文档内容
28.2.2 应用举例 导学案
学习目标
1 熟练掌握解直角三角形的方法；
2 能灵活运用解直角三角形相关知识解决与直角三角形有关的图形计算问题.
重点难点突破
★知识点1： 仰角、俯角的概念：
在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角.
★知识点2： 方位角的概念：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的
角，叫做方位角.
★知识点3： 坡度的概念：坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度 h和水平距离l的比叫做
坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】
核心知识
一、仰角、俯角的概念：
在视线与水平线所成的角中规定：1)视线在水平线________的叫做仰角，2)视线在水平线______的叫做俯
角.
二、方位角的概念：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的________的角，叫做
方位角.
三、坡度的概念：坡度是地表单元陡缓的程度，通常把____________和_________的比叫做坡度（或叫做
坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=___________）】复习巩固
【提问】在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：
2）三边之间的关系：
3）两锐角之间的关系：
4）边角之间的关系：
新知探究
【情景一】2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功
实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面 343km的圆形轨道上运行．
如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的
点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结
果取整数）
【问题一】通过自学，你知道仰角与俯角的定义吗？
【问题二】如图，BCA=DEB=90，FB // AC // DE，
1）从A看B的仰角是______；
2）从B看A的俯角是 ；
3）从B看D的俯角是 ；
4）从D看B的仰角是 ；
【情景二】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角
为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.【问题五】简述利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤？
典例分析
【例1】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，
再向东继续航行60m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算这座灯塔的
高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60
【针对训练】
1．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最
高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学
计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据❑√3≈1.73）
2．如图，山上有一铁塔AB高40m．山前有一建筑物CD，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测
得塔顶A的仰角为60°，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为45°，已知EF=20m，
求小山BG的高（精确到1m，参考数值：❑√3=1.732)．3．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC
方向前进48m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔ED的高度．（结
3 4 3
果保留根号sin37°≈ ,cos37°≈ ,tan37≈ ）
5 5 4
新知探究
【问题六】回顾之前所学知识，简述方位角的概念？
【问题七】你知道点A、点B在方位角的位置吗？
【情景三】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一
段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果
取整数）？典例分析
【例2】如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看
到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 ．
【针对训练】
1. 某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为900m的圆形纪念园．如图，纪念
园中心A位于C村西南方向和B村南偏东61°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.8km．有关部门
计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明．
（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，❑√2≈1.41）
新知探究
【问题七】通过自学，你知道坡度的定义吗？【情景四】如图，某河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度 i＝
1∶1.5，则坝底AD的长度为_____________？
【情景五】如图，已知梯形ABCD是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽AD=6米，坝高18米，迎水
3
坡CD的坡度i =1:1，背水坡AB的坡度i = ，求坝底宽BC．
1 2 2
典例分析
【例3】某人沿着坡度为1:❑√3的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（ ）
100❑√5
A．100米 B．50❑√5米 C．50米 D．
5
【针对训练】
1．如图，人爬坡时，坡面与水平面的夹角为α，每爬1m坡耗能(1.025−cosα)J，若某人爬完一个高度为
20❑√2m的斜坡，坡角α=45°，则他大约耗能（ ）（参考数据：❑√3≈1.732,❑√2≈1.414）
A．12.72J B．10.72J
C．8.99J D．4.50J2．如图，一段河堤的斜坡BC=10m，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来的
1:2变成1:3，加固后斜坡AD的长是多少？（结果保留根号）
感受中考
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化
名片，如图 2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=60°，
∠ADB=30°，CD=17.5m，则线段AB的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：
❑√3≈1.7）
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m，从楼顶A处测得另一座大
厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°．
(1)求两楼之间的距离BD．
(2)求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）课堂小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤？
【参考答案】
新知探究
【情景一】2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功
实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”在离地球表面 343km的圆形轨道上运行．
如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面最远的
点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结
果取整数）
解：设∠POQ=α，而AQ是⊙O的切线，则△AOQ是直角三角形
OQ 6400
∵cos α = = ≈0.9491 ∴ α ≈18.36°
AO 6400+343
απr 18.36×3.142×6400
∴ ⏜ 的长为 = =2051(km)，
PQ
180 180
则最远点与点P之间的距离为2051km
【问题一】通过自学，你知道仰角与俯角的定义吗？
在视线与水平线所成的角中规定：
1)视线在水平线上方的叫做仰角，2)视线在水平线下方的叫做俯角.
