文档内容
专题 01 二次根式化简常考压轴（四大类型）
专题分析
本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学
习的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础，并为学习高
中数学中的不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备。
【类型一】利用数轴化简根式】
【类型二】含字母的二次根式化简 (注意范围)】
【类型三】双重二次根式化简
【类型四】二次根式有意义的条件
【类型一：利用数轴化简根式 】
【 典 例 1 】 已 知 ， 如 图 所 示 ， 实 数 a 、 b 、 c 在 数 轴 上 的 位 置 ． 化 简 ：
．
【答案】a﹣2c．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴
＝a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（b+c）
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【 变 式 1-1 】 已 知 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 ， 则 化 简 ：，得（ ）
A．﹣3a B．﹣a+2b C．﹣2a D．a﹣b
【答案】A
【解答】解：由题意得：b＜0，a＞0，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）﹣a
＝﹣a﹣b﹣a+b﹣a
＝﹣3a．
故选：A．
【变式1-2】已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： ．
【答案】﹣c．
【解答】解：由数轴可知，
c＜b＜0＜a，且|c|＞|b|＞|a|，
原式＝（﹣b）﹣（a﹣b）+a﹣c＝﹣b﹣a+b+a﹣c＝﹣c．
【变式1-3】已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： + ﹣|
a﹣b|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＜﹣1，b＞1，a＜b
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）
＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b
＝﹣2
【 变 式 1-4 】 已 知 实 数 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 所 示 ， 化 简．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由数轴可得：
a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
故原式＝﹣a+（a+b）+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a．
【类型二：含字母的二次根式化简 (注意范围) 】
【典例2】化简﹣x 的结果是（ ）
A． B．﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣x
＝﹣x•
＝﹣x•
＝ ，
故选：A．
【变式2-1】已知a＞b，则 的化简结果是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：由题意得： ≥0，
∵a＞b，
∴（b﹣a）2＞0，
∴a＜0．∴原式＝ × ＝ ×
＝
＝
＝﹣ ．
故选：D．
【变式2-2】化简 的结果正确的是（ ）
A．2m2 B．﹣2m2 C．﹣2m2﹣ D．2m2
【答案】D
【解答】解：∵﹣4m2n≥0，而m2≥0，
∴n≤0，
∴ ＝|2m2| ＝2m2 ，
故选：D．
【变式2-3】化简 ﹣a 的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【答案】C
【解答】解： ﹣a
＝﹣a ﹣a2•
＝﹣a +a
＝0．
故选：C．
【变式2-4】化简二次根式 的正确结果是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，
∴x＜0，
∴原式＝
＝ •|x|
＝ •（﹣x）
＝﹣ ．
故选：D．
【类型三：双重二次根式化简 】
【典例3】材料：如何将双重二次根式 （a＞0，b＞0，a±2 ＞0）化简呢？如
能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（ ）2+（ ）2＝a，即m+n＝a，且使
＝ ，即m•n＝b，那么 ＝（ ）2+（ ）2±2 ＝（ ±
）2∴ ＝ ，双重二次根式得以化简．
例如化简： 因为 3＝1+2 且 2＝1×2∴3±2 ＝（ ）2+（ ）2±2 ×
＝|1± |．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到m，n（m＞
0，n＞0）使得m+n＝a，且m•n＝b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次
根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： ＝ ± ， ＝ ± ；（2）化简： ；
（3）计算： + ．
【答案】（1） ± ， ± ；
（2） ± ；
（3） 或 ．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） ＝ ＝ ± ， ＝
＝ ± ，
故答案为： ± ， ± ；
（2） ＝ ＝ ＝ ± ；
（3） +
＝ +
＝ +
＝ ﹣ + +
＝ ，
同理可得 + ＝ ．
【变式3-1】阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小李同学进行了以下探索：设 （ 其 中 a 、 b 、 m 、 n 均 为 整 数 ） ， 则 有
．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别
表示a、b，得：a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简： ．
【答案】（1）m2+3n2，2mn；
（2）a＝13或a＝7；
（3）1+2 ．
【解答】解：（1） ＝m2+3n2+2 mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
古答案为：m2+3n2，2mn；
（2） ，
由（1）可知a＝m2+3n2，4＝2mn，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或a＝7；
（3）
＝
＝1+2 ．【变式3-2】【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个
式子的平方，如：
；
+2×1× ＝（1+ ）2．
【类比归纳】
（1）请你仿照小明的方法将7+2 化成另一个式子的平方；
（2）请运用小明的方法化简； ．
【变式探究】
（3）若a+2 ＝ ，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】（1）（ ）2；
（2）3﹣ ；
（3）a＝10或22．
【解答】解：（1）7+2
＝（2+5）+2
＝（ ）2+（ ）2+2
＝（ ）2；
（2）
＝
＝
＝3﹣ ；（3）∵a+2 ＝ ，a，m，n均为正整数，
∴a+2 ＝（ ）2，a+2× ×1＝（ ）2，
∴m＝3，n＝7或m＝21，n＝1，
∴a＝3+7＝10或a＝21+1＝22．
【变式3-3】先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，使得
＝ m ， ， 那 么 便 有 ：
