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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定及性质
（4个知识点+11大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
题型一 判断能否构成平行四边形
1．下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，准确无误的掌握定理是解题关键．根据平行四边形的判
断定理分别作出判断得出即可．
【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形 为平行四边形，
故A不合题意；B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形 为平行四边形，故B不合题意；
C、 ， ，不能判断这个四边形是平行四边形，故C符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相互垂直的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是平行四边形
D．两条对角线的中点同为一点的四边形是平行四边形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判断，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
B、对角线相互垂直的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，错误，不符合题意；
D、 两条对角线的中点同为一点的四边形是平行四边形，正确，符合题意，
故选D．
3．在四边形 中，若分别给出四个条件：① ，② ，③ ，④ ．现
以其中的两个为一组，能判定四边形 为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，
不必考虑所有可能情况）．
【答案】①④（答案为唯一）
【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行组合判断．
【详解】解：①④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形 是平行四边
形；
①②组合，不能判定四边形判定平行四边形；
①③组合，∵ ，∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形 是平行四边形；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形 是平行四边形；
③④组合不能判定四边形判定平行四边形；
故答案为：①④（答案为唯一）．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
4．如图，点 、 在直线 上， 为直线 外一点，连结 ，分别以点 、 为圆心， 、 的长为
半径画弧，两弧交于点 ，连接 、 ，则四边形 是平行四边形的理由是 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】先根据分别以点 、 为圆心， 、 的长为半径画弧，两弧交于点 ，连接 、 ，得
出 ， ，即可证明四边形 是平行四边形．
【详解】解：根据尺规作图的画法可得， ， ，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明四边形 是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知 ， ， ， 是平面内的一点，以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形.
(1)若 ，则平行四边形 中，点 的坐标为________；
(2) 的最小值为________．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）当 时 ， ，根据在平行四边形 中是以 为对角线形，得出 的中点坐
标为 ，即可解答；
（2）根据题意，点C在直线 上，则可分为两种情况进行讨论：①当 与 是对角线时，②
与 是边时； 是对角线时 直线 时， 最小， 是边时， ，通过比较即可
得出结论；
【详解】（1）当 时 ， ，
在平行四边形 中是以 为对角线形，
∵ ， ，
∴ 的中点坐标为 ，
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴
∴
故点 的坐标为 ；
（2）根据题意，点 在直线 图像上，
当 与 是对角线时， 与 相交于点 ，
则当 直线 时， 最小；
如图：∵ ，
由平行四边形的性质，点 为 的中点，
∴点 为 ，
∵ 直线 ，
设 的直线解析式为： ，把点 代入， 得： ，解得： ，
∴ 的直线解析式为： ；
∴ ， 解得： ，
∴点 坐标为： ，
∴
∴
当 与 是边时，如图：∵ ,
∴ 的最小值为：
故答案为 ；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质, 求一次函数解析式，勾股定理，以及坐标与图形， 解题的关键是
熟练掌握平行四边形的性质，注意进行分情况讨论．
题型二 添一个条件成为平行四边形
1．如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，能判断四边形 为平行四边形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据 ， ，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题
意；B．由 ， ，根据一组对边平行且相等的四边形为平形四边形，故该选项正确，符合题意；
C．根据 ， ，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．根据 ， ，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
2．如图，在四边形 中， ，要使四边形 成为平行四边形,则应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．根据 ， 无法判断四边形 是平行四边形，故A错误；
B．根据 ， 无法判断四边形 是平行四边形，故B错误；
C．根据 ， 无法判断四边形 是平行四边形，故C错误；
D．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分
别平行的四边形是平行四边形．
3．在四边形 中， ．要使四边形 是平行四边形，则 的长为 ．
【答案】8
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键．
直接利用平行四边形的判定方法得出 时四边形 是平行四边形．
【详解】解：当 时，四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
故答案为：8．
4．如图，在四边形 中， 是边 上一点，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ．请你再添加一个条件： ，使四边形 是平行四边形（写出一种情况即可）．
【答案】 （答案不唯一）
5．如图，E、F是四边形 的对角线 上的两点．
(1)若 ，只添加一个条件： ，使四边形 为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法解答即可；
（2）由 ， 得 ，再证明 得 ，进而即可得到结
论．
【详解】（1） 或 （填写一个答案即可），
当添加 时，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
当添加 时，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
故答案为： 或 （填写一个答案即可）
（2）如图，连接， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与
性质是解答本题的关键．
题型三 数图形中平行四边形的个数
1．平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进一步分析即可得到结论．
【详解】解：从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行
线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为
，
故选：C
【点睛】此题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的定义是解决问题的关键．
2．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，
第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（ ）．
A．40 B．44 C．47 D．49
【答案】D
【分析】观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可
得结果．
【详解】解：观察图形的变化可知：
第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形，
