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第九章专项训练 平面直角坐标系中的平移问题
一．选择题
1．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最
后所得点的坐标是（ ）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
【分析】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点（m，n）先向右平移 2个单位，再向上平移 1个单位，最后所得点的坐标是
（m+2，n+1），
故选：D．
【点评】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．
2．（2023•杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点
B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），
再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解答】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．
∴点B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，
下移减．
3．如图，三架飞机A，B，C保持编队飞行（即在同一平面内，三架飞机相对距离保持不变）．某时刻在
坐标系中的坐标分别为（1，﹣1），（3，﹣1），（2，﹣3）．不久后，飞机A飞到A′（﹣3，4）
位置，则飞机B的位置B′为（ ）A．（2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）
【分析】直接利用A点平移规律进而得出B点平移后位置，即可得出答案．
【解答】解：∵A（1，﹣1），A′（﹣3，4），
∴A′向左平移4个单位，向上平移5个单位长度，
∵B（3，﹣1），
∴B′（﹣1，4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出平移规律是解题关键．
4．在直角坐标系中，把点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，恰好与原点重合，则
m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），根据平移后
恰好与原点重合，即可求出m的值．
【解答】解：∵点P（m，n）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得（m﹣2，n+3），且恰
好与原点重合，
∴m﹣2＝0，
∴m＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上
移加，下移减．
5．（2022•赤峰）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
【分析】根据点的平移规律，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：点A的对应点A′的坐标是（﹣1，3），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．
二．填空题
6．在平面直角坐标系中，将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为 （ 3 ， 4 ） ．
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【解答】解：将点A（1，1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，
则点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）．
故答案为：（3，4）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐
标上移加，下移减．
7．（2024•淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到
线段CD．若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 （ 3 ， 4 ） ．
【分析】由题意知，线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，结合平移
的性质可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，1）的对应点是C（1，2），
∴线段AB向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到线段CD，
∴点B（﹣1，3）的对应点D的坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
8．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣
1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是
（ 1 ，﹣ 3 ） ．
【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．
【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，
再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），
即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查平移的知识，根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键．
9．已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为 （ 3 ， 0 ） ．
【分析】根据横轴上的点，纵坐标为零，纵轴上的点，横坐标为零可得 a、b的值，然后再根据点的平
移方法可得C平移后的坐标．
【解答】解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，
∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，以及坐标轴上点的坐标特点，关键是掌握点的
坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
10．在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的
值为 1 5 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），
∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，
∴a+2b＝6，
∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律，代数式求值，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，
左移减；纵坐标上移加，下移减．
11．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形
1
OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为 （ 1 ， 3 ） ．
21
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，
2
再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC＝OA＝2，C（0，2），
1
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上
2
平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移
