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专题 1.5 一元一次方程全章知识典例详解
【人教版2024】
知识点1 从算式到方程
1．方程的概念
含有未知数的等式叫方程．
【注】方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数．
2．方程的解与解方程
①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
②求方程的解的过程，叫做解方程.
3．一元一次方程的概念
方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方
程．【注】一元一次方程具有如下共同特点：
①只含有一个未知数．
②所含未知数的项的最高次数为1．
③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数．
4．等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果 ，那么 ．
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果 ，那么 ；
如果 ，那么 ．
【注】
①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系．
②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零．
【典例1】（2024春•嘉定区校级月考）已知式子：①3﹣4＝1；②2x﹣5y；③1+2x＝0；④6x+4y＝2；
⑤3x2﹣2x+1＝0．其中是方程的有 ．（只填序号即可）
【分析】方程的特点：①含未知数，②是等式．
【解答】解：由题意知，含有未知数的等式是方程，
①3﹣4＝1中不含有未知数，不是方程，是等式；
②2x﹣5y不是等式，不是方程；
③1+2x＝0、④6x+4y＝2、⑤3x2﹣2x+1＝0都是含有未知数的等式，属于方程．
故答案为：③④⑤．
1 2 3
【典例2】（2023秋•禹城市校级月考）下列式子：①3x+2＝5x﹣1；②(− ) + =1；③2x+3≤5；
2 4
2
④y2﹣1＝2y；⑤ x+7 y=36，其中是方程的是 ．（填序号）
5
【分析】根据方程的定义逐个判定即可．
【解答】解：①3x+2＝5x﹣1符合方程定义，故①是方程；
1 2 3
②(− ) + =1没有未知数，故②不是方程；
2 4
③2x+3≤5不是等式，故③不是方程；④y2﹣1＝2y符合方程定义，故④是方程；
2
⑤ x+7 y=36符合方程定义，故⑤是方程；
5
∴是方程的有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
4 x
【典例3】（2024春•吴忠期末）在方程：①3x﹣y＝2；②x+ =1；③ =1；④x＝0；⑤x2﹣2x﹣3
x 2
2x+1 1
＝0；⑥ = 中，是一元一次方程的是（填序号）
4 3
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
x 2x+1 1
【解答】解：③ =1，④x＝0，⑥ = ，是一元一次方程；
2 4 3
①3x﹣y＝2，含有两个未知数，不是一元一次方程；
4
②x+ =1，含有分式，不是一元一次方程；
x
⑤x2﹣2x﹣3＝0，未知数的次数是2，不是一元一次方程，
故答案为：③④⑥．
【典例4】（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为
．
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行
计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
∴m＝3或1且m≠3，
∴m＝1，
故答案为：1．
【典例5】（2024秋•武昌区期中）若关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程，则k＝
．
【分析】整理后得出（|k|﹣2）x2+（﹣4k﹣8）x﹣5k＝0，根据一元一次方程的定义得出|k|﹣2＝0且﹣4k
﹣8≠0，再求出k即可．
【解答】解：（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x，
整理得：（|k|﹣2）x2+（﹣4k﹣8）x﹣5k＝0，∵关于x的方程（|k|﹣2）x2﹣4kx﹣5k＝8x是一元一次方程，
∴|k|﹣2＝0且﹣4k﹣8≠0，
解得：k＝2．
故答案为：2．
【典例6】（2024春•天水期末）小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，
得方程的解为x＝3，则原方程的解为 ．
【分析】把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，求出a＝3，得出原方程为6﹣5x＝21，求出方程
的解即可．
【解答】解：∵小马虎在解关于x的方程2﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x
＝3，
∴把x＝3代入2a+5x＝21得出方程2a+15＝21，
解得：a＝3，
即原方程为6﹣5x＝21，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
【典例7】（2023秋•句容市期末）已知x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解，则k的值是 ．
【分析】将x＝3代入方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5，求出k的值即可．
【解答】解：∵x＝3是方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5的解，
∴将x＝3代入方程k（x﹣2）﹣2k+x＝5，得﹣k+3＝5，解得k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【典例8】（2024•船山区校级开学）若x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解，则代数式3a﹣9b﹣10
＝ ．
【分析】将x＝0.5代入原方程即可求出a﹣3b＝5，然后将其整体代入求值．
【解答】解：∵x＝0.5是关于x的方程2ax﹣3b﹣5＝0的解，
∴a﹣3b＝5，
∴3a﹣9b﹣10＝3（a﹣3b）﹣10＝15﹣10＝5，
故答案为：5．
【典例9】（2024•船山区校级开学）下列等式根据等式的变形正确的有（ ）
a b a b
①若a＝b，则ac＝bc；②若ac＝bc，则a＝b；③若 = ，则a＝b；④若a＝b，则 = ．