第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形，
第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形，
第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形，
则：
第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形，
第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形，
第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的
问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．
3．如图， 、 、 都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；
【答案】2
【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形．
【详解】解：∵ 、 、 都是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，
仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
4．如图，将 向右平移 个单位，得到 ，连接 ， ， ，则图中有 个平行四边形．
【答案】3
【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判
定定理即可求解．
【详解】解：依题意， ，则四边形 是平行四边形，
，四边形 是平行四边形，
，四边形 是平行四边形，
∴有 个平行四边形
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
5．已知 （如图），将它沿 方向平移，平移的距离为 ．
(1)作出经平移后所得的图形 ．
(2)写出 与 构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【答案】(1)图见解析；(2) ， ， ， ， ， ．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的 即可；
（2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）解： 如图所示；
（2）解：由图可知， 与 构成的图形中所有的平行四边形有： ， ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四
边形的判定定理是解答此题的关键．
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
1．如图，在平面直角坐标系中， ， ， ，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶点
的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个．
【详解】解：如图所示：观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4），
∴点D的坐标不可能是（-3，2）.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出图
形，利用图象法解决问题．
2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【答案】C
【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解.
【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形.
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线.
3．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，请确定点C的坐标，使得以A，B，C，O为顶点
的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是 ．
【答案】 或 或【分析】分两种情况：①当 为平行四边形的边时，②当 为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的
坐标．
【详解】解：①当 为平行四边形的边时， ，
∵ ， ， ，
∴点C坐标为 或 ；
②当 为平行四边形的对角线时， ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求解．
4．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为 ，则
顶点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边
形可确定D的位置．
【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为故答案为：
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
5．如图，在正方形网格中， 的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点
的坐标分别为 ， ．
(1)通过计算判断 的形状，
(2)若要使以 四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ．
【答案】(1)直角三角形
(2) 或 或【分析】（1）利用勾股定理可分别求得 的长，再利用勾股定理的逆定理可判定 为直
角三角形；
（2）分别过A作 的平行线，过B作 的平行线，过C作 的平行线，这些线的交点即为满足条件
的点D，则可求得答案．
【详解】（1）解： 小正方形的边长为1，
，
，
为直角三角形；
（2）解： 的坐标分别为 ，
点 为坐标原点，
如图，分别过 作 的平行线，过 作 的平行线，过 作 的平行线，
当 为对角线时，从点A先向左平移一个单位，再向上平移两个单位得点C；相应的点B先向左平移一
个单位，再向上平移两个单位得点 ；
当 为对角线时，从点C先向右平移一个单位，再向下平移两个单位得点A；相应的点B先向右平移一
个单位，再向下平移两个单位得点 ；
当 为对角线时，从点B先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点C；相应的点A先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点 ；
满足条件的点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理，确定出D点的位置是解题的关键．
题型五 证明四边形是平行四边形
1．在下列四个选项中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断，即可得出答案．
【详解】解：A、由 ， 可以判断四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等）；
故本选项不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，可以判断四边形 是平行四边形（间接得到两组对边平行）；故本选项不符合题意；
C、由 ， 可以判断四边形 是平行四边形（两组对边相等）；故本选项不符合题意；
D、由 ， 不可以判断四边形 是平行四边形；故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
2．如图，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一进行判断即可．
【详解】A、不能判定四边形 是平行四边形，故此选项符合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此选项不合题
意；
C、根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此选项不合题意；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形 为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理，是解题的关键．
3．如图， ， 是相交的两条线段， 分别为它们的中点．当 绕点 旋转时，连接 ， ，
， 所得到的四边形 始终为 形（ 与 不重合）．
【答案】平行四边
4．在 中，点 、 分别是 、 上的点，且 ，点 是 延长线上一点，连接 ．
添加下列条件：① ；② ；③ ；④ ．能使四边形 是平行四边形的
是 （填上所有符合要求的条件的序号）．【答案】①②④
【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解： ， ，且两组对边分别平行的四边形是四边形，
四边形 为平行四边形，故选项①符合题意；
， ，且一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
四边形 为平行四边形，故选项③符合题意；
由 ， ，不能判定四边形 为平行四边形，故选项③不符合题意；
