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专题13.8 画轴对称图形（分层练习）
一、单选题
1．下列选项中的图形，能画出对称轴最多的是（ ）
A． B． C． D．
2．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是( )
A． B． C． D．
3．如图，在四边形 中 ，P是 边上的一个动点，要使 的值最小，
则点P应满足（ ）
A． B． C． D．
4．点 关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形 的面积为16， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上
有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
6．下列轴对称图形中，对称轴最少的是（ ）
A． B． C． D．
7．明明和亮亮一起下五子棋，明明持黑棋，亮亮持白棋．如图，若棋盘正中间的白棋的位置用
表示，最右上角的黑棋的位置用 表示，明明把第七枚圆形棋子放在适当位置，使所有棋子组成轴对称
图形、则第七枚圆形棋子放的位置不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．把一张正方形纸片按如图方式对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，正方形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，轴上有一点 ．作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称
点 ，作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ，作点 关于点 的对称点 ……按此
操作进行下去，则点 的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图， ， ，点A为 上一定点，点C为 上一动点，B，D为 上两动点，
当 最小时， （ ）
A． B． C． D．
11．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（ ）
A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形
12．如图所示的2×4的正方形网格中， 的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点
三角形，在网格中与 成轴对称的格点三角形一共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在平面直角坐标系中， 位于第二象限，点A的坐标是 ，先把 向右平移3
个单位长度得到 ，再作与 关于x轴对称的 ，则点A的对应点 的坐标是（ ）A． B． C． D．
14．如图，面积为3的等腰 ， ，点 、点 在 轴上，且 、 ，规定把
“先沿 轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后， 顶点
的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知 ，点A是 内任意一点，点B和点C分别是射线OM和射线ON上的动点
（M、N不与点O重合），当 周长取最小值时，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题16．已知点 和点 关于 轴对称，则 的坐标是 ．
17．在 ABC中，AB=AC=BC，则 ABC共有 条对称轴．
△ △
18．一位球员的球衣号码为 ，那么他在镜子中看到自己的号码是 ．
19．如图，在锐角 ABC中，AB=4 ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD
△
和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
20．平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，若线段 被 轴垂直平分，则 ．
21．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，
共有 种补法．
22．已知点 与点 关于 轴对称，则 的值为 .
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C、D分别在y轴、
上运动，连接 ，则 的最小值为 ．24．如图， ，点 、 分别在射线 、 上， ， 的面积为 ， 是直线
上的动点，点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称点为 ，当点 在直线 上运动时，
的面积最小值为 ．
25．如图，在 中， ， 垂直平分 ，点P为直线 上的任意一点，则 的最
小值是 ．
26．一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上
次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到 条折痕．
27．如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成
轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.28．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点 的坐标分别是 ， ， ，点 与
点 关于 轴对称，顺次连接 ， ， ， 四点得到四边形 ，点 是四边形 边上的一
个动点，连接 ，若 将四边形 的面积分为1：4的两部分，则点 的坐标为 ．
29．如图，分别以 的边 ， 所在直线为称轴作 的对称图形 和 ，
，线段 与 相交于点O，连接 、 、 、 ．有如下结论：① ；
② ；③ 平分 ：④ ；③ ．其中正确的结论个数为 ．
30．如图，在四边形ABCD中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB、AD上分别找一点F、E，连接
CE、EF、CF，当△CEF的周长最小时，则∠ECF的度数为 ．三、解答题
31．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点坐标为A、B、C三点．
(1) 请在图中画出 关于y轴对称的图形 ；
(2) 写出点 和点 的坐标．
32．如图在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为： ， ， ．
(1)在图中作 ，使 和 关于 轴对称；
(2)写出点 ， ， 的坐标；
(3)在 轴上找一点 ，使 的值最小．（写出作法）33．问题：如图，要在燃气管道 上修建一个泵站，分别向 、 两个小区供气，泵站修在管道的什
么地方，可使所用的输气管线最短?
