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专题 05 平行四边形六大模型
模型一：中点四边形 模型二：梯子模型
模型三：十字架 模型四：对角互补
模型五：半角模型 模型六：与正方形有关三垂线
模型一：中点四边形
中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。
结论 1: 点 M、N、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形 MNPQ 是平行四边形
结论 2: 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
结论 4: 对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形
【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则
四边形EFGH一定是（ ）A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
【变式1-1】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱
形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（ ）
A．互相平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直 D．相等
【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接
四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是
（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD
【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的
四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
模型二：梯子模型
如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中
点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。
模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连
接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。
即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值
模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动
时,点 B随之在 ON上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,
连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值
【典例2】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边
ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝
2．运动过程中点D到点O的最大距离是 ．【变式2-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在
x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 ．
【变式2-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，
已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是 ．
模型三：十字架
第一种情况：过顶点
在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE
（ASA）
所以AE=BF
第二种情况：不过顶点
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得
EG=FH也可以如下证明
在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得
EG=FH
【典例3】（2023春•商南县校级期末）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC
的中点，CE，DF相交于点G，连接AG，求证：
（1）CE⊥DF．
（2）∠AGE＝∠CDF．【变式3-1】（2023•黄石）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM＝
CN，AN与DM相交于点P．
（1）求证：△ABN≌△DAM；
（2）求∠APM的大小．
【变式3-2】（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公
共顶点A，连接BE，DG．
（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
（2）如图2，已知AB＝4， ，当点F在边AD上时，求BE的长．
【变式3-3】（2023春•滨州期末）已知ABCD是一个正方形花园．
（1）如图1，E、F是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条路BE和AF，问这两条路
等长吗？为什么？
（2）如图2，在正方形四边各开一个门E、F、G、H，并修建两条路EG和FH，使得
EG⊥FH，问这两条路等长吗？为什么？模型四：对角互补
对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与
120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明
两个三角形全等或者相似.
模型一：含90°的全等型
1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：
①CD＝CE，②OD＋OE＝ OC，③S=S+S= OC.
2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝ OC，③S-S= OC.
图1 图2 图3
模型二、：含60°与120°的全等型
如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：
①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S= OC.【典例4】在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关
系为 ；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明
理由；
（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面
积．
【变式4-1】如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A
在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．
（1）求点P的坐标．
（2）当∠APB绕点P旋转时，
①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
②请求出OA2+OB2的最小值．【变式4-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边
形”．
（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为
；
（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．
求证：AC平分∠BCD．
小云同学是这么做的：延长 CD 至 M，使得 DM ＝BC ，连 AM，可证明
△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以
知道CB、CD、CA三者关系为： ；
（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明：
①AC平分∠BCD；
②CA＝CB+CD；
（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则
BA、BC、BD三者关系为： ．
模型五：半角模型
（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A
作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.图示（1） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°
（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接
EF，则：EF=DF-BE.
图示（2） 作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°
【典例5】已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别
交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关
系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关
系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．
（可利用（2）得到的结论）【变式5-1】（2022春•西山区校级月考）如图，已知正方形 ABCD，点E、F分别是AB、
BC边上，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的边长为5，AE＝2时，求EF的长？
【变式5-2】（2022春•路北区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，
AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到
△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的长为 ．【变式5-3】（2022秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点
构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF＝45°，AE、AF与BC、CD边分别交
于E、F两点．易证得EF＝BE+FD．
大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，由∠HBE＝
180°可得H、B、E三点共线，∠HAE＝∠EAF＝45°，进而可证明△AEH≌△AEF，故
EF＝BE+DF．
任务：
如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A为顶点的
∠EAF＝60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点．请参照阅读材料中的解题方
法，你认为结论EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请
说明理由．模型六：与正方形有关三垂线
【典例6】（2023春•中山市校级期中）如图①，正方形ABCD中，E是BC的中点，
∠AEF＝90°，EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，
（1）求证AE＝EF；
（2）当E为BC延长线上一点，其余条件不变，请在图②中画出图形，猜想（1）中结
论是否仍然成立？并说明理由．
【变式6-1】（2022秋•宿城区校级期末）如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x
轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，连
接BD、BE、ED．
（1）求点B的坐标；
（2）判断△BED的形状，并证明你的结论．【变式6-2】（2023春•围场县期末）如图所示，在正方形ABCD中，AB＝4，点E为边BC
的中点，F为CD边上一动点，满足∠AEF＝90°．
（1）求CF的长．
（2）求△AEF的面积．
【变式6-3】（2023春•河东区期中）如图：四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，
∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）连接AF，判断△AEF的形状，并证明；
（2）若AB＝4，求△AEF的面积；
（3）连接AC，求 的值．
1．（2023•商丘模拟）一个四边形四边中点的连线所构成的中点四边形是菱形，那么这个
原四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．对角线相等
2.（2023春•路北区期末）顺次连接矩形各边中点，所得图形的对角线一定满足（ ）
A．互相平分． B．互相平分且相等
C．互相垂直． D．互相平分且垂直3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A
在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是
．
4．（2023秋•龙口市期末）如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别在直线AB，AD上，
且∠ECF＝45°，连接EF．
（1）当E，F分别在边AB，AD上时，如图1．请探究线段EF，BE，DF之间的数量关
系，并写出证明过程；
（2）当E，F分别在BA，AD的延长线上时，如图2．试探究线段EF，BE，DF之间的
数量关系，并证明．
5．（2023•天心区校级三模）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B
点作BG⊥AE，垂足为点G，延长BG交CD于点F，连接AF．
（1）求证：BE＝CF．
（2）若正方形边长是5，BE＝2，求AF的长．6．（2023秋•惠州期中）如图，正方形 ABCD中，AB＝6，动点E，F分别在边BC、CD
上，且∠EAF＝45°，连接EF．
（1）求证：EF＝BE+DF；
（2）若BE＝3，求线段DF的长．
7．（2023春•曹县期中）如图，正方形ABCD中，E是AB边上一点，连接CE，过点B作
BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若正方形ABCD的边长5cm，点E是AB的中点，求CG的长．
8．（2023春•承德县月考）如图，在正方形 ABCD中，M是AB上的一点，连接DM，过
点M作MN⊥DM交∠B外角平分线于N．（1）若AM＝a，求BN的长；
（2）如图2，连接DN，交BC边于点F，连接MF．求证：NM平分∠FMB．