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，故选项④符合题意；
综上所述：能使四边形 是平行四边形的是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关
键．
5．如图，四边形 中， ，对角线 交于点 ，且 ．求证：四边形 是
平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明 是解题的关键．证明 ，得 ，即可得出结论．
【详解】证明： ∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
题型六 利用平行四边形的性质求解
1．如图，在 中，以点B为圆心， 的长为半径画弧，交 于点E；再分别以点A和点E为圆
心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线 ，交 于点G．若 ， ，则 的
长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线四边形的性质，角平分线的定义和尺规作图，等角对等边，先由平行四边
形的性质得到 ， ，则 ，由作图方法可知， 平分 ，则可得
，进而推出 ，则 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
由作图方法可知， 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选；C．
2．在 中， ， ，连接对角线 ，分别以点B，D为圆心，大于 的长为半径作
弧，两弧相交于点M和N，作直线 ，分别交 ， 于点E，F，连接 ，则 的周长为（
）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得 ，
，由尺规作图可知，直线 为线段 的垂直平分线，则 ，则 的周长可转化
为 ，即可得出答案．
【详解】解：由作图可知，直线 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ 的周长为 ．
故选：D．
3．如图，在平行四边形 中， 平分 ， ，则平行四边形 的周长是
．【答案】40
【分析】本题考查了角平分线的意义，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，先根据角平分线
的意义，平行四边形的性质和两直线平行，内错角相等得出 ，再根据等角对等边得出
，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长是
故答案为：40．
4．如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 于点 ， 平分 ，交 于点 ，
， ，则 的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，转化线段是解题的关键．根据平行线的性
质可得 ，由角平分线可得 ，所以 ，所以 ，同理可
得 ，则根据 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ，
∴ ．
故答案为：4．
5．如图，在 中， 平分 交 于点 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若 是 的中点，连接 ，求证： 平分 ．
【答案】(1) ；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，等腰三角形的判定和性质．
（1）依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到 ；
（2）依据平行四边形的性质证明 ， ，推出 ，由等边对等角结合平行线的性质，
推出 ，即可得出 平分 ．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，
平分 ，
，
，
；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ,
∵ 是 的中点，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，平分 ．
题型七 利用平行四边形的性质证明
1． 中，E、F是对角线 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 一定为平行四边
形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边
形的性质和判定方法．
根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
， ，
，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．故A不符合题意；
，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，，
，
四边形 是平行四边形．故B不符合题意；
C选项中由 ，不能得出 ，
∴不能判断四边形 是平行四边形，故C符合题意；
四边形 是平行四边形，
， ，
，
又 ，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．故D不符合题意；
故选：C．
2．证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形 是平行四边形，如图所示．
求证： ， ．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（ ）
∴ ， ．
∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ， ．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质等知识，可以从分析法入手，由果索因，
进而得出结果，解题的关键是从条件开始，有条理地书写和表达．
【详解】解： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ．
3．如图，在平行四边形 中， 是 上一点， 交 延长线于点 ， ， ，
则 ．
【答案】 /90度
【分析】根据平行四边形的性质可得 ，可证明 ，从而得到
，即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．如图，在平行四边形 中（ ），直线 经过其对角线的交点 ，且分别交 ， 于
点 ， ，交 ， 的延长线于点 ， ．下列结论：① ；② ；③ ．
其中一定正确的是 （填序号）．
【答案】②
【分析】根据平行四边形的性质可得 ， 则 不一定等于 ；再证明
，可得 ，即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 不一定等于 ，
故①不一定正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
根据题意得： 和 不全等，
∴ 与 不全等，故③不正确，
∴ 综上所述，②正确．
故答案为：②
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．如图，平行四边形 中， 的平分线交 于E， 的平分线交 于点F．(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得 ， ．即可得到 ，
．即可求证结论．
（2）过点A作 ，垂足为H，利用 ， 可计算出 的长度，结合（1）即可
求出 长度．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形．
∴ ， ， ．
∴ ， ．
∵ 是 的平分线， 是 的平分线．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（2）过点A作 ，垂足为H，如图：
由（1）知 ，且 ， ，∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
题型八 平行四边形性质的其他应用
1．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是轴对称图形；
③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确，
平行四边形不是轴对称图形，故②错误，
平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确，
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确，
故选：C．
2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得 ，固定 ．逆时针转
动 ，在转动过程中，关于平行四边形 的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在
转动过程中，平行四边形 的面积有最大值，最大值是 ，则（ ）A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对
【答案】C
【分析】如图，作 于点M，则平行四边形 的面积 ，可得 ，
即平行四边形的高 的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法.
