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专题14.15 乘法公式（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）下列运算中，可以运用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习） 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算
的结果（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·广东河源·七年级统考期中）已知 ，则 的值为（
）
A．12 B．24 C．28 D．44
5．（2023春·安徽蚌埠·七年级统考期中）若二次三项式 是一个完全平方式，则k的值是
（ ）
A．5 B． C． D．5或
6．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）已知 ，则
的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
7．（2021秋·河南驻马店·八年级泌阳县第一初级中学校考期中）已知ax2＋24x＋b＝（mx﹣3）2，则a、b、m的值是（ ）
A．a＝64，b＝9，m＝﹣8 B．a＝16，b＝9，m＝﹣4
C．a＝﹣16，b＝﹣9，m＝﹣8 D．a＝16，b＝9，m＝4
8．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式 化简后为一个完全平方式，且当
时此代数式的值为0，则下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·七年级课时练习）某家具生产厂一月份生产沙发a件，生产椅子4a件．已知沙发产量每
月平均增长率为x，椅子产量每月平均降低率为y．若该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，且
，则 为（ ）．
A．1 B． C．2 D．
10．（2023春·山东东营·七年级东营市实验中学校考期中）如图，有两张长方形纸片 ，它们的长
分别是 和 ，宽分别是 ，将这两张纸片按照如图所示的方式进行拼图，则这一拼图过程
能反映的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023秋·山东泰安·八年级宁阳县第二十四中学校考阶段练习）若 ，且 ，则
．12．（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习） ，则 ．
13．（2022春·广东佛山·七年级校考专题练习）若 则 的值为
．
14．（2022春·河南郑州·八年级统考期末）若 ，则 ．
15．（2023秋·四川内江·九年级校考阶段练习）已知代数式 ，当 = 时，代数式的值最
小，最小值是 ．
16．（2023春·江西吉安·七年级校联考期中）若多项式 加上一个含字母 的单项式，就能变形
为一个含x的多项式的平方，则这样的单项式为 ．
17．（2023秋·全国·八年级专题练习） ．
18．（2023春·浙江温州·七年级校考期末）如图两个正方形的边长分别为a和b，若 ， ，
那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023春·山东济南·六年级校考阶段练习）利用平方差或完全平方公式计算：（1） （2）
21．（10分）（2023秋·八年级课时练习）（1）先化简，再求值：
，其中 ， ．
（2）已知 ，求代数式 的值．
22．（10分）（2023·全国·九年级专题练习）已知化简 的结果中不含 项和
项．
（1）求 ， 的值；
（2）若 是一个完全平方式，求 的值．23．（10分）（2023春·江苏南京·七年级统考期中）若 ，我们称A具有“非负性”，并且当
时，A取到最小值为0．
（1）下列具有非负性的代数式有 ．
① ；② ；③ ；④ ；⑤
（2）若 ，则当 时，A取到最小值为 ．
（3）已知 ，求代数式 的最小值．
24．（12分）（2023秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）综合与实践
问题情境：实践课上，老师让大家讨论“有关求图形阴影部分的面积”问题．
【基础巩固】
（1）将边长分别为a，b的两个正方形按照图1所示的方式拼在一起，其中点B，C，E在一条直线上，
试用含a，b的代数式表示图1中阴影部分的面积．
【深入探究】
（2）小康将图1中的阴影部分变为图2中的阴影部分，当 ， 时，求图2中阴影部分的面积．
【拓展探究】
（3）小明将图1中的小正方形 绕着点C逆时针旋转 后得到如图3所示的图形，若边长分别
为a，b的两个正方形的面积表示为 ， ，且 ， ，请直接写出图3中阴影部分的面积．参考答案
1．B
【分析】根据平方差公式逐个进行判断即可．
解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 不能运用平方差公式，故D不符合题意；
故选：B．【点拨】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式 ．
2．B
【分析】把原式 变形为 利用平方差公式进行计算即可．
解：
故选：B
【点拨】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的内容是解题的关键．
3．B
【分析】先乘以 ，再依次根据平方差公式进行计算即可．
解：
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生运用公式进行计算的能力，注意：
，难度适中．
4．D
【分析】由 ，可得 ， ，整理得， ， ，根据 ，代值求解即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
整理得， ， ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于对绝对值
的非负性，完全平方公式的变形的熟练掌握与正确运算．
5．D
【分析】根据首末两项是x和 的平方，那么中间项为加上或减去x和3的乘积的2倍也就是 ，
由此对应求得 的数值即可．
解：∵ 是一个多项式的完全平方，
∴ ，即 ，解得： 或 ．
故选：D．
【点拨】本题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方
加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，
要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解．
6．C
【分析】根据 ，则 ，所以
，把 代入计算即可求解．
解：∵
∴
∴∵
∴
∴
故选：C．
【点拨】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握运用完全平方公式计算是解题的关键．
7．B
【分析】将 根据完全平方公式展开，进而根据代数式相等即可求解
解：∵ ，ax2＋24x＋b＝（mx﹣3）2，
∴
即
故选B
【点拨】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
8．B
