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专题 07 平行四边形综合压轴特训
一．选择题（共16小题）
1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交
DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ ，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 ；
③EB⊥ED；
④S△APD +S△APB ＝ + ．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O ，以AB，AO 为两邻边作平
1 1
行四边形ABC O ，平行四边形ABC O 的对角线交BD于点O ，同样以AB，AO 为两邻
1 1 1 1 2 2
边作平行四边形ABC O ．…，依此类推，则平行四边形ABC O 的面积为（ ）
2 2 2009 2009
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝ MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝
90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在
BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值
为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点
的坐标分别是（ ）
A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ，3）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4） D．（ ， ）、（﹣ ，4）
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点
O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB ＝S四边形中正确的有（ ）
DEOF
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足
为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S ，S ，
1 2
则S +S 的值为（ ）
1 2
A．16 B．17 C．18 D．19
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到
第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为 1，则第n个矩形的周长
为（ ）
A． B． C． D．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2，3，
正放置的四个正方形的面积依次是S ，S ，S ，S ，则S +S +S +S ＝（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4A．4 B．5 C．6 D．7
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，
应添加的条件是（ ）
A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案
（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN
的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C． ＜MN＜ D． ＜MN≤
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的 ，若AC＝ ，则菱形移动的距
离AA′是（ ）
A．1 B． C． D．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝ ，
AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝ ；④△COF
的面积是 ．其中正确的结论为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三
角形”．如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M
（2，0），在边 AB 存在点 P，使得△CMP 为“智慧三角形”，则点 P 的坐标为
（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3， ）或（3，3）
C．（3， ）或（3，1）D．（3， ）或（3，1）或（3，3）
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝
2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为
．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交
BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与
对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 ．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且
PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．21．如图，在△A B C 中，已知A B ＝7，B C ＝4，A C ＝5，依次连接△A B C 三边中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
得△A B C ，再依次连接△A B C 的三边中点得△A B C ，…，则△A B C 的周长为
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 5 5
．
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为
边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S ＝1，按上述方法所作的正方
1
形的面积依次为 S ，S ，…S （n 为正整数），那么第 8 个正方形面积 S ＝
2 3 n 8
．
23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A 、A …A 分别是各正方形
1 2 n
的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和
为 cm2．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个
菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝
60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝
8，则EF的长为 ．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
中点，则EG2+FH2＝ ．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D
是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐
标为 ．
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为
一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为
，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，
交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已
知”除外）]
（2）如图2，在 ABCD中，对角线交点为O，A 、B 、C 、D 分别是OA、OB、OC、
1 1 1 1
OD的中点，A 、▱B 、C 、D 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，…，以此类推．
2 2 2 2 1 1 1 1
若 ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（▱3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB
的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动
点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）
上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为 时，求正方形的边长．
34．已知：如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上的一动点，
PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．
∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，
易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除
B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖
的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不
变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；
如果不正确，请说明理由．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点
P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，
P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝
DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽
之比为2：1，求Q点运动的速度．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM
的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），
（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与
长方形的边的交点，求点D的坐标．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段
DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及 的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图 2，将原问题中的正方形 ABCD 和正方形 BEFG 换成菱形 ABCD 和菱形
BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及 的值，写出你的猜
想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与
菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到
的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
