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第三篇 思想方法篇
思想03 数形结合思想（练）
一、单选题
1．（2023秋·天津·高三统考期末）函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用 得解.
【详解】 ，令
，
则 是偶函数，选项A，B是不正确的；
又因为 ，所以C不正确.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 的部分图象如图，则 的解析式可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】对于A，根据 可知A不正确；对于C，利用导数可得 在 上单调递减，可知C不正
确；对于D，根据 为奇函数，可知D不正确.
【详解】对于A，因为 ，由图可知，A不正确；
对于C， ，令 ，
则 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 在 上恒成立，
所以当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减，所以排除C.
对于D， 的定义域为 ，关于原点对称，
， 为奇函数，其图象关于原点对称，由图可知，D不正确.
故选：B.
3．（河南省top20名校联盟2023届高三下学期2月联考理科数学试题）已知 ， ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析可得 ，设 ，其中 ，分析函数 的单调性，可得出结论.
【详解】解： ，则有 ，即 ．
因为 ， ，所以 ，
设 ，其中 ，
因为函数 、 在 上均为增函数，则函数 在 单调递增，则 ，即 ，
A对B错，其它选项无法判断.
故选：A．
4．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数 满足 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出 的解析式，在同一坐标系中作 ， ， ， 的图象，得到 ，借
助 的单调性进行判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
联立 ，得 ，在R上单调递减，
在同一坐标系中作 ， ， ， 的图象，如图，
所以 ，故 .
故选：B.5．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，P是椭圆上任意
一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与焦点间的最短距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意推出所以 ，即可确定Q的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，结合圆以及
椭圆的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意椭圆 可知 ，
如图所示，因为 是 的外角平分线， ，
设 交 的延长线于点E，
则 ，所以Q是线段 的中点，且 .
由椭圆定义可知 .连接 ，因为O为 的中点，所以 ，
所以Q的轨迹是以O为圆心，半径为4的圆，
所以当Q与椭圆的长轴的端点重合时到椭圆相应的焦点的距离最短，
故最短距离为 ，
故选：B.
6．（2023·全国·模拟预测）定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ．设
直线 与函数 的图象相交于点 ，记 ，则 （ ）．
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【分析】根据抽象函数 的奇偶性与对称性可得函数 的周期为 ，且 得图象关于 对称；作
出函数 的图象和直线 ，研究它们的交点情况，即可得结果.
【详解】因为 为定义在R上的奇函数，得 ．
由 ，得函数 的图象关于直线 对称，
则 ，所以 ，所以 ，即4为函数 的
一个周期．
又 ，且 ，故 ，所以函数 的图象关于点 对称．
在同一平面直角坐标系内作出 的图象与直线 ，如图所示，
由图可知它们共有11个不同的交点，且除交点 外，其余10个交点关于点 中心对称，不妨设 ，则 ，
所以 ， ，
所以 .
故选：C．
7．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）在平面直角坐标系中， 为原点，已知 ，
设动点 满足 ，动点 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得点 在圆 内部和圆周上，点 的轨迹是以 的直径的圆，延长 交圆
于点 ，设 的中点为 ， 的中点为 ，则 ，易得 ，再结
合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为 ，设动点 满足 ，
所以点 在圆 内部和圆周上，
因为动点 满足 ，
所以点 的轨迹是以 的直径的圆，
如图，延长 交圆 于点 ，设 的中点为 ， 的中点为 ，
则 ，
若点 在圆上时， 两点重合， 两点重合，
若点 在圆内时，则 ，所以 ，当且仅当点 在圆上时，取等号，
则 ，当且仅当 三点共线时，取等号，
因为 ，当且仅当 重合时，取等号，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，此时 ，
所以 ，当且仅当 三点共线且点 在圆 与 轴的交点处时，取等号，
所以 的最大值为 .
故选：C.
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆
锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出图形，设 ， ，由三角形相似得到 ，得到圆锥的表面积为
，令 ，由导函数得到当 时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时
与 ，作出圆锥的外接球，设外接球半径为 ，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.
【详解】设圆锥的顶点为 ，底面圆的圆心为 ，内切球圆心为 ，则 ， ，
因为 ⊥ ， ⊥ ，所以 ∽ ，则 ，
设 ， ，
故 ，由 得： ，
由 得： ，
故 ，所以 ， ，
解得： ，
所以圆锥的表面积为 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 时取得最小值， ，
此时 ， ，
设圆锥的外接球球心为 ，连接 ，设 ，则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，故其外接球的表面积为 .
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到
各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构
造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
二、多选题
9．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数 ，若关于x的方程
恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BCD
【分析】首先根据题意画出函数 的图象，结合图象可知：当 时，直线 与 的
图象有2个交点，当直线与曲线 相切在第一象限时，有2个交点，即可得到答案.【详解】函数 的图象，如图所示：
由题意知，直线 与 的图象有2个交点．
当直线 过点 时， ，
当直线 过点 时， ．
结合图象如图可知，当 时，直线 与 的图象有2个交点，
如图所示：
又当直线 与曲线 相切在第一象限时，
直线 与 的图象也有2个交点，如图所示：
，化简可得 ，由 ，得 ，
又由图可知 ，所以 ，此时切点的横坐标为2符合.
