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专题 17.3 利用勾股定理的逆定理求解
◆ 典例分析
【典例1】【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，AB=1，BC=❑√5，AC=❑√6，则△ABC是 三角形；（填“直角”“锐角”
或“钝角”）
【问题探究】
（2）如图②，∠AOB=45°，点C为射线OA上一点，且OC=2，点D为射线OB上的动点，当△OCD为
等腰三角形时，求OD的长；（结果保留根号）
【问题解决】
（3）如图③，△ABC为某植物园的一片绿化区域，且AB=10米，BC=50米，AC=10❑√26米，已知在
BA的延长线上，距离A点40米的点D处有一口灌溉水井（灌溉水井的大小忽略不计），管理人员计划沿
CD修一条小路，并在CD上找一点E，在△ADE中种植栀子花，请你计算当种植栀子花的区域（△ADE
为等腰三角形时，CE的长．（结果保留根号）
【思路点拨】
（1）由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形；
（2）可得△OCD为等腰直角三角形，过C分别作OA、OB的垂线即可得到D；
（3）由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形，由题意可得BC=BD=50，即△DBC为等腰直角三
角形，∠D=45°，再分类讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵在△ABC中，AB=1，BC=❑√5，AC=❑√6，
∴AB2+BC2=12+(❑√5) 2=6，AC2=(❑√6) 2=6
∴AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形故答案为：直角；
（2）当OD=OC时，
OD=OC=2；
当DC=OC时，
过C作CD⊥OA交OB于D，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOB=∠CDO=45°，
∴OC=CD=2，
∴OD=❑√OC2+CD2=2❑√2；
当DC=OD时，
过C作CD⊥OB交OB于D，
∵∠AOB=45°，
∴∠AOB=∠OCD=45°，
∴OD=CD，
∵OD2+CD2=OC2
∴OD2+OD2=22，解得OD=❑√2；
综上所述，当△OCD为等腰三角形时，OD=2或❑√2或2❑√2；
（3）∵AB=10，BC=50，AC=10❑√26，
∴AB2+BC2=102+502=2600，AC2=(10❑√26) 2=2600
∴AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°∵AD=40
∴BC=BD=50，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴∠D=45°，CD=❑√BD2+BC2=50❑√2
当DE=AE时，则∠D=∠DAE=45°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∵AD=40，DE2+AE2=AD2
∴DE=AE=20❑√2，
∴CE=CD−DE=30❑√2；
当AD=AE时，则∠D=∠AED=45°，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∵AD=AE=40，AD2+AE2=DE2
∴DE=40❑√2，
∴CE=CD−DE=10❑√2；
当AD=DE=40时，CE=CD−DE=50❑√2−40
综上所述，当△ADE为等腰三角形时，CE=30❑√2或10❑√2或50❑√2−40．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2，BC=1，
CD=3，则∠B的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．145°
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键．
连接BD，可求∠ABD=45°，BD2=AD2+AB2=8，再由BD2+BC2=CD2，可得△BCD是直角三角
形，即可求解．
【解题过程】
解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=AD=2，
∴∠ABD=45°，BD2=AD2+AB2=8，
∵ BC=1，CD=3，
∴BC2=1，CD2=9，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠DBC=90°，
∴∠ABC=135°．
故选：C．
2．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，AB⊥BC，AB=2❑√3，CD=5，AD=3，BC=2
，则∠A=（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°
【思路点拨】
如图，连接AC，求解AC=❑√(2❑√3) 2+22=4，证明∠DAC=90°，延长CB至Q，使CB=QB=2，连接
AQ， 证明△AQC为等边三角形，可得∠QAB=∠CAB=30°，从而可得答案．
【解题过程】
解：如图，连接AC，
∵AB⊥BC，AB=2❑√3，BC=2，
∴AC=❑√(2❑√3) 2+22=4，
∵CD=5，AD=3，
∴AD2+AC2=9+16=25=CD2，
∴∠DAC=90°，
延长CB至Q，使CB=QB=2，连接AQ，而AB⊥BC
