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7.1.2 两直线垂直（八大类型提分练）
类型一、垂直的有关定义及理解
1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直，一定注意是在同
一平面内．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一点与已知直线垂直．
故选：B
2．（2024七年级上·全国·专题练习）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线
C．连结PQ使PQ⊥l D．过Q只能画1条直线与l垂直
【答案】C
【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．
直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．
【详解】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意；
B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意；
C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意；
D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意；
故选∶C．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理
由是（ ）A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面
内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．
【详解】解：因为ON⊥a，OM⊥a，
所以直线ON与OM重合，
其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B．
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两个角的和为180°，那个这两个角互为邻补角
C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且
有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线
的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直，据此可判断D．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意；
B、两个角的和为180°，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意；
C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解
题的关键．
类型二、利用垂直求角度
5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若
∠DOB=43°，则∠COE的度数是（ ）A．43° B．137° C．57° D．47°
【答案】D
【分析】本题考查了垂线，平角的知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂
直定义可得：∠BOE=90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∵∠DOB=43°，
∴∠COE=180°-∠BOE-∠DOB=47°，
故选：D．
6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线a、b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若
∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出∠3的度数是解题的关键．根据垂直的定义可
求∠3的度数，然后根据邻补角的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵c⊥a，∠1=40°，
∴∠3=90°-∠1=50°，
∴∠2=180°-∠3=130°．
故选：C．
7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．根据角平
分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得
出∠CON的度数．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴ ∠MOC=35°，
∵ ON⊥OM，
∴ ∠MON=90°，
∴ ∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 CD、EF 相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，
∠COF=98°，求∠AOE的度数．
【答案】32°，过程见详解
【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得
∠DOE=98°，进而得∠BOE=58°，由垂直定义得∠AOE=∠AOB-∠BOE，代入计算．
【详解】解：∵ ∠COF=98°，∠COF=∠DOE，
∴ ∠DOE=98°，
又∵ ∠DOE=∠BOD+∠BOE，∠BOD=40°，
∴ ∠BOE=58°，
∵ OA⊥OB，∴ ∠AOB=90°，
又∵ ∠AOB=∠BOE+∠AOE，
∴ ∠AOE=∠AOB-∠BOE=90°-58°=32°．
类型三、垂线段最短
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、
N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：他选择的路线为公路AN，其理由为垂线段最短．
故选C．
10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，
线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短等知识点，牢记两点之间线
段最短是解题的关键．
根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可．
【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故选项A不符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故选项B不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故选项C符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故选项D不符合题意；
故选：C．
11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为PA=2.13米，
PH=1.96米，PB=2.23米，则黎明的跳远成绩应该为 米．【答案】1.96
【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段
的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长
度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．
【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中
线段PH的长度，即为1.96米．
故答案为：1.96
类型四、点到直线的距离
12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且
PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段AC的长是点C到直线PA的距离
【答案】B