【问题二】如图，BCA=DEB=90，FB // AC // DE，
1）从A看B的仰角是∠BAC ；
2）从B看A的俯角是∠FBA ；
3）从B看D的俯角是∠FBD ；
4）从D看B的仰角是∠BDE ；
【情景二】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角
为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
【问题五】简述利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤？
1.将实际问题抽象为数学问题. 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
典例分析
【例1】如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，
再向东继续航行60m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算这座灯塔的
高度CD（结果取整数）．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60
CD CD
解：∵在Rt△ACD中，tan∠CAD= ， ∴AD= ，
AD tan31°CD CD
∵在Rt△BCD中 ，tan∠CBD= ∴BD= =CD，
BD tan45°
又∵AD=AB＋BD，
CD
∴ =60＋CD，
tan31°
60×tan31° 60×0.60
∴CD＝ ≈ =90（m）．
1−tan31° 1−0.60
答：这座灯塔的高度CD约为90m．
【针对训练】
1．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最
高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学
计算建筑物AD的高度约为 米．（结果精确到1米，参考数据❑√3≈1.73）
解：由题意得：AD⊥BD，BC=12米，设CD=x米，
∴BD=BC+CD=(x+12)米，
❑√3
在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=BD⋅tan30°= (x+12)米，
3
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∴AD=CD⋅tan45°=x（米)，
❑√3
∴x= (x+12)，解得：x=6❑√3+6，
3
∴AD=6❑√3+6≈16（米)，
∴建筑物AD的高度约为16米
2．如图，山上有一铁塔AB高40m．山前有一建筑物CD，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测
得塔顶A的仰角为60°，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为45°，已知EF=20m，
求小山BG的高（精确到1m，参考数值：❑√3=1.732)．解：由题意得：AD⊥BD，BC=12米，设CD=x米，
∴BD=BC+CD=(x+12)米，
❑√3
在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AD=BD⋅tan30°= (x+12)米，
3
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，∴AD=CD⋅tan45°=x（米)，
❑√3
∴x= (x+12)，解得：x=6❑√3+6，
3
∴AD=6❑√3+6≈16（米)，
∴建筑物AD的高度约为16米
3．如图，某人为了测量小山顶上的塔DE的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC
方向前进48m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为37°，求塔ED的高度．（结
3 4 3
果保留根号sin37°≈ ,cos37°≈ ,tan37≈ ）
5 5 4
解：在Rt△FBG中，
∵∠F=45°，∴∠FBG=90°−45°=45°，
∴∠F=∠FBG，∴BG=FG，
设BG=xm，则FG=xm，
在Rt△AEG中，EG=x−20，AG=x+40．
AG x+40
∵tan∠AEG= ，∴ =tan60°=❑√3．
EG x−2040+20❑√3
∴x= ≈102，∴小山高约为102m．
❑√3−1
新知探究
【问题六】回顾之前所学知识，简述方位角的概念？
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
【问题七】你知道点A、点B在方位角的位置吗？
点A在点O的北偏东30°方向
点B在点O的南偏西45°方向
【情景三】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一
段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果
取整数）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－ 65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8 海里
在Rt△BPC中，∠B＝34°
PC PC 72.8 72.8
∵sinB= ∴PB= = ≈ ≈130 海里
PB sinB sin34∘ 0.559
答：当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里
典例分析
【例2】如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12km达B处，在B处看
到灯塔C在正北方向上，则A处与灯塔C的距离是 ．
解：由题意知∠BAC=30°，AB=12km，AB
在Rt△ABC中，∵cos∠BAC= ，