综上，实数a的取值范围是 .
故选：BCD．10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）如图，在正方体 中，E为棱 上的一个动点，F
为棱 上的一个动点，则直线 与平面EFB所成的角可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、直线与平面夹角的计算公式进行求解判断.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ， ， ，其中m， ，
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
设平面EFB的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ．设直线 与平面EFB所成的角为θ， ，
当 时， ，当 时， ，
该式随着m的增大而增大，随着n的增大而减小，当 ， 时， 取得最大值 ，所以
，
综上， 的取值范围是 ，所以 ，故CD错误.
故选：AB.
11．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点
在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，若 ，则（ ）
A． B．
C． 存在最大值 D． 的最大值为
【答案】AC
【分析】对于AB，将 分别用 表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对于A，因为 ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，
所以 ，
则 ，故A正确；
，
则
，故B错误；
如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，
则 ，
因为点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，
所以点 的轨迹方程为 ，且在 轴的下半部分，
设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，故D错误.
故选：AC.
12．（2023·吉林·统考二模）如图，函数 的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数 满足
有3个零点 ， ， ，且 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出 时， 才有三个零点；
对于选项B：根据解析式得出当 时， ，即可结合已知得出 根据单调性得出答
案；
对于选项C：令 ， ，根据导数得出其单调性与最值，即可得出 ，
即可结合已知得出 ，即可根据单调性得出答案；
对于选项D：根据已知得出 ，代入解析式转化得出 ，令 ，
， ，即可根据导数求出其最值，即可得出答案.
【详解】 ，
令 ，则 ；令 ，则 且 ；
的增区间为： ，减区间为： 与 ，
对于A选项： 且 有三个零点， ，即A选项正确；
对于B选项：当 时， ，即 ，，
，
在 上单调递减，
，即 ，即B选项错误；
对于C选项：令 ， .
，
在 上递减，即 .
，
，
.
，
，
又 在 上单调递增，
，即 ，即C选项正确；
对于D选项： ，
，即 ，
，
，，
令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上的最小值为 ，
故 ，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·河南郑州·统考一模）设函数 则满足 的x的取值范围是______．
【答案】
【分析】作出 图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数 的图象如图所示，满足 可得 或 .
解得 .
故答案为： .
14．（2023春·江苏苏州·高一常熟中学校考开学考试）已知函数 ，（1）当 时，
则实数a，b之间的大小关系是___________；（2）若 ，且 ，则 的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】（1）利用对数函数的单调性即可判断；
（2）画出函数图象，整理可得 ，构造函数 ，由对勾函数的性质求出 的取值范围.
【详解】 ， ， .
作出函数图象如图，
由图可知，当 时， ，
， ，即 .
令 ，由对勾函数的性质得 在 上单调递增. ，即 .故答案为： ； .
15．（福建省福州市八县（市）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题）如图，已知一酒杯的内壁是由
抛物线 旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A点，
当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A点，则p的取值范围为______ .
【答案】
【分析】根据题意分析可得：圆 与 只有一个交点 ，圆
与 只有两个交点，分别联立方程分析运算.
【详解】如图，由题意可得：
圆 与 只有一个交点 ，
联立方程 ，消去x得 ，解得 或 ，
故 ，则 ，
圆 与 只有两个交点，
联立方程 ，消去x得 ，
∵ ，可得若 有根，则两根同号，
根据题意可知： 有且仅有一个正根，故 ，则可得 ，解得 ，
综上所述： 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根
或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）在四面体ABCD中， ， ， ．若四面体
ABCD的体积为 ，则四面体ABCD外接球的表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】证明四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，设 的中心H．连接OH，
AH，设 ， ，根据四面体的体积得到 ，设四面体ABCD外接球O的半径为R，
求出 ，再利用导数求 的最值即得解.
【详解】由 ， 知，四面体ABCD外接球的球心O是AD的中点，连接OB，OC，则
．
因为 ，所以 为等边三角形，
所以 的外接圆的圆心为 的中心H．连接OH，AH，则 平面ABC．
设 ， ，则点D到平面ABC的距离为2h，
所以四面体ABCD的体积为 ，即 ， ．设四面体ABCD外接球O的半径为R，则 ，
即 ．
设 ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值，即最小值，所以当 时，R取得最小值，为 ，
所以四面体ABCD外接球O的表面积的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键有两个，其一是能准确求出四面体ABCD外接球的表面积的解析式，其二
是能利用导数求解函数的最值.
四、解答题
17．（2023·高三课时练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间，并指出其增减性；
(2)设集合 { 使方程 有四个不相等的实根}，求M.
【答案】(1) 的严格增区间为 和 ，严格减区间为 和
(2)【分析】(1)讨论 的正负,去掉绝对值,化简 的解析式,将 的图象位于 轴下方的
图象翻到 轴上方得到 的图象.
