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专题 14.6 乘法公式（考点分类专题）（精选精练）（专项练习）
【考点目录】
【考点1】平方差公式的辨析； 【考点2】完全平方公式的辨析；
【考点3】平方差公式的逆运算； 【考点4】构成完全平方式的参数；
【考点5】运用平方差公式进行简便运算； 【考点6】运用完全平方公式进行简便运算；
【考点7】构造平方差公式进行运算； 【考点8】利用完全平方公式变形进行运算；
【考点9】乘法公式进的整体思想化简求值； 【考点10】平方差公式中的规律问题；
【考点11】完全平方公式规律问题； 【考点12】平方差公式与几何问题；
【考点13】完全平方公式与几何问题； 【考点14】乘法公式中的新定义；
【考点1】平方差公式的辨析；
【1-1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中
有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可．
解：A、 和 互为相反数， 和 互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选
项符合题意；
B、 和 互为相反数， 和 相同，能用平方差公式计算，故该选项不符合题意；
C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意；
D、 和 互为相反数， 和 互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选
项符合题意；故该选项不符合题意；
故选：B．
【1-2】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题主要考查了平方差公式： ．根据平方差公式特点逐项判定即可．
解∶A． 符合平方差公式的特点，故不符合题意；
B． 符合平方差公式的特点，故不符合题意；
C． 符合平方差公式的特点，故不符合题意；
D． 不符合平方差公式的特点，故符合题意；
故选∶D．
【1-3】（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式的乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键： ．
解；A、 ，可以用平方差公式计算，不符合题意；
B、 ，可以用平方差公式计算，不符合题意；
C、 ，不可以用平方差公式计算，符合题意；
D、 ，可以用平方差公式计算，不符合题意；
故选：C．
【考点2】完全平方公式的辨析；
【2-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解．
解：A、 中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意；
B、 ，能用完全平方公式计算，符合题意；
C、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计
算，不符合题意；
D、 中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计
算，不符合题意；
故选：B．
【2-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式的特征： ；
根据完全平方公式逐个判断即可．
解：A. ，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
B. ，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
C. ，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误；
D. ，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确；
故选：D．
【2-3】（22-23七年级下·福建三明·期中）下列各式中不能用平方差公式或完全平方公式计算的是（
）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】平方差公式为 ，完全平方公式为 ，由此即可求解．
解： 、 ，故 选项能用平方差公式，不符合题意；
、 不能用平方差公式或完全平方公式计算，故 选项符合题意；
、 ，故 选项能用平方差公式，不符合题意；
、 ，故 选项能用平
方差公式或完全平方公式计算，不符合题意；
故选： ．
【点拨】本题主要考查乘法公式的运用，掌握平方差公式，完全平方公式的运用是解题的关键．
【考点3】平方差公式的逆运算；
【3-1】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）若 ，且 ，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查了平方差公式的变形计算，代入求值的运用，根据题意分别求出 的值，代入计算
即可．
解：根据题意可得， ，
已知 ,
∴ ，
∴原式 ，
故答案为：10 ．
【3-2】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，根据平方差公式把所求式子变形为
，进一步变形得到 ，据此可得答案．解：∵ ，
∴
，
故答案为：1．
【3-3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果x，y满足方程组 ，那么 的值为
．
【答案】6
【分析】本题考查平方差公式、代数式求值，把方程组化简得 ，再利用平方差公式进行整体代入
求解即可．
解： ，
由 得， ，
∴ ，
故答案为：6．
【考点4】构成完全平方式的参数；
【4-1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）若关于x的多项式 是完全平方式，则k
的值等于 ．
【答案】6或
【分析】本题主要考查根据完全平方式求参数的值，根据完全平方式的特点“首平方，尾平方，首尾的2
倍在中央”进行求解即可．
根据完全平方公式的特点即可解得．解：∵ 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： 或 ．
故答案为：6或 ．
【4-2】（23-24七年级下·全国·期中）若二次三项式 是一个完全平方式，则m的值是
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征一次顶系数一半的平方等于常数项，
平方数的特征．是此题解题的关键．
先根据一次顶系数一半的平方等于 ，再根据平方数求解m即可．
解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：3．
【4-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么
A是 ．
【答案】 、 和
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出A，熟练掌握完全平方公式
是解本题的关键．
解：①∵ ，
∴ ，
②若 是多项式的平方，则 ；
故答案为： 、 和 ．
【考点5】运用平方差公式进行简便运算；
【5-1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式简便计算，将 化为 ，再根据平方差
计算化简即可．
解：
；
故答案为：2035.
