文档内容
专题 02 勾股定理（考题猜想，11 种高频易错重难点 92 题）
题型一：利用勾股定理求线段长（高频）
1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在 中， ， ．点 是 的中点，
点 是线段 上的动点，过点 作 交 于点 ．连结 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底
座的垂直高度 ，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度 ，且与摆锤在最低点时
的水平距离为 ，求钟摆 的长度．3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， 于点 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若点 是射线 上的一个动点，过点 作 于点 ．
①当点 在线段 上时，若 ，求 的长；
②设直线 交射线 于点 ，连接 ，若 ，求 的长．
4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）【阅读与应用】如图1已知平面内两点 、 ，过这两
点分别做垂直于 轴和 轴的虚线相交于点 ，则 间的距离为 ，则 ，同理
间的距离为 ，则 ，由勾股定理得： ，即：
，则平面内任意两点间的距离公式为 ．(1)如图2，已知点 、 ，试利用两点间的距离公式求 、 两点间的距离？
(2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么这个三角形的面积为
．这个公式叫“海伦公式”．
如图3，在（1）的条件下， 中， ， ， ，试利用“海伦公式”，求
的面积？
(3)如图4，在（2）的条件下．过点 作 ，垂足为 ，求线段 的长？
题型二：勾股定理与等腰三角形（高频）
5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中、 的垂直平分线分别交 于点E，F．若
是等边三角形， ．则 ．
6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在 中， ， ，点 是 边上一点，点 是 延长线上一点， ，连接 交 于点 ，点 是 的中点，过点 作
交 于点 ， ，则 ．
7．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在 中， 于点 ，点 在 上，连接
．若 , ， ，则 的长为 ．
8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在 中， ， ， ， 的
平分线交 于点 ，则 ．
题型三：勾股定理的逆定理（高频）
9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长为1，点 均
在格点上， 是 与网格线的交点，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末） 的三边分别为 ，下列条件不能使 为直角三角形
的是（ ）A． B．
C． D．
11．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在 中， ， 是 上一点，且 ，
．
(1)求 的度数．
(2)求 的长．
12．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，则 的度数为多少？
13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，已知 ， ， ， ，
．求图中阴影部分的面积．14．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在 中， ，D为 上一点，
．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)求 的周长．
15．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点 ，则由勾股定理可得，这两点间的距离
．
例如，如图1， ，则 ．
【直接应用】
(1)已知 ，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中， 与x轴正半轴的夹角是 ．
①求点B的坐标；
②试判断 的形状．题型四：勾股定理的证明方法（难点）
16．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不
一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的
六边形 由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形 的面积为14，
．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中 ，则四边形
的面积为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．4
17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如
图的大正方形 和小正方形 ．已知较长的直角边长为 ，较短的直角边长为 ，斜边长为 ，
利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程．
（2）如图2，在一条公路 的一侧有一村庄 ，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站 ，
使村庄 到停靠站 的距离最短．经测量 ， ．
①求停靠站 与 之间的距离停靠站 与 之间的距离；
②经测量发现停靠站 到村庄 和停靠站 的距离相等，求停靠站 到村庄 的距离．18．（24-25八年级上·河北保定·期末）我们学习了勾股定理，知道：在 中，如果 ，
， ， ，那么 ， ， 三者之间的数量关系是 ．
(1)探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作
《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．
（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为 和 ，斜边长为 ），请将
下面的证明过程补充完整：
证明： 小正方形的面积可以表示为 ；
小正方形的面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表
示）
______________________________
______________________________
(2)应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好
落于B处，已知 长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即 的长）．19．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅
五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为
5．上述记载表明：在 中，如果 ， ， ， ，那么a，
b，c，之间的数量关系是____．
对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等
的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面
的证明过程补充完整：
证明：∵
， ， ，
且 ______，
∴______ ______．
整理，得 ，
∴ ．
任务：(1)补全材料中的填空．
(2)如图3，在 中， 是边 上的高， ， ， ．设 ，求x的值．
20．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用
两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方
法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示
图中大正方形的面积．
方法1： _______；
方法2： ______．
根据以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两
种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图2中小正方形的面积．21．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知
直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理： ，得 ，则
，得到： ．
从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知 的三边长分别为 ，如何计算 的面积？据
记载，古人是这样计算的：作 边上的高 ．以 的长为斜边和直角边作 （如图3），
其中 ．
(1)用古人的方法计算 的值，完成下面的填空：