小明认为：只要找到 点关于直线l的对称点 ，并连接 ， 与直线 的交点为点 ．泵站建在
线 上的 点处，就可使输气管线最短．
你认为小明的方案正确吗?请你运用所学的数学知识来进行说明（提示：设点 为直线 上除 点以外
的任意点）．
34．（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可
使所用的输气管线最短?（2）已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保
留作图痕迹．
35．如图，在 ACB中，∠ACB=90°，∠A=75°，点D是AB的中点．将 ACD沿CD翻折得到 A′CD，连
接A′B． △ △ △
（1）求证：CD∥A′B；
（2）若AB=4，求A′B2的值．
36．如图所示，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点．
（1）若 PEF的周长为20，求MN的长．
△（2）若∠O=50°，求∠EPF的度数．
（3）请直接写出∠EPF与∠O的数量关系是_____________________________
参考答案
1．B
【分析】分别求出每个图形的对称轴条数即可得到答案．解：等边三角形有三条对称轴，圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，
∴对称轴最多的是圆，
故选B．
【点拨】本题主要考查了求对称轴条数，熟知对称轴的定义是解题的关键．
2．B
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，
且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与 成轴对称，所以此时实际时刻为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了镜面对称．掌握镜面对称是解题的关键．
3．D
【分析】作点B关于 的对称点 ，连接 ，则交点P即为符合题意的点，根据轴对称的性质解
答即可．
解：如图所示，作点B关于 的对称点 ，连接 ，交 于点P，连接 ，
则 的最小值为 的长，点P即为所求．
∵点 与点B关于 对称，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故D符合题意；
由图可知，选项A和选项B不成立，
而C只有在 时成立，条件不充分．
故选：D．
【点拨】此题考查轴对称的性质，明确轴对称的相关性质并正确作图，是解题的关键
4．B
【分析】根据点关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可．解：∵点 关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点 关于 轴对称的点为： ，
故选：B．
【点拨】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握直角坐标系中点关于 轴对称的点的性
质．
5．B
【分析】由于点B与点D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为F，此时，FD+FE=BE最小，而
BE是等边三角形ABE的边，BE=AB，由正方形面积可得AB的长，从而得出结果．
解：由题意可知当点P位于BE与AC的交点时，有最小值．设BE与AC的交点为F，连接BD，
∵点B与点D关于AC对称
∴FD=FB
∴FD+FE=FB+FE=BE最小
又∵正方形ABCD的面积为16
∴AB=4
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=4．
故选：B．
【点拨】本题考查的知识点是轴对称中的最短路线问题，解题的关键是弄清题意，找出相对应的相等
线段．
6．A
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕
所在的这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
解：解：A选项，有2条对称轴；
B选项，有3条对称轴；C选项，有4条对称轴；
D选项，有6条对称轴．
故选：A．
【点拨】本题主要考查轴对称图形的对称轴，识别轴对称图形是解题的关键．
7．D
【分析】根据轴对称图形的判定，画出图形即可解决问题．
解：明明把第七枚棋子按选项坐标放置，如下图：
可知在坐标为： 时，不能组成轴对称图形，
故选：D．
【点拨】本题考查坐标与图形变化 对称，坐标确定位置等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
8．C
【分析】当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形，在靠近直角三角形直角顶点位置剪去一
个圆，则直角顶点处完好，展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心，据此即可得到答案．
解：由折叠方法可知展开后四个圆关于对角线对称，且都靠近正方形的中心，
∴只有C选项符合题意，
故选C．
【点拨】本题考查了图形的折叠和动手操作能力，对此类问题，在不容易想象的情况下，动手操作不
失为一种解决问题的有效方法．
9．D
【分析】首先求出点 的坐标，从而发现点的坐标是每4次变换为一个循环，点的坐标为
， ， ， 循环出现，由此即可解决问题．解：∵ ， ，
∴点 关于点 的对称点 的坐标为 ，
∵ ，
∴点 关于点 的对称点 的坐标为 ，
∵ ，
∴点 关于点 的对称点 的坐标为 ，
∵ ，
∴点 关于点 的对称点 的坐标为 ，
由此可知，经过4个变换后起始点又变成为 ，
∴每4次变换为1个循环，点的坐标为 ， ， ， 循环出现，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了点的坐标坐标探索，正确找到点的坐标规律是解题的关键．
10．B
【分析】如图所示，作点A关于 的对称点F，作点D关于 的对称点E，连接
，由轴对称的性质可得 ，则
，故当 四点共线且 时， 最小，即此时
最小，利用三角形内角和定理求出 ， ，进而求
出 ，利用三角形外角的性质求出 ，则
，由此即可得到答案．
解：如图所示，作点A关于 的对称点F，作点D关于 的对称点E，连接 ，
由轴对称的性质可得 ，∴ ，
∴当 四点共线且 时， 最小，即此时 最小，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅
助线确定 取得最小值的情形是解题的关键.
