文档内容
专题 01 绝对值与相反数重难点题型（十一大题型）
【题型01求一个数的绝对值】
【题型02 绝对值的意义】
【题型03 求一个数的相反数】
【题型04 化简多重符号】
【题型05 判断是否互为相反数】
【题型06 利用相反数的性质求字母参数的值】
【题型07 化简绝对值】
【题型08 绝对值非负性的应用】
【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】
【题型10 绝对值的其他应用】
【题型11 解绝对值的方程】
【题型01求一个数的绝对值】
1
1．− 的绝对值是（ ）
2024
1 1
A． B．− C．−2024 D．2024
2024 2024
【答案】A
【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．熟练掌握绝对值
的代数意义是解本题的关键．
| 1 ) 1
【详解】解： − = ，
2024 2024
故选：A．
2．下列四个数中，绝对值等于2的数是（ ）1 1
A． B．1 C．−2 D．−
2 2
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数
的绝对值等于它的相反数．求出各数的绝对值即可求解．
|1) 1
【详解】解：A． = ，故不符合题意；
2 2
B．|1)=1，故不符合题意；
C．|−2)=2，符合题意；
| 1) 1
D． − = ，故不符合题意；
2 2
故选C．
3．−(−3)的绝对值是
【答案】3
【分析】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．
利用绝对值的定义解题即可．
【详解】−(−3)=3，
3的绝对值是3．
故答案为：3．
【题型02 绝对值的意义】
4．下列数据，绝对值最大的是（ ）
A．−21℃ B．−9℃ C．6℃ D．−6℃
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较，求出每个数的绝对值是解题的关键．
分别求出每个数的绝对值，即可求解．
【详解】解：∵|−21)=21，|−9)=9，|6)=6，|−6)=−6，且21>9>6，
∴−21℃的绝对值最大．
故选：A
5．如果|a)=−a，下列成立的是（ ）
A．a>0 B．a<0 C．a>0或a=0 D．a<0或a=0【答案】D
【分析】本题考查了绝对值：若a>0，则| a| =a；若a=0，则| a| =0；若a<0，则| a| =−a．绝对
值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．据此进行解答
即可．
【详解】解：如果|a)=−a，即一个数的绝对值等于它的相反数，则a<0或a=0．
故选：D．
6．绝对值大于3且小于6的整数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】此题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值，根据绝
对值的概念得到绝对值大于3小于6的整数即可
【详解】解：绝对值大于3且小于6的整数有±4，±5，共4个，
故选：A
7．若a=4，| b| =3，且ab<0，则a+b= ．
【答案】1
【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键．
由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵ab<0，a=4，| b| =3，
∴b=−3，
∴a+b=4−3=1．
故答案为：1．
8．绝对值不小于4且小于7的所有整数的和是 ．
【答案】0
【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．先列举出符合条件
的数，再求出各数的和即可．
【详解】解：∵绝对值不小于4但小于7的所有整数是：±4，±5，±6，
∴4−4+5−5+6−6=0．
故答案为：0．
9．|x−2)+|x+4)=6，则x的取值范围是 ．
【答案】−4≤x≤2/2≥x≥−4
【分析】本题考查了绝对值的几何意义，两点间距离，|x−2)+|x+4)=6可看作数轴到表示2与−4的点的距离等于6的点的集合．
【详解】解：由绝对值的意义可知：|x−2)+|x+4)=6表示数轴上某点到表示2与−4的点的距离等于
6的点的集合．
故此x的取值范围是：−4≤x≤2．
故答案为：−4≤x≤2．
10．|x−1)+|x−2)+|x−3)+|x−4)+|x−5)的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合图形解答即可求解，掌握数形结合思想
是解题的关键．
【详解】解：式子|x−1)+|x−2)+|x−3)+|x−4)+|x−5)表示x对应的点分别与到
1，2，3，4，5对应的点的距离和，可知当x在1和5的中点时，即x=3，距离和最小，最小值为
2+1+0+1+2=6，
故答案为：6．
【题型03 求一个数的相反数】
11．3的相反数是（ ）
1 1
A．3 B．−3 C． D．−
3 3
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的知识，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数互
