文档内容
8.2 立方根【7 个必考点】
【人教版2024】
【知识点1 立方根】..................................................................................................................................................1
【必考点1 求一个数的立方根】..............................................................................................................................1
【必考点2 求代数式的立方根】..............................................................................................................................2
【必考点3 根据立方根的性质求值】.....................................................................................................................2
【知识点2 开立方】..................................................................................................................................................2
【必考点4 运用开立方解方程】..............................................................................................................................3
【必考点5 立方根小数点移动规律】.....................................................................................................................3
【必考点6 立方根的实际应用】..............................................................................................................................3
【必考点7 推算大数的立方根】..............................................................................................................................4
【知识点1 立方根】
1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类
似于平方根，一个数a的立方根记为“√3 a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0.
②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
【必考点1 求一个数的立方根】
√ 1
【例1】3 的值等于（ ）
64
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
4 4 8 8
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．❑√64的立方根是2
B．﹣3是27负的立方根
125 5
C． 的立方根是±
216 6
D．（﹣1）2的立方根是﹣1
√ 27
【变式2】求值：3− =（ ）
643 3 9 3
A． B．± C．− D．−
4 4 8 4
1 3 1
【变式3】已知(− ) =− ，则下列说法正确的是（ ）
2 8
1 1 1 1
A．− 是− 的立方根 B．− 是− 的立方根
8 2 2 8
1 1 1 1
C．± 是− 的立方根 D．± 是− 的立方根
2 8 8 2
【必考点2 求代数式的立方根】
1 2
【例1】若|x−5|+(y+ ) +❑√z−1=0，则√3 xyz= ．
5
【变式1】若 ，则 的值为（ ）
❑√x−5+(y+25) 2=0 √3 xy
A．﹣5 B．5 C．15 D．25
【变式2】若a，b为实数，且 ，则 的值为（ ）
❑√a+1+(9−b) 2=0 √3 a+b
A．﹣2 B．2 C．±2 D．3
1
【变式3】已知|b+2|+❑√a−b−5=0，则 ab3的立方根为（ ）
3
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【变式4】已知x=❑√2，如果a是x2+223的算术平方根，2b﹣1是x2+25的立方根，则|x﹣a﹣b|+x的值为（
）
A．﹣17 B．17 C．﹣19 D．19
【必考点3 根据立方根的性质求值】
【例1】已知√3 x−1=x﹣1，则x2+x的值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6
【例2】已知√32a−8+√35−3b=0，则❑√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【变式1】若 ，则x的值为 ．
√3 1−x2=1−x2
x
【变式2】若非零实数x，y满足√3 y−2x+√3 x−3 y=0，则 = ．
y
【变式 3】一个正数 a 的两个平方根分别是 2x﹣3 和 1﹣x，且√31−2b+√33b−5=0，则 x＝ ，
❑√a+2b= ．【知识点2 开立方】
求一个数的立方根的运算，叫作开立方.
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的立
方根.
【必考点4 运用开立方解方程】
【例1】解方程：﹣8（1﹣2x）3＝27．
1 3 1
【变式1】求下列式子中x的值：(x− ) =− ．
2 125
【变式2】解下列方程（组）：
（1）（2x+3）2＝（﹣3）2；
1
（2）8(1−x) 3− =0．
27
【变式3】解方程：
（1）4（2﹣x）2＝9；
1
（2） (2x+2) 3+13=45．
2
【变式4】求x的值：
（1） ；
(2x−1) 2=❑√16
（2）8（x3+1）+56＝0．
【必考点5 立方根小数点移动规律】
【例1】已知√3 0.214≈0.5981，√32.14≈1.289，√321.4≈2.776，则√321400≈ ．
【变式1】已知√3−1285≈−10.87，√312850≈23.42，√3 a≈1.087，√312.85≈b，则a＝ ，b＝
．
【变式2】观察：观察❑√5≈2.236，❑√50≈7.071，√36.137≈1.8308，√36137≈18.308；填空：
①则❑√0.5≈ ．
②若√3 x≈−0.18308，则x≈ ．
【变式3】若√3−0.214=−0.5981，√3 x=0.5981，则x的值是（ ）
A．0.5981 B．±0.5981 C．0.214 D．±0.214
【变式4】已知√36=a，则√3 0.006+√36000=（ ）
A．0.1a B．a C．1.1a D．10.1a【必考点6 立方根的实际应用】
【例1】如图，是一块体积为216立方厘米的正方体铁块．
（1）求出这个铁块的棱长．
（2）现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成一个体积为16立方厘米的正方体和一个长方体，这个长
方体的高为8厘米、底面是边长为a厘米的正方形，求这个正方形的边长a．
【变式1】张老师要求每名同学制作一个正方体盒子，制作完后小丽对小宇说：“我制作的盒子的表面积
是96cm2，你的呢？”小宇低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子
比你的盒子的体积大279cm3，你能算出它的表面积吗？”小丽思考了一会儿，顺利得到了答案，同学
们，你能算出来吗？
【变式2】已知甲正方体纸盒的底面积为25cm2，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大387cm3，
1
丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的 ．
8
（1）求乙正方体纸盒的体积．
（2）求丙正方体纸盒的棱长．
【变式3】如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的
钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm， 取3.14，√36280≈18.45，√33140≈14.64）
π
【必考点7 推算大数的立方根】
【例1】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老
师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由103＝1000，1003＝1000000，能确定√374088是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为23＝8，能确定√374088的个位上的数是2；③如果划去74088后面的三位088得到数74，而43＝64，53＝125，由此能确定√374088的十位上的数
是4．
（提示：63＝216，73＝343，83＝512，93＝729）
已知√3 493039为整数，请利用以上方法，则√3 493039的每位数上的数字之和为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．19
【变式1】按照下面分析，解答问题：
①因为103＝1000，1003＝1000000，所以可确定√319683是两位数；
②因为19683的个位上的数是3，所以可确定√319683的个位上的数是7；
③因为划去19683后面的三位683得到19，而23＝8，33＝27，所以可确定√319683的十位上的数是2，
所以√319683=27．
（1）√359319是 位数；
（2）√359319= ．
【变式2】【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道
智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵√31000=10，√31000000=100，1000＜59319＜1000000，
∴10＜√359319＜100．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，93＝729，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而√327＜√359＜√364，则3＜√359＜4，可得30＜√359319＜40，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：√30.531441= ．
【变式3】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求
59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①：√31000=10，√31000000=100，又∵1000＜59319＜100000，
∴10＜√359319＜100，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又∵93＝729，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59，而√327＜√359＜√364，则3＜√359＜4，可得
30＜√359319＜40，由此能确定59319的立方根的十位数是3．因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数17576，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数；
②它的立方根的个位数是 ；
③它的立方根的十位数是 ；
④17576的立方根是 ．
（2）根据计算步骤，请计算√3 474552，并书写详细过程．