【5-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式，求一个数的平方根，根据平方差公式得到 ，则
，据此可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【5-3】（22-23七年级上·湖南常德·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式对每一个式子因式分解，再把结果相乘即可求
解，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
解：原式
，
，
，
故答案为： ．
【考点6】运用完全平方公式进行简便运算；
【6-1】（23-24六年级下·山东青岛·期中）用简便方法计算 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据完全平方公式计算即可．
解： ，
故选：A．
【6-2】（17-18七年级下·全国·单元测试）用简便方法计算：20192－2019×38＋361＝ ．
【答案】4000000
【分析】运用完全平方公式进行计算即可.
解：20192－2019×38＋361＝20192－2×2019×19＋192＝（2019-19）2=4000000.
故答案为4000000.【点拨】本题考查了完全平方公式.
【6-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）简便运算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ； (2)
【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式：
（1）直接利用完全平方公式求解即可；
（2）先把原式变形为 ，再利用平方差公式求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【考点7】构造平方差公式进行运算；
【7-1】（2020七年级上·全国·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为 ，利用平方差
公式进行简算即可．
解：；
故答案为： ．
【7-2】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）计算： ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上 ，即可连续运用平方差公式进
行计算，进而得出计算结果．
解：．
故答案为：2．
【7-3】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）算式 的
个位数字为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类的规律探索，先把原式变形为
，再利用平方差公式计算出最终的结果为 ，
再找到规律 这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，据此规
律求解即可．
解：
，
的个位数字是2， 的个位数字是4， 的个位数字是8， 的个位数字是6， 的个位数字是
2， 的个位数字是4，……，∴ 这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，
∵ ，
∴ 的个位数字是6，
∴ 的个位数字是5，
故答案为：5．
【考点8】利用完全平方公式变形进行运算；
【8-1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，根据 得到
，则可推出 ，再由完全平方公式的变形可得 ，据此
求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【8-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，那么 ．
【答案】34
【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对 进行变形．
根据完全平方公式对 进行变形，再将 ， 代入即可求解．
解： ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：34．
【8-3】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）若 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，以及数学的整体思想，将 变形为
，将 看作一个整体，再结合完全平方公式求解，即可解题．
解：
．
故答案为： ．
【考点9】乘法公式进的整体思想化简求值；【9-1】（24-25八年级上·四川内江·开学考试）已知 ，那么
．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，先对等式进行整理，可得到 ，再对所求的式子进行
变形， ，如此分子可运用完全平方公式进行因式分解进行求解．熟
记公式是解题关键．
解：∵ ，
∴ ，即： ，
则 ，
故答案为： ．
【9-2】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）若 ，则代数式 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，结合平方差公式先将 化简，再代
入 到化简结果即可解题．
解：
，
将 代入得：
上式 ；
故答案为： ．
【9-3】（24-25七年级上·上海·阶段练习） ， ， ，则．
【答案】12
【分析】本题主要考查了完全平方公式，先把所求式子变形为 ，再利
用完全平方公式得到原式 ，据此代值计算即可．
解：∵ ， ， ，
∴
，
故答案为：12．
【考点10】平方差公式中的规律问题；
【10-1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）根据等式： ， ，
， 的规律，则可以得出 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字类规律问题．先将 变形为
