文档内容
专题 15.3 分式方程的应用
◆ 典例分析
【典例1】2023年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽
改造工程．已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是8．6千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽
里程数的2倍少1千米．
（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；
（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙工程队平均每天多施工10米．由于工期需要，甲工
1 1
程队在完成所承担的 施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了 ．设乙工程队平均每天施工a
3 5
米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数a和施工的天数．
【思路点拨】
（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为（2x-1）千米，根据道路硬化和道路拓宽改造工程
的总里程数是8.6千米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
6
（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工（a+10）米，技术改进后每天施工
5
（a+10）米，由甲、乙两队同时完成施工任务，即可得出关于a的分式方程，解之经检验后即可得出a
3200
值，再将其代入 中可求出施工天数．
a
【解题过程】
解：（1）设道路拓宽里程数为x千米，则道路硬化里程数为(2x−1)千米，
依题意，得：x+(2x−1)=8.6，
解得：x=3.2，
∴2x−1=5.4．
答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米．
（2）设乙工程队平均每天施工a米，则甲工程队技术改进前每天施工(a+10)米，技术改进后每天施工点
6
(a+10)米，
5
3200
依题意，得：乙工程队施工天数为 天，
a1
5400×
甲工程队技术改造前施工天数为： 3 1800天，
=
a+10 a+10
1
5400×(1− )
3 3000
技术改造后施工天数为： = 天．
6 a+10
(a+10)
5
3200 1800 3000
依题意，得： = + ，
a a+10 a+10
解得：a=20，
经检验，a=20是原方程的解，且符合题意，
3200
∴ =160．
a
答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号
的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物
9
多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的 和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是
10
（ ）
55 17
A．15元 B． 元 C．10元 D． 元
6 2
【思路点拨】
本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是
1.2x元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经
检验后即可得出结论．
【解题过程】
解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是0.9x元，B礼物的单价是1.2x元，
450 420
依题意得： − =10，
0.9x 1.2x
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意．所以，这一批礼物平均单价是15元．
故选：A．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）欧拉是世界上著名的数学家、天文学家、物理学家．在欧拉的著作
《代数引论》中有这样一个有趣的题：两个农妇一共带了100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但
卖的钱数相同，第一个农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖15个克罗索（克罗索是古代欧洲的一种
20
货币名称），”第二个农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖 个克罗索．”此题中第一个农妇的
3
每个鸡蛋价格是（ ）
1 1 1 1
A． 个克罗索 B． 个克罗索 C． 个克岁索 D． 个克罗索
3 4 5 6
【思路点拨】
本题考查列分式方程解应用题．根据两人卖鸡蛋的钱数相等，列分式方程求得这两名农妇各带来多少个鸡
蛋，再计算出第一个农妇每个鸡蛋的单价即可．
【解题过程】
解：设第一个农妇带来x个鸡蛋，第二个妇女带了(100−x)个．由题意得：
20
15 3 ．
⋅x= ⋅(100−x)
100−x x
解得：x=40，
检验：当x=40时，x(100−x)≠0，符合题意．
100−x=60．
即第一个农妇带了40个鸡蛋，第二个农妇带了60个鸡蛋．
1
∴第一个农妇的鸡蛋价格为：15÷60=0.25= 个克罗索．
4
故选：B．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、