【详解】解：如图，作 于点M，
则平行四边形 的面积 ，
∵ ， ，
∴ ，即平行四边形的高 的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形 的面积有最大值，最大值是 ，故乙的说法正确；
在逆时针转动 过程中， 先逐渐变大，到与 相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行
四边形 的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
所以甲乙的说法都是正确的，
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键.
3．平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ．
【答案】12或18/18或12
【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面
积公式求解即可．
【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12；
当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18；
故答案为：12或18．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论．
4．在平行四边形ABCD中，动点P从点B出发，沿B C D A运动至点A停止，设点P运动的路程为
x， ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所⇒示，⇒则⇒四边形ABCD的面积是 ．
△
【答案】8．
【分析】根据y关于x的函数图象，得 ABC的面积为4，进而可得答案．
【详解】根据y关于x的函数图象，得△ABP的面积的最大值为4，即 ABC的面积是4，
∴S ▱ABCD =2S ABC =8． △ △
△
故答案是：8．
【点睛】本题主要考查函数图象与几何图形的综合，掌握平行四边形的性质与函数图象的意义，是解题的
关键．
5．下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选
择其中一种，完成证明．
平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形 是平行四边形．求证：
， ．
方法一： 方法二： 方法三：证明：如图，连接 、
证明：如图，连接 ． 证明：如图，延长 至点E． ， 与 交于点O．
你选择方法______．
证明：
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：证明：选择方法一：
如图，连接 ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
，
即平行四边形的对角相等．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
1．如图，在四边形 中， ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形 ．固定一张纸条，另一
张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）A．四边形 的周长不变 B．四边形 的面积不变
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案，解题的关
键是掌握平行四边形的判定和性质．
【详解】解：由题意可知， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，故 符合题意，
随着一张纸条在转动过程中， 不一定等于 ，四边形 周长、面积都会改变，
故 不符合题意，
故选： ．
3．如图，在 中， ， ， ，将 沿 方向向右平移得到 ．
若四边形 的面积为 ，则平移距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，平移的性质、也考查了平行四边形的判定与性质．先
根据含30度的直角三角形得到 ，再根据平移的性质得 ， ，于是可判断四边形
为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到 的方程，则可计算出 ，即得平移距离．
【详解】解：在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 沿 向右平移得到 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，∵四边形 的面积等于15，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即平移距离等于3．
故答案为：3．
4．如图，在四边形 中， 平分 ， ，则 ．
【答案】3
5．【问题探究】如图，六边形 的六个内角均为 ，分别延长 、 交于点G，得到 ．
请判断 的形状，并证明你的结论．
【结论应用】若 ， ， ， ，直接写出六边形 的周长为 ．
【答案】问题探究： 为等边三角形；理由见解析；结论应用：22
【分析】问题探究：根据 ，得出 ，
，证明 ，即可证明结论；
结论应用：延长 ， 交于点H，根据等边三角形的性质得出 ， ，
，证明四边形 为平行四边形，得出 ， ，求出
， ，最后求出结果即可．
【详解】解：问题探究： 为等边三角形．理由如下：
∵六边形 的六个内角均为 ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形．
延长 ， 交于点H，如图所示：
根据问题探究可知， 、 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴六边形 的周长为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，邻补角的
计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定方法．
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
1．图1，在平行四边形 中， 是锐角，在边 和 上找点E、F，使四边形 是平行四
边形，现图2中有甲、乙两种方案，则说法正确的是（ ）A．方案甲正确 B．方案乙正确
C．方案甲和乙均正确 D．两方案均不正确
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质和判定证明即可．
【详解】甲：∵四边形 是平行四边形
∴
∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴方案甲正确；
乙：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴ ，即
又∵ ，即
∴四边形 是平行四边形，
∴方案乙正确，综上所述，方案甲和乙均正确．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上不同的两点，连接 ， ， ， 下列条
件中，不能得出四边形 一定是平行四边形的为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和判定定理逐项求解即可．
【详解】如图，连接 与 相交于 ，
在 中， ， ，
要使四边形 为平行四边形，只需证明得到 即可；
