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专题08 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型
梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中
的一个重要定理。
梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E
点，那么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是 的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如
果 ，则F、D、E三点共线．
图1 图2
塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在 1678年发表了一个著名的定理，
后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。
塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC内任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，
如图2，则 。
注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是
三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线
段成比例和相似来解决。
例1.如图，在 中，D为AC中点， ，求证： ．例2.如图，在 中， ， ，AD、BE交于点 ，求 ．
例3.如图所示， 被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小
三角形的面积如图所示，求 的面积．
例4.已知AD是 的高，点D在线段BC上，且 ， ，作 于点E， 于
点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．
例5. 如图所示，△ABC的三条外角平分线BE、AD、CF，与对边所在直线交于E、D、F三点，求证：
D、E、F三点共线。例6．（2023·山西·期中联考）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．
梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，
这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与
三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设 ， ， 依次是 的三边 ， ， 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足
．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线 交 的边 于点 ，交边 于点 ，交边 的延长线与点 ．
过点 作 交 于点 ，则 ， （依据），
∴ ，∴ ，即 ．
情况②：如图2，直线 分别交 的边 ， ， 的延长线于点 ， ， ．…
(1)情况①中的依据指： ；(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
(3)如图3， ， 分别是 的边 ， 上的点，且 ，连接 并延长，交
的延长线于点 ，那么例7．如图：P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点．若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：
．
例8. 如图，设M为 ABC内的一点，BM与AC交于点E，CM与AB交于点F，若AM通过BC的中点，求
证：EF//BC。 △
例8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长
DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。例9.如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、BC分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，
直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证： .
例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：
塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大
的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则
．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三
线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．
任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若 为等
边三角形（图3）， ， ，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出 的面积．课后专项训练
1．如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝ AB，连接EM并延长，交BC的延长线
于D，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．
2.如图，D、E、F内分正△ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的
面积是△ABC的面积的（ ）
A． B． C． D．
3．（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ，
， ，垂足为D，E为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ．4．（2022年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是
边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相
交于点 ．当点 为 的中点时， 的长为 ．
5.如图，等边△ABC的边长为2，F为AB中点，延长BC至D，使CD＝BC，连接FD交AC于E，则四边
形BCEF的面积为 ．
6.如图，在 中，AD、CE交于点F，若 ， ，求 ．
7.P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的
平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．D F
C
K
G P
H
Q
A E B
8.（2023.湖北九年级期中）梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一
条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有 • • ＝1．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作AG∥BC，交DF的延长线于点G，则有 ＝ ．
任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；
（2）如图（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，点F在AB上，且BF＝2AF，
CF与AD交于点E，则AE＝ ．
9．（江苏2022-2023学年九年级月考）如图1，在 中，D是 边上的一点，过点D的直线分别与
、 的延长线交于点M、N．
问题引入：若点D是 的中点， ，求 的值；如图2，可以过点C作 ，交 于点
P；如图3，也可以过点A作 ，交 延长线于点Q．探索研究：（1）如图4，若点D为 上任意一点，求证： ．
拓展应用：（2）如图5，P是 内任意一点， ，则 _______， ____．
10．（2023·四川内江·中考模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S ：S = ；当点D是BC边上任意一点时，
ABD ABC
△ △
S ：S = （用图中已有线段表示）．
ABD ABC
△ △
探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜
想S 与S 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．
BOC ABC
△ △
拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结
CO并延长交AB于点E，试猜想 的值，并说明理由．11．（2023·重庆·八年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 ,
．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ．
12．（2023上·河南洛阳·九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解
答．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连结FD交AC于点E．
(1)求 的值；(2)若AB＝a，FB＝AE，求AC的长．