，根据求出的结果得出规律，即可解答．解：
，
．
故选：D．
【10-2】（22-23七年级下·湖南娄底·阶段练习）观察： ， ，
，据此规律，当 时，代数式 的值为
（ ）
A．0或 B．1或 C．0 D．
【答案】A
【分析】先根据规律求得x的值，再代入求解即可．
解：∵ ，
，
，⋯,
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．【点拨】本题考查代数值求值，通过规律解决数学问题，求出x的值是解题的关键．
【10-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这
个正整数为“智慧数”．因为 ， ， ， ，……，所以按从小到大的
顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第
个“智慧数”．
【答案】1516
【分析】本题考查了新定义“智慧数”以及平方差公式的运用；分别考虑奇数、4的倍数的数，及被4除
余2与3的数；设两个数分别为 ，其中 ，且k为整数，即 ，表明大于1的奇
数都是“智慧数”；考虑 ，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；证明 不是
“智慧数”；据此可以判断自然数中的 “智慧数”；找到规律后，即可完成求解．
解：对于相邻两个自然数 ，其中 ，且k为整数，
由于 ， k为正整数，
因而 和 就是两个自然数，
表明大于1的奇数都是“智慧数”；
对于两个自然数 ，其中 ，且k为整数，
则 ，表明大于4的4的倍数都是“智慧数”；
对于 的自然数，下面证明它不是“智慧数”；
若它是“智慧数”，则必有m、n，满足 ，
当m、n奇偶性不同时， 都是奇数，其积也是奇数，但上式左边是偶数，矛盾，即
不是“智慧数”； 是奇数，故是“智慧数”；
综上知，所有正整数中，1、4及 不是“智慧数”外，其余都是“智慧数”；
则“智慧数”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前两个3与5外，其余都是3
个一组的连续整数，且中间一个数为4的倍数，且2024所在的组三个数为：2023，2024，2025，而
2022则不是“智慧数”，由于 ，即从2开始到2022，形如 的数共有
506个数不是“智慧数”，去掉1与4两个，共有508个数不是“智慧数”，故2024是第个“智慧数”；
故答案为：1516．
【考点11】完全平方公式规律问题；
【11-1】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从
3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： ； ； ； ；
…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写
出第 个数对： ．
【答案】
【分析】本题考查了数字的变化规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．根据题意把
每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第 个数对的第一个数为 ，
第二个数为 ，于是得到结论．
解：每个数对的第一个数分别为 ， ， ， ， ， ，
即 ， ， ， ， ， ，
则第 个数对的第一个数为 ，
每个数对的第二个数分别为 ， ， ， ， ， ，
即 ， ， ， ， ，
则第 个数对的第二个数为 ，
∴第 个数对为 ，故答案为： ．
【11-2】（2024·江西南昌·模拟预测）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种
几何排列，如图是杨辉三角形的部分排列规律，则第八行从左数第三个数为（ ）
A．十五 B．二十一 C．二十五 D．三十五
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，各项是按a的降幂排列的，它的两端都是由数字1组成的，而其余的
数则是等于它肩上的两个数之和．
从第3行开始依次确定第三个数，即是完全平方公式中的第三项的系数，找到规律即可确定第八行第三
个数．
解：依据规律可得到： 的展开式的系数是杨辉三角第8行的数，
第3行第三个数为1，
第4行第三个数为 ，
第5行第三个数为 ，
…
第8行第三个数为： ．
故选：B．
【11-3】（23-24八年级上·四川宜宾·阶段练习）“杨辉三角”给出了 展开式的系数规律（其中n
为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等
于它肩上的两个数之和．例如： 展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排
对应： 展开式的项的系数1，3，3，1与“杨辉三角”第四排对应；依此类
推…判断下列说法正确的是（ ）
①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；②当 时，代数式 的值为 ；
③ 展开式中所有系数之和为 ；
④当代数式 的值为1时， 或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解．
解：如图，
依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确；
当 时， ，故②说法错误；
令 ，则 ，故说法③正确；
当代数式 的值为1时，
即 ，
∴ ，
∴ 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
解得 或 ，故说法④正确，
综上可得，说法正确的有①③④，故选：C．
【点拨】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是
解题的关键．
【考点12】平方差公式与几何问题；
【12-1】（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图
示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是