乙、丙每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为2:1．若甲、丙两车各运相同次
数运完这批货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙共运了270吨．则这批
货共有（ ）
A．360吨 B．450吨 C．540吨 D．630吨
【思路点拨】
本题主要考查分式方程的应用，根据次数得到相应的等量关系，列出方程是解决本题的关键．【解题过程】
解：∵甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为2:1，
∴设货物总吨数为x吨，甲每次运a吨，则乙每次运2a吨，丙每次运b吨，
180 x−180
{ = )
a b
由题意得： ，
270 x−270
=
2a b
x−270 x−180
整理得： = ，
135 180
解得：x=540，
经检验x=540是原方程的根，
即这批货物共有540吨．
故选：C．
4．（2023八年级·全国·专题练习）现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖50千克，其中各种糖的千克
数和单价如下表．
甲种糖 乙种糖 丙种糖
千克数 20 10 20
单价（元/千克） 15 20 25
商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价
每千克提高1元，则需再加入丙种糖 千克．
A．10 B．10.5 C．11 D．12.5
【思路点拨】
设需再加入丙种糖x千克，根据要使什锦糖的单价每千克提高1元列出分式方程，解之后检验，即可得出
答案．
【解题过程】
解：设需再加入丙种糖x千克，
15×20+20×10+25(20+x) 15×20+20×10+25×20
由题意得 = +1，
20+10+20+x 20+10+20
解得x=12.5，
经检验，x=12.5是分式方程的解，且符合题意，
故需要再加入丙种糖12.5千克，
故选：D．5．（22-23八年级·全国·单元测试）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时
的对话信息如下：
1
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
60
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；
1
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的 ；
2
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时
间＝工作总量．
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（ ）小
时．
1 3
A．20 B．21 C．19 D．19
4 4
【思路点拨】
1 1 1
设甲单独完成任务需要x小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 + ，根据乙提供的信息列出方
x x 60
程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时
间．
【解题过程】
1 1 1
解：设甲单独完成任务需要x小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 + ，由题意得：
x x 60
4 (1 1 )
=3 + ，
x x 60
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，且符合题意，
1 1 1 1 1 1
甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 + = + = ，
20 x 60 20 60 15
1
∵丙的工作效率是乙的工作效率的 ，
21 1 1
丙的工作效率是 × = ，
2 15 30
1 1 1 3
∴一轮的工作量为： + + = ，
20 15 30 20
3 1
∴6轮后剩余的工作量为：1− ×6= ，
20 10
1 1 1
∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为： − = ，
10 20 20
1 1 3
∴乙还需要工作的时间为 ÷ = （小时），
20 15 4
3 3
∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需3×6+1+ =19 （小时）．
4 4
故选：D．
6．（2023·河北石家庄·二模）某市需要紧急生产一批民生物资，现有甲、乙两家资质合格的工厂招标，加
工一天需付甲厂货款1.5万元，付乙厂货款1.1万元，指挥中心的负责人根据甲乙两厂的投标测算，可有三
种施工方案：方案①：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成；方案②：乙队单独完成这项任务比规定日期
多用5天；方案③：若甲乙两厂合作4天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成，在不耽误工期的前
提下，最节省费用的加工方案是（ ）
A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案①和方案③
【思路点拨】
设甲厂单独完成这项任务需要x天，则乙厂单独完成这项任务需要(x+5)天，根据甲乙合作4天的工作总量
+乙做（规定天数−4）天的工作量=1，求出甲厂单独完成这项任务需要天数，再分别算出三种方案的价