∴AC=AQ=4，而CQ=2+2=4，
∴△AQC为等边三角形，
∴∠QAC=60°，
∵AQ=AC，AB⊥BC，
∴∠QAB=∠CAB=30°，
∴∠DAB=90°−30°=60°；
故选C3．（2023八年级上·四川眉山·竞赛）如图：△ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，则BC长为
（ ）
A．4❑√2 B．6❑√2 C．2❑√13 D．4❑√5
【思路点拨】
此题考查了三角形．熟练掌握三角形中线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定
理，是解题的关键．
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，结合AD是△ABC的中线证明△ADC≌△EDB(SAS)，得
AC=BE=3，根据勾股定理的逆定理证明△ABE为直角三角形，利用勾股定理求得BD=❑√13，即可求得
BC=2❑√13．
【解题过程】
解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，
∵AD=2，
∴AE=2AD=4
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE=3，
∵AB=5，
∴AE2+BE2=25=52=AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠E=90°，
∴BD=❑√BE2+DE2=❑√13，
∴BC=2BD=2❑√13．故选：C ．
4．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，E为线段
BD上一动点，F为边AB上一动点，若AB=5，BD=4，AD=DC=3，则AE+EF的最小值为
（ ）
24 23
A．4 B． C．5 D．
5 4
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．在BC边上取点G使BG=BF，连接EG，
过点A作AH⊥BC于点H，证明△EBF≌△EBG，可得EF=EG，从而得到AE+EF=AE+EG，当点
A，E，G三点共线时，AE+EF取得最小值，最小值为AH的长，再根据勾股定理的逆定理可得△ABD为
直角三角形，且BD⊥AD，然后证明△ABD≌△CBD，AB=BC=5，再根据
1 1
S = BD×AC= AH×BC，即可求解．
△ABC 2 2
【解题过程】
解：如图，在BC边上取点G使BG=BF，连接EG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠EBF=∠EBG，
∵BG=BF，BE=BE，
∴△EBF≌△EBG，
∴EF=EG，
∴AE+EF=AE+EG，当点A，E，G三点共线时，AE+EF取得最小值，最小值为AH的长，
在△ABD中，AB=5，BD=4，AD=3，
∴BD2+AD2=AB2，
∴△ABD为直角三角形，且BD⊥AD，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵AD=CD,BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AB=BC=5，
1 1
∵S = BD×AC= AH×BC，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×4×(3+3)= AH×5，
2 2
24
∴AH= ．
5
故选：B．
5．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角△ABC的斜边AB上任取两点M,N，使
∠MCN=45°，记AM=m,MN=n,BN=k，则以m,n,k为边长的三角形的形状是 ．
【思路点拨】
本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等
边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构
造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转
两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，这样∠ACM+∠BCN=45°就集中成一个与∠ MCN相等
的角，在一条直线上的m、x、n集中为△DNB，只需判定△DNB的形状即可．
【解题过程】
解：如图：把△ACM绕C点逆时针旋转90°，得△CBD，则△ACM≌△BCD，
∴∠ACM=∠BCD,CM =CD,∠MCN=∠NCD =45°，
又∵CN=CN，
∴△MNC≌△DNC，
∴MN=ND=n,AM=BD=m，
又∠DBN=45°+45°=90°，
∴n2=m2+k2，
∴以m、n、k为边长的三角形的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
6．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D为△ABC
外一点，AD=13，CD=12，则AB、BC、CD、DA围成的四边形的面积为 ．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，根据勾股定理计算AC，根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角
形，根据面积公式计算即可．注意分点B在△ADC外部与内部两种情况讨论．
【解题过程】