(2)方程 有四个不相等的实根等价于函数 的图象与直线 有四个不同的交点，观察图象得
的范围.
【详解】（1）由 得 ,由 得 ,
所以 作出 的图象如图所示.
由图象可知， 的严格增区间为 和 ，严格减区间为 和 .
（2）方程 有四个不相等的实根等价于函数 的图象与直线 有四个不同的交点，易知
f(2)=1,由图知 ，所以 .
18．（2022·河北·模拟预测）已知函数 ， ．(1)画出 和 的图象；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)画图见解析
(2) ， ，
【分析】（1）由分段函数的图象画法可得；
（2）考虑 的图象经过 ， ，结合图象平移可得结论．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
当 时， ，
当 时， .
故 ， ，
可得 ， 的图象如图：
（2）根据图象可知， 可以看成 经过左右平移得到的，当 的图象左支经过点 ，则有 恒成立，
可得 ，解得 或 ，
当 时，即 右平移一个单位， 不恒成立；
当 时，即 右平移至少三个单位， 恒成立，
当 的图象右支经过点 ，则有 恒成立，
可得 ，解得 或2，
当 时，即 不平移， 不恒成立；
当 时，即 左平移至少两个单位， 恒成立，
故 的取值范围是 .
19．（山东省日照市2023届高三一模考试数学试题）已知抛物线 ： 的焦点为 为 上的
动点， 垂直于动直线 ，垂足为 ，当 为等边三角形时，其面积为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为原点，过点 的直线 与 相切，且与椭圆 交于 两点，直线 与 交于点 ，试
问：是否存在 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正三角形得三角形的边长，再根据抛物线的定义进行求解；
（2）设 ，则 ，可得 ，由导数的几何意义可得 ，设 ， ，中点 ，由点差法可得 ， ，从而可以求出 .
【详解】（1）∵ 为等边三角形时，其面积为 ，
∴ ，解得 ，
根据 和抛物线的定义可知， 落在准线上，即 ，
设准线和 轴交点为 ，易证 ，于是 ，
∴ 的方程为 ；
（2）假设存在 ，使得 ，则 线为段 的中点，
设 ，依题意得 ，则 ，
由 可得 ，所以切线 的斜率为 ，
设 ， ，线段 的中点 ，
由 ，可得 ，
所以 ，整理可得： ，即 ，所以 ，
可得 ，又因为 ，
所以当 时， ，此时 三点共线，满足 为 的中点，
综上，存在 ，使得点 为 的中点恒成立， .
20．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线 于 两点， 为坐标原
点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点（ 在 轴的同
侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设 ， ，利用 三点共线 ，解得 ，再利用向量数
量积的坐标表示即可求解；
（2）设 ， ， ，根据题意可得 ，由此解出 与 ， 与 的关系，
进而得到直线 与直线 的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设 ， ，
因为 三点共线，所以 ,
所以 ，整理可得 ，
所以 ，所以 ．（2）设 ， ， ，
由题意 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 ．
因为 在 轴同侧，所以 ，同理可得 ，
所以直线 的方程为 ，同理 的方程为 ，
两式联立代入 ，可得 ，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为 ．
21．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且经过点(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作两直线与抛物线 （m>0）相切，且分别与椭圆C交于P，Q两点，直线 ， 的斜率分别
为 ，
①求证： 为定值；
②试问直线 是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②直线 恒过定点
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列方程求解 ，即可得椭圆 的方程；
（2）①设过 与抛物线 相切的直线方程为 （ ），联立直线与抛物线根据
得到关于切线斜率的一元二次方程，由韦达定理可求得 得值；②设直线 ： ， ，
，代入椭圆方程可得较短坐标关系，根据①中结论 或 ，从而判断直线所过定点，
即可得结论.【详解】（1）由题可得 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为
（2）①设过 与抛物线 相切的直线方程为 （ ），
消去y得： ，
，即
直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ， 是方程 的两根
， ，
消去m得：
②设直线 ： ， ， ，
，消去x得：
所以 ，
因为 ，所以 ，所以
整理得：即 ，所以 ．
所以 或 ，
当 时， ，PQ恒过定点 与A重合，舍去
当 时， PQ恒过定点
综上所述，直线PQ恒过定点 .
22．（2022秋·北京·高三北师大二附中校考开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若关于 的方程 恰有四个不同的解，求 的取值范围.
【答案】(1)1；
(2) .
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可；
（2）由题可得 有四个不同的解，构造函数 ，利用导数研究函数的性质，然后
利用数形结合即得.
（1）
当 时， ，
所以 ，
又 ，所以切线的斜率 ，
则切线方程为 ，
该切线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ；
（2）
由 可得，
，即 ，
令 ，则 ，
∴ 或 ，
设 ，则 ，
当 变化时， 变化如下，
0 2
0 0
极小值0
极大值
函数 的图象如图，要使方程 恰有四个不同的解，
因为 与函数 的图象有一个交点，则 与函数 的图象有三个交点，
∴ ，即 ，
∴ 的取值范围为 .
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极
值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构
造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；
③构造辅助函数研究.