为相反数．正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义，即可获
得答案．
【详解】解：3的相反数是−3．
故选：B．
12．如果a的相反数是8，则a的值为（ ）
1 1
A．−8 B．8 C． D．−
8 8
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解．【详解】解：由题意得，a=−8，
故选：A．
【题型04 化简多重符号】
13．化简−(−7)的结果是（ ）
1 1
A．7 B．−7 C． D．−
7 7
【答案】A
【分析】本题已考察相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据相反数的定义即可求得答案．
【详解】解：−(−7)=7，
故选：A．
14．−{−[−(+8)))化简得（ ）
1 1
A．8 B．−8 C． D．−
8 8
【答案】B
【分析】本题考查相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，如a的相反数是
−a，m+n的相反数是−(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用括号．解题的关
键是理解相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【详解】解：−{−[−(+8)))
=−(+8)
=−8，
故选：B．
15．已知m与n互为相反数，且m与n之间的距离为6，且m|c)>|a)，
∴①abc>0，故①不正确；
② ∵a−b+c>0，∴a+c>b，故②不正确；
|a) |b) |c)
③ + + =1−1−1=−1，故③正确；
a b c
④ |a−b)−|b−c)=a−b−(c−b)=a−b−c+b=a−c=|a−c)，故④正确；
因此，正确的是③④，有2个，
故选：B．26．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+1)−|b−a)的结果为（ ）
A．2a−b+1 B．−b+1 C．−b−1 D．−2a−b−1
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小
于右边的数，判断出a+1<0，b−a>0，然后去掉绝对值符号计算即可．
【详解】解：根据数轴上数的表示可知，a<−1<00，
∴原式=−a−1−b+a=−1−b，
故选：C．
|a) |b)
27．若ab≠0，那么 + 的取值不可能是（ ）
a b
A．−2 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，由ab≠0，可得：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，
④a<0，b>0；分别计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵ab≠0，
∴有四种情况：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，④a<0，b>0；
|a) |b) a b
①当a>0，b>0时， + = + =1+1=2；
a b a b
|a) |b) −a −b
②当a<0，b<0时， + = + =−1−1=−2；
a b a b
|a) |b) a −b
③当a>0，b<0时， + = + =1−1=0；
a b a b
|a) |b) −a b
④当a<0，b>0时， + = + =−1+1=0；
a b a b
|a) |b)
综上所述， + 的值为：±2或0．
a b
故选：C．
| abcd| |a) |b) |c) |d)
28．有理数a，b，c，d使 =−1，则 + + + 的最大值是 ．
abcd a b c d
【答案】2
【分析】根据绝对值的运用判断出有理数a，b，c，d中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题．
| abcd|
【详解】解：∵ =−1，
abcd
∴有理数a，b，c，d中负数为奇数个．
①若有理数a，b，c，d有一个负三个正，
| a| | b| | c| | d|
则 + + + =2；
a b c d
②若有理数a，b，c，d有三个负一个正，
| a| | b| | c| | d|
则 + + + =−2；
a b c d
| a| | b| | c| | d|
所以 + + + 的最大值是2．
a b c d
故答案为：2．
【题型08 绝对值非负性的应用】
29．若(x−2) 2 +|y+1)=0，则x+y等于（ ）
A．−3 B．−1 C．1 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入计算即可得解．
【详解】解：∵(x−2) 2 +|y+1)=0，
又∵(x−2) 2≥0，|y+1)≥0，
∴x−2=0，y+1=0，
∴x=2，y=−1，
∴x+y=2−1=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0求出x、y的值
是解题的关键．
30．已知|a−5)+|3−b)=0，则a−b= ．
【答案】2
【分析】根据绝对值具有非负性可得a−5=0，3−b=0，解出a、b的值，进而可得答案．【详解】解：∵|a−5)+|3−b)=0，