解：∵ Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
1 1
∴ AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5，S = AB⋅BC= ×3×4=6，
△ABC 2 2
∴ AC2+CD2=52+122=132=AD2，
∴ △ADC是直角三角形，
1 1
∴ S = AC⋅CD= ×5×12=30，
△ADC 2 2
分两种情况，当点B在△ADC外部时，如图：
AB、BC、CD、DA围成的四边形的面积为：S +S =6+30=36；
△ABC △ADC当点B在△ADC内部时，如图：
AB、BC、CD、DA围成的四边形的面积为：S −S =30−6=24；
△ADC △ABC
故答案为：36或24．
7．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在ΔABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中
点，如果将ΔACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于 ．
【思路点拨】
由勾股定理的逆定理可求∠BAC=90°，由折叠的性质可得AE=AC=8，DC=DE=5，可得AD是CE的
中垂线，由勾股定理可求解．
【解题过程】
解：如图，延长AD交CE于点F，
∵AB=6，BC=10，AC=8，
∴BC2=100=36+64=AB2+AC2，
∴∠BAC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=CD=BD=5，
∵将ΔACD沿AD翻折后，∴AE=AC=8，DC=DE=5，
∴AD是CE的中垂线，
∴EF=CF，AF⊥CE，
∵AC2−AF2=CF2=CD2−DF2，
∴64−(5+DF) 2=25−DF2，
7
∴DF= ，
5
√ 49 24
∴CF=❑√DC2−DF2=❑25− = ，
25 5
48
∴CE= ，
5
48
故答案为： ．
5
8．（24-25八年级上·山西太原·期末）如图，在△ABC中．点D是AC边上的一点．连接BD并延长到点E
，使得BE=BA．若DA=DC=DB=5，AB=8，BC=6，则AE的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点B作BG⊥AC于G
，过点E作EF⊥AB于F，由DA=DC=DB=5可得AC=5+5=10，∠ABD=∠BAD，进而由勾股定
24
理的逆定理得到△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积可得BG= ，然后证明
5
24
△BFE≌△AGB(AAS)，得到EF=BG= ，最后利用勾股定理求出BF、AE即可，正确作出辅助线是
5
解题的关键．
【解题过程】
解：过点B作BG⊥AC于G，过点E作EF⊥AB于F，则∠AGB=∠BFE=∠AFE=90°，∵DA=DC=DB=5，
∴AC=5+5=10，∠ABD=∠BAD，
即∠FBE=∠GAB，
∵AB=8，BC=6，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，
1 1
∴S = ×AC×BG= ×AB×BC，
△ABC 2 2
1 1
∴ ×10×BG= ×8×6，
2 2
24
∴BG= ，
5
在△BFE和△AGB中，
{∠BFE=∠AGB=90°
)
∠FBE=∠GAB ，
BE=BA
∴△BFE≌△AGB(AAS)，
24
∴EF=BG= ，
5
∴BF=❑√BE2−EF2=❑
√
82−
(24) 2
=
32
，
5 5
32 8
∴AF=AB−BF=8− = ，
5 5
∴AE=❑√AF2+EF2=❑
√ (8) 2
+
(24) 2
=
8❑√10
，
5 5 5
8❑√10
故答案为： ．
59．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．将△ABC沿射线
BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为
．
【思路点拨】
本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．
根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到△ABC为直角三角形，设CE=x，则
AE=DE=AC−CE=8−x，再利用勾股定理得到答案．
【解题过程】
解：由题意得：
A，D两点关于射线BM对称，
∴ C =CD+DE+CE，
△CDE
∵ CD为定值，要使△CDE周长最小，
即DE+CE最小，
∴如图，当点E为AC与射线BM的交点时，△CDE周长最小，
∵ AB=6，AC=8，BC=10，
AB2+AC2=62+82=100，
BC2=102=100，
∴ AB2+AC2=BC2，
∴ △ABC为直角三角形，
∴ ∠BAC=∠BDE=∠CDE=90°，
∵ AB=BD=6，
∴ CD=BC−BD=10−6=4，
设CE=x，则AE=DE=AC−CE=8−x，
在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2，
即x2=(8−x) 2+42，
解得：x=5，
∴ CE=5，
故答案为：5．
10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于D点，BE⊥l于E
点，点E在点D右侧，并且点A、B在直线l同侧，AD=DE=8，BE=2，当CD长为 时，△ABC