11．A
【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可．
解：A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确；
、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误；
、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误；
、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误．
故选：A．
【点拨】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键．
12．C
【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然
后作出与 ABC成轴对称的格点三角形，即可得出答案．
解：△如图所示，与 ABC成轴对称的格点三角形有3个．
△故选：C．
【点拨】此题考查轴对称的性质，解题关键在于根据题意画出图形．
13．A
【分析】先求出平移后点的坐标，再求出轴对称后的坐标即可．
解：∵点A的坐标是 ，先把 向右平移3个单位长度得到 ，
∴点 的坐标是 ，即 ，
∵作与 关于x轴对称的 ，
∴ 的坐标为 ，
故选：A
【点拨】此题考查了坐标系内点的平移和轴对称，熟练掌握规律是解题的关键．
14．A
【分析】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，
进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．
解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A(2，3)，
∴第1次变换A的坐标为(-2，2)；
第2次变换A的坐标为(2，1)；
第3次变换A的坐标为(-2，0)；
第4次变换A的坐标为(2，-1)；
第5次变换A的坐标为(-2，-2)；
∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，
∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，
所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)．故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，
解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
15．B
【分析】分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，交 于 ，交 于 ， 的
周长的最小值 ，然后得到等腰 中， ，即可得出
．
解：分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，交 于 ，交 于 ，
则 ， ， ，
根据对称轴的性质，可得 ， ，
则 的周长的最小值 ，
∴ ，
∴等腰 中，
，
∴ ．故选： ．
【点拨】本题考查了轴对称－最对路线问题，正确作出辅助线，得到等腰 中，
是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作
点关于某直线的对称点．
16．
【分析】根据关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
解：∵ 和点 关于 轴对称，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了关于 轴、 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反
数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
17．3
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；由此解答即可．
解：∵AB=AC=BC，
∴ ABC是等边三角形，
∴△ABC有3条对称轴．
故△答案为：3．
【点拨】此题考查了轴对称图形的定义，等边三角形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形
对折后两部分是否完全重合．
18．85
【分析】用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，
且关于镜面对称．
解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片所显示的数字与85成轴对称，
故答案为：85．【点拨】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
19．4
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和
的最小值．
解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE、ME．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=4 ，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案为4．
【点拨】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化．构
造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
20．1
【分析】根据线段 被 轴垂直平分，则可知点 与点 关于 轴对称，根据对称的性质即可解答．
解：∵线段 被 轴垂直平分，
∴点 与点 关于 轴对称，∴ ， ，
∴ ．
故答案为：1．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握对称的性质．
21．4
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形，即可求得答案．
解：如图，
∴补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
故答案为：4．
【点拨】此题考查了利用轴对称设计图案的知识．掌握如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的
图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，且对称轴为折痕所在的这条直线是解题关键．
22．
【分析】根据 轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，得到 ， 的值，代入计算即
可．
解： 点 与点 关于 轴对称，
， ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了关于 轴对称的点的特点和乘方的知识，代数式的求值，熟悉相关性质是解
题的关键．
23． /4.8/
【分析】先找出线段 关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长
度即位 的最小值．
解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点 ，截取 ，此时点D与点 关于y轴对称，从而可知 ．
再根据垂线段最短可知，当 是线段 的垂线段， 与y轴交于点C时， 即
有最小值 ．
∵点A的坐标为 ，点B的坐标为
∴点 的坐标为 ， =6． =5， 4，
∴
即
∴
∴ 的最小值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段 关于y轴的对称线段时解题的关
键．
24．8【分析】连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，先利用三角形的面积公式求出 ，再
根据轴对称的性质可得 ， ， ，从而可得 ，然后
利用三角形的面积公式可得 的面积为 ，根据垂线段最短可得当点 与点 重合时， 取得
最小值， 的面积最小，由此即可得．
解：如图，连接 ，过点 作 交 的延长线于 ，
，且 ，
，
点 关于 对称的点为 ，点 关于 对称的点为 ，
， ， ，
，
，
的面积为 ，
由垂线段最短可知，当点 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
的面积的最小值为 ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
25．4【分析】根据题意知点B关于直线 的对称点为点C，故当点P在 上时， 有最小值．
解：连接 ．
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∴ ．
∴当点A，P，C在一条直线上时， 有最小值，最小值 ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线上时， 有最小
值是解题的关键．
26．15
【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数．
解：根据观察可以得到：
对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条；
对折2次，一张纸分成 =4份，折痕为4-1=3条；
对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条；
∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ．
故答案为15．
【点拨】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ．
27．5
【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知.