钱，根据题意进行选择即可．
【解题过程】
解：设甲厂单独完成这项任务需要x天，则乙厂单独完成这项任务需要(x+5)天，
4 4 x−4
根据题意得： + + =1，
x x+5 x+5
解得：x=20，
经检验：x=20是原分式方程的解，
∴x+5=25，
这三种方案需要的工程款为：
方案①1.5×20=30（万元）；
方案②1.1×(20+5)=27.5（万元）；方案③1.5×4+1.1×20=28（万元）．
综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择方案③．
故选：C．
7．（2023·四川巴中·模拟预测）某区进行雨水、污水管道改造工程，经测算，若由甲工程队单独完成这项
工程，则需要120天；若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做36天，即可完成．乙队单
独完成这项工程需要 天．
【思路点拨】
本题考查分式方程的应用．设乙队单独完成这项工程需要x天，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量
=总工程量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解题过程】
解：设乙队单独完成需x天，
1 (1 1 )
根据题意，得： ×20+ + ×36=1，
x x 120
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解且符合实际意义，
答：乙队单独完成需80天．
故答案为：80．
8．（2023·江苏连云港·三模）某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300
顶帐篷 后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，则原来每天加工帐篷
顶．
【思路点拨】
设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，根据原来的时间比实际多4天建立方程
求出其解即可．
【解题过程】
解：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，
1500 (300 1500−300)
据题意得： − + =4，
x x 1.5x
解得：x=100．
经检验，x=100是原分式方程的解．
故答案为：100．
9．（2023九年级·全国·专题练习）某超市销售一种计算机，每个售价48元，后来计算机进价降低了4%，
但售价未变，从而使超市销售这种计算机的利润率又提高了5%．则这种计算机原来每个进价是 ．【思路点拨】
本题的等量关系“利润＝售价﹣进价，利润率＝利润÷进价，超市销售这种计算机的利润率提高了5%”列
分式方程求解即可．
【解题过程】
解：设这种计算器原来每个进价为x元，
48−x 48−(1−4%)x
根据题意得： +5%= ，
x (1−4%)x
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的根，且符合题意．
故答案为：40元．
10．（2024八年级·全国·竞赛）某奶粉厂有七个奶粉生产车间，为了加强监管，保证奶粉生产质量，厂领
导派出了甲、乙两组检验员同时进入生产车间进行产品检验，每组6名检验员．其中甲组先平均分成两队
分别同时进入一、二号车间进行检验，用2天时间检验完了一、二号车间原有的和检验期间新生产的奶
粉．然后这两队再分别同时进入三、四号车间检验，又用了3天时间检验完所有的待检产品．乙组检验员
平均分成三队分别同时进入五、六、七号车间进行检验．假设每个检验员的检验效率一样，每个生产车间
原有的待检产品数量也一样，且每个车间每天新生产的待检产品数量还是一样，那么乙组检验员要检验完
所有待检产品至少需要 天．
【思路点拨】
本题考查分式方程方程的的应用，根据“每个检验员的检验效率一样，每个生产车间原有的待检产品数量
也一样”列方程解题即可．
【解题过程】
解：设每个车间原有产品数量为a，每个车间每天新生产的产品数量为b，乙组检验员要检验完所有待检产
品需要x天，
则甲组前两天的工作量为2a+4b，后三天的工作量为2a+4b+6b=2a+10b，
2a+4b 2a+10b
∴ = ，
2 3
解得 a=4b，
3a+3bx 2a+4b
又 = ，
6x 2×6
解得x=4，
经检验x=4是原方程的解．
故答案为：4．11．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）现有形状、大小、库存货物完全相同的A，B两个仓库，已知
甲、乙两人合作搬运完A仓库需要20小时，乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时．现由乙先与甲合作
搬运A仓库，同时丙在独立搬运B仓库，n小时后，乙停止搬运进行休息，乙休息1.5小时立即到B仓库和
丙一起搬运，若搬运完A，B两个仓库各用了27小时，则n= ．
【思路点拨】
可设单独搬运甲需要x小时，乙需要y小时，丙需要z小时，根据等量关系：甲、乙两人合作搬运完A仓库
需要20小时；乙、丙两人合作搬运完B仓库需要24小时；搬运完A、B两个仓库各用了27小时；列出方程
组求解即可．
【解题过程】
解：设单独搬运甲需要x小时，乙需要y小时，丙需要z小时，依题意有
1 1 1
{ + = ①
x y 20 )
1 1 1
+ = ②
y z 24
27 n
+ =1③
x y
27 27−1.5−n
+ =1④
z y
①×27−③得7 y+20n=540⑤，
②×27−④得y−8n=12⑥，
{n=6
)
联立⑤⑥得 ，
y=60
经检验得，n，y的值是原方程组的解，
∴n的值为6.