为直角三角形．
【思路点拨】
本题考查的是勾股定理及其逆定理．作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=8，DF=BE=2，
根据勾股定理用CD表示出AC、BC，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【解题过程】
解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=8，DF=BE=2，
∴AF=AD−DF=6，
由勾股定理得，AB2=AF2+BF2=100，
AC2=AD2+CD2=64+CD2，
BC2=CE2+BE2=(CD+8) 2+4=CD2+16CD+64+4，
当△ABC为直角三角形时，AB2+AC2=BC2，
即100+64+CD2=CD2+16CD+64+4，
解得，CD=6；同理可得：当∠ABC=90°时，
由勾股定理得，AB2=AH2+BH2=100，
AC2=AD2+CD2=64+CD2，
BC2=CE2+BE2=(8−CD) 2+4=CD2−16CD+64+4，
∴AC2=AB2+BC2，
∴64+CD2=100+CD2−16CD+64+4，
13
解得：CD= ；
2
当∠ACB=90°时，
由AB2=AC2+BC2得：100=64+CD2+CD2−16CD+64+4，
解得：CD=4，
13
综上：CD的长为：6或4或 ．
2
13
故答案为：6或4或 ．
2
11．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=17，BC=8，AC=15，点D，点E分
别是边AC，边AB上的动点，则BD+DE的最小值是 ．
【思路点拨】
本题考查了垂线段最短，轴对称求线段和最值问题，勾股定理及其逆定理．作点E关于AC的对称点，连
接AF，DF，BF，当BF⊥AF时，BF最短，根据垂线段最短以及两点之间线段最短，可知BD+DE的
最小值是线段BF的长，利用等积法即可求解．
【解题过程】解：如图，作点E关于AC的对称点F，连接AF，DF，BF，当BF⊥AF时，BF最短，
∵△ABC中，AB=17，BC=8，AC=15，172=289=82+152，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵点E关于AC的对称点F，
∴DE=DF，∠BAC=∠FAC，
∴BD+DE =BD+DF≥BF，
当B，D，F三点共线时，且BF⊥AF时，BD+DE取得最小值，
如图，延长AF交BC的延长线于点G，
∵∠BAC=∠FAC，∠ACB=∠ACG=90°，且AC=AC，
∴△ACB≌△ACG(ASA)，
∴CG=BC=8，AG=AB=17，
1 1
∵S = BG×AC= AG×BF，
△ABG 2 2
BG×AC 16×15 240
∴BF= = = ，
AG 17 17
240
即BD+DE的最小值为 ，
17
240
故答案为： ．
17
12．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC，点D在线段AC上，点E在线段AB的延长线上，BE=CD，连接DE交BC于F，过F作FG⊥DE交AB于G，连接CG，若△ACG的面积
为3，且AG:GB:BE=5:1:3，则线段AD的长为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，正确作
出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
过点D作DH∥AB交BC于H，连接DG，可证明∠DHC=∠DCH得到DH=DC，进而得到BE=DH
；证明△BEF≌△HDF(AAS)，得到EF=DF，则FG垂直平分DE，可得EG=DG，可设
AG=5 y，BG= y，BE=3 y，则AC=AB=6 y，CD=DH=BE=3 y，DG=BG=4 y，AD=3 y，
1
再证明∠ADC=90°，根据三角形面积得到 ×6 y⋅4 y=3，再进一步可得答案．
2
【解题过程】
解：如图所示，过点D作DH∥AB交BC于H，连接DG，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DH∥AB，
∴∠HDF=∠BEF，∠DHC=∠ABC，∴∠DHC=∠DCH，
∴DH=DC，
∵BE=CD，
∴BE=DH，
又∵∠BFE=∠DFH，
∴△BEF≌△HDF(AAS)，
∴EF=DF，
∵FG⊥DE，
∴FG垂直平分DE，
∴EG=DG，
∵AG:GB:BE=5:1:3，
∴设AG=5 y，BG= y，BE=3 y，
∴AC=AB=AG+BG=6 y，CD=DH=BE=3 y，DG=EG=4 y，
∴AD=3 y，
∴AG2=25 y2=AD2+GD2，
∴∠ADG=90°，
∵△ACG的面积为3，
1
∴ ×6 y⋅4 y=3，
2
1 1
∴y= 或y=− （舍去），
2 2
3
∴AD= ，
2
3
故答案为： ．
2
13．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB边上的一点，BD=5cm，
BC=13cm，CD=12cm．（1）判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理以及逆定理，解拓展一元一次方程，属于常考题型，熟练掌握勾股定理及其逆定
理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设AD=xcm，则AB=AC=(x+5)cm，然后在Rt△ACD中根据勾股定理即可得到关于x的方程，解