又∵|a−5)≥0，|3−b)≥0，
∴a−5=0，3−b=0，
解得：a=5，b=3，
则a−b=5−3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键
31．若(x−3) 2+| y+2| =0，则xy= ．
【答案】−6
【分析】根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0这两个非负数的值都为0”列出二元一次方程组，
从而求出x、y的值即可求解．
{x−3=0) { x=3 )
【详解】解：由题意得： ，解得 ，
y+2=0 y=−2
∴xy=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算
术平方根）当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0，根据这个结论可以求解这类题目．
32．若| a+1| +(b−1) 2=0，则a2019+b2020= ．
【答案】0
【分析】由绝对值和偶次方可知：|a+1)≥0，(b−1) 2≥0，因为|a+1)+(b−1) 2 =0，所以得到
|a+1)=0和(b−1) 2 =0，从而得到a和b的值，代入算式中即可得到结果．
【详解】∵|a+1)≥0，(b−1) 2≥0，|a+1)+(b−1) 2 =0，
∴|a+1)=0，(b−1) 2 =0，
解得：a=−1，b=1
∴a2019+b2020=(−1) 2019 +12020，
=−1+1，
=0，故答案为：0．
【点睛】此题考查了两个非负数和为零的问题，理解两个非负数和为零时两个非负数同时为零是解题
的关键．
33．若|a+2)+(3−b) 2 =0，则a+2b= ．
【答案】4
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得：a+2=0,3−b=0，
解得：a=−2,b=3，
∴a+2b=−2+2×3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式
都等于0列式是解题的关键．
【题型09 利用绝对值比较负有理数的大小】
1 3
34．有理数−2，− ，0， 中，绝对值最大的数是 .
2 2
【答案】−2
【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握绝对值的意义及正数比较大小的方法是解决本题的关键．
先计算给出数的绝对值，再比较绝对值得结论．
| 1) 1 |3) 3
【详解】解：|−2)=2， − = ，0的绝对值为0， = ，
2 2 2 2
1 3
0< < <2，
2 2
∵
绝对值最大的数为−2，
∴故答案为：−2．
35．绝对值不大于6的整数有 个．
【答案】13
【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键．
依次列出绝对值不大于6的整数即可解答．
【详解】解：绝对值不大于6的整数有：±6，±5，±4，±3，±2，±1，0．
绝对值不大于6的整数有13个．故答案为：13．
| 3)
36．用“>”或“<”连接|−3.5) −3 ．
5
【答案】<
【分析】本题考查绝对值、有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即
可．
| 3) 3
【详解】解：|−3.5)=3.5， −3 =3 =3.6，
5 5
∵3.5<3.6，
| 3)
∴|−3.5)<−3 ，
5
故答案为：<．
( 3)
37．比较大小：− −1 −|+1.35)．（填“<”、“>”或“=”）
5
【答案】>
【分析】此题考查了比较有理数大小，把两数化简后，根据正数大于负数即可得到答案．
( 3) 3
【详解】解：− −1 =1 ，−|+1.35)=−1.35
5 5
3
∵1 >−1.35，
5
( 3)
∴− −1 >−|+1.35)
5
故答案为：>
7 | 6)
38．比较大小：− − − ．
6 5
【答案】>
【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于
负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．
先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得．7 35 | 6) 6 36 35 36
【详解】解：因为− =− ，− − =− =− ， < ，
6 30 5 5 30 30 30
7 | 6)
所以− >− − ，
6 5
故答案为：>．
2
39．比较大小：−| −1 | −1.3（填“＜”，“＞”或“＝”）．
5
【答案】＜
【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负
数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键
先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可．
2 7
【详解】解：∵−| −1 | =− =−1.4，
5 5
而| −1.4| =1.4，| −1.3| =1.3，
又∵1.4>1.3，
2
∴−| −1 | <−1.3．
5
故答案为：＜．
【题型10 绝对值的其他应用】
40．如图所示，观察数轴，请回答：
