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7.1.2 两直线垂直（八大类型提分练）
类型一、垂直的有关定义及理解
1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同
一平面内．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直．
故选：B
2．（2024七年级上·全国·专题练习）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线
C．连结PQ使PQ⊥l D．过Q只能画1条直线与l垂直
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【详解】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；
B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；
C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；
D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理
由是（ ）A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面
内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为ON⊥a，OM⊥a，
所以直线ON与OM重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两个角的和为180°，那个这两个角互为邻补角
C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且
有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线
的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直，据此可判断D．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
B、两个角的和为180°，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解
题的关键．
类型二、利用垂直求角度
5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若
∠DOB=43°，则∠COE的度数是（ ）A．43° B．137° C．57° D．47°
【答案】D
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂
直定义可得：∠BOE=90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∵∠DOB=43°，
∴∠COE=180°-∠BOE-∠DOB=47°，
故选：D．
6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线a、b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若
∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出∠3的度数是解题的关键．根据垂直的定义可
求∠3的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵c⊥a，∠1=40°，
∴∠3=90°-∠1=50°，
∴∠2=180°-∠3=130°．
故选：C．
7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平
分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得
出∠CON的度数．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴ ∠MOC=35°，
∵ ON⊥OM，
∴ ∠MON=90°，
∴ ∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 CD、EF 相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，
∠COF=98°，求∠AOE的度数．
【答案】32°，过程见详解
【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得
∠DOE=98°，进而得∠BOE=58°，由垂直定义得∠AOE=∠AOB-∠BOE，代入计算．
【详解】解：∵ ∠COF=98°，∠COF=∠DOE，
∴ ∠DOE=98°，
又∵ ∠DOE=∠BOD+∠BOE，∠BOD=40°，
∴ ∠BOE=58°，
∵ OA⊥OB，∴ ∠AOB=90°，
又∵ ∠AOB=∠BOE+∠AOE，
∴ ∠AOE=∠AOB-∠BOE=90°-58°=32°．
类型三、垂线段最短
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、
N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短．
故选C．
10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，
线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，牢记两点之间线
段最短是解题的关键．
根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可．
【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故选项A不符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故选项B不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故选项C符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故选项D不符合题意；
故选：C．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为PA=2.13米，
PH=1.96米，PB=2.23米，则黎明的跳远成绩应该为 米．【答案】1.96
【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段
的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长
度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．
【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中
线段PH的长度，即为1.96米．
故答案为：1.96
类型四、点到直线的距离
12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且
PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段AC的长是点C到直线PA的距离
【答案】B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一
点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】A．线段PC的长是点C到PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项符合题意；
C．线段PA的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，
若MA=5cm, MB=4cm, MC=2cm, MD=3cm，则点M到直线l的距离是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合
条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到直线l的距离为3cm，则
AB 3cm（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
【答案】 ≥ 垂线段最短
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答
即可．
【详解】解： A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，
当AB⊥l时，AB=3，
∵
垂线段最短，
∴
当AB不与直线l垂直时，AB>3，
∵
AB≥3．
∴
故答案为：≥；垂线段最短．
∴
15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，
AC=3cm，AB=5cm．
(1)点B到AC的距离是________cm；点A到BC的距离是_________cm．
(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．【答案】(1)4，3
12
(2)见解析， cm
5
【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．
（1）根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解．
（2）作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．再根据面积公式
1 1
S = BC⋅AC= AB⋅CD即可求解．
△ABC 2 2
【详解】（1）解：∵∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，
∴点B到AC的距离=BC=4cm，点A到BC的距离=AC=3cm．
故答案为：4，3；
（2）解：如图：线段CD的长就是表示点C到AB的距离的线段，
根据题意，AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5，
1 1