方程即可求出x，进一步即可求出AB的长，从而求得△ABC的周长．
【解题过程】
（1）解：△ACD是直角三角形；理由如下：
∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm，
∴BD2+CD2=52+122=169，BC2=169，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，则∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：设AD=xcm，则AB=AD+BD=(x+5)cm，
∴AB=AC=(x+5)cm，
∵∠ADC=90°，
∴AC2=AD2+CD2，即(x+5) 2=x2+122，
解得：x=11.9，则AB=AC=16.9cm
∴△ABC的周长=16.9+16.9+13=46.8cm．
14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， △CDE和△CAB中，
CD=CE,CA=CB,∠DCE=∠ACB．
（1）求证：AD=BE；
（2）若 AE2+BE2=DE2，求证： ∠ACB=90° ．【思路点拨】
本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理，等腰三角形的性质．
（1）证明△ADC≌△BEC(SAS)即可得出结论；
（2）由（1）可得AD=BE，根据 AE2+BE2=DE2，得到AE2+AD2=DE2，推出∠DAE=90°，结
合∠B+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠DAE可得出结论．
【解题过程】
（1）证明：∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠BCE，即∠DCA=∠BCE，
∵CD=CE,CA=CB，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD=BE；
（2）证明：由（1 ）知AD=BE，
∵AE2+BE2=DE2，
∴AE2+AD2=DE2，
∵CA=CB，
∴∠B=∠BAC，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠CAD=∠B，
∴∠B+∠BAC=∠CAD+∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠ACB=180°−(∠B+∠BAC)=90°．
15．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷
的支架示意图．在△ABC中，帐篷的顶点为A，点B, D, E, C在地面上的同一水平线上，
AB, AC, AD, AE均为支架，且AD⊥BC, AE=CE．经测量知，AB=1.5m，AD=1.2m，
CD=1.6m．
（1）求DE的长；
（2）当帐篷支架AB与AC所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是
否最为稳定？【思路点拨】
本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三角形，是解题的关
键．
（1）设AE=xm，则CE=AE=xm,ED=(1.6−x)m，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求解；
（2）利用勾股定理求出BD与AC的长，从而得出BC的长，再利用勾股定理逆定理得出△ABC是直角三
角形，∠BAC=90°，进而得出结论．
【解题过程】
（1）解：设AE=xm，则CE=AE=xm,ED=CD−CE=(1.6−x)m，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADE中，AD2+ED2=AE2，
即1.22+(1.6−x) 2=x2，
解得：x=1.25．
∴DE=1.6−x=1.6−1.25=0.35m，
∴DE的长为0.35m；
（2）解：帐篷最为稳定．
理由如下：
在Rt△ABD中，AB=1.5m,AD=1.2m，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√1.52−1.22=0.9m，
在Rt△ADC中，AD=1.2m,CD=1.6m，
∴AC=❑√CD2+AD2=❑√1.62+1.22=2m，
∴BC=BD+CD=2.5m，
∵AB2+AC2=1.52+22=6.25,BC2=2.52=6.25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．
∴帐篷符合要求．
16．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD．若AB=2，
BC=❑√2，CD=❑√6．（1）如图1，连接BD，试判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接AC，过A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E，求△ACE的面积．
【思路点拨】
（1）由勾股定理的逆定理可求解；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△ADE,可得AE=AC,DE=BC,由等腰直角三角形的性质可求AE的长，
即可求解；
【解题过程】
（1）解：△BCD是直角三角形，理由如下，
∵∠BAD=90°,AB=AD=2,