(1)点C与点D的距离为 ，点B与点D的距离为 ；
(2)点B与点E的距离为 ，点A与点C的距离为 ；发现：在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，
则他们之间的距离可表示为MN= （用m，n表示）
【答案】(1)3，2
(2)4，7，|m−n)
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．
（1）直接根据数轴上两点间的距离进行计算即可．（2）根据数轴上两点间的距离进行计算，再进行规律总结，即可得到答案．
【详解】（1）解：点C与点D的距离为3−0=3，
点B与点D的距离为0−(−2)=2，
故答案为：3，2；
（2）解：点B与点E的距离为2−(−2)=4，点A与点C的距离为3−(−4)=7，
在数轴上，如果点M与点N分别表示数m，n，则他们之间的距离可表示为MN=|m−n)，
故答案为：4，7，|m−n)．
41．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和−3的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且−30则|x−1)+|x+3)=−x+1+x+3=4，
故答案为：4；
（4）由题意可知|x−1)表示数轴上x和1的两点之间的距离，|x−2)表示数轴上x和2的两点之间的
距离，|x+3)表示数轴上x和−3的两点之间的距离，
设点A表示的数为1，点B表示的数为2，点C表示的数为−3，点P表示的数为x，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC，
如图，当点P与点A重合时，PA=0，PB=1，PC=4，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC=5，此时x=1，
如图，当点P在AC之间（可与C重合，不与A重合），PA+PC=4，PB>1，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC>5，
如图，当点P在点C左侧时，PA+PC>4，PB>1，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC>5，
如图，当点P在AB之间（可与B重合，不与A重合），PA+PB=1，PC>4，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC>5，
如图，当点P在点B右侧时，PA+PB>1，PC>4，
则|x−1)+|x−2)+|x+3)=PA+PB+PC>5，
综上所述，当x=1时，|x−1)+|x−2)+|x+3)有最小值5，
故答案为：1，5．
1 1
42．若规定这样一种运算：a△b= (|a−b)+|a+b))，例如：2△3= ×(|2−3)+|2+3))=3.
2 2
(1)计算：(−2)△(−3)；
(2)记M=a△b，N=(−a)△(−b)，请探究M与N的大小关系.
【答案】(1)3(2)M=N
【分析】（1）利用公式代入计算即可；
（2）根据公式分别求出M及N，根据绝对值的性质判断M与N的关系．
1
【详解】（1）解：∵a△b= (|a−b)+|a+b))，
2
1
∴(−2)△(−3)= (|−2+3)+|−2−3))=3；
2
1
（2）∵a△b= (|a−b)+|a+b))，
2
1 1
∴M=a△b= (|a−b)+|a+b))，N=(−a)△(−b)= (|−a+b)+|−a−b))，
2 2
∵|a−b)=|b−a),|a+b)=|−a−b)，
∴M=N．
【点睛】此题考查了新定义计算，绝对值的性质，正确理解新定义的计算公式是解题的关键．
43．数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为|2−3)=1，2与−3的距离
可表示为|2−(−3))
(1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 ；数轴上表示−3和−9的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是 ；如果|AB)=4，则x为 ；
(3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c)−|c+b)+|a−b)．
(4)当代数式|x+1)+|x−2)+|x−3)取最小值时，x的值为 ．
【答案】(1)5，6
(2)|x+2)，2或−6
(3)0
(4)2
【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用．
（1）根据题目所举例子进行计算即可；
（2）仿照题干所举例子进行解答即可；
（3）根据数轴可知a+c<0，c+b<0，a−b>0，然后根据绝对值的性质进行解答即可；（4）根据绝对值的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：8−3=5，−3−(−9)=6．
故答案为：5，6；
（2）解：数轴上表示x和−4的两点A和B之间的距离是|x−(−2))=|x+2)，
|x+2)=4，则x+2=4或x+2=−4，
即x=2或−6．
故答案为：|x+2)，2或−6；
（3）解：由数轴可知，a+c<0，c+b<0，a−b>0，
则||a+c)−|c+b)+|a−b)