∵S = BC⋅AC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
BC⋅AC 4×3 12
∴CD= = = (cm)．
AB 5 5
类型五、垂线的有关问题
16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、
C都在格点上．
(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线CE，垂足为点E；
(2)线段CE的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：CE______CB（填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)见解析
(2)C AB(3)< 垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：
（1）取格点K，作直线CK，交直线AB于点E；
（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；
（3）根据垂线段最短即可解答．
【详解】（1）
（2）线段CE的长度是点C到直线AB的距离．
故答案为：C AB
（3）CEOB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F 的力臂OA大于F 的力臂OB，
1 2
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当∠AOF=60°时，∠DOG=60°； ②OD平分∠EOG；
③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG=∠AOB-2∠EOF．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOF=∠DOE，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据
角平分线的定义，无法证明OD为∠EOG的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得
∠BOD=∠BOG，由对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，利用同角的余角相等可得∠BOD=∠EOF，
即可判断③；根据平角的定义以及∠EOF=∠BOG=∠AOC，即可判断④．
【详解】
解：①∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∵OD⊥OF
∴∠DOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF=90°，
∴∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=60°时，∠DOE=60°，
∴∠BOD=90°-60°=30°，
∵OB平分∠DOG，
∴∠DOG=2∠BOD=60°，
故①正确；
②∵不能证明∠GOD=∠EOD，
∴无法证明OD为∠EOG的角平分线，故②错误；
③∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG．
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠BOD=∠AOC．
∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠BOD=∠EOF，
∴与∠BOD相等的角有三个，故③正确；
④∵∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG，
∠EOF=∠BOG=∠AOC=∠BOD，
∴∠COG=∠AOB-2∠EOF，故④正确；
所以正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，
难度适中．
二、填空题
7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，
当∠AOC=38°时，∠BOD的度数是 ．
【答案】52°或128°
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分OC,OD在AB同侧和异侧两种情况讨
论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC=38°，计算∠BOD的度数即可．
【详解】解：当OC,OD在AB同侧时，如图，
∵ OC⊥OD ∠AOC=38°
， ，
∴ ∠BOD =180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-38°=52°；
当OC,OD在AB异侧时，如图，
∵ OC⊥OD ∠AOC=38°
， ，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-(∠DOC-∠AOC)=180°-(90°-38°)=128°；
故答案为：52°或128°．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，
∠1:∠2=2:1，则∠COF的度数为 ．【答案】75°/75度
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出∠1+∠2=∠BOE=90°，
然后结合∠1:∠2=2:1，求出∠2的度数，根据平角定义求出∠BOC的度数，最后根据角平分线的定义
求解即可．
【详解】解：因为OE⊥AB，
所以∠1+∠2=∠BOE=90°，
因为∠1:∠2=2:1，
1
所以∠2= ∠BOE=30°，
3
所以∠BOC=180°-∠2=180°-30°=150°．
因为OF平分∠BOC，
1 1
所以∠COF= ∠BOC= ×150°=75°．
2 2
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是
∠2的2倍少30度，则∠1的度数为 °．
【答案】110或30/30或110
【分析】考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠1与∠2的关系．因为
两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问
题．
【详解】解：如图1
根据题意得，¿，
解得∠1=∠2=30°；如图2，
根据题意得，¿
解得¿，
∴∠1的度数为30°或110°，
故答案为：110或30．
10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于
点O，∠AOC=30°，则∠EOF= ．
【答案】120°/120度
【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直
定义是解题关键．
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=30°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=30°，根据
OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°即可．
【详解】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=30°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°．
故答案为：120°．
11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，
若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC= °．【答案】132
【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角
的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设∠AOE=α，∠BOF=β，根据∠AOE+∠BOF=66°，得
β=66°-α，再根据角平分线的定义得∠DOB=2β，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，
即α+2β=90°，将β=66°-α代入可得α=42°，进而可求出∠AOD=132°，然后再根据对顶角相等可
得∠BOC的度数．
【详解】解：设∠AOE=α，∠BOF=β，
∵∠AOE+∠BOF=66°，
∴α+β=66°，
∴β=66°-α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF=β，
∴∠DOB=∠DOF+∠BOF=2β，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，
∴α+90°+2β=180°，
∴α+2β=90°，
∴α+2(66°-α)=90°，
解得：α=42°，
即∠AOE=42°，
∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=42°+90°=132°，
∴∠BOC=∠AOD=132°．
故答案为：132．
12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线AB，CD交于点M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平
分∠DME，下列结论中：①当∠AMG=60°时，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③与∠BMD相
等的角有3个；④∠CME=∠AMB-2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正确的结论序号是
．【答案】①③④
【分析】由MF⊥AB，MG⊥CD，得到∠2+∠3=∠3+∠4=90°，故∠2=∠4，同理∠1=∠3，故
∠2=∠4=∠6，由MB平分∠DME，得到∠4=∠5，故∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；当
∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，故∠DME=60°，故①正确；由