=[（__________） （__________） ]-[（__________） -（__________） ]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成 面积的计算过程；
(3)你还有其他计算 的面积的方法吗？写出解答过程．
22．（22-23八年级上·山东济宁·期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是 ，
如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为 ，由此得到：．
(1)如图2，正方形 是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对
图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足 ， ，求 的值．
(3)如图3，正方形 的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组
成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
题型五：利用勾股定理证明线段平方关系（难点）
23．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知 与 都是等腰直角三角形，其中
， 为 边上一点．
(1)试判断 与 的大小关系，并说明理由；
(2)试说明 三者之间的关系．
24．（22-23八年级上·山西忻州·期末）综合与实践
美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．(1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为
b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24， ，
求该飞镖状图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的
面积分别为 ，若 ，求 的值．
25．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在 中， ， ．点 、 在线段
上．
(1)如图1，如果 ，求证： ．
(2)如图2，如果 ，求证： ．
题型六：勾股定理与垂美四边形（易错）
26．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若 ， ，则 等于（ ）A．45 B．49 C．50 D．53
27．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所
示的“垂美”四边形 ，对角线 相交于点O，若 ，求 ．
28．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践
(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形
②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）；
(2)【概念理解】如图2，在四边形 中， ，问四边形 是垂美四边形吗？请
说明理由；
(3)【性质探究】如图1，垂美四边形 的两对角线交于点O，试探究 之间有怎样的
数量关系？写出你的猜想 ；
(4)【性质应用】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形
，连接 已知 ，则 长为 ．
29．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号）
(2)性质探究：如图1，四边形 的对角线 、 交于点O， ．试证明：
．
(3)解决问题：如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，
连接 、 、 ．已知 ， ，求 的长．
30．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组
的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究．
(1)【概念理解】如图2，在四边形 中， ， ，则四边形 ______（填“是”或
“不是”）垂美四边形．
(2)【性质探究】如图1，四边形 的对角线 交于点 ， ．小莹利用勾股定理的知识
探索出四边形 的四条边具有以下数量关系： ．请判断小莹的结论是否正确，
并说明理由．
(3)【问题解决】如图3，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作等腰直角三角形 和等腰
直角三角形 ，使得 ， ， ，连接 ，已知 ，
，请直接写出 的值．
31．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形 中，如果 ， ，那么四边形 是垂美四边形吗？
请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形 两组对边 ， 与 ， 之间有怎样的数量关系？写出你的
猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，已知 ， ， ， ，分别以 的边 和 向外作等腰
和等腰 ， ，连结 ，求 的长．题型七：勾股定理的实际应用（重点）
32．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图是某个楼梯的一部分，若 ， ， ，
一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为 尺的正方形，在水池正中
央有一根芦苇，它高出水面 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、
求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是 尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．C． D．
34．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是 和 ，
将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为 和 ，则铅笔的
长为（ ）
A． B． C． D．
35．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 ，底面
周长为 ，在容器内壁离容器底部 的 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点 处相对的玻璃杯外
壁，且距离容器顶部 的点 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ．
36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖 为长方
形， 分米， 分米，该管道底面是周长为 分米的圆，一只蚂蚁从点 爬过管道到达 ，需要
走的最短路程是 分米．
37．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测
温仪离地面的距离 米，当（身高 ）人体进入感应范围内时（即 米），测温仪自动显
示体温，则人头顶离测温仪的距离 的长为 米．38．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙
江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（ ），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（ ）
方向以 的速度向D移动在距离B地 的正北方有一A地，已知A地到 的距离 ，
那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？
39．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有
两条长度均为200米的通道 通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走
到公路l的距离最短，求新路 的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距
312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过 区间用时16秒，试判断该车是否超
速，并说明理由．40．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳
子另一端向右走，绳端从点 移动到点 ，同时小船从点 移动到点 ，且绳长始终保持不变，回答下列
问题：
(1)根据题意，可知 ________ （填“ ”“ ”“ ”）；
(2)若 米， 米， 米，求男孩需向右移动的距离 （结果保留根号）．
41．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的
北偏西 方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西 方向上，港口B与灯
塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港
口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行
安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
42．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图 ，有两棵树，一棵高 米（ 米），另一棵高 米（米），两树相距 米（ 米）．
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图 ，台风过后，高 米的树 在点 处折断，大树顶部落在点 处，则树 折断处 距离地面
多少米？
43．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆 的高度，同学们发现系在旗杆顶端
的绳子垂到地面多出一段的长度为 米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点 处，到旗杆底部 的
距离为 米．
(1)求旗杆 的高度；
(2)小明在 处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的 米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落
在点 处，问小明需要后退几米（即 的长）？（ ，结果保留 位小数）
44．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉
伸的绳子绕过定滑轮 ，一端拴在滑块 上，另一端拴在 的正下方物体 上，滑块 放置在水平地面的
直轨道上，通过滑块 的左右滑动来调节物体 的升降．实验初始状态如图1所示，物体 静止在直轨道
上，物体 到滑块 的水平距离 ，物体 到定滑轮 的垂直距离 ．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体 升高 ，求滑块 向左滑动的距离．
45．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷泉间
的距离 的长为 ．现要为喷泉铺设供水管道 ，供水点M在小路 上，供水点M到 的
距离 的长为 ， 的长为 ．
(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
(2)请求出喷泉B到小路 的最短距离．
46．（24-25八年级上·四川乐山·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社
会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生
劳动实践基地的四边形荒地．经测量， ， ， ，且 ．(1)试说明： ；
(2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植 花卉需要花费200元，则此块空地全部种植
花卉共需花费多少元？
47．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图， 两村庄相距3千米， 为供气站， 千米，
千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道．
方案一：从供气站 直接铺设管道分别到 村和 村；
方案二：过点 作 的垂线，垂足为点 ，先从 铺设管道到点 处，再从点 处分别向A、B两村铺
设．
(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明
48．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济
的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向 ，由点 飞向点
，已知点 为其中一个着火点，已知 ， ， ，飞机中心周围 以内
可以受到洒水影响．(1) 的度数为__________．
(2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点 的最短距离为__________ ．
(3)若该飞机的速度为 ，要想扑灭着火点 估计需要 秒，那么着火点 能否被该飞机扑灭？请你通
过计算说明．
49．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 ，较小的直角边长都为 ，斜边长
都为 ，大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ，由此推导出重要的勾股定理：如
果直角三角形两条直角边长为 ， ，斜边长为 ，则 .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， 与 按如图所示位置放置，连接CD，其
中 ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 ，河边原有两个取水点 ， ，其中 ，由于某种
原因，由 到 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 （ 、 、 在同
一条直线上），并新修一条路CH，且 .测得 千米， 千米，求新路CH比原路CA
少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 时， ， ， ， ，设 ，求 的值.题型八：勾股定理与全等三角形（难点）
50．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下
操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“ 型”；第二次操作，将这2
个“ 型”顶点 、 重合，并且使得 ， ， 三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，
将图2中的新图形放置在长方形纸片 中，此时发现，小正方形的顶点 、 、 、 都落在长方形
的各边上，若 ，则 ．
51．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边 中，点 在 的延长线上， ， ，点 在
直线 上，连接 ， ，当 时， 的长为 ．
52．（24-25八年级上·四川成都·期末）在 中， ， 的角平分线交 于点E，点D
为 中点，连接 ， ， ，则 ．
53．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在 中， ， 于点 ， 平分
，交 于点 ， 于点 ，交 于点 ．若 ， ，则 的长为
．54．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在 中， ， 于点D， 平分
，交 与点E， 于点F，且交 于点G，若 ， 则 的长为
．
55．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰直角 中， ，点D在边 （不含
A，C两点）上，连 ，以 为直角边向右侧作邻腰直角 ， ，连接 ．若 ，
，则线段 的长为 ．
56．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图， 是等边 的 边上的动点（不与点 重合），在
边上取点 ，使 ．连接 交于点 ．
(1)求证： ；
(2) 和 所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)设 的三边长分别为 ，试探究 之间有何数量关系？写出你的结论，
并证明．57．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在 中， ， 是 的角平分线．
(1)如图①，过点D作 交 于点G，求证： 是等腰三角形．
(2)如图②，若 ，求 的长．
题型九：勾股定理与折叠问题（易错）
58．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将
如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
59．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形 沿直线 折叠（点
在边 上），折叠后顶点 恰好落在边 上的点 处，若点 的坐标为 ，则点 的纵坐标为
（ ）A．2 B． C．3 D．
60．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图， ， ，将 沿 翻折，使得点C与点
B重合．若 ， ，则折痕 的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
61．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在 中， ，点 在边 上，连接 ，
将 沿着直线 翻折，点 恰好落在直线 上的点 处，若 ， ，则 的长为
．
62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在 中， ， ， ， 、 分别
是边 、 上的点，把 沿直线 折叠，顶点 的对应点 恰好落在 的中点，则 的长度
为 .