=−(a+c)+(c+b)+(a−b)
=−a−c+c+b+a−b
=0；
（4）解：代数式|x+1)+|x−2)+|x−3)的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示−1，2，3的三点
的距离之和，
显然只有当x=2时，距离之和才是最小，
则|x+1)+|x−2)+|x−3)取最小值时，x的值为2；
故答案为：2．
44．阅读与理解：
数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，
|x−2)表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，
|x−1)+|x+2)可理解为在数轴上x对应的点分别到1和−2所对应的点的距离之和．
【举一反三】
（1）|x−4)可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离；
【问题解决】
（2）请你结合数轴探究：|x−4)+|x+2)的最小值是________；
（3）若|x−4)+|x+2)=8，则x=_________；
【拓展应用】
（4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b)−|a−b)=_________．
【答案】（1）x，4；（2）6；（3）−3或5；（4）2a【分析】（1）依题意，|x−4)可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离，即可作答；
（2）对x的取值范围进行分类讨论，再比较，即可作答；
（3）结合（2）中的讨论过程，且|x−4)+|x+2)=8，即可作答
（4）由a，b两个数在数轴上的位置得a+b>0，a−b<0，再结合绝对值的性质进行化简作答即可．
【详解】解：（1）依题意，
∵|x−2)表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离
∴|x−4)可理解为x与4在数轴上所对应的两点之间的距离；
（2）当x<−2时，则|x−4)+|x+2)=−x+4−x−2=−2x+2>6，
当−2≤x≤4时，则|x−4)+|x+2)=−x+4+x+2=6，
当x>4时，则|x−4)+|x+2)=x−4+x+2=2x−2>6，
综上，|x−4)+|x+2)的最小值是6；
（3）结合（2）中的讨论过程，且|x−4)+|x+2)=8，
故当x<−2时，则|x−4)+|x+2)=−2x+2=8，即x=−3；
当x>4时，则|x−4)+|x+2)=2x−2=8，即即x=5
所以|x−4)+|x+2)=8，则x=−3或5；
（4）由a，b两个数在数轴上的位置得a+b>0，a−b<0，
那么|a+b)−|a−b)=a+b−(b−a)=a+b−b+a=2a．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离与绝对值，涉及绝对值的性质内容，正确掌握绝对值的性
质是解题的关键．
45．先阅读，并探究相关的问题：
【阅读】
|a−b)的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作AB=|a−b)，如|2−5)的几何
意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|6+3)可以看做|6−(−3))，几何意义可理解
为6与−3两数在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离可表示为____________；如果|AB)=5，求出x的值；
(2)探究：|x+4)+|x−3)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)|x+2)，x=3或−7
(2)存在，最小值是7【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义．
（1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可．
（2）分三种情况，当x<−4时，当x>3时和当−4≤x≤3时，按照绝对值的意义求解即可得出答案．
【详解】（1）解：|x−(−2))=|x+2)，
|AB)=5，
∵|x+2)=5，
∴解得：x=3或者x=−7．，
故答案为：|x+2)
（2）存在，最小值是7
理由如下：
当x<−4时，
|x+4)+|x−3)=−x−4+3−x=−2x−1>7，
当x>3时，
|x+4)+|x−3)=x+4+x−3=2x+1>7，
当−4≤x≤3时，
|x+4)+|x−3)=x+4+3−x=7，
|x+4)+|x−3)存在最小值，最小值为7．
46．∴阅读下列材料．
我们知道| x| =¿，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式，
如化简代数式| x+1| +| x−2|时可令x+1=0和x−2=0，分别求得x=−1，x=2（称−1与2分别为
| x+1|与| x−2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x=−1和x=2可将全体有理数分成不重复且
不遗漏的如下3种情况：
（1）当x<−1时，原式=−(x+1)−(x−2)=−2x+1；
（2）当−1≤x<2时，原式=x+1−(x−2)=3；