【分析】把 代入，可得 ，再根据整式的运算，可得 ， ，据此
即可判定．
解：把 代入，根据题意得：
即
，，
故选：B
【点拨】本题考查了完全平方式的应用，整式的混合运算，理解题意，对代数式进行比较是解决此类
题的关键．
9．A
【分析】先表示出三月份生产椅子数量为 ，生产沙发的数量为 ，根据该生产厂三月
份椅子生产数量比沙发数量多a件，列出等式 ，即 ，整理变形
为 ，最后将 代入求出结果即可．
解：根据题意得：该生产厂三月份生产椅子数量为 ，生产沙发的数量为 ，
∵该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
把 代入得： ，
解得： ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意得出
，熟练应用平方差公式．
10．D【分析】根据题意可知图 长方形的面积为 ，再根据题意可知图 的面积为 ，最后
利用平方差公式 解答即可．
解：∵两张长方形纸片 ，它们的长分别是 和 ，宽分别是 ，
∴图 的长方形的长为 ，宽为 ，
∴长方形的面积为 ，
∵图 的面积是一个边长为 的正方形，剪去一个边长为 的正方形，
∴图 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
故选 ．
【点拨】本题考查了平方差公式的几何意义，掌握平方差公式 解题的关键．
11．
【分析】根据平方差公式，代值求解即可得到答案．
解：由平方差公式可知 ，
，
，
，
，解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查代数式求值，熟记平方差公式，灵活运用是解决问题的关键．
12．
【分析】先设 ，然后根据平方差公式即可求解．
解：设则 ，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：
．
13．4
【分析】根据 得到 ，化简被求代数式，整体代入计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了整体思想计算代数式的值，熟练掌握思想是解题的关键．
14．
【分析】利用完全平方公式展开运算后代入数值计算即可．
解： ，，
故答案为：
【点拨】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．
15． 1
【分析】利用完全平方公式的最小值为0求出代数式的最小值，以及此时 的值即可．
解：当 ，即 时， 的值最小，最小值为1，
故答案为： ；1
【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16． ，
【分析】本题中，多项式 ，可把 看做是中间项，或是看做第一项，那么，根据完全平方公
式可解答．
解：根据完全平方公式定义得，当 是中间项时，那么，第三项为 ；组成的完全平方式为
；
当 是第一项时，那么，中间项为 ，组成的完全平方式为 ；
当多项式 加上的一个单项式是 或 时，题中所说要成为多项式的完全平方，所以不成立，
舍去.
故答案为： 、 ．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另
一个实系数整式B，使 ，则称A是完全平方式．注意， 即可看做中间项也可看做第三项，解答
时，不要遗漏．
17．
【分析】根据平方差公式得，，然后计算求
解即可．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
18．35
【分析】按照三角形的面积公式表示出阴影面积后，将结果配成完全平方式的形式，再代入已知值即
可．
解：由图，得，上面两个阴影图形面积相等，面积之和为： ，下面两个阴影图形面
积相等，面积之和为： ，
∴阴影面积
，
， ，
原式
．
故答案为：35．
【点拨】本题考查了完全平方式的应用，准确求出面积并配成完全平方式是解题关键．
19．（1） ；（2）【分析】（1）根据平方差公式直接求解即可得到答案；
（2）根据平方差公式及整式乘法法则直接求解即可得到答案；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
【点拨】本题考查平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握 ．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式 直接求解即可．
（2）先利用完全平方公式（及平方差公式计算，再计算整式的加减即可。
（1）解：
（2）解：
．
【点拨】本题考查了平方差公式及完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式及平方差公式．
21．（1） ，5；（2）
【分析】（1）先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把 ， 代入计算即可；
（2）先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把 代入计算即可．
解：（1）．
当 ， 时，
原式 ．
（2）
．
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
22．（1） ；（2）25
【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含 项和 项可得 ，即可求解；
（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变
形为完全平方形式，即可求解．
（1）解：
，
∵化简 的结果中不含 项和 项，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，
不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．
23．（1）②③④；（2） ， ；（3）
【分析】（1）直接根据非负性的定义逐一判断即可；
（2）先将式子根据完全平方公式写出 的形式，再根据非负性的性质即可得出答案；
（3）先根据完全平方公式和平方差公式展开得出 ，再将 代入化简为
，然后根据 变形为 ，即可得出 ，从而可得出答案．
解：（1）① 不一定 ，不具有非负性；
② 具有非负性；
③ 具有非负性；
④ ，具有非负性；
⑤ ，不具有非负性；
具有非负性的代数式有②③④
故答案为：②③④；
（2）当 时，A取到最小值为
故答案为： ， ；
（3）
原式
代数式 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了非负性的性质，涉及到完全平方公式、平方差公式、不等式的性质，熟练掌握非
负数的性质是解题的关键．
24．（1） ；（2）2；（3）
【分析】（1）利用 即可求解；
（2）利用 化简为 ，然后代入求解即可；（3）首先根据 ， 求出 ， ，然后根据 化简得到
，然后代入求解即可．
解：（1）
．
（2）
．
当 ， 时， ．
（3）如图所示，延长 ， 交于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，负值舍去，
∴．
【点拨】本题考查了完全平方公式和多项式相乘的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答
本题的关键．