解：如图：与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为 ， ， ， ，
，共有5个.
故答案为：5.
【点拨】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重
合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
28． 或
【分析】先根据各坐标求出四边形 的面积，再分情况讨论当点 在 上和 上的点 坐标．
解：作 于 ，
点 与点 关于 轴对称，点 ，
点 坐标为 ，
点 ，点 的坐标分别是 ， ，
， ， ， ，
，
，
，
如图1，当点 在 上时，
，
，
，
，
，
点 坐标为： ， ；如图2，当点 在 上时，
，
，
，
，
，
点 坐标为：
综上，点 坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点 的位置是解题关键．
29．3
【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可．解： 和 是 的轴对称图形，
， ， ，
，故①正确；
，
由翻折的性质得， ，
又 ，
，故②正确；
，
， ，
边上的高与 边上的高相等，
即点 到 两边的距离相等，
平分 ，故③正确；
只有当 时， ，才有 ，故④错误；
在 和 中， ， ， ， ，
，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故答案为：3．
【点拨】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．
30．60°
【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证
明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.
解：分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C 、C ，连接C C ，分别交AD，AB于点E、F再连接
1 2 1 2
CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：在AD、AB上任意取E 、F 两点
1 1
根据对称性：
∴CE=C E，CE =C E ，CF=C F，CF =C F
1 1 1 1 2 1 2 1
∴△CEF的周长= CE＋EF＋CF= C E＋EF＋C F= C C
1 2 1 2
而△CE F 的周长= CE ＋E F ＋CF = C E ＋E F ＋C F
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
根据两点之间线段最短，故C E ＋E F ＋C F ＞C C
1 1 1 1 2 1 1 2
∴△CEF的周长的最小为：C C
1 2.
∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°
∴∠DCB=360°－∠A－∠ADC－∠ABC=120°
∴∠CC C ＋∠CC C =180°－∠DCB=60°
1 2 2 1
根据对称性：∠CC C =∠ECD，∠CC C =∠FCB
1 2 2 1
∴∠ECD＋∠FCB=∠CC C ＋∠CC C =60°
1 2 2 1
∴∠ECF=∠DCB－（∠ECD＋∠FCB）=60°
故答案为60°
【点拨】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，
掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.