【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一
点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答．
【详解】A．线段PC的长是点C到PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项符合题意；
C．线段PA的长是点A到直线PC的距离，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，
若MA=5cm, MB=4cm, MC=2cm, MD=3cm，则点M到直线l的距离是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合
条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．
【详解】如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到直线l的距离为3cm，则
AB 3cm（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
【答案】 ≥ 垂线段最短
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答
即可．
【详解】解： A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，
当AB⊥l时，AB=3，
∵
垂线段最短，
∴
当AB不与直线l垂直时，AB>3，
∵
AB≥3．
∴
故答案为：≥；垂线段最短．
∴
15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，
AC=3cm，AB=5cm．
(1)点B到AC的距离是________cm；点A到BC的距离是_________cm．
(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．【答案】(1)4，3
12
(2)见解析， cm
5
【分析】本题考查点到直线的距离，三角形面积．
（1）根据点到直线的距离就是过点作直线的垂直，这点与垂足间的线段长度，即可求解．
（2）作CD⊥AB于点D，则线段CD的长度就是点C到AB的距离．再根据面积公式
1 1
S = BC⋅AC= AB⋅CD即可求解．
△ABC 2 2
【详解】（1）解：∵∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，
∴点B到AC的距离=BC=4cm，点A到BC的距离=AC=3cm．
故答案为：4，3；
（2）解：如图：线段CD的长就是表示点C到AB的距离的线段，
根据题意，AB=❑√AC2+BC2=❑√32+42=5，
1 1
∵S = BC⋅AC= AB⋅CD，
△ABC 2 2
BC⋅AC 4×3 12
∴CD= = = (cm)．
AB 5 5
类型五、垂线的有关问题
16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、
C都在格点上．
(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线CE，垂足为点E；
(2)线段CE的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：CE______CB（填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)见解析
(2)C AB(3)< 垂线段最短
【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：
（1）取格点K，作直线CK，交直线AB于点E；
（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；
（3）根据垂线段最短即可解答．
【详解】（1）
（2）线段CE的长度是点C到直线AB的距离．
故答案为：C AB
（3）CE<CB，理由：垂线段最短．
故答案为：< 垂线段最短
17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正
方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题
(1)过点C画AB的垂线，并标出垂线所经过的格点E；
(2)连接AC，BC，则△ABC的面积为______．
【答案】(1)见解析
13
(2)
2
【分析】本题考查了画垂线，格点中求三角形的面积；
（1）根据垂线的定义画出图形；
（2）根据正方形的面积减去周围三个三角形的面积，即可得到△ABC的面积．
【详解】（1）如图所示，CE即为所求；（2）如图所示，
1 1 1 13
S =4×4- ×4×1- ×1×3- ×3×4=
△ABC 2 2 2 2
．
13
故答案为： ．
2
18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图：
(1)连接AB，画直线OA，画射线OB；
(2)在直线OA上找到一点C，使线段BC是点B与直线OA上各点的所有线段中长度最短的线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画直线，画射线和线段，垂线段最短：
（1）根据直线，射线，线段的画法，画图即可；
（2）过点B作BC⊥OA于C，根据垂线段最短可知点C即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，过点B作BC⊥OA于C，点C即为所求．类型六、有关垂直的有关计算问题
19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；
(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．
【答案】(1)对顶角相等，130；
(2)150°．
【分析】（1）利用对顶角相等的性质解答即可；
（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合∠EOB=2∠AOC，即可求解；
本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠COB=130°，
∴∠COB=∠AOD=130°（对顶角相等），
故答案为：对顶角相等，130；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，
∴∠EOB=2∠BOD，
又∵∠EOB+∠BOD=90°，
∴3∠BOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°．
20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．(1)当∠COE=27°时，求∠AOD的度数；
(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度数．
【答案】(1)∠AOD=54°
(2)∠AOC=144°
【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；
1
（2）由垂线得到∠BOF+∠BOE=90°，结合角平分线得到∠BOF+ ∠BOC=90°，则
2
1 1
(180°-∠DOF-∠BOC)+ ∠BOC=90°，化简得∠DOF=90°- ∠BOC，由∠DOF=2∠BOC，
2 2
1
得到方程90°- ∠BOC=2∠BOC，继而可求解．
2
【详解】（1）解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=2×27°=54°，
∴∠AOD=54°；
（2）解：∵若OF⊥OE，
∴∠EOF=90°
∴∠BOF+∠BOE=90°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE= ∠BOC，
2
1
∴∠BOF+ ∠BOC=90°，
2
1
∴(180°-∠DOF-∠BOC)+ ∠BOC=90°
2
1
∴90°-∠DOF- ∠BOC=90°
21
∴∠DOF=90°- ∠BOC，
2
∵∠DOF=2∠BOC，
1
∴90°- ∠BOC=2∠BOC，
2
解得∠BOC=36°.