AC
AB 12
AC= = =8❑√3
∴ cos∠BAC ❑√3 （km），
2
∴A处与灯塔C的距离是8❑√3km
【针对训练】
1. 某地修建了一座以“讲好家乡故事，厚植种子情怀”为主题的半径为900m的圆形纪念园．如图，纪念
园中心A位于C村西南方向和B村南偏东61°方向上．C村在B村的正东方向且两村相距2.8km．有关部门
计划在B，C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿越纪念园？试通过计算加以说明．
（参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80，❑√2≈1.41）
解：该公路不会穿过纪念园．过点A作AD⊥BC，垂足为D，
由题意得：∠BAD=61°，∠ACD=45°，
设AD=xm，则CD=AD=xm．
BD
在Rt△ABD中，tan61°= ≈1.80，∴BD=1.8x(m)，
x
∵BC=2.8km=2800m，∴1.8x+x=2800，x=1000，
∵1000>900，∴该公路不会穿过纪念园．
新知探究
【问题七】通过自学，你知道坡度的定义吗？
坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度 h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用
字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】【情景四】如图，某河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度 i＝
1∶1.5，则坝底AD的长度为_____________？
∵ 坝高12米，且斜坡AB的坡度i=1：1.5，
∴ AE=1.5BE=18米，
∵ BC=10米，
∴ AD=2AE+BC=2×18+10=46米
【情景五】如图，已知梯形ABCD是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽AD=6米，坝高18米，迎水
3
坡CD的坡度i =1:1，背水坡AB的坡度i = ，求坝底宽BC．
1 2 2
解：分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，
根据题意，可知AM=DN=18米，AD∥MN，
∴∠AMN=∠MND=∠MAD=90°，∴四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=6米)，
3
在Rt△ABM中，背水坡AB的坡度i = ，
2 2
AM 18 3
∵ = = ，∴BM=12米，
BM BM 2
在Rt△DNC中，迎水坡CD的坡度i =1:1
1
DN 18
= =1，∴CN=18米，
CN CN
∴BC=BM+MN+NC=12+6+18=36米)，
答：坝底BC的长度为36米．典例分析
【例3】某人沿着坡度为1:❑√3的山坡前进了100米，则此人所在的位置升高了（ C ）
100❑√5
A．100米 B．50❑√5米 C．50米 D．
5
【针对训练】
1．如图，人爬坡时，坡面与水平面的夹角为α，每爬1m坡耗能(1.025−cosα)J，若某人爬完一个高度为
20❑√2m的斜坡，坡角α=45°，则他大约耗能（ A ）（参考数据：❑√3≈1.732,❑√2≈1.414）
A．12.72J B．10.72J
C．8.99J D．4.50J
2．如图，一段河堤的斜坡BC=10m，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来的
1:2变成1:3，加固后斜坡AD的长是多少？（结果保留根号）
解：过C作CE⊥AB，过D作DF⊥AB，垂足分别为E、F．
设CE=x，则BE=2x，DF=CE=x，AF=3x，
∵在Rt△CEB中，∠BEC=90°，BC=10，
，得： ．
∴ x2+(2x) 2=102 x=2❑√5
∵在Rt△ADF中，∠AFD=90°，
．
∴ AD=❑√AF2+DF2=❑√10x =❑√10×2❑√5=10❑√2
答：加固后斜坡AD是10❑√2米．感受中考
1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化
名片，如图 2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB=60°，
∠ADB=30°，CD=17.5m，则线段AB的长约为 m.（计算结果保留整数，参考数据：
❑√3≈1.7）
∵∠ACB=60°，∠ADB=30°，∠ACB=∠ADB+∠CAD，
∴∠ADB=∠CAD=30°，∴AC=CD=17.5m，
又∵∠ABC=90°，∴∠CAB=90°−60°=30°，
AB ❑√3 AB
∵cos∠CAB= ，∴ = ，解得AB≈15，
AC 2 17.5
2．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m，从楼顶A处测得另一座大
厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°．
(1)求两楼之间的距离BD．
(2)求大厦的高度CD．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
1）解：过点A作AE⊥CD于点E，根据题意可得：BD⊥CD，
∴AE∥BD，∴∠ADB=∠β=37°，
∵AB=46m，tan37°≈0.75，AB 46
∴tanADB=tan37°= ≈0.75，即 ≈0.75，
BD BD
解得：BD≈61.3，
答：两楼之间的距离约为61.3m．
2）解：根据题意可得：AB⊥BD,CD⊥BD,AE⊥CD，
∴四边形ABDE为矩形，∴AE=BD=61.3m,AB=DE=46m，
∵∠α=45°，AE⊥CD，∴∠ACE=45°，
∴AE=CE=61.3m，
∴CD=CE+DE=61.3+46=107.3(m)，
答：大厦的高度CD为107.3m．