31．(1)见分析；(2) ， ．
【分析】（1）分别找出 中三个顶点关于y轴的对称点，然后连接即可；
（2）根据点在直角坐标系中的位置，写出坐标即可．
（1）解：如图，（2）解： ， ．
【点拨】本题考查了直角坐标系、图形的轴对称等知识点，熟悉轴对称的性质是解题关键．
32．(1)如图， 即为所求；(2) ， ， ；(3)如图所示：连接 交 轴于
点 ，此时 的值最小
【分析】（1）直接利用关于 轴对称点的性质得出答案；
（2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标；
（3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
解：（1）如图所示， 即为所求．
（2）利用（1）中所画图形，进而得出各点坐标：
， ，
（3）如图所示：连接 交 轴于点 ，此时 的值最小．
【点拨】本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点的位置是解题的关
键．33．小明的方案正确．理由见分析
【分析】根据轴对称的性质可得 ，推得 ，根据三角形的三边关系进行分析即可
证明小明的方案正确．
解：小明的方案很正确；
理由如下：由轴对称性质可知 ，
∴ ，
连接 ， ，
由三角形三边关系知 ，
所以小明的方案正确．
【点拨】本题考查了最短路径问题，三角形的三边关系，熟练掌握最短路径问题是解题的关键．
34．（1）作图见分析；泵站修在P点，可使所用的输气管线最短（2）作图见分析
【分析】（1）作出A镇关于燃气管道的对称点 ，连接 ，根据轴对称确定最短路线问题， 与
燃气管道的交点即为所求的点P的位置；
（2））画∠A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于点P，则P为所求．
解：（1）如图所示，作出A镇关于燃气管道的对称点 ，连接 ， 与燃气管道的交点即为所求
的点P的位置，此时AP+BP = ，可使所用的输气管线最短；
（2）根据角平分线和线段垂直平分线的性质，画∠A的平分线AD，画AB的中垂线MN，两线相交于
点P，则P为所求．【点拨】本题考查轴对称确定最短路径问题和角平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称点
的作法是解题的关键．
35．（1）见分析；（2）12
【分析】（1）依据直角三角形斜边上中线的性质可知CD=AD，然后依据等腰三角形的性质和三角形
的内角和定理可求得∠ADC=30°，由翻折的性质可知∠CDA′=30°，从而可求得∠A′DB的度数，然后依据
DA′=DB可求得∠DBA′=30°，从而可证明CD∥A′B；
（2）连结AA′，先证明△ADA′为等边三角形，从而可得到∠AA′D=60°，然后可求得∠AA′B=90°，最后
依据勾股定理求解即可．
解：（1）∵∠ACB=90°，点D是AB的中点
∴AD=BD=CD= AB．
∴∠ACD=∠A=75°．
∴∠ADC=30°．
∵△A′CD由△ACD沿CD翻折得到，
∴△A′CD≌△ACD．
∴AD=AD，∠A′DC=∠ADC=30°．
∴AD=A′D=DB，∠ADA′=60°．
∴∠A′DB=120°．
∴∠DBA′=∠DA′B=30°．
∴∠ADC=∠DBA'．
∴CD∥A′B．
（2）连接AA′∵AD=A′D，∠ADA′=60°，
∴△ADA′是等边三角形．
∴AA′=AD= AB，∠DAA′=60°．
∴∠AA′B=180°﹣∠A′AB﹣∠ABA′=90°．
∵AB=4，
∴AA′=2．
∴由勾股定理得：A′B2=AB2﹣AA′2=42﹣22=12．
【点拨】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的
性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
36．（1）20；（2）80°；（3）∠EPF= 180°-2∠O
【分析】（1）根据轴对称的性质可得EM=EP，FP=FN，进而推出MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP= PEF的周
长即可； △
（2）由（1）及等腰三角形的性质、四边形的内角和找出∠M+∠N与∠O、∠EPF与∠O的关系即可；
（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.
解：（1）∵点M、N分别是点P关于AO、BO所在直线的对称点．
∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，
∴EM=EP，FP=FN，
∴MN=EM+EF+FN=EP+EF+FP= PEF的周长，
又∵ PEF的周长为20， △
∴MN△=20 cm.
（2）由（1）知：EM=EP，FP=FN，
∴∠PEF=2∠M，∠PFE=2∠N，
∵∠PCE=∠PDF=90°，
∴在四边形OCPD中，∠CPD+∠O=180°，
又∵在△PMN中，∠MPN+∠M+∠N=180°，且∠CPD+∠O=180°，
∴∠M+∠N=∠O=50°.∴在△PEF中，∠EPF +∠PEF+∠PFE=∠EPF +2∠M +2∠N =180°，
即∠EPF=180°-2∠M -2∠N =180°-2(∠M +∠N)= 180°-2∠O=80°.
（3）由（2）可直接得到∠EPF= 180°-2∠O.
故答案为：∠EPF= 180°-2∠O.
【点拨】本题主要考查轴对称的性质、四边形的内角和、等腰三角形的性质等，准确掌握轴对称性质
的核心进行推理计算是解题的关键.