故答案为：6．
12．（23-24八年级下·四川眉山·期中）用价值为100元的甲种涂料与价值为240元的乙种涂料配制成一种
新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂
料每千克的售价．
【思路点拨】
本题考查了分式方程的应用：先设新涂料每千克的售价为x元，再结合“用价值为100元的甲种涂料与价
值为240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克的售价比甲种涂料每千克的售价少3元，比乙种涂料
每千克的售价多1元”，进行列式，然后解分式方程，注意要验根作答．
【解题过程】解：设新涂料每千克的售价为x元，根据题意，得
100 240 100+240
+ =
x+3 x−1 x
解这个方程，得x=17
经检验：x=17是原方程的解，且符合题意．
答：新涂料每千克的售价为17元．
13．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）（行程问题）甲、乙、丙三人环湖跑步，从湖边同一地点出
1 3
发，甲与乙、丙逆向跑，在甲第一次遇到乙后的1 分钟遇到丙，再过3 分钟，第二次遇到乙，已知甲、
4 4
乙的速度比是3:2，湖周长是2000米，问甲、乙、丙每分钟各跑多少米？
【思路点拨】
本题考查了行程问题中的相遇问题，分式方程，解题的关键是求出甲、乙第一次相遇到第二次相遇所用的
时间．根据题意可求出甲、乙第一次相遇到第二次相遇所用的时间，再根据甲、乙的速度比是3:2，设甲
的速度为3x，乙的速度为2x，列出分式方程，求出甲、乙的速度，然后求出甲与丙相遇的时间，即可求
出丙的速度．
【解题过程】
解：设甲的速度为3x，乙的速度为2x，
1 3
甲第一次遇到乙到第二次遇到的乙所用时间为：1 +3 =5（分钟），
4 4
2000
∴ =5，
3x+2x
解得：x=80，
∴甲的速度：80×3=240（米/分），
乙的速度：2×80=160（米/分），
1 1
甲与丙相遇的时间为：5+1 =6 （分钟），
4 4
1
甲、丙的速度和为：2000÷6 =320（米/分），
4
丙的速度：320−240=80（米/分），
答：甲、乙、丙每分钟各跑240米、160米、80米．
14．（2024·重庆江津·二模）甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学
校20km的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍．（1）若甲先行驶3km，乙才开始从学校出发，乙出发45min后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？
（2）若甲先出发20min，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？
【思路点拨】
此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设甲每小时行驶xkm，根据路程相等列出方程，解方程即可；
（2）设甲每小时行驶xkm，根据时间关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）设甲每小时行驶xkm，
45 45
由题意得： x+3= ×1.5x
60 60
解得x=8，
则1.5x=12
答：乙每小时行驶12km；
（2）设甲每小时行驶xkm，由题意得
20 20 20
− =
x 60 1.5x
解得x=20
经检验，x=20是原分式方程的根
1.5x=1.5×20=30
答：乙每小时行驶30km
15．（23-24八年级下·重庆·期中）春风轻拂，万物复苏，青团成为这个季节不可或缺的美食．它不仅是一
种食物，更是一种情感的寄托，承载了人们对春天的赞美和怀念，某甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻
辣牛肉两种青团，
（1）上午，两种青团共卖出300个，销售额为2800元，其中爆珠榴莲的单价为10元，麻辣牛肉的单价为8
元，求卖出两种青团各多少个；
（2）下午，该店调整了两种青团的价格，结果爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价贵3元，售出爆珠榴莲的
个数比麻辣牛肉的个数多50%，爆珠榴莲的销售额为1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，求爆珠榴莲的
单价是多少元．
【思路点拨】
本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元一次方程，分式方程的运用
方法是解题的关键．
（1）根据题意，设爆珠榴莲有x个，则麻辣牛肉有(300−x)个，由数量关系列方程求解即可；（2）设麻辣牛肉的单价m元，则爆珠榴莲的单价(m+3)元，根据数量关系列分式方程即可求解．
【解题过程】
（1）解：设爆珠榴莲有x个，则麻辣牛肉有(300−x)个，
∴10x+8(300−x)=2800，
解得，x=200，
∴爆珠榴莲有200个，则麻辣牛肉有100个；
（2）解：∵爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价贵3元，
∴设麻辣牛肉的单价m元，则爆珠榴莲的单价(m+3)元，
∵爆珠榴莲的销售额为1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，
1050 400
∴爆珠榴莲的销售数量为： 个，麻辣牛肉的销售数量为： 个，
m+3 m