A．若 ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
B．若 ，则无法判断 ，故本选项符合题意；
C．若
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
D．若 ，
∵四边形 是平行四边形∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平
行四边形的性质和判定定理．
3．如图，在 中，点 是 的中点， ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，平行四边形与三角形的面积关系．
根据平行四边形的性质得 ， ，再根据平行四边形判定“两组对边分别平行的四边形
是平行四边形”可得四边形 是平行四边形，即可得 ， ， ，
由点 是 的中点，可求得 ，再根据勾股定理逆定理得 是直角三角形，即可求出 的
面积，再根据平行四边形与三角形的面积关系，求得 ，计算即可得出答案，解题
关键是证明 是直角三角形并求出 面积．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，在 中， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 是 的中点，
， ，
，
是直角三角形， ，
，
，
，
，
故答案为：8．
4．如图，已知 ， ， ， ， 是 的垂直平分线，分别交 、 于E、
F，连接 ，则 的周长是 ．
【答案】10【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形 是平行
四边形，可得 ， ，再根据垂直平分线性质得 ，最后根据 得出答案.
【详解】
解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， .
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长是： ．
故答案为：10．
5．如图，点 是平行四边形 对角线 上的两点，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ．求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，
（1）如图所示，连接 交 于O，根据平行四边形的性质得到 ，再证明 ，
即可证明四边形 是平行四边形；
（2）利用勾股定理求出 ，进而求出 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 交 于O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
1．已知在平面直角坐标系中有三个点： 、 、 ．在平面内确定点D，使得以A、
B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当
BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【详解】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 向上平移4个单位，向左平移2个单位得到 ，∴ 向上平移4个单位，向左平移2个单位得到 ；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 向上平移1个单位，向左平移4个单位得到 ，
∴ 向上平移1个单位，向左平移4个单位得到 ；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形 为平行四边形，
∴ ．
∵ 向下平移1个单位，向右平移4个单位得到 ，
∴ 向下平移1个单位，向右平移4个单位得到 ．
综上可知点D的坐标可能是 或 或 ，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
2．如图，在 中， ，点E，F，G分别在边 ， ， 上， ， ，
则四边形 的周长是（ ）A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据 ， ，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由
，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再根据四边形 的周长是2
（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵ ， ，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴FG=AE，AG=EF，
∵ ，
∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠BFE，
∴BE=EF，
∴四边形 的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性
质，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．已知 中， ， ，则中线 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】延长 至点 ，使 ，可证得四边形 为平行四边形，根据三角形三边关系即可得
到 的取值范围．
【详解】如图所示，延长 至点 ，使 ．根据题意可知 ，
∴四边形 为平行四边形．
∴ ．
∴ ，即 ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键．
4．如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段
的端点在格点上，要求以 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画 个
平行四边形．
【答案】4
【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．共能作出4个平行四边形．
故答案为：4．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟
练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
5．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的风网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，
以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度．
(1)使三边的长度都是有理数的直角三角形．
(2)使三边的长度都是无理数的直角三角形．
(3)使一边长为 且面积为6的平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图1中， 即为所求作．AB=4，BC=3，AC= =5，
故 ABC符合要求；
（△2）解：如图2中， 即为所求作．
AB= ，AC= ，BC= ，
故 ABC符合要求；
（△3）解：如图，四边形 即为所求作．
∵AD=BC=2，AD BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD= ，
，
故四边形ABCD符合要求；