米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
【答案】 /
【分析】本题考查了平方差公式的几何表示，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键．
结合图形，根据梯形的面积公式 （上底 下底） 高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．
解：由题意得菜地的面积为 ．
故答案为： ．
【12-2】（23-24七年级下·河北邢台·期中）如图，这是某校劳动实践基地的两块边长分别为 的正方
形用地 ， ，其中 种菜， 种花，不能使用的部分（阴影部分）为 ，面积为 ．
（1）种菜和花的总面积为 （用含 的代数式表示）．
（2）经测量， 与 之和为8米，种菜的面积比种花的面积多了16平方米，则 比 长 米．【答案】 2
【分析】本题考查列代数式，平方差公式与几何图形的面积问题．
（1）用两个正方形的面积分别减去阴影部分的面积，再求和即可；
（2）利用种菜的面积比种花的面积多了16平方米，结合平方差公式进行计算即可．
解：（1）由题意，得：种菜的面积为： ，种花的面积为 ，
∴种菜和花的总面积为 ；
故答案为： ；
（2）由题意，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 比 长2米；
故答案为：2．
【12-3】（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数字“ ”非常的神奇，它可以写成 ，也可以写成
，还可以写成 ，请把数字“ ”进行转换然后计算： .
【答案】
【分析】本题考查了数字“ ”转换，将数字“ ”化成 添加到原式中，然后利用平方差公式依
次计算化简即可得解，采用平方差的公式计算化简是解题关键．
解：原式故答案为： ．
【考点13】完全平方公式与几何问题；
【13-1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为 的
正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求 的值
．
【答案】6
【分析】本题考查了完全平方公式，用两种方法表示图形面积，列出方程求解即可．
解：根据题意可得：
，
，
，
，
故答案为：6．
【13-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的
“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a､b，斜边为c）与中
间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则 的
值为 ．【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分别表示出大正方形面积和小正方形面积，得出
， ，求出 ，最后根据完全平方公式计算即可得出答案．
解：∵大正方形面积为11，
∴ ，
∵小正方形的面积为3，
∴ ，
∴ ，
得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【13-3】（22-23七年级下·山东菏泽·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到
图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边
长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 ．
【答案】19
【分析】设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得： ，根据完全平方和公
式得到 ，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去 和 的面积，即可求
出阴影部分的面积．
解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意可得： ，
，
，
，
是 得中点，
，
， ，
．
故答案为：19．
【点拨】本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．
【考点14】乘法公式中的新定义；
【14-1】（23-24九年级上·重庆渝中·阶段练习）定义一种新运算 ， ，则下列说
法正确的有（ ）
①
②当 时，
③当 ， 时，
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据 代入数值计算即可判断①，当 ， ，解得或 ，即可判断②，设 ，
， ，
即 ，即可判断③．
解：∵ ，
∴
，
故①正确，
当 时， ，
∴ ，
∴ 或 ，
故②错误，
当 ， 时，
则 ， ，
设 ， ，∵
即 ，
故③错误，
综上可知，正确的是①，
故选：B
【点拨】此题考查了新定义实数运算，熟练运用完全平方公式进行变形求值是解题的关键．
【14-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设 是实数，定义一种新运算； ．
下面有四个推断：① ；② ；③ ；④ ．其中正
确推断的序号是 ．
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了完全平方公式，解题的关键是新运算规则，对选项逐个进行判断．
解： ， ，故①正确；
， ，故②错误；
， ，故③正确；
， ，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：①③．
【14-3】（2022·河北衡水·模拟预测）定义新运算： ，如 ，
．
；
若 ，则 的取值范围是 ．【答案】
【分析】 根据新定义的运算进行求解即可；
由等式的右边可得 ，再结合新定义的运算，从而可求解．
解：
，
故答案为： ；
，
，
，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，函数自变量的取值范围，解答的关键是理解清楚新定义的运
算．