63．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在 中， ．点D是
边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作 交 于点E，将 沿直线 翻折，点B落在射线 上的点F处．当 为直角三角形时， 的长为 ．
64．（24-25八年级上·河南·期末）长方形 的 边在 轴上， 边在 轴上， ， ，
点 是直线 上的一个动点，若将 沿 折叠后，点 的对应点 落在了 轴上，则点 的坐标为
．
65．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在 中， ， ， ， M为
的中点，N为 边上一动点，连接 ，将 沿 折叠得到 ， 与 交于点P，连接
，若 是直角三角形，则 ．
66．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，四边形 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，
为原点，点 在 轴上，点 在 轴上， ， ，在 边上取一点 ，将纸片沿 翻折，
使点 落在 边上的点 处，求：
(1)线段 和 的长度；
(2)点 和点 的坐标．67．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在 中， ， ， ，D是边
上一动点，连接 ．将 沿着直线 翻折．使点B落到点 处，得到
(1)如图1，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，求 的长．
(2)如图2，当 时，求 的度数．
题型十：勾股定理与网格问题（重难点）
68．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称
为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形 中， 且
，那么四边形 就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在 的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形 是邻等四边形（点D
在格点上），则所有符合条件的点D共有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
69．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上， 为 的高，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
70．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，是L型网格，每个小正方形边长为1，点 、 、 、 是
小正方形顶点，若过点 的一条直线平分该L型网格的面积，并分别交边界 ， 于点 ， ，则：
（1）直线 ，直线 ，直线 三条直线中 平分该L型网格的面积；
（2）线段 的长为 ．
71．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点 ， ， 均
在格点上．若 于点 ，则线段 的长为
72．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度， 在平
面直角坐标系中的位置如图所示．(1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________．
(2) 的面积为________________．
(3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为
________．
73．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫
做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母）
(1)在图1的正方形网格中画出格点线段 ，并画出 的中点 ；（保留画图痕迹）
(2)在图2中画出格点 ，使 ， ， ；
(3)在（2）的条件下，直接写出 的面积________，点 到 的距离________．
74．（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形
网格中，每个小正方形的边长为1，四边形 的每一个顶点都在格点上，
(1)求 的度数；
(2)求格点四边形 的面积．
75．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践：构图法求三角形的面积．
【问题提出】 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求 的面积．【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （ 为底边， 为对应的高）求解，则
高 的计算较为复杂． 进一步观察发现 ， ， ，若
把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方
形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积
的方法称为“构图法”．
【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的 ， 为边向外
扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形
．
【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________．
【任务2】（2）已知 三边 、 、的长分别为 、 、 ，请利用图2的正方形
网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积．
【任务3】（3）若三角形花圃的边 、 、 ，求改造后的六边形花圃 的面
积．
76．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是 ，线段
的端点都在格点上，(1)在图中画出面积为 的等腰三角形 ，且以 为底，点 在格点上；
(2)在（ ）的图中画出以 为一腰的等腰三角形 ，且 ，点 在格点上．连接 ，直接写
出 的度数．
77．（23-24八年级下·山东临沂·期末）操作与探究
(1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边
的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程；