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握利用勾股定理进行网格作图是解题的关
键．
1．（2024下·浙江·九年级自主招生）平行四边形 中， ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理．分当 时，求得
；当 时，平行四边形 是矩形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当 时，不妨设 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，平行四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的取值范围是 ．
故选：D．
2．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知直角坐标系内有四个点 ， ， ，
，若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的 ， 的值可以是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组解决
问题．
分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定
C的位置，从而求出m，n的值．
【详解】解：根据题意画图如下：∵ ， ， ， ，
∴分3种情况：
①以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ；
②以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ，
③以 、 为对角线，则 、 的中点重合，
∴ ，解得 ，
∴ ，
综上所述，点C的坐标可以为 或 或 ，
则符合条件的m，n的值可以是2，2，
故选：D．
3．（2022下·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点B落在点
处，若 ，则 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，根据翻折可得 ，根据平行四边形可得
，所以 ，从而可得 ，进而求解．
【详解】解：根据翻折可知： ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．（2023·广东肇庆·统考二模）如图1，在平行四边形 中，点P沿 方向从点A移动到点
C，设点P移动路程为x，线段 的长为y，图2是点P运动时y随x运动时y随x变化的关系图象，则
的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化
的关系图象，通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图1，过A点作 于E，连接 ，
根据图2知：当点P与点B重合时， ，
当P与E重合时， ，
∴ ，
∴ ，
当点P到达点C时， ，
∴EC＝ ，
∴ ．
故选：C．
5．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，点E是 边上的中点，
将 沿 翻折得 ，连接 ，A、G、E在同一直线上，则点G到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明 是解题的关键．根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明 ，可得 ，然后利用勾股定理可得求
出 的长，进而可得 的值．
【详解】解：如图，作 于点F，
∵点E是 边上的中点，
∴ ，
由折叠可知： ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点F，
∴ ，
在 和 中，
根据勾股定理，得 ，即 ，
解得 ，∴ = ，
∴ ，
故选D．
6．（2024上·山东东营·八年级统考期末）已知 的顶点 在第三象限，对角线 的中点在坐标原
点，一边 与 轴平行且 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，关于原点对称的点的坐标特征．根据平行四
边形的性质得到 ，根据已知条件得到 或 ，由于点 与点 关于原点对称，
即可得到结论．
【详解】解：当 点在 点的右边时，如图1，
与 轴平行且 ， ，
，
对角线 的中点在坐标原点，
点 、 关于原点对称，
四边形 为平行四边形，
点 、 关于原点对称，
即 ；
当 点在 点的左边，如图2，同理可得 ，则 即 ．
故点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
7．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）如图，已知点 ， ， ， ，C为直线
EF上一动点，则 的对角线CD的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，设 交于点 ，根据平行四边形的性质得出点 ，进而根据点到直线的距
离，垂线段最短，可知当 时， 取得最小值，勾股定理即可求解．
【详解】解：连接 ，设 交于点 ，如图所示，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴当 取得最小值时， 取得最小值，
∴当 时， 取得最小值，
∵ ， ，
∴ ， ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴此时 是直角三角形，且 是斜边，
∵ ,
∴ ，
∴ 的对角线 的最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌
握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）在平行四边形 中， 的平分线 交 于
点 ， 的平分线 交 于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识；分两种情形分
别计算，只要证明 ， ，即可推出 ，由此即可解决问题．【详解】解：如图，
平分 ， 平分 ，
， ，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
， ，
， ，
即 ，
， ，
．
如图，
同理可得： ， ，
，
，
， ，
，
综上： 长为 或 ，
故答案为： 或 ．
9．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的中点， 是 上
一点，连接 ， ， ，且 ．给出下列结论：① 平分 ；② ；③
为等边三角形；④ ．其中正确的结论为 ．（填序号）．【答案】①②④
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和
判定的应用．①只要证明 ，利用平行线的性质可得 ；②延长 和 交
于M，根据平行四边形的性质得出 ，根据平行线的性质得出 ，证 ，
推出 ，求出 ，求出 ，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出
，根据平行线的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，故①正确，
延长 和 交于M，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵由（1）知： ，
