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专题 14.1 幂的运算【八大题型】
【人教版】
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】..................................................................................................................2
【题型2 由幂的运算进行简便运算】......................................................................................................................3
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】..............................................................................................................3
【题型4 由幂的运算求字母的值】..........................................................................................................................3
【题型5 由幂的运算表示代数式】..........................................................................................................................3
【题型6 由幂的运算比较大小】..............................................................................................................................4
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】.........................................................................................................5
【题型8 幂的运算中的新定义问题】......................................................................................................................5
知识点：幂的运算
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an= · = = ．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个
am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
（1）幂的乘方的法则可推广为 （m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用： （m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有 ．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有 （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如： （a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用： （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
【题型1 由幂的运算进行求化简求值】
【例1】（23-24八年级·河南周口·期末）若a2n=2（n为正整数），则（4a3n）2÷4a4n的值为 ．【变式1-1】（23-24八年级·重庆南川·期末）已知3m=2，2n=3，则9m ⋅2n= ．
1 1
【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知50a=20，8b=20，则 + = ．（a、b为正整数）
a b
【变式1-3】（23-24八年级·湖南株洲·期末）已知
2x+y=16,4
x+ 1
2
y
=8
，则 23x+y= ．
【题型2 由幂的运算进行简便运算】
( 5 ) 2024 (12) 2023
【例2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）计算： − × = ．
12 5
1 100
【变式2-1】（23-24八年级·上海普陀·期末）简便计算：(− ) ×2733= ．
3
2 5
【变式2-2】（23-24八年级·上海奉贤·期中）用简便方法计算：35×(− ) ×(−5) 6（结果，可用幂的形式
3
表示）．
4 11 3 22
【变式2-3】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）用简便方法计算：(− ) ×(− ) ．
9 2
【题型3 由幂的运算进行整体代入求值】
【例3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）若 ，则 的值为
a+b+c=1 (−2) a−1×(−2) 3b+2×(−2) 2a+3c
.
【变式3-1】（23-24八年级·北京·期末）已知2x+3 y−3=0，求3⋅9x ⋅27y的值为（ ）
A．21 B．81 C．243 D．48
【变式3-2】（23-24春·广西崇左·八年级统考期中）若2a+3b−4c−2=0，则9a×27b÷81c的值为
．
【变式3-3】（23-24八年级·四川成都·期中）若x+4 y−2=0，则22x ⋅44y的值为 ．
【题型4 由幂的运算求字母的值】
【例4】（23-24八年级·河北沧州·期中）已知3a+1×5a+1=152a−3，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4-1】（23-24八年级·四川眉山·阶段练习）若 34×34×34=3m，43+43+43+43=4n，则m−n的
值为( )
A．−5 B．0 C．3 D．8
【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中若22n+3+4n+1=192，则n的值为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）若m，n均为正整数，且 2m−1×4n=32，则m+n的所有可能值
为 ．【题型5 由幂的运算表示代数式】
【例5】（23-24八年级·山东淄博·期中）若 且 ， 、 是正整数），则 ．利用上面结
am=an (a>0 a≠1 m n m=n
论解决下面的问题：
(1)若3x×9x×27x=312，求x的值．
(2)若x=5m，y=4−25m，用含x的代数式表示y．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）若x=3m，y=9m−3，用x的代数式表示y，则y=
．
【变式5-2】（23-24八年级·福建泉州·期中）已知2m=a，2n=b，3m=c，请用含a，b，c的式子表示下列
代数式：
(1)2m+n
(2)42m+3n
(3)36m
【变式5-3】（2024八年级·全国·专题练习）在等式的运算中规定：若 且 ， ， 是正整
ax=ay (a>0 a≠1 x y
数），则x= y，利用上面结论解答下列问题：
(1)若9x=36，求x的值；
(2)若3x+2−3x+1=18，求x的值；
(3)若m=2x+1，n=4x+2x，用含m的代数式表示n．
【题型6 由幂的运算比较大小】
【例6】（23-24八年级·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较322和411的大小．
解：∵ ，且
411=(22) 11 =222 3>2
∴322>222，即322>411
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较28和82的大小
解：∵ ，且
82=(23) 2 =26 8>6
∴28>26，即28>82
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】(1)比较344、433、522的大小
(2)比较8131、2741、961的大小
(3)已知a2=2，b3=3，比较a、b的大小
【变式6-1】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）比较大小：721 1714（用“＞”“＜”或“＝”填
空）．
【变式6-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，c的大小并用“
>”把它们连接起来： ．
【变式6-3】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小
的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数
相同的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a,b的大小关系是a b（填“<”或“>”）．
解： ； ，且 ，
∵a15=(a3) 5 =25=32 b15=(b5) 3 =33=27 32>27
∴a15>b15，
∴a>b，
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质： ；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(2)比较8131，2741，961的大小；
(3)比较2100与375的大小．
【题型7 由幂的运算确定字母之间的关系】
【例7】（2024八年级·江苏·专题练习）若2a=5，2b=10，2c=50，则a、b、c之间满足的等量关系成立
的是
①c=2b−1；②c=a+b；③b=a+1；④c=ab
⏟2×2×⋅⋅⋅⋅⋅×2=⏟4×4×⋅⋅⋅×4
【变式7-1】（2024·河北唐山·八年级期末）若 ，则k与m（k，m都
k个2 m个4
为正整数，且k≥2）的关系是（ ）
A．k=m B．k=2m C．k+m=6 D．m−k=2
【变式7-2】（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）已知9x=m，3y=n，27z=mn，那么x，y，z满足的等
量关系是 ．
40
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c= ，那么a、b、c之间满足的等量关
9
系是 ．【题型8 幂的运算中的新定义问题】
【例8】（23-24八年级·湖北随州·期末）阅读以下材料：
指数与对数之间有密切的联系，它们之间可以互化．
对数的定义：一般地，若ax=N (a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log N，比如指数
a
式24=16可以转化为对数式4=log 16，对数式2=log 25，可以转化为指数式52=25．
2 5
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
log (M⋅N)=log M+log N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，理由如下：
a a a
设log M=m，log N=n，则M=am，N=an，
a a
∴M⋅N=am ⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=log (M⋅N)
a
又∵m+n=log M+log N，
a a
∴log (M⋅N)=log M+log N．
a a a
请解决以下问题：
(1)将指数式34=81转化为对数式_______；
M
(2)求证：log = log M−log N(a>0，a≠1，M>0，N>0)；
a N a a
(3)拓展运用：计算log 9+log 8−log 2=______．
6 6 6
【变式8-1】（23-24八年级·山东济南·期中）我们定义：三角形 ＝ab•ac，五角星
＝z•（xm•yn），若 ＝4，则 的值＝ ．
【变式8-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）定义一种新运算[a,b)：若ax=b，则[a,b)=x．例如：32=9
，则[3,9)=2．已知[2,5¿+)2,6¿=¿¿2,m¿¿，则m的值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·上海浦东新·期中）如果ac=b，那么我们规定：F(a,b)=c，例如，因为23=8
，34=81那么我们就说F(2,8)=3，F(3,81)=4；
(1)请根据上述定义，填空：(2 16 )
F(4,16)=______；F(2,64)=______；F , =______；
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(2)已知，，，且，求的值．