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-36°=144°．
类型七、利用角度关系证明两直线垂直
21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE
的平分线．
(1)写出∠DOE的补角；
(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度数；
(3)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
【答案】(1)∠COE，∠AOD，∠BOC
(2)∠BOC=150°，∠EOF=60°
(3)OD⊥OF，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线，熟练掌握角平分线定义，对顶角相等，补角定义，垂线的定义，是解
决问题的关键．
（1）根据角平分线定义得∠BOD=∠DOE，根据补角定义得∠DOE+∠COE=180°，
∠BOD+∠BOC=180°， 根据对顶角性质得∠AOD=∠BOE，即得∠DOE的补角；
（2）先根据角平分线的定义得出∠BOD和∠BOE的度数，再由邻补角定义可得
∠BOC=180°-∠BOD；先根据邻补角定义可得∠AOE=180°-∠BOE，再由角平分线定义即得
∠EOF度数；
1 1
（3）运用角平分线的定义，得∠EOF= ∠AOE，∠DOE= ∠BOE，根据平角的定义得
2 2
∠DOF=90°，即得直线OD、OF的位置关系．
【详解】（1）∵OD平分∠BOE，
1
∴∠BOD=∠DOE= ∠BOE，
2
∵∠DOE+∠COE=180°，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠DOE+∠BOC=180°，
∵∠AOD=∠BOE，∴∠DOE+∠AOD=180°，
∴∠DOE 的补角有∠COE，∠AOD，∠BOC；
（2）∵OD平分∠BOE，∠DOE=30°，
1
∴∠BOD=∠DOE= ∠BOE=30°
2
∴∠BOC=180°-∠BOD=150°，∠BOE=2∠DOE=60°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=120°，
又∵OF平分∠AOE，
1
∴∠EOF= ∠AOE=60°；
2
（3）射线OD与OF互相垂直．理由如下：
∵OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
1 1
∴∠EOF= ∠AOE，∠DOE= ∠BOE，
2 2
1 1
∴∠DOF=∠EOF+∠DOE= (∠AOE+∠BOE)= ×180°=90°，
2 2
∴OD⊥OF．
即射线OD、OF的位置关系是互相垂直．
类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用
22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，则∠BOC的度数为
．
【答案】18°或162°
【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知
∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分
类求解即可．
【详解】解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOB:∠AOC=4:5，
∴∠AOB=72°．
∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．
①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-72°=18°；
②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+72°=162°．故答案为：18°或162°．
23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线AB与CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，则
∠BOE的度数 ．
【答案】65°或115°
【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于90°，那么这两个角叫
做互为余角.
根据题意，分两种情况：（1）∠BOE是锐角时；（2）∠BOE是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨
论，求出∠BOE的度数是多少即可．
【详解】解：（1）如图1，
∵直线OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠DOF=65°，
∴∠EOF=90°-65°=25°，
又∵直线OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=90°-25°=65°．
（2）如图2，
∵直线OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠DOF=65°，
∴∠EOF=90°-65°=25°，
又∵直线OF⊥AB，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOE=90°+25°=115°．
综上，可得∠BOE的度数是65°或115°．故答案为：65°或115°．
24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，
则∠A= ．
【答案】125°或20°
【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的
3倍少40°，所以可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
【详解】设∠B是x度，
①如图1：
∴∠AOC=∠BOD，
∵∠AOC+∠A=∠BOD+∠B=90°，
∴∠B=∠A=x°，
∵∠A比∠B的3倍少40°
∴x=3x-40，
解得：x=20，
故∠A=20°；
②如图2：
根据四边形的内角和可得：∠B+∠A+90°+90°=360°，
∴∠B+∠A=180°
∵∠A比∠B的3倍少40°
∴x+3x-40=180，
∴x=55，∴∠A=3×55°-40°=125°
综上所述：∠A的度数为：20°或125°．
故答案为：125°或20°．
1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，
∠AOD=125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直的定义，求一个角的邻补角，余角等知识点，根据邻补角求得∠AOC，根
据余角的定义即可求得∠EOC的度数，熟练掌握其性质，数形结合是解决此题的关键．
【详解】解：∵∠AOD=125°，
∴∠AOC=180°-125°=55°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOC=90°-55°=35°，
故选：C．
2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点C(F)叠放在一起，其中
∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不动，三角板DEF可绕点C旋转，则下列结论：
①∠BCE+∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确
的结论是（ ）A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，