相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．理解将正方形
1
OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单
2
位是解题的关键．
12．如图，点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴上，把线段AB沿x轴向右平移得到CD，若四边形
3 1
ABDC的面积为 ，则点C的坐标为 （ ， 1 ） ．
2 2
【分析】根据平移的性质得出四边形ABDC是平行四边形，从而得A和C的纵坐标相同，根据四边形
ABDC的面积求得AC的长，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵线段AB沿x轴向右平移得到CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC＝BD，A和C的纵坐标相同，3
∵四边形ABDC的面积为 ，点A的坐标为（﹣1，1），
2
3
∴AC×1= ，
2
3
∴AC= ，
2
3 1
∴C（﹣1+ ，1），即（ ，1）．
2 2
1
故答案为：（ ，1）．
2
【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是
解题的关键．
13．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条
坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （ 0 ， 3 ）或（﹣ 4 ， 0 ） ．
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′
在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
【点评】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平
移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
三．解答题
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，﹣1），B（4，3），C（1，2）．将
△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A B C ．
1 1 1
（1）请在图中画出△A B C ；
1 1 1
（2）写出平移后的△A B C 三个顶点的坐标；
1 1 1
A （ ﹣ 2 ， ﹣ 3 ）
1
B （ 0 ， 1 ）
1
C （ ﹣ 3 ， 0 ）
1
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出对应点坐标；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）A （﹣2，﹣3），B （0，1），C （﹣3，0）；
1 1 1
故答案为：﹣2，﹣3；0，1；﹣3，0．
（3）如图可得：
S△ABC ＝S长方形EFGB ﹣S△BEC ﹣S△CFA ﹣S△AGB1 1 1
＝BE•EF− EB•CE− CF•FA− AG•BG
2 2 2
1 1 1
＝3×4− ×3×1− ×3×1− ×2×4
2 2 2
＝5．
【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为
（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 右 平移 3 个单位长度，再向 上 平移 5 个单位长
度；
②点B的坐标为 （ 6 ， 3 ） ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离，据此可得点 N的对应点B的坐
标；
（2）割补法求解可得．【解答】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；
②点B的坐标为（6，3），
故答案为：右、3、上、5、（6，3）；
1 1 1
（2）如图，S△ABC ＝6×4− ×4×4− ×2×3− ×6×1＝10．
2 2 2
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换，熟练掌握平移变换的定义及其性质是解题的关键．
16．如图，在长方形网格中，右边的箭头是由左边的箭头经过某种变换后得到的．如果已知点 A的坐标
为（﹣4，1），点E 的坐标为（1，﹣2）．
1
（1）请你在图中建立适当的平面直角坐标系；
（2）在下表中填写各点的坐标（其中M、N是左右两箭头中的任意一对对应点）；
左箭头中点 A B C D E F G M
坐标 （-4，1） （x，y）
右箭头中点 A B C D E F G N
1 1 1 1 1 1 1
坐标 （1，-
2）
（3）请你将左箭头向右平移，使A与A 重合，在下图中画出图形．仔细观察后，直接写出此时两个
1
箭头重合部分的面积．【分析】（1）根据已知点的坐标建立平面直角坐标系；
（2）根据各点在坐标系的位置填表；
（3）相当于将左图向右平移8个单位，再计算重叠部分面积．
【解答】解：（1）根据已知点的坐标建立直角坐标系，如图；
（2）填表，如图；
左箭头中点 A B C D E F G M
坐标 （-4，1） （-5，- （-4，- （-4，- （-1，- （-1， （-4，0） （x，y）
1） 3） 2） 2） 0）
右箭头中点 A B C D E F G N
1 1 1 1 1 1 1
坐标 （4，1） （5，-1） （4，-3） （4，- （1，-2） （1，0） （4，0） （-x，
2） y）
（3）画图如右，重合部分面积为3．【点评】已知点的坐标，可确定平面直角坐标系，根据坐标系写出点的坐标，发现关于 y轴对称的两
个箭头对应点横坐标互为相反数，纵坐标相等，同时考查了平移的知识．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别
向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC ；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB ＝S四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P的
坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下
列结论：
∠DCP+∠BOP ∠DCP+∠CPO
① 的值不变，② 的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你
∠CPO ∠BOP
找出这个结论并求其值．
【分析】（1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标，根据：四边形ABDC的面积＝AB×OC求解；
1
（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S△PAB = ×AB×h，根据S△PAB ＝S四边形ABDC ，列方程求h的值，
2
确定P点坐标；
（3）结论①正确，过 P 点作 PE∥AB 交 OC 与 E 点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，故比值为1．
【解答】解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四边形ABDC ＝AB×OC＝4×2＝8；
（2）存在．
设点P到AB的距离为h，
1
S△PAB = ×AB×h＝2h，
2
由S△PAB ＝S四边形ABDC ，得2h＝8，解得h＝4，
∴P（0，4）或（0，﹣4）；
（3）结论①正确，
过P点作PE∥AB交OC与E点，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，
∠DCP+∠BOP
∴ =1．
∠CPO
【点评】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、
平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．