(2)已知，在 中， ， ， ， ．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，
证明： ．
78．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】(1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段 的长度
为 ，线段 的长度为 ．
①请结合图1，试说明 ；
②在图2中，请尝试构造三角形，比较 与 的大小；
③在图3中，请尝试构造四边形，比较 与 的大小；
【迁移运用】
(2)如图4，线段 ， 为线段 上的任意一点，设线段 ．则 是否有最
小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点 的位置；如果没有，请说
明理由．
题型十一：勾股定理与最值（难点）
79．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图， 中， ， ， ， 是线
段 上一个动点，以 为边在 外作等边 ．若 是 的中点，当 取最小值时，
的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
80．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中， ，点D是边 的中点， 的周
长为16， ，点M，N分别是 和 边上的动点，则 的最小值是（ ）A． B． C． D．4
81．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，等边 的边长为4， 是 边上的中线，点 是
边上的中点．如果点 是 上的动点，那么 的最小值为 ．
82．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
是 边上一点，连接 ，在 的左侧作等边 ，连接 ，则 周长的最小值为 ．
83．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，凸四边形 中， ， ．若 ，
，则对角线 的最大值为 ．
84．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系 中，平行于x轴的直线 ， 分别交
轴于 ， 两点．若 的三个顶点分别在 和 轴三条直线上，且满足 ，
，则线段 的最大值为 ；当点 在 轴上时，取 的中点 ，点 的坐标为 ，
连接 ，则 的最小值为 ．
85．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图， 为等边三角形， ，点 是 中点，点 分别是边 、 上的动点，且不与端点重合，作 和 的角平分线交于点 ，则 的最
小值为 ．
86．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在 中， ， ， ，M，
E分别是边 上两个动点，并满足 ，过点M作 交 于点F，点H在 内，且
， ．点G在 上运动，连接 ， ，当 的值最小时， 的长为 ．
87．（24-25八年级下·全国·期末）[问题提出]
（1）如图1，在 中， ， ，若 ，求 的长．
[问题解决]
（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场
．已知 ， ， 米，在对角线 上有一个凉亭 ，测得
米．按规划要求，需过凉亭 修建一条笔直的小路 ，使得点 ， 分别在边 ， 上，连
接 ， ，其中四边形 为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲
区（四边形 ）的最小面积．
88．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， ．点 从点
出发，沿边 以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，连接 ．设点 运动的时间为 秒（ ）．(1)求边 的长；
(2)当线段 的长取最小值时，求 的值；
(3)当 将 面积分成 两部分时，求 值；
(4)当 是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的 的值．
89．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化
用地（如图中的阴影部分所示）已知 ，技术人员通过测量确定了
．
(1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点 的小路，请问这条小路的最短长
度是多少m？
(2)这块绿化用地的面积是多少 ？
90．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ，点 从点 出发，沿折线
的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点 的运动时间为 秒 ．
【问题探究】
（1）当 时
①判断 的形状，并说出理由．
②点 在 边上运动，当 时，求 的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点 运动到 的角平分线上时， 的值为_____．
②如图，当点 运动到 边上时，过点 作 ，交边 于点 ，且 是以 为腰的等腰三
角形，那么 的长等于_____．【引发思考】
（3）如图3，以 为边，在 下方作等腰 ， ， 的最大值为_____．
91．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰 中， ，点D在 的延长线上，
(1)如图1，线段 上有一点G，连接 并延长至点E，使得 ，连接 和 ，若 ，
， ，求 的长；
(2)如图2，线段 上有一点G，连接 并延长至点E，连接 和 ，点F在 的延长线上，连接
，若 ， ， ，求证： ；
(3)如图3，点P是线段 上一动点，已知 ， ，连接 ，当 取最小
值时，直接写出 与 的面积之比．
92．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年
来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了
一个新的证法．
【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置， ，已知 ，
， ， ，试证明 ．【知识运用】
（2）如图2，铁路上 ， 两点（看作直线上的两点）相距24千米， ， 为两个村庄（看作两个点），
， ，垂足分别为 、 ， 千米， 千米，则两个村庄的距离为 千米
（直接填空）；
（3）在（2）的背景下，要在 上建造一个供应站 ，使得 ，求 的长．
（4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 ．
