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专题12 几何最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
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模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..........................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）.................................................................................5
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）.................................................................................8
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）................................................................10
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模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。条件：如图，在△ABC中，∠ABC＝ ，BC=m，AC=n，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，
求CD+BE的最小值。
证明思路：① AD在△ADC中，以CE为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求，此时，B、E、F三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。
注意：题中的角度 ，在八年级能解决的只有一些特殊角度，如：30，45，60等。
例1．（24-25九年级上·广东·阶段练习）在边长为4的等边 中， 分别为 边上的动点，且
总满足 则 的最小值 ．
例2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是 AB、
AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．例3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）在 中， 分别为
射线 与射线 上的两动点，且 ，连接 ，则 最小值为 ．
例4．（23-24八年级下·浙江·期中）在 中， ， ， ，点 、 在AB、
边上，且 ，则 的最小值 ．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD为高，CE=BF，求AF+BE的最小值。
证明思路：①CE在△BEC中，以BF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；②即过点B作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。
例1．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）在等边△ABC中，AB＝4，点E在边BC上，点F在∠ACB的
角平分线CD上，CE=CF，则AE+AF的最小值为 .
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，N
分别是线段 ， 上的动点， ，当 最小时， ．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰 中， ， 平分 ，点N为 上一点，
点M为 上一点，且 ，若当 的最小值为4时， 的长度是 ．模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在 中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D是线段AB上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE的最小值。
证明思路：①BE在△BEC中，以AD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF即为所求，此时，F、D、C三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等证明FC=AB也可。
例1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）如图， 中， ， ，D，E为 边上
的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
例2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点E和F，连
接 和 ，若 ， ， ，则 的最小值是 ．模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，点E、F是边BC、BD上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE的最小值。
证明思路：①BE在△ABE中，以DF为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG即为所求，此时，A、F、G三点共线；
⑤求AG。先利用勾股或相似求出DH和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理
求出两条线段的长度），再利用勾股定理求出AG即可。
例1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在菱形 中， ， ， ， 分别
是边 和对角线 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．例2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形 中， ， ，点 、 分别是对角
线 和边 上的动点，且 ，则 的最小值是 ．
例3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形 中， ， ，点E和点F分别在
边 和边 上运动，且满足 ，则 的最小值为 ．1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形 中，对角线 上有两动点 和 ，连接
和 ，若 ， ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．10 C．6 D．20
2．（2024·河南周口·统考一模）如图，在矩形 中，E是 的中点，点F在 边上，点P在矩形
内部， ， ，连接 ．若 ，则 的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2的菱形 中， ，E，F分别是 ，
上的动点， ，连 ， ，则 的最小值为 ．4．（23-24八年级上·四川成都·期末）在 中， ， ， ， ， 分别为射线
与射线 上的两动点，且 ，连接 ， ，则 最小值为 ； 的最大值
为 ．
5．（24-25八年级上·浙江·期中）如图， 是边长为 的等腰直角三角形，
分别是 上的点， ，则 的最小值为 ．
6．（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知 中， ， ， ，
， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 、
，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ．7．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在 中， ， ， ，点 、 分
别是 ， 上动点，且 ，连接 ， ，则 的最小值是 ．
8．（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）如图， ， 平分 ， 平分 ， 交
于点 ， ， 分别是线段 ， 上的动点，且 ，若 ， ，则 的最小
值为 ．
9．（2024·天津·校考二模）如图，正方形 的边长为 ， 分别为边 上的动点，且 ，
则 的最小值为
10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形 的边长为4，动点 从点 出发，沿 方向匀
速运动，运动到点 时停止，同时另一个动点 从点 出发，以与点 相同的速度沿 方向匀速运动．
点 停止运动时点 也停止运动，连接 、 ，则 的最小值为 ．11．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别在边 ，
上，且 ，点 在边 上，连接 ， ，若 ，则 的最小值是 ．
12．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 ，
两点， ，D、E分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当
的值最小时，则 点的坐标为 ．
13．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中， ，点P为正方形ABCD的对角线
AC上一动点，过点P作 交边DC于点E．
(1)如图①，当点E在边CD上时，求证： ；(2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点
F，若 ，求PF的长；(3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足 ，设
，请直接写出 的最小值．14．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图（1）， 为 的边 上的一点，
，过点 作 ，且 ，连接 ，求证： ；
【变式迁移】（2）如图（2），在 中， ， 平分 ，点 在 上，且 ，
若点 分别到 ， 的距离之比为 ，求证： ；
【拓展创新】（3）如图（3），在 中， ， ， ， ， 分别是 ，
上的点，且 ，直接写出 的最小值．
15．（23-24八年级上·江苏南京·期末）回顾旧知（1）如图①，已知点 ， 和直线 ，如何在直线 上确
定一点 ，使 最小？将下面解决问题的思路补充完整．解决问题的思路：可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中！据此，在 上任取一点 ，作
点 关于 的对称点 ， 与直线 相交于点 ．连接 ，易知 ______，从而有 ．
这样，在 中，根据“_______”可知 与 的交点 即为所求．
解决问题（2）如图②，在 中， ， ， ， 为 上的两个动点，且 ，
求 的最小值．
变式研究（3）如图③，在 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 上的动
点，且 ，请直接写出 的最小值．
16．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）在 中， ， ， ，E是线段 上
一动点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的面积；(2)如图2，若 ，将线段 绕C逆时针旋转 得到线
段 ，连接 ．若点G是线段 的中点，过点G作 交 于点P，交 于点H，证明
；
(3)如图3，将 沿 翻折至 ，连接 ．D是线段 上的点，且 ，直接写出当
取得最小值时 的长度．