∠CME=∠AMB-∠5-∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，故∠CME=∠AMB-2∠FMG，故④正确，
而②⑤不可证明，即可作出选择．
【详解】解：如图，
∵MF⊥AB，MG⊥CD
∴∠FMB=∠GMD=90°，
∴∠2+∠3=∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
同理∠1=∠3，
而∠4=∠6，
∴∠2=∠4=∠6，
∵MB平分∠DME，
∴∠4=∠5，
∴∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；
当∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，
∴∠DME=60°，故①正确；
∵∠CME=∠AMB-∠5-∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，
∴∠CME=∠AMB-2∠FMG，故④正确，
而②⑤不可证明，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角，平角的定义，角平分线的意义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
三、解答题
13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；
(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．
【答案】(1)对顶角相等，130；
(2)150°．
【分析】（1）利用对顶角相等的性质解答即可；
（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合∠EOB=2∠AOC，即可求解；
本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠COB=130°，
∴∠COB=∠AOD=130°（对顶角相等），
故答案为：对顶角相等，130；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，
∴∠EOB=2∠BOD，
又∵∠EOB+∠BOD=90°，
∴3∠BOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；
1
(2)若∠1= ∠BOC，求∠AOC的度数．
4
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差；
（1）由垂直的定义得∠1+∠AOC=90°，等量代换得∠2+∠AOC=90°，即可得证；
（2）由角的和差得∠BOM=∠BOC-∠1 =3∠1，即可求解；
理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：因为OM⊥AB，
所以∠AOM=90°，
所以∠1+∠AOC=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠2+∠AOC=90°，
即∠CON=90°，
所以ON⊥CD．
（2）解：因为OM⊥AB，
所以∠BOM=90°，
1
因为∠1= ∠BOC，
4
所以∠BOC=4∠1，
所以∠BOM=∠BOC-∠1
3∠1=90°，
所以∠1=30°，
所以∠AOC=∠AOM-∠1=60°．
15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂
足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度数；
(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度数．
【答案】(1)∠COE=38°
(2)∠EOF=22.5°
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以
及垂直的定义是正确解答的关键．
（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∠AOF=64°，
∴∠AOC=2∠AOF=128°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠COE=128°-90°=38°；
（2）解：由于∠AOF:∠COE=3:2，可设∠AOF=3x，∠COE=2x，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOF=6x，
∴∠EOF=∠AOC-∠AOF-∠COE=6x-3x-2x=x，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°=∠AOF+∠EOF=3x+x=4x，
∴x=22.5°=∠EOF，
即∠EOF的度数为22.5°．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，
∠BOD=26°．
(1)求∠AOC的度数；
(2)求∠COF的度数．
【答案】(1)26°(2)∠COF的度数为32°
【分析】本题考查对顶角，角平分线，掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得答案；
（2）根据角平分线以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD=26°，
∴∠AOC=∠BOD=26°，
∴∠AOC的度数为26°；
（2）解：∵∠COE=90°，∠AOC=26°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+26°=116°，
∵OF平分∠AOE，
1 1
∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE= ×116°=58°，
2 2
∴∠COF=∠AOF-∠AOC
=58°-26°
=32°，
∴∠COF的度数为32°．
17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD
(1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:2，求∠AOF的度数．
【答案】(1)50°
(2)54°
【分析】（1）由∠BOE=70°可求得∠BOD=40°，根据对顶角的定义可得∠AOC=40°，然后根据
∠COF=90°，即可求得结果；
（2）根据OE平分∠BOC，可得∠COE=∠BOE，再结合∠BOD:∠BOE=1:2可得
∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，最后利用平角的定义及对顶角求出∠BOD=∠AOC=36°，再根据
互余即可求解．
【详解】（1）解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，
∴∠BOC=2∠BOE=140°，
∴∠BOD=180°-140°=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-40°=50°．
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠BOD:∠BOE=1:2，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∵∠BOD+∠BOE+∠EOC=180°，
1
∴ ∠BOD=∠AOC=180°× =36°，
1+2+2
∴∠AOF=90°-36°=54°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、垂直的定义，对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌
握角平分线的性质是解题的关键．
18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知O为直线MN上一点，OA⊥MN，∠COE=90°．
(1)如图1，下面是判断∠AOE与∠CON的数量关系的部分说理过程，请完成填空：
因为∠AOE+∠EON=__________°，∠CON+∠EON=__________°；（第一步）
所以∠AOE=__________；（第二步）
在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________．
(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置．
①直接写出图2中所有相等的角（直角除外）__________．
②作∠COM的平分线OF，若∠AOF=α，则∠CON=__________（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)90，90，∠CON，同角的余角相等
(2)①∠AOE=∠CON，∠EOM=∠AOC；②2α
【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的
计算是解决本题的关键；
（1）根据同角的余角相等即可求解；
（2）①根据OA⊥MN，∠COE=90°，进而得∠AOE=∠CON，根据OA⊥MN，得到
∠AOE+∠AOC=90°，∠MOE+∠AOE=90°，进而求解；
②根据角平分线的性质可得∠MOF=∠COF，即∠MOE+∠EOF=∠AOC+∠AOF，由①可知：∠MOE=∠AOC，进而求解；
【详解】（1）解：∵∠AOE+∠EON=90°，∠CON+∠EON=90°；
∴∠AOE=∠CON（同角的余角相等）；
故答案为：90，90，∠CON，同角的余角相等
（2）①∠AOE=∠CON，∠MOE=∠AOC，理由如下：
∵ OA⊥MN，∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，∠AOC+∠CON=90°，
∴∠AOE=∠CON；
∵OA⊥MN，∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，∠MOE+∠AOE=90°，
∴∠MOE=∠AOC，
故答案为：∠AOE=∠CON，∠EOM=∠AOC；
②∵OF平分∠COM，
∴∠MOF=∠COF，
即∠MOE+∠EOF=∠AOC+∠AOF，
由①可知：∠MOE=∠AOC，
∴∠EOF=∠AOF=α，
∴∠AOE=∠EOF+∠AOF=2α，
由①可知：∠CON=∠AOF=2α，
故答案为：2α．