∴根据勾股定理得DB=❑√AB2+AD2=❑√22+22=2❑√2，
∵DB2=8,BC2+CD2=2+6=8,
∴DB2=DC2+BC2,
∴△BCD是直角三角形，∠DAB=90°；
（2）解：∵∠DAB=∠DCB=90°,
∴∠ADC+∠ABC=360°−∠DAB−∠BCD=180°,
∵∠ADE+∠ADC=180°,
∴∠ADE=∠ABC,
∵AE⊥AC,
∴∠EAC=90°,
∴∠EAC−∠DAC=∠DAB−∠DAC，即∠DAE=∠BAC,
又∵AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(ASA),
∴AE=AC,DE=BC=❑√2,
∴EC=DE+DC=❑√2+❑√6,
∵AE⊥AC,∴AE2+AC2=EC2，
❑√2
∴AE=AC= EC=❑√3+1,
2
1
∴S = AE·AC=2+❑√3．
△AEC 2
17．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，
∠BAC=∠DAE=90°，点C在△ADE内部，连接CD，CE，BD，其中AB=3，CD=6❑√2，
CE=3❑√10．
（1）求证：BD=CE；
（2）求∠ACD的大小；
（3）求AE的长．
【思路点拨】
（1）运用SAS证明△ABD≌△ACE解题即可；
（2）利用勾股定理求出BC长，然后利用勾股定理的逆定理得到∠BCD=90°，解题即可；
（3）过点A作AF⊥CD于点F，先利用勾股定理求出FC=FA，然后在Rt△AFD中利用勾股定理解题即
可．
【解题过程】
（1）证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=AC=3,∠BCA=45°，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√32+32=3❑√2，
在△BCD中，BD=CE=3❑√10,CD=6❑√2，
∴BC2+CD2=(3❑√2) 2+(6❑√2) 2=90=(3❑√10) 2=BD2，∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD+∠BCA=90°+45°=135°．
（3）解：过点A作AF⊥CD于点F，
∴∠F=90°，
∵∠ACD=135°，
∴∠ACF=45°=∠CAF，
∴FC=FA，
由勾股定理可得AF2+FC2=AC2，即2AF2=9，
3❑√2 3❑√2
解得：AF= 或AF=− （舍去），
2 2
3❑√2
∴FC=FA= ，
2
3❑√2 15❑√2
∴FD=FC+CD= +6❑√2= ，
2 2
√ 3❑√2 2 15❑√2 2
在Rt△AFD中，AE=AD=❑√AF2+DF2=❑ ( ) +( ) =3❑√13．
2 2
18．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知：如图，在△ABC中．AB=13，AC=5，△ABC的周长为30
．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，点E为AB边上的一点，且CE=BE，过点E作EF⊥AB交∠ACB的角
平分线于点F．
①证明：∠DCF=∠ECF；
②直接写出线段EF的长．【思路点拨】
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据题意求出BC=12，再利用勾股定理的逆定理即可证明；
（2）①由（1）可知∠ACB=90°，结合CD⊥AB，推出∠ACD=∠B，由CE=BE可得∠BCE=∠B
，得到∠ACD=∠BCE，根据角平分线的定义可得∠ACF=∠BCF，即可证明；②由
∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°，且∠BCE=∠B，推出∠ACE=∠A，得到
13
CE=AE=BE= ，根据CD⊥AB，EF⊥AB，得到CD∥EF，推出∠DCF=∠F，得到
2
∠F=∠ECF，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵ AB=13，AC=5，△ABC的周长为30，
∴ BC=30−AC−AB=30−5−13=12，
∴ AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，
∴ AC2+BC2=AB2，
∴ △ABC是直角三角形；
（2）①证明：∵ AC2+BC2=AB2，
∴ ∠ACB=90°，
∵ CD⊥AB于点D，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠ACD=∠B=90°−∠A，
∵ CE=BE，
∴ ∠BCE=∠B，
∴ ∠ACD=∠BCE，
∵ CF是∠ACB的角平分线，
∴ ∠ACF=∠BCF，
∴ ∠ACF−∠ACD=∠BCF−∠BCE，
∴ ∠DCF=∠ECF；
②∵ ∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°，且∠BCE=∠B，
∴ ∠ACE=∠A，
1 13
∴ CE=AE=BE= AB= ，
2 2
∵ CD⊥AB，EF⊥AB，∴ CD∥EF，
∴ ∠DCF=∠F，
∵ ∠DCF=∠ECF，
∴ ∠F=∠ECF，
13
∴ EF=CE= ，
2
13
∴ EF= ．
2
1
19．（23-24九年级上·重庆·期中）如图1，在△AOB中点C为OB边上一点，已知BC= AB，
2
OC=OA=3，AB=4，连接AC．
（1）求△AOB的面积和线段AC的长；
（2）如图2，将△ADB沿BD折叠，点A恰好落在OB边上的点E处，折痕BD交OA于点D，点F是AC上