（3）当x≥2时，原式=x+1+x−2=2x−1；
综上，原式=¿．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)求出| x+2|和| x−4|的零点值；
(2)化简代数式| x+2| +| x−4|；
(3)对于任意有理数x，| x+2| +| x−4|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】(1)−2与4分别为| x+2|与| x−4|的零点值
(2)答案见解析
(3)有，6
【分析】（1）利用零点值的定义解答即可；
（2）利用题干【材料−】的方法解答即可；
（3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可．
本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，数轴，本题是阅读型题目，正确理解题干中的
方法和解题思想是解题的关键．
【详解】（1）解：令x+2=0和x−4=0，
求得x=−2，x=4，
∴−2与4分别为| x+2|与| x−4|的零点值．
（2）解：当x<−2时，原式=−(x+2)−(x−4)=−2x+2；
当−2≤x<4时，原式=x+2−(x−4)=6；
当x≥4时，原式=x+2+x−4=2x−2．
{−2x+2(x<−2)
)
∴| x+2| +| x−4| = 6(−2≤x<4) ；
2x−2(x≥4)
（3）解：有，理由如下：
由（2）得出：对于任意有理数x，| x+2| +| x−4|有最小值，最小值为6．
【题型11 解绝对值的方程】
47．若|−2x)=3，则x的值是（ ）
3 3 3 3
A． B．− 或1 C．1 D．− 或
2 2 2 2
【答案】D
【分析】本题考查解绝对值方程，由绝对值的定义可得−2x=±3，进而即可求解．
【详解】解：∵|−2x)=3，
∴−2x=3或−2x=−3，
3 3
∴x=− 或x= ．
2 2
故选：D
48．若x为实数，|x−2)=|x+3)，则x的绝对值为（ ）1 1
A．2 B．3 C． D．
2 3
【答案】C
【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义得一元一次方程是正确解决本题的关键．
根据绝对值的意义得两个一元一次方程分别求解即可．
【详解】解：由绝对值的意义得：x−2=x+3①，或x−2=−(x+3)②，
1
①，无解，解②得x=− ，
2
1
则x的绝对值为 ，
2
故答案为：C．
49．方程|2x−1)=7的解为（ ）
A．x=−3 B．x=4 C．x=4或x=−3 D．x=−4或x=3
【答案】C
【分析】由|2x−1)=7，得到2x+1=7或2x+1=−7，分别解一元一次方程，即可求解，
本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程．
【详解】解：∵|2x−1)=7，
∴2x+1=7或2x+1=−7，
解得：x=4或x=−3，
故选：C．
50．若|3x−5)=x+2，则x的值为（ ）
7 3 7 3 7 3 7 3
A． 或− B．− 或 C． 或 D．− 或−
2 4 2 4 2 4 2 4
【答案】C
【分析】本题考查了含有绝对值的方程．利用绝对值的意义可得3x−5=±(x+2)，解出x的值即可．
【详解】解：|3x−5)=x+2，
∴3x−5=±(x+2)，
7
当3x−5=x+2时，解得x= ，
2
3
当3x−5=−(x+2)时，解得x= ，
4
故选：C．
51．【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．
同时我们知道，数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为|x−y)．借助数轴解决下列问题：【概念理解】
（1）|x+3)表示数x和__________所对应的两点之间的距离：
（2）当x逐渐变大时，式子|x+1)+|x−3)的值如何变化？
【继续推理】
（3）若|x+1)+|x−3)=5，求x的值．
3
【答案】（1）−3；（2）先变小，然后不变，最后变大；（3）− 或3.5
2
【分析】本题考查绝对值的性质，绝对值的几何意义，绝对值方程．掌握绝对值的性质是解题关键．
（1）根据绝对值的几何意义解答即可；
（2）分类讨论：当x<−1时，当−1≤x≤3时和当x>3时，根据绝对值的性质化简判断即可；
（3）分类讨论：当x<−1时和当x>3时，结合（2）求解即可．
【详解】解：（1）因为数轴上表示x，y的数对应的两点之间的距离为|x−y)，
所以|x+3)表示数x和−3所对应的两点之间的距离，
故答案为：−3；
（2）当x<−1时，|x+1)+|x−3)=−x−1−x+3=−2x+2，
故当x增大时，|x+1)+|x−3)的值变小；
当−1≤x≤3时，|x+1)+|x−3)=x+1−x+3=4，
故当x增大时，|x+1)+|x−3)的值不变；
当x>3时，|x+1)+|x−3)=x+1+x−3=2x−2，
故当x增大时，|x+1)+|x−3)的值变大；
所以当x逐渐变大时，式子|x+1)+|x−3)的值先变小，然后不变，最后变大；
（3）由（2）得①当x<−1时，|x+1)+|x−3)=−2x+2=5，
3
解得x=− ；
2
②当x>3时，|x+1)+|x−3)=2x−2=5，
解得x=3.5，
3
所以x的值为− 或3.5．
2