∵售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉的个数多50%，
1050 400
∴ = (1+50%)，
m+3 m
解得，m=4，
检验，当m=4时，原分式方程的分母不为零，
∴麻辣牛肉的单价4元，爆珠榴莲的单价7元，
答：爆珠榴莲的单价7元．
16．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进A，B两款热水袋，已知老板购进3个A款热水袋与2个B款
热水袋的费用相同，购进5个A款热水袋比3个B款热水袋的费用多5元．
（1）求每个A款热水袋与每个B款热水袋的进价；
（2）商店老板为了吸引顾客，决定对A款热水袋进行打折销售，经计算，A款热水袋降价20%后获得的销
售额为720元，比按照原价打九折销售要多卖5个才能获得相同的销售额，则A款热水袋降价前的售价为每
个多少元？
【思路点拨】
本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．
（1）设A款热水袋进价为x元/个，B款热水袋进价为y元/个，根据购进3个A款热水袋与2个B款热水袋的
费用相同，购进5个A款热水袋比3个B款热水袋的费用多5元，可列二元一次方程组，即可解答；
（2）设A款热水袋降价以前的售价为m元，则可得降价20%后的售价为0.8m元，利用按照按照原价打九
折销售的个数加上5等于降价20%后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【解题过程】
（1）解：设A款热水袋进价为x元/个，B款热水袋进价为y元/个，{3x−2y=0)
根据题意可得 ，
5x−3 y=5
{x=10)
解得 ，
y=15
答：A款热水袋购进的个数为10元/个,B款热水袋进价为15元/个；
（2）解：设A款热水袋降价以前的售价为m元，则可得降价20%后的售价为(1−20%)m=0.8m元，打九
折销售的售价为0.9m元，
720 720
根据题意可得 +5= ，
0.9m 0.8m
解得m=20，
经检验，m=20为原方程的解，
答：A款热水袋降价以前的售价20元．
17．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）在落实“精准扶贫”战略中，三峡库区某驻村干部组织村民依托
著名电商平台“拼多多”组建了某土特产专卖店，专门将进货自本地各家各户的A、B两款商品销售到全
国各地．2023年10月份，该专卖店第一次购进A商品40件，B商品60件，进价合计8400元；第二次购
进A商品50件，B商品30件，进价合计6900元．
（1）求该专卖店10月份A、B两款商品进货单价分别为多少元？
（2）10月底，该专卖店顺利将两次购进的商品全部售出．由于季节原因，B商品缺货，该专卖店在11月
份和12月份都只能销售A商品，且A商品11月份的进货单价比10月份上涨了m元，进价合计49000元；
12月份的进货单价又比11月份上涨了0.5m元，进价合计61200元，12月份的进货数量是11月份进货数量
的1.2倍．为了尽快回笼资金，A商品在11月份和12月份的销售过程中维持每件150元的售价不变，到
2021年元旦节，该专卖店把剩下的50件A商品打八折促销，很快便售完，求该专卖店在A商品进货单价
上涨后的销售总金额为多少元？
【思路点拨】
（1）设每件A种商品的进价为x元，每件B种商品的进价为y元，根据“若购进A种商品40件，B种商
品60件，需要8400元；若购进A种商品50件，B种商品30件，需要6900元”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据题意，可以得到相应的分式方程，从而可以得到m的值，然后即可计算出商店销售这两批A商
品的销售总金额．
【解题过程】
（1）设10月份A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，由题意得：{40x+60 y=8400)
，
50x+30 y=6900
{x=90)
解得， ，
y=80
答：该店A、B两款商品进货单价分别为90元和80元；
（2）由题意可得，
49000 61200
×1.2= ，
90+m 90+m+0.5m
解得，m=8，
经检验，m=8是原分式方程的解，
49000
故11月份购进的A商品数量为 =500（件），
90+8
12月份购进的A商品数量为500×1.2=600（件），
（500+600-50）×150+150×0.8×50=163500（元）．
答：该专卖店在A商品进货单价上涨后的销售总金额为163500元．
18．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米
的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少
米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m倍，两人在同起
点，同时出发，结果小强先到目的地n分钟．
①当m=3，n=6时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m，n的式子表示）．
【思路点拨】
（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，
解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y米/分，由m＝3，n＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间
得到答案.