②错误
【答案】D
【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，即可得到
∠BCE+∠ACD=180°；
②画出图形，根据∠BCE=3∠ACD，∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD的度数，根据平行线
的判定以及垂直的定义得到此时DE与AC的位置关系．
【详解】解：①∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD
=90°+∠ACE+∠ACD
=90°+90°=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，是定值；故①错误．
②设∠ACD=α，则∠BCE=3α．
如图
∵∠BCD=90°-∠ACD=∠ACE
，
∴∠BCD+∠ACE=∠BCE-∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE=3α-α=2α，
∴∠BCD=∠ACE=∠ACD=α，
∴∠ACD=∠D=45°，
∴DE⊥AC．
如图
由①可知，∠BCE+∠ACD=180°，
∴3α+α=180°，
解得：α=45°，即∠ACD=45°，
此时DE不垂直于AC故②错误．
故选：D．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，射线OD平分
∠EOB，射线OM平分∠BOD，则∠AOM等于（ ）
A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由OE⊥AB，得∠EOB=90°，再
1
根据角平分线的定义求出∠BOM= ∠BOD=22.5°，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的
2
应用是解题的关键．
【详解】∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵射线OD平分∠EOB，
1
∴∠BOD= ∠EOB=45°，
2
∵射线OM平分∠BOD，
1
∴∠BOM= ∠BOD=22.5°，
2
∵∠AOM+∠BOM=180°，
∴∠AOM=180°-22.5°=157.5°，
故选：B．
4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点
O．若∠EOF=α，下列说法：①∠AOC=α-90°；②∠EOB=180°-α；③∠AOF=360°-2α．其
中正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角相等，根据角平分线的性质，垂直的定义，对顶角相等，
结合角的和差关系，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠DOE=90°，
∴∠DOF=∠EOF-∠DOE=α-90°，
∵OD平分∠BOF，
∴∠BOD=∠DOF=α-90°，
∴∠AOC=∠BOD=α-90°；故①正确；
∴∠EOB=∠EOD-∠BOD=90°-(α-90°)=180°-α；故②正确；
∠AOF=180°-∠AOC-∠DOF=180°-2×(α-90°)=360°-2α；故③正确；
故选D．
5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推
力F 、F ，则F 的力臂OA大于F 的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
1 2 1 2
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有
OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F 的力臂OA大于F 的力臂OB，
1 2
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当∠AOF=60°时，∠DOG=60°； ②OD平分∠EOG；
③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG=∠AOB-2∠EOF．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOF=∠DOE，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据
角平分线的定义，无法证明OD为∠EOG的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得
∠BOD=∠BOG，由对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，利用同角的余角相等可得∠BOD=∠EOF，
即可判断③；根据平角的定义以及∠EOF=∠BOG=∠AOC，即可判断④．
【详解】
解：①∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，
∵OD⊥OF
∴∠DOF=90°，
∴∠AOE=∠DOF=90°，
∴∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=60°时，∠DOE=60°，
∴∠BOD=90°-60°=30°，
∵OB平分∠DOG，
∴∠DOG=2∠BOD=60°，
故①正确；
②∵不能证明∠GOD=∠EOD，
∴无法证明OD为∠EOG的角平分线，故②错误；
③∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG．
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠BOD=∠AOC．
∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠BOD=∠EOF，
∴与∠BOD相等的角有三个，故③正确；
④∵∠COG=∠AOB-∠AOC-∠BOG，
∠EOF=∠BOG=∠AOC=∠BOD，
∴∠COG=∠AOB-2∠EOF，故④正确；
所以正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线，余角、对顶角以及角平分线的性质，注意结合图形，发现角与角之间的关系，
难度适中．
二、填空题
7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，
当∠AOC=38°时，∠BOD的度数是 ．
【答案】52°或128°
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分OC,OD在AB同侧和异侧两种情况讨
论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC=38°，计算∠BOD的度数即可．
【详解】解：当OC,OD在AB同侧时，如图，
∵ OC⊥OD ∠AOC=38°
， ，
∴ ∠BOD =180°-∠COD-∠AOC=180°-90°-38°=52°；
当OC,OD在AB异侧时，如图，
∵ OC⊥OD ∠AOC=38°
， ，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-(∠DOC-∠AOC)=180°-(90°-38°)=128°；
故答案为：52°或128°．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，
∠1:∠2=2:1，则∠COF的度数为 ．【答案】75°/75度
【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义等知识，先根据垂直定义得出∠1+∠2=∠BOE=90°，
