文档内容
7.3 定义、命题、定理 分层作业
基础训练
1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是经过推理证实的真命题；③真
命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据命题、定理、公理的定义可以判断题目中的各种说法是否正确．
【解答】解：公理是真命题，公理不需要证明，故①正确；
定理是由基本定义和公理推出来的真命题，故②正确；
真命题不一定是公理或定理，故③、④错误，
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是明确它们各自的定义．
2．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．两条直线不平行
C．延长AB到C使BC＝AB D．两点之间线段最短
【答案】C
【分析】根据命题的定义判断即可．
【解答】解：A．相等的角是对顶角是命题；
B．两条直线不平行是命题；
C．延长AB到C使BC＝AB不是命题；
D．两点之间线段最短是命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题与定理，两点之间线段最短，对顶角、邻补角等知识，解题的关键是理
解：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
3．关于“垂线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理．其中正确的说
法是（ ）
A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②④
【答案】B
【分析】直接利用命题以及定理的定义分析得出即可．
【解答】解：对“垂线段最短”说法：①是命题；③是真命题；④是定理，正确．故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．
4．“如果两个角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角”是（ ）
A．假命题 B．真命题 C．定义 D．定理
【答案】B
【分析】两条直线相交后，所得的只有一个公共顶点，且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个
角叫做互为对顶角．
【解答】解：根据对顶角的概念，知
此命题是真命题．
故选：B．
【点评】考查了对顶角的概念和真命题的概念．
5．在证明过程中可以作为推理根据的是（ ）
A．命题、定义、基本事实 B．定理、定义、基本事实
C．命题 D．真命题
【答案】B
【分析】根据“定理、定义、公理”、已知、假设等可作为证明推理的依据可得出答案．
【解答】解：定理、定义、公理等在证明过程中可以作为推理根据．
故选：B．
【点评】此题主要考查了定理、定义、公理等，理解定理、定义、公理等在证明过程中可以作为推理
根据是解答此题的关键．
6．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A．k＝1 B．k＝2 C．k＝4 D．k＝8
【答案】B
【分析】根据四个选项中的k值进行判断即可．
【解答】解：四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例判断如下：
A、k＝1不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、k＝2是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例．
故选：B．
【点评】本题考查了假命题，正确记忆判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条
件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题是解题关键．
7．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ）A．a＝2，b＝﹣1 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣2，b＝1
【答案】D
【分析】找到满足题设但不满足结论的一对数即可．
【解答】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例；
B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例；
C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例；
D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例；
故选：D．
【点评】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的
结论；根据这一特点判断即可．
8．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ．
【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放
在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后
面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
9．如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD∥BC．
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
【分析】（1）根据命题的概念、给出的条件写出命题；
（2）根据平行线的性质定理和判定定理证明结论．
【解答】解：（1）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC；
（2）这个命题是真命题，证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是
解题的关键．
10．如图，AB∥DC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
证明：（1）ED∥BC；
（2）AD∥EC．
请根据解答过程，在横线上填出数学式，在括号内填写相应理由．
证明：（1）∵AB∥DC，（已知）
∴∠1＝ ．（ ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝ ．（ ）
∴ED∥BC．（ ）
（2）∵ED∥BC，（已知）
∴∠3＝ ．（ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠2＝ ．（ ）
∴AD∥EC．（ ）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠1＝∠AED，等量代换求出∠B＝∠AED，再根据平行线的判定
得出结论；
（2）根据平行线的性质得到∠3＝∠CED，等量代换求出∠2＝∠CED，再根据平行线的判定得出结
论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DC，（ 已知 ）
∴∠1＝∠AED．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1＝∠B，（ 已知 ）
∴∠B＝∠AED，（等量代换）
∴ED∥BC．（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠AED；两直线平行，内错角相等；∠AED；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）∵ED∥BC，（ 已知 ）
∴∠3＝∠CED．（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2＝∠3，（ 已知 ）
∴∠2＝∠CED．（等量代换）
∴AD∥EC．（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠CED；两直线平行，内错角相等；CED；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，正确建议相关知识点是解题关键．
