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,则a+3b= 。
【答案】-31
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)=(3x-7)(2x-21-x+13)= (3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b)
a=-7，b=-8；a+3b=-31
【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.
三、解答题：
16．把下列各式因式分解：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；（7） ；（8） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）
；（7） ；（8） ．
【分析】用提公因式法即可．【详解】（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ．
【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法，当首项系数为负时，提公因式时连负号一同提出来．
17．分解因式
(1) ．
(2)
(3)
【答案】
（1）解：原式 ．
（2）解：
=
= ；
（3）=
=
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
18．化简求值：（2x－1）2（3x＋2）＋（2x－1）（3x＋2）2－x（1－2x）（3x＋2），其中x＝1.
【答案】解：
=
=
当x=1时，原式=1×5×7=35.
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【分析】将多项式的一项-x(1-2x)(3x+2)整理为x(2x-1)(3x+2)，所以在多项式中，可通过提公
因式(2x-1)(3x+2)的方法对多项式进行因式分解，从而得到化简的结果，根据所给的x的数值，即可得
到多项式的值。
19．已知x﹣y＝1，xy＝2，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
【答案】2
【分析】运用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，再进一步整体代入求解．
【详解】解：∵x﹣y＝1，xy＝2，
∴x3y﹣2x2y2+xy3
＝xy（x2﹣2xy+y2）
＝xy（x﹣y）2
＝2×1
＝2．
【点睛】此题考查了因式分解在代数式求值中的应用，能够熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解，
渗透整体代入的思想．
20．已知 的平方根是±3， 的立方根是2，求多项式 的值．
【答案】
【分析】根据平方根的定义列式求出 的值，再根据立方根的定义列式求出 的值，然后代入代数式进行
计算即可得解．【详解】解： 的平方根是 ，
，
，
的立方根是2，
∴5a+2b-10=8，
又
，
，
，
，
将 代入上式，
原式=2×(-1)×(4+1)=-10．
【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，求代数式的值，解题的关键是根据条件求出 的值．
能力提升篇
一、单选题：
1．多项式x2m－xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2－1 B．xm－1 C．xm D．x2m－1
【答案】B
【知识点】提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵x2m－xm＝xm(xm－1)
故答案为：B．
【分析】由题意可知，x2m=xm·xm，将多项式中的公因式xm提取之后可得x2m-xm=xm(xm-1)。
2．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；提公因式法因式分解；有理数的乘方
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可
得出答案.3．已知a﹣b=3，b+c=﹣4，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3
【答案】C
【知识点】公因式；提公因式法因式分解
【解析】【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab
=c（a﹣b）+a（a﹣b）
=（a﹣b）（c+a），
∵a﹣b=3，b+c=﹣4，
∴a+c=﹣1，
∴ac﹣bc+a2﹣ab=3×（﹣1）=﹣3；
故答案为：C．
【分析】考查对于分组提公因式的应用，需要把ac﹣bc和a2﹣ab，分成两组后再进行分组提公因式，
得到了c（a﹣b）+a（a﹣b）后，再将（a﹣b）作为公因式进行因式分解，最后代入求值。
二、填空题：
4．已知 ，则 的值是_____________．
【答案】1
【分析】代数式 可化成2m(2m-5n)+5n，将 代入即可得解．
【详解】解：∵2m-5n=-1，
∴
=2m(2m-5n)+5n
=-2m+5n
=1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．
5．若 ，则 等于______．
【答案】2018
【分析】将式子变形为 ，将 代入即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∴
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，正确的计算是解题的关键．
三、解答题：
6．阅读下列材料：
已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值．
解：∵ a2=3-a，
∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，
∴a2 (a+4)=9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________．
（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
【答案】（1）﹣20；（2）﹣1
【分析】（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；
（2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可．
【详解】解：（1）∵a2﹣a﹣10=0，
∴a2﹣a=10，
∴2(a+4) (a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，
故答案为：﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x=1，x2=1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1
=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1
=﹣2+8x﹣8x+1
=﹣1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答
的关键．
7．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是 ．
【答案】（1）提公因式法； 2；（2）2021；（x+1）2022；（3）（1+x）n+1．
【分析】（1）直接利用已知解题方法分析得出答案；
（2）结合（1）中解题方法得出答案；
（3）结合（1）中解题方法得出答案．
【详解】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；
故答案为：提公因式法； 2；
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，
则需应用上述方法2021次，结果是（x+1）2022；
故答案为：2021；（x+1）2022；
（3）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n=（1+x）n+1．
故答案为：（1+x）n+1．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