然后结合∠1:∠2=2:1，求出∠2的度数，根据平角定义求出∠BOC的度数，最后根据角平分线的定义
求解即可．
【详解】解：因为OE⊥AB，
所以∠1+∠2=∠BOE=90°，
因为∠1:∠2=2:1，
1
所以∠2= ∠BOE=30°，
3
所以∠BOC=180°-∠2=180°-30°=150°．
因为OF平分∠BOC，
1 1
所以∠COF= ∠BOC= ×150°=75°．
2 2
9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是
∠2的2倍少30度，则∠1的度数为 °．
【答案】110或30/30或110
【分析】考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠1与∠2的关系．因为
两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问
题．
【详解】解：如图1
根据题意得，¿，
解得∠1=∠2=30°；如图2，
根据题意得，¿
解得¿，
∴∠1的度数为30°或110°，
故答案为：110或30．
10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于
点O，∠AOC=30°，则∠EOF= ．
【答案】120°/120度
【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直
定义是解题关键．
根据对顶角性质可得∠BOD=∠AOC=30°．根据OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=30°，根据
OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用两角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°即可．
【详解】解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF=∠BOD=30°，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°．
故答案为：120°．
11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，
若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC= °．【答案】132
【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角
的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设∠AOE=α，∠BOF=β，根据∠AOE+∠BOF=66°，得
β=66°-α，再根据角平分线的定义得∠DOB=2β，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，
即α+2β=90°，将β=66°-α代入可得α=42°，进而可求出∠AOD=132°，然后再根据对顶角相等可
得∠BOC的度数．
【详解】解：设∠AOE=α，∠BOF=β，
∵∠AOE+∠BOF=66°，
∴α+β=66°，
∴β=66°-α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF=∠BOF=β，
∴∠DOB=∠DOF+∠BOF=2β，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，
∴α+90°+2β=180°，
∴α+2β=90°，
∴α+2(66°-α)=90°，
解得：α=42°，
即∠AOE=42°，
∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=42°+90°=132°，
∴∠BOC=∠AOD=132°．
故答案为：132．
12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线AB，CD交于点M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平
分∠DME，下列结论中：①当∠AMG=60°时，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③与∠BMD相
等的角有3个；④∠CME=∠AMB-2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正确的结论序号是
．【答案】①③④
【分析】由MF⊥AB，MG⊥CD，得到∠2+∠3=∠3+∠4=90°，故∠2=∠4，同理∠1=∠3，故
∠2=∠4=∠6，由MB平分∠DME，得到∠4=∠5，故∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；当
∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，故∠DME=60°，故①正确；由
∠CME=∠AMB-∠5-∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，故∠CME=∠AMB-2∠FMG，故④正确，
而②⑤不可证明，即可作出选择．
【详解】解：如图，
∵MF⊥AB，MG⊥CD
∴∠FMB=∠GMD=90°，
∴∠2+∠3=∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
同理∠1=∠3，
而∠4=∠6，
∴∠2=∠4=∠6，
∵MB平分∠DME，
∴∠4=∠5，
∴∠2=∠4=∠6=∠5，故③正确；
当∠AMG=60°时，则∠2=∠4=∠6=∠5=30°，
∴∠DME=60°，故①正确；
∵∠CME=∠AMB-∠5-∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，
∴∠CME=∠AMB-2∠FMG，故④正确，
而②⑤不可证明，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了对顶角，平角的定义，角平分线的意义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
三、解答题
13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；
(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．
【答案】(1)对顶角相等，130；
(2)150°．
【分析】（1）利用对顶角相等的性质解答即可；
（2）根据对顶角相等，可知∠AOC=∠BOD，结合∠EOB=2∠AOC，即可求解；
本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵∠COB=130°，
∴∠COB=∠AOD=130°（对顶角相等），
故答案为：对顶角相等，130；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD=90°，
∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，
∴∠EOB=2∠BOD，
又∵∠EOB+∠BOD=90°，
∴3∠BOD=90°，
∴∠BOD=30°，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；
1
(2)若∠1= ∠BOC，求∠AOC的度数．
4
【答案】(1)见解析
(2)60°
【分析】本题考查了垂直的定义，角的和差；
（1）由垂直的定义得∠1+∠AOC=90°，等量代换得∠2+∠AOC=90°，即可得证；