c c x2+1 x2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据等式的基本性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：若a＝b，则ac＝bc；故①正确；
若ac＝bc，且c≠0，则a＝b；故②错误；
a b
若 = ，则c≠0，故a＝b；故③正确；
c c
a b
若a＝b，因为x2+1＞0，故 = ；故④正确；
x2+1 x2+1
故选：C．
【典例10】（2023秋•邢台期末）有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量
都相等，将天平的左右托盘中都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天
平是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等式的性质即可求解．
【解答】解：设“■”的质量为x，“▲”的质量为y，“●”的质量为c，
若各个选项中左右两边相等，
则：A选项可表示为2x＝3y，
B选项可表示为2c+x＝2y+2c，即x＝2y，
C选项可表示为x+c＝c+2y，即x＝2y，
D选项可表示为2x＝4y，即x＝2y，
只有A选项与其他的等式不同，故选：A．
【典例11】（2024春•洪洞县期末）下列变形正确的是（ ）
3
A．若3x＝2，则x=
2
B．若4x+y＝3，则y＝4x﹣3
1 1
C．若x＞y（x、y均不为0），则 ＜
x y
5x−1 1+2x
D．若 −2= ，则2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x）
3 2
【分析】根据等式的性质对每个选项一一判断即可．
2
【解答】解：A．若3x＝2，两边同时除以3得x= ，故此选项不符合题意；
3
B．若4x+y＝3，移项得y＝﹣4x+3，故此选项不符合题意；
1 1
C．用特殊值法，3＞﹣2， ＞− ，故此选项不符合题意；
3 2
5x−1 1+2x
D．若 −2= ，两边同时乘以6去分母得2（5x﹣1）﹣12＝3（1+2x），故此选项符合题
3 2
意；
故选：D．
知识点2 解一元一次方程
1．解一元一次方程——合并同类项
合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变．
2．解一元一次方程——移项
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
【注】
①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一
边，常数项在另一边．
②移项要变号．
③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律
中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号．
3．解一元一次方程——去括号
解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项
的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．【注】
运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项．
4．解一元一次方程——去分母
根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数．
【注】
①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项．
②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号．
5．解一元一次方程的一般步骤
①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为
整数，然后再去分母（依据：等式的性质2）
②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）
（依据：乘法分配律；去括号法则）
③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1）
④合并同类项：把方程化为 的形式（依据：合并同类项的法则）
⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 （依据：等式的性质2）
x−2 x+1
【典例1】（2024春•郸城县校级月考）将方程 − =1去分母得到方程2x﹣4﹣3x+3＝6，其错误
3 2
的原因是（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误
D．去分母时，分子未乘相应的数
【分析】两边同乘最小公倍数再去括号即可．
【解答】解：原方程两边同乘6得：2（x﹣2）﹣3（x+1）＝6，
去括号得：2x﹣4﹣3x﹣3＝6，
则其错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添括号，导致符号错误，
故选：C．
1 2x−1 1 1−2x
【典例2】（2023秋•襄城县期末）下列是嘉淇同学解一元一次方程的过程 + = − ．
4 2 2 4
解：去分母，得1+2（2x﹣1）＝2﹣（1﹣2x），第一步去括号，得1+4x﹣2＝2﹣1﹣2x，第二步
移项，得4x+2x＝2﹣1﹣1+2，第三步
合并同类项，得6x＝2，第四步
1
系数化为1，得x= ．
3
上述解法中，开始出现错误的是（ ）
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【分析】根据解一元一次方程的步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1”计算，即可
判断错误的步骤．
【解答】解：∵去括号时要注意变号，
∴第二步应为：1+4x﹣2＝2﹣1+2x，
∴上述解法中，开始出现错误的是第二步．
故选：B．
x 1.2−0.3x
【典例3】（2023秋•五莲县期末）将方程 =1+ 中分母化为整数，正确的是（ ）
0.3 0.2
10x 12−3x x 1.2−0.3x
A． =10+ B． =10+
3 2 3 0.2
10x 12−3x x 1.2−0.3x
C． =1+ D． =1+
3 2 3 2
【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．
10x 12−3x
【解答】解：方程整理得： =1+ ．
3 2
故选：C．
【典例4】（2024秋•南岗区校级月考）解方程：
（1）8x﹣3（3x+2）＝6；
（2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）；