能力提升
11．以下正确的命题共有（ ）
①过一点可画无数条直线；②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条直线；③射线OA
与射线AO为同一射线；④三条直线两两相交，必有3个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用确定直线的条件、及直线的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①过一点可画无数条直线，正确，符合题意；
②经过平面上A、B、C三点中的任意两点，可作3条或1条直线，故原命题错误，不符合题意；
③射线OA与射线AO不是同一射线，故原命题错误，不符合题意；
④三条直线两两相交，必有1个或3个交点，故原命题错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关直线的知识，难度不大．
12．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作
为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．
【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，
故DB∥EC，则∠D＝∠4，
当②∠C＝∠D，故∠4＝∠C，
则DF∥AC，可得：∠A＝∠F，
①)
即 ③；
②
⇒
当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，
故DB∥EC，则∠D＝∠4，
当③∠A＝∠F，故DF∥AC，
则∠4＝∠C，故可得：∠C＝∠D，
①)
即 ②；
③
⇒
当③∠A＝∠F，故DF∥AC，则∠4＝∠C，
当②∠C＝∠D，则∠4＝∠D，
故DB∥EC，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，
②)
即 ①，
③
⇒
故正确的有3个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键．
13．定义：对于任意实数m，n，如果满足m+n＝mn，那么称m，n互为“好友数”，点（m、n）为“好
友点”．
（1）若（5，n）为“好友点”，则n＝ ；
（2）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”．
4
① 与4是互为“好友数”的；
3
②若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”；
③若m与n互为相反数，则（m，n）一定不是“好友点”；
④存在与1互为“好友数”的实数；
【分析】（1）根据“好友点”的定义把（5，n）代入m+n＝mn，求出n值即可；（2）根据“好友数”或“好友点”的定义对每一个命题进行判断即可解决问题；
【解答】解：（1）把（5，n）代入m+n＝mn，得：5+n＝5n，
5
解得：n= ，
4
5
故答案为：n= ；
4
4
（2）①把 和4分别代入m+n＝mn的左右两边，得：
3
4 16 4 16
左边= +4= ，右边= ×4= ，
3 3 3 3
∵左边＝右边，
4
∴ 与4是互为“好友数”，
3
故①是真命题；
②把点（n，m）代入m+n＝mn后，结果为n+m＝nm，
根据加法交换律和乘法交换律可以知道n+m＝nm可以变形为m+n＝mn，
∴若点（m，n）为“好友点”，则点（n，m）也一定为“好友点”，
故②是真命题；
③∵m与n互为相反数，
∴m＝﹣n，
假设（m，n）是“好友点”，
∴﹣n+n＝﹣n2，
∴n＝0，
∴存在这样的实数，使m、n是相反数，点（m，n）又是“好友点”，
故③是假命题；
④把m＝1代入m+n＝mn得：1+n＝n，
∴不存在这样的n的值，
∴不存在与1互为“好友数”的实数，
故④是假命题；
故答案为：√；√；×；×．
【点评】本题是新定义综合题，主要考查命题和定理，代数式的值，深入理解“好友点”和“好友
数”的定义是解决问题的关键．
14．已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF，试探究：（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等解答；
（2）根据两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）根据（1）（2）的解答过程归纳概括出一个真命题．
【解答】解：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DGC，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠DGC，
∴∠B＝∠E，
故答案为：∠B＝∠E；
（2）∠B+∠E＝180°，
理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B+∠DGB＝180°，
∵BC∥EF，
∴∠E＝∠DGB，
∴∠B+∠E＝180°；
（3）归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【点评】本题考查的是平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直
线平行，内错角相等．
拔高拓展
15．探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※运算．下列是一些按照※运算的运算
法则进行运算的算式；（+5）※（+2）＝+7；（﹣3）※（﹣5）＝+8；（﹣3）※（+4）＝﹣1；（+5）※（﹣8）＝﹣3．
（1）按照上述算式的规则计算：
①（+4）※（+3）＝ ；
②（﹣2）※（﹣4）＝ ；
③（﹣4）※（+5）＝ ；
④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝ .（括号的作用与有理数运算中的作用一致）
（2）我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算
法则，归纳※运算的运算法则；同号两数进行※运算时， ，异号两数进行
※运算时 ．
（3）我们知道加法有交换律和结合律，请你分别举例、计算，通过例子判断在※运算中交换律和结合
律是否成立？若不成立，只需举一个反例．
【分析】（1）根据题干中的例子求解即可；
（2）根据题目中的例子可以总结出※运算的运算法则；
（3）据（1）中的结论分别采用有理数加法交换律和结合律计算可以解答本题．
【解答】解：（1）①（+4）※（+3）＝7；
②（﹣2）※（﹣4）＝6；
③（﹣4）※（+5）＝﹣1；
④（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]
＝（﹣2）※（﹣3）
＝5；
故答案为：①7；②6；③﹣1；④5；
（2）归纳※运算的运算法则：同号两数进行※运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数
进行※运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）交换律适用，结合律不适用，理由如下：
设这两个有理数为a，b，
若a，b均为正数，则a※b＝a+b，b※a＝a+b，
∴a※b＝b※a；
若a，b均为负数，则a※b＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b，b※a＝+（﹣a﹣b）＝﹣a﹣b，
∴a※b＝b※a；
若a，b异号，且a的绝对值大于b的绝对值，则a※b＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b，b※a＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b，
∴a※b＝b※a；
∴交换律适用；
∵（﹣2）※[（+4）※（﹣1）]＝（﹣2）※（﹣3）＝5，（﹣2）※（+4）※（﹣1）＝（﹣2）※
（﹣1）＝3，且5≠3，
∴结合律不适用．
【点评】本题考查有理数的加减运算，解答本题的关键是理解※运算法则．