【解题过程】
（1）设小强的速度为x米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，1200 4500
根据题意得： ＝ ．
x x+220
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的根，且符合题意．
∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．
（2）①设小明的速度为y米/分，∵m＝3，n＝6，
1000 1000 1000
∴ − =6，解之得y= .
y 3 y 9
1000
经检验，y= 是原方程的解，且符合题意，
9
1000
∴小强跑的时间为：1000÷(3× )=3（分）
9
n n mn
②小强跑的时间： 分钟，小明跑的时间： +n= 分钟，
m−1 m−1 m−1
mn 1000(m−1)
小明的跑步速度为： 1000÷ = 分．
m−1 mn
1000(m−1)
故答案为： ．
mn
19．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）A、B 两港之间的距离为280千米．
（1）若从A港口到 B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快20千米/时， 顺流所用时间
比逆流少用4小时，求水流的速度；
（2）若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从 A港顺流航行到 B港，再从 B
港逆流航行返回到 A港所用的时间为t ；若轮船从A港航行到 B港再返回到 A港 均为静水航行，且所用
1
时间为t ，请比较t 与t 的大小，并说明理由．
2 1 2
【思路点拨】
（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为(x+20)千米/时，利用时间差列出分式方程，解
方程即可求解．
（2）根据题意，分别表示出t 与t ，根据分式的减法计算t −t ，即可求解．
1 2 1 2
【解题过程】
（1）解：设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为(x+20)千米/时，根据题意得，
280 280
− =4，
x+20−x 20+x+x解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
答：水流的速度为4千米/时；
280 280 560
（2）解：依题意，t = + = ⋅ν,
1 v+u v−u (v−u)(v+u)
280×2
t = ,
2 v
560 560
t −t = ⋅v−
1 2 (v−u)(v+u) v
560v2 560(v−u)(v+u)
= −
v(v−u)(v+u) v(v−u)(v+u)
560
= ⋅[ν2−(ν−u)(v+u))
v(v−u)(v+u)
560
= ⋅u2
v(ν−u)(v+u)
∵u>0，v>u，
∴t −t >0
1 2
即t >t ．
1 2
20．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道
路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工
程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施
工改造方案：
1 1
方案一：前 S米的道路由甲工程队改造，后 S米的道路由乙工程队改造；
2 2
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．
根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【思路点拨】
（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路
所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．
【解题过程】（1）设乙工程队每天道路的长度为x米，则甲工程队每天道路的长度为(x+30)米，
360 300
根据题意，得： = ，
x+30 x
解得：x=150，
检验，当x=150时，x(x+30)≠0，
∴原分式方程的解为：x=150，
x+30=180，
答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；
1 1
s s
（2）设方案一所用时间为： 2 2 (a+b)s，
t = + =
1 a b 2ab
1 1 2s
方案二所用时间为t ，则 t a+ t b=s，t = ，
2 2 2 2 2 2 a+b
∴a+b 2 (a−b) 2 ，
S− S= S
2ab a+b 2ab(a+b)
∵a≠b，a>0，b>0，
∴ ，
(a−b) 2>0
a+b 2
∴ S− S>0，即：t >t ，
2ab a+b 1 2
∴方案二所用的时间少．