3 y−1 5 y−7
（3） −1= ；
4 6
x−1 2x+3 x+1
（4） −1= + ．
4 6 3
【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
（2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
（3）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．（4）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答．
【解答】解：（1）去括号，8x﹣9x﹣6＝6，
移项，8x﹣9x＝6+6，
合并同类项，﹣x＝12，
系数化1，x＝﹣12；
（2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2），
去括号，3x﹣6＝2﹣5x﹣10，
移项，3x+5x＝2﹣10+6，
合并同类项，8x＝﹣2，
1
系数化1，x=− ；
4
（3）去分母，3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7），
去括号，9y﹣3﹣12＝10y﹣14，
移项，9y﹣10y＝12+3﹣14，
合并同类项，﹣y＝1，
系数化1，y＝﹣1；
（4）去分母，3（x﹣1）﹣12＝2（2x+3）+4（x+1），
去括号，3x﹣3﹣12＝4x+6+4x+4，
移项，3x﹣4x﹣4x＝3+6+12+4，
合并同类项，﹣5x＝25，
系数化1，x＝﹣5．
知识点3 实际问题与一元一次方程
1．列一元一次方程解应用题的步骤：
①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系．
②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）．
③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程．
④解：解所列出的方程，求出未知数的值．
⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案．
2．常见问题中的等量关系：
①和差倍分问题：
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．（1）当较大量是较小量的几倍多几时， ；
（2）当较大量是较小量的几倍少几时， ．
②数字问题：
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数， ， ）则这个
两位数可以表示为 ．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且 ，
， ）则这个三位数表示为： ．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为 （其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为 ．
③年龄问题：
“年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问
题的关键.
④日历问题：
（1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数．
（3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是 31天，四、
六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围
的．
⑤行程问题：
基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间
（1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程
（2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程
（3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相
遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈.
（4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及
所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈.
⑥工程问题：
（1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间；
（2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1;
（3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和.
⑦商品销售问题：
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基
本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价
利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率
⑧配套问题：
“配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件
数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程）一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如
何确定车间工人人数，使问题有整数解．
⑨积分问题：
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分 负场扣分．
⑩利息问题：
（1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数）
（2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数）
⑪方案决策问题：
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方
案．
⑫分段计费问题：
常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话
费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理
顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同.