（a＞b）．
例如：化简 ：
解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：
＝ 7 ， ， 所 以
．
问题：
（1）填空： ＝ ， ＝ ；
（2）化简： （请写出计算过程）；
（3）化简： ．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3） ．
【解答】解：（1）原式＝
＝＝ ；
原式＝
＝
＝ ；
故答案为： ； ；
（2）原式＝
＝
＝ ；
（3）原式＝ + + + +
＝ 1+ +2﹣ + ﹣2+
＝ ﹣1．
【类型四：二次根式有意义的条件】
【典例4】已知x，y为实数，y＝ ，求xy的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，得
， ≥0，且x﹣2≠0
解得x＝﹣2，y＝﹣
xy＝ ，
xy的平方根是
【变式4-1】已知y＝ ﹣ +9x，求 的平方根．
【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，1﹣3x≥0，
解得，x＝ ，
则y＝3，
＝2，
则 的平方根是± ．
【变式4-2】已知 +2 ＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知a﹣17≥0，17﹣a≥0，
则a﹣17＝0，
解得：a＝17；
（2）由（1）可知a＝17，
则b+8＝0，
解得：b＝﹣8，
故a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则a2﹣b2的平方根为：± ＝±15．
【变式4-3】已知x满足|2015﹣x|+ ＝x，求x﹣20152的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣2016≥0，
解得，x≥2016，
则x﹣2015+ ＝x，
∴ ＝2015，
解得x＝20152+2016，
则x﹣20152＝2016．1．若2＜a＜3，则 等于（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
【答案】C
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C
2．把 a 中根号外面的因式移到根号内的结果是 ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝﹣ ＝﹣ ，
故答案为：﹣
3．若|2017﹣m|+ ＝m，则m﹣20172＝ 201 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵|2017﹣m|+ ＝m，
∴m﹣2018≥0，
m≥2018，
由题意，得m﹣2017+ ＝m．
化简，得 ＝2017，
平方，得m﹣2018＝20172，
m﹣20172＝2018．
故答案为：2018．4．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简： ﹣ +|b+c|+|a﹣
c|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a﹣c＜0，
则原式＝|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|＝﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c＝﹣a．
5．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如： ，善于思考的康康进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为正整数），
则有 （有理数和无理数分别对应相等），
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样康康就找到了一种把式子 化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含c、d的式子分别表
示a、b，得：a＝ c 2 + 3 d 2 ，b＝ 2 c d ；
（2）若 ，且e、f均为正整数，试化简： ；
（3）化简： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵ ，
∴a＝c2+3d2，b＝2cd．
故答案为：c2+3d2，2cd．
（2）∵ ，
∴ ．（3）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝ ．
6．有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn＝
，则a±2 将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使 得以化简．例
如，因为 5+2 ＝3+2+2 ＝（ ）2+（ ）2+2 × ＝（ + ）2，所以
＝ ＝ + ．
请仿照上面的例子化简下列根式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） +1；
（2） ﹣2．
【解答】解：（1）∵4+2 ＝（ ）2+12+2× ×1＝（ +1）2，∴ ＝ ＝| +1|＝ +1，
（2）∵9﹣4 ＝（ ）2+22﹣2× ×2＝（ ﹣2）2，
∴ ＝ ＝| ﹣2|＝ ﹣2．
7．x、y均为实数y＜ + + ，化简： ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得x≥1且x≤1，
所以，x＝1，
y＜ ，
所以， ＝ ＝﹣1．
8．若 ＝ • ，求（x+1） 的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ ＝ • ，
∴99﹣x≥0，x﹣99≥0，
解得：x＝99，
则原式＝（x+1） ＝ ＝ ＝10 ．
9．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（ ）2+
（ ）2＝m， • ＝ ，那么便有 ＝ ＝ ± （a＞
b），例如：化简 ．解：首先把 化为 ，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（ ）2+（ ）2＝7， • ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝2+ ．
由上述例题的方法化简：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1） ﹣ ；
（2） ﹣ ；
（3） ．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
（3） ＝ ＝ ．
10．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简 +|a+b|+| ﹣a|﹣
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由数轴可知a＜b＜0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，∵ ＞0，
∴ ﹣a＞0、b﹣ ＜0，
则原式＝|a|﹣（a+b）+ ﹣a﹣|b﹣ |
＝﹣a﹣a﹣b+ ﹣a+（b﹣ ）
＝﹣3a﹣b+ +b﹣
＝﹣3a．
11．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简 + ﹣ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0
∴
＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|
＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）+（c﹣a﹣b）
＝a+b+c+b+c﹣a+c﹣a﹣b
＝﹣a+b+3c