∴ ，∵ ；故②正确，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确，
∵ ，
∴ 不是等边三角形，故③错误，
∴正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
10．（2024上·浙江金华·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，点 的坐标 ，把线段 沿 轴
正方向移动4个单位，得到四边形 ．若点 在 轴上，当 时，点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了图形的平移以及性质，平行四边形的判定和性质，绝对值的意义．过点C作
轴于E，由平移的性质得四边形 为平行四边形， ， ，设点D的坐标为 ，
则 ， ，先求得 ，根据题意得 ，解方程求得a即可．
【详解】解：过点C作 轴于E，如图所示：由平移的性质得： ， ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
∴ 或 ，
由 ，解得： ，则点D的坐标为 ，
由 ，解得： ，则点D的坐标为 ，
∴点D的坐标为 或者 ．
故答案为： 或 ．
11．（2024下·北京海淀·九年级北京市十一学校校考开学考试）如图，在 中， ，
于点 ，延长 到点 ，使 ．过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理
等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，再由等腰三角形的性质得 ，则 ，进
而由勾股定理得 的长即可．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，，
，
，
．
12．（2024下·北京·九年级校考开学考试）如图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
上，且 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，若 的周长为12，求四边形 的周长．
【答案】(1)见详解
(2)24
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 求得 ，根据全等三角形的性
质得到 ，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知， ，求得 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，
于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解：由（1）知， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长为12，
∴ ，
∴四边形 的周长为24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分
线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．（2024下·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试）在平行四边形 中，
， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，若 平分 ，连接 ，请直接写出图中的等腰三角形（ 除外）．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】第（1）题求证两个三角形全等，根据判定两个三角形全等几种方法，找出边角对应关系，由平
行四边形和等腰三角形性质得出两个对应角相等， 公用，用 方法求解；
第（2）题求等腰三角形个数，关键在三角形的角上找两个相等角或边上找两边相等求解．
【详解】（1）证明：如图1，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
∴ ．
（2）解：如图2，
等腰三角形有：
．
理由：由（1）知， ，
∴
∴ 是等腰三角形，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，还有线段、角的和差，等量代换，全等三角形的判定与性质，
等腰三角形的判定与性质．知识点安排上呈螺旋上升，符合学生的认知规律，上完平行四边形性质新课后，
呈现本题，既反映出知识的衍接和梯度，又是一道综合性强的复习巩固题．
14．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）已知，如图， ．
(1) 的对角线 相交于点 ，直线 过点 ，分别交 于点 ．求证： ；
(2)将 （纸片）沿直线 折叠，点 落在点 处，点 落在点 处，设 交 于点 分别
交 于点 ．
①求证： ；
②连接 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证；（2）①由（1）中结论 ，结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可得证；②过点 作
，交 于点 ，如图所示，由等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质即可得证．
【详解】（1）证明：∵在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①由（1）得 ，
由折叠得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点 作 ，交 于点 ，如图所示：
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、折叠性质、等
腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
15．（2023上·山东济南·八年级统考期末）已知：如图，在四边形 中， ， 平分
交 于点E， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，连接 、 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到 ，等量代换得到 ，求得 ，
得到 ，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的判定定理得到 是等边三角形，求得 ，根据平行四边形的性质得到
，求得 ；
（3）根据等边三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质得到 ，根据
全等三角形的性质得到 ，进而得到结论．
【详解】（1）证明： ，
, ∵
∴又 ，
,
∴；
∴ ，
,
∴ ，
∴四边形 为平行四边形；
∴（2）证明： ， ，
为等边三角形，
∴ ，
∴ 中， ，
∵ ，
∴（3）解： 为等边三角形，
∵ ，
∴ 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴又 ， ，
，
∴
，
∴
∵
∴ ．
∴【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边
形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