【典例1】（2024秋•南岗区校级月考）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺
母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 1 0 名工人生产螺钉，
其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套．
【分析】设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺
钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案．
【解答】解：设安排x人生产螺母，则（22﹣x）人生产螺钉，依据“每人每天可以生产1200个螺钉或
2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母”得：
2000x＝2×1200（22﹣x），
解得：x＝12，
22﹣12＝10（人），
∴应安排10人生产螺钉，
故答案为：10．
【典例2】（2024秋•南岗区校级月考）某种商品的进价为100元，出售标价为150元，由于该商品积压，
商店准备打折销售，为保证获得20%利润率，则要打 八 折．
【分析】设可打x折，根据题意列出一元一次方程求解即可．
【解答】解：设可打x折，x
由题意得150× −100=100×20%，
10
解得x＝8，
∴为保证获得20%利润率，则要打八折．
故答案为：八．
【典例3】（2024秋•南岗区校级月考）一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天
后，余下的工作再由甲独做 4 天完成．
1
【分析】设余下的工作再由甲独做x天完成，把这项工作看作“1”，则甲的效率为 ，乙的效率为
18
1
，最后根据甲乙合作的量+余下的量＝工作总量，列方程即可求解．
24
1 1
【解答】解：设余下的工作再由甲独做x天完成，则甲的效率为 ，乙的效率为 ，
18 24
1 1 x
根据题意得：( + )×8+ =1，
18 24 18
解得：x＝4，
即余下的工作再由甲独做4天完成，
故答案为：4．
【典例4】（2024秋•江北区校级月考）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 9，把十位上的数字
与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是 4 5 ．
【分析】设原来的两位数十位数字是x，则个位数字是9﹣x，而新两位数十位数是9﹣x，个位数是x，
6
于是列方程得10（9﹣x）+x= （10x+9﹣x），解方程求出x的值，再求出代数式9﹣x的值，即可得到
5
问题的答案．
【解答】解：设原来的两位数个位数字是x，则十位数字是9﹣x，
6
根据题意得10（9﹣x）+x= （10x+9﹣x），
5
解得x＝4，
∴9﹣x＝5，
∴原两位数为45，
故答案为：45．
【典例5】（2024秋•江北区校级月考）10人参加智力竞赛，每人必须回答24个问题，答对一题得5分，答错一题扣3分．结果得分最低的人得 8分．且每个人的得分都不相同．那么第一名至少得 80
分．
【分析】先求出最低分做对的题目数，再推理第一名做对的题目数即可．
【解答】解：设最低分做对的题目数x题，则做错（24﹣x）题，
由题意得，5x﹣3（24﹣x）＝8，
解得x＝10，
∴低分做对的题目数10题，
∵每个人的得分都不相同，
∴所有另外9个同学的对题数最少是：11、12、13、14、15、16、17、18、19，
因此第一名至少得：19×5﹣3×（24﹣19）＝80（分），
故答案为：80．
【典例6】（2024春•蒸湘区校级期中）我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过
15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费
89元，则他家该月用水 2 6 m3．
【分析】设小明家3月份用水x m3，先求出用水量为15m3时应交水费，与89比较后即可得出x＞15，
再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小明家3月份用水x m3，当用水量为15m3时，
应交水费为15×3＝45（元）．
∵45＜89，
∴x＞15．
根据题意得：45+（x﹣15）×（1+3）＝89，
解得：x＝26．
答：他家该月用水26m3．
故答案为：26．
【典例7】（2024秋•南岗区校级月考）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳
现在的年龄是 1 1 岁．
【分析】由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，列一元一
次方程即可求解．
【解答】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为4x岁，由题意得：
4x﹣x＝33，
解得x＝11，即王芳现在的年龄是11岁，故答案为：11．
【典例8】（2024秋•呼兰区校级月考）甲乙两车分别从相距340千米的A、B两地同时出发相向而行，已
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知甲的速度为80千米/时，甲的速度比乙的速度少 ，当两人相遇时，两车出发的时间为 2 小时．
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【分析】由题意可求得乙车的速度，设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时，然后根据题意列一元
一次方程求解即可．
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【解答】解：由题意得：80÷(1− )=90（千米/时），
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设当两人相遇时，两车出发的时间为x小时，
由题意可得：（90+80）x＝340，
解得：x＝2．
答：两车出发的时间为2小时，
故答案为：2．
