文档内容
24.4 弧长和扇形公式（第一课时）分层作业
基础训练
1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，则 的长为
（ ）
A．6π B．2π C． π D．π
【详解】解：∵直径AB=6，
∴半径OB=3，
∵圆周角∠A=30°，
∴圆心角∠BOC=2∠A=60°，
∴ 的长是 =π，
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于
点D，则弧AD的长为（ ）
A． B． C． D．2
【详解】解：连接CD，如图所示：∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°-30°=60°，AC= AB=4，
由题意得：AC=CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴ 的长为： ＝ ，
故选：B．
3．一个扇形的弧长是 ，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：该扇形的半径为： ，
∴扇形的面积为： ，
故选：B．
4．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，
由弧长公式l ，
∴2.5π ，
解得：r＝6，
故选：A．
5．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．60° D．100°【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得： ，即240π＝ ×20πr，
解得：r＝24，
又由 可得： ，
解得： ，
故选：B．
6．如果一弧长是其所在圆周长的 ，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度 B．16度 C．20度 D．24度
【详解】解：∵一弧长是其所在圆周长的 ，
∴
∴
∴这条弧长所对的圆心角为
故选：C
7．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以
O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：S =S AOD-S BOC
阴影 扇形 扇形
=
==
=2.25π（m2）
故选：D．
8．如图，正六边形 的边长为6，以顶点A为圆心， 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积
为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB= ，AB=6，
120π×62
∴扇形ABF的面积= =12π，
360
故选择D．
9．如图， ， ， ， ， 相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形
，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
故选A．10．如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连接 ， ，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知， ，
∴ ，
∴S = ，
扇形
故选：A．
11．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留 ）为 ．
【详解】解：由题意得：该扇形的面积为 ；
故答案为 ．
12．如图，⊙ 的半径为2，点A，B，C都在⊙ 上，若 ．则 的长为 （结果用含有 的式子表示）
【详解】 ， ，
，
⊙ 的半径为2，
，
故答案为： ．
13．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， 分别与 相切
于点C，D，延长 交于点P．若 ， 的半径为 ，则图中 的长为 ．
（结果保留 ）
【详解】连接OC、OD，
∵ 分别与 相切于点C，D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
60π×6
∴ 的长= =2π（cm），
180
故答案为： ．14．如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，且AC=CD，∠ACD=120°.
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积.
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°．
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠A＝30°．
∴∠OCD＝∠ACD－∠2＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∠1＝∠2＋∠A＝60°．
∴S BOC＝ ＝ ．
扇形
在Rt△OCD中，∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝4，
∴CD＝ ＝ ．∴S OCD＝ OC×CD＝ ×2× ＝ ．
Rt△
∴图中阴影部分的面积为： － ．
能力提升
1．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，
2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2 -π）cm2B．（π- ）cm2 C．（4 -2π）cm2 D．（2π-2 ）cm2
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD= = ，
∴S =S -3S = ×4×2 ﹣ =(4 ﹣2π)cm2，
阴影 △ABC 扇形AEF
故选C．2．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交 于点D，以OC为半径的
交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36
【详解】如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC= OB= OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴CD=6 ，
∴S = =24π，
扇形BOD
∴S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）
阴影 扇形AOB 扇形COE 扇形BOD △COD
= =18 +6π，
故选C．
3．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角 ．则图中阴影部分面积是 ．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠OBE=∠OCG=45°，
∵扇形的圆心角 ，
∴∠BOC-∠COE=∠FOH-∠COE，即∠BOE=∠COG，
在△OCG和△OBE中，
∠OBE=∠OCG，∠BOE=∠COG， OB=OC
∴△OCG≌△OBE，
∵正方形边长为4，
∴AC= ，
∴OC=
∵ ，
=
=
=
故答案为：
拔高拓展1．如图，线段 ，以AB为直径画半圆，圆心为 ，以 为直径画半圆①；取 的中点 ，以
为直径画半圆②；取 的中点 ，以 为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依
次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，半圆①弧长为 ，
同理 ，半圆②弧长为 ，
，半圆③弧长为 ，
……
半圆⑧弧长为 ，
∴8个小半圆的弧长之和为 ．
故答案为： ．
2．如图，在半径为2的⊙O中，点Q为优弧MN的中点，圆心角∠MON=60°，在弧QN上有一动点P，且
点P到弦MN所在直线的距离为x.(1)求弦MN的长;
(2)试求阴影部分面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
(3)试分析比较，阴影部分面积y与 的大小关系.
【详解】(1) ∵OM=ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∴MN=OM=ON=2.
(2) 作OH⊥MN于H点，∴ .在Rt△OHN中， ，
∴ . ，
∴ ，即 .
(3) 令 ，即 ，∴ .当 时， ;
当 时， ;当 时， .