（2）由角的和差得∠BOM=∠BOC-∠1 =3∠1，即可求解；
理解垂直的定义，熟练利用角的和差进行计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：因为OM⊥AB，
所以∠AOM=90°，
所以∠1+∠AOC=90°，
因为∠1=∠2，
所以∠2+∠AOC=90°，
即∠CON=90°，
所以ON⊥CD．
（2）解：因为OM⊥AB，
所以∠BOM=90°，
1
因为∠1= ∠BOC，
4
所以∠BOC=4∠1，
所以∠BOM=∠BOC-∠1
3∠1=90°，
所以∠1=30°，
所以∠AOC=∠AOM-∠1=60°．
15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂
足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度数；
(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度数．
【答案】(1)∠COE=38°
(2)∠EOF=22.5°
【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以
及垂直的定义是正确解答的关键．
（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∠AOF=64°，
∴∠AOC=2∠AOF=128°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠COE=128°-90°=38°；
（2）解：由于∠AOF:∠COE=3:2，可设∠AOF=3x，∠COE=2x，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠AOF=6x，
∴∠EOF=∠AOC-∠AOF-∠COE=6x-3x-2x=x，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°=∠AOF+∠EOF=3x+x=4x，
∴x=22.5°=∠EOF，
即∠EOF的度数为22.5°．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，
∠BOD=26°．
(1)求∠AOC的度数；
(2)求∠COF的度数．
【答案】(1)26°(2)∠COF的度数为32°
【分析】本题考查对顶角，角平分线，掌握对顶角相等，角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据对顶角相等可得答案；
（2）根据角平分线以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD=26°，
∴∠AOC=∠BOD=26°，
∴∠AOC的度数为26°；
（2）解：∵∠COE=90°，∠AOC=26°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+26°=116°，
∵OF平分∠AOE，
1 1
∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE= ×116°=58°，
2 2
∴∠COF=∠AOF-∠AOC
=58°-26°
=32°，
∴∠COF的度数为32°．
17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD
(1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:2，求∠AOF的度数．
【答案】(1)50°
(2)54°
【分析】（1）由∠BOE=70°可求得∠BOD=40°，根据对顶角的定义可得∠AOC=40°，然后根据
∠COF=90°，即可求得结果；
（2）根据OE平分∠BOC，可得∠COE=∠BOE，再结合∠BOD:∠BOE=1:2可得
∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，最后利用平角的定义及对顶角求出∠BOD=∠AOC=36°，再根据
互余即可求解．
【详解】（1）解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，
∴∠BOC=2∠BOE=140°，
∴∠BOD=180°-140°=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OF⊥CD，∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-40°=50°．
（2）解：∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE，
∵∠BOD:∠BOE=1:2，
∴∠BOD:∠BOE:∠EOC=1:2:2，
∵∠BOD+∠BOE+∠EOC=180°，
1
∴ ∠BOD=∠AOC=180°× =36°，
1+2+2
∴∠AOF=90°-36°=54°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平角的定义、垂直的定义，对顶角的定义及角的和差计算，熟练掌
握角平分线的性质是解题的关键．
18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知O为直线MN上一点，OA⊥MN，∠COE=90°．
(1)如图1，下面是判断∠AOE与∠CON的数量关系的部分说理过程，请完成填空：
因为∠AOE+∠EON=__________°，∠CON+∠EON=__________°；（第一步）
所以∠AOE=__________；（第二步）
在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________．
(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置．
①直接写出图2中所有相等的角（直角除外）__________．
②作∠COM的平分线OF，若∠AOF=α，则∠CON=__________（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)90，90，∠CON，同角的余角相等
(2)①∠AOE=∠CON，∠EOM=∠AOC；②2α
【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的
计算是解决本题的关键；
（1）根据同角的余角相等即可求解；
（2）①根据OA⊥MN，∠COE=90°，进而得∠AOE=∠CON，根据OA⊥MN，得到
∠AOE+∠AOC=90°，∠MOE+∠AOE=90°，进而求解；
②根据角平分线的性质可得∠MOF=∠COF，即∠MOE+∠EOF=∠AOC+∠AOF，由①可知：∠MOE=∠AOC，进而求解；
【详解】（1）解：∵∠AOE+∠EON=90°，∠CON+∠EON=90°；
∴∠AOE=∠CON（同角的余角相等）；
故答案为：90，90，∠CON，同角的余角相等
（2）①∠AOE=∠CON，∠MOE=∠AOC，理由如下：
∵ OA⊥MN，∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，∠AOC+∠CON=90°，
∴∠AOE=∠CON；
∵OA⊥MN，∠COE=90°，
∴∠AOE+∠AOC=90°，∠MOE+∠AOE=90°，
∴∠MOE=∠AOC，
故答案为：∠AOE=∠CON，∠EOM=∠AOC；
②∵OF平分∠COM，
∴∠MOF=∠COF，
即∠MOE+∠EOF=∠AOC+∠AOF，
由①可知：∠MOE=∠AOC，
∴∠EOF=∠AOF=α，
∴∠AOE=∠EOF+∠AOF=2α，
由①可知：∠CON=∠AOF=2α，
故答案为：2α．