一点．当△ADF与△BCF的面积相等时，求点F到OB的距离．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，面积计算，熟练掌握折叠，勾股定理是解题的关键．
1
（1）根据题意，得到BC= AB=2,OB=OC+BC=5，结合AB2+OA2=OB2判定△AOB是直角三角
2
形，过点A作AM⊥OB于点M，计算即可．
（2）过点F作FH⊥OB于点H，过点F作FG⊥OA于点G，过点A作AM⊥OB于点M，设
AD=DE=x，则AB=BE=4,EO=OB−BE=1，利用勾股定理，三角形面积公式计算即可．
【解题过程】
1
（1）∵BC= AB，OC=OA=3，AB=4，
2
1
∴BC= AB=2,OB=OC+BC=5，
2
∵AB2+OA2=32+42=52=OB2，
∴△AOB是直角三角形，1
∴S = AB·OA=6；
△AOB 2
过点A作AM⊥OB于点M，
AB·OA 12
则AM= = ，
OB 5
9
∴OM=❑√OA2−AM2=
，
5
6
∴MC=OC−OM= ，
5
6❑√5
∴AC=❑√AM2+MC2=
．
5
（2）根据题意，得AD=DE，AB=BE=4,EO=OB−BE=1，∠DAB=∠DEB=∠DEO=90°，
设AD=DE=x，则OD=OA−AD=3−x，
∴(3−x) 2=x2+1，
4
解得x= ，
3
4
故AD= ，
3
过点F作FH⊥OB于点H，过点F作FG⊥OA于点G，过点A作AM⊥OB于点M，
∵△ADF与△BCF的面积相等，
1 1
∴ BC·FH= AD·FG，
2 2
1 1 4
∴ ×2×FH= × ×FG，
2 2 33
∴FG= FH，
2
连接OF，
则S =S +S ，
△AOC △AOF △FOC
1 1 1
∴ OC·AM= OC·FH+ OA·FG，
2 2 2
∵OC=OA=3，
∴AM=FH+FG，
12 3
∴ =FH+ FH，
5 2
24
解得FH= ，
25
24
故点F到OB的距离为 ．
25
20．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在△ABC中，AB=AC=5．
（1）若BC=6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的
长；
（2）点D在BC的延长线上，且BC:CD=2:3，若AD=10，求证：△ABD是直角三角形．
【思路点拨】
（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3，求得AD=4，根据折叠的
1 5
性质得到AM=CM，AN= AC= ，设AM=CM=x，根据勾股定理即可得到结论；
2 2
1
（2）如图2，过A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得到BE=CE= BC，设BC=2t，CD=3t
2
，AE= ℎ，得到BE=CE=t，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【解题过程】
（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5 BC=6
， ，
∴BD=CD=3，
∴AD=4，
∵将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，
1 5
∴AM=CM，AN= AC= ，
2 2
设AM=CM=x，
∴MD=x−3，
∵AD2+DM2=AM2，
∴42+(x−3) 2=x2，
25
解得：x= ，
6
∴MN=❑√AM2−AN2=❑
√ (25) 2
−
(5) 2
=
10
；
6 2 3
（2）如图2，过A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
1
∴BE=CE= BC，
2
∵BC:CD=2:3，
∴设BC=2t，CD=3t，AE= ℎ，
∴BE=CE=t，
∵AB=5，AD=10，∴ℎ 2+t2=52，ℎ 2+(4t) 2=102，
联立方程组解得，t=❑√5（负值舍去），
∴BD=5❑√5，
∵AB2+AD2=52+102=125=(5❑√5) 2=BD2，
∴△ABD是直角三角形．
21．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点H为AB边上的一点，AH=15，CH=8，
AC=17，BH=6．
（1）求BC的长；
（2）已知点E为线段AB上一点，△BCE为等腰三角形，求线段HE的长度；
（3）点P是直线AB上任意一点，把△ACH沿着直线CP翻折，直接写出当AP为何值时，点H翻折后的
对应点H′恰好落在直线AC上．
【思路点拨】
（1）根据勾股定理逆定理判断△ACH是直角三角形，在根据勾股定理即可解答；
（2）当CB=CE时，根据等腰三角形的性质可解答；当点E在线段AB上，且BC=BE时，根据
HE=BE−BH可得答案；当EB=EC时，根据勾股定理可得答案；
（3）设AP=a，分别当点P在线段AB上时，或点P在AB延长线上时，根据PH′=PH，在Rt△APH′
中，根据勾股定理即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵ AH=15，CH=8，AC=17，
∴AH2+CH2=152+82=289，AC2=289，
∴ AH2+CH2=AC2，
∴ △ACH是直角三角形，且∠AHC=90°，
∴CH⊥AB，
∴∠BHC=90°，∵ BH=6，CH=8，
∴BC=❑√BH2+CH2=❑√62+82=10
∴ BC的长为10；
（2）解：①当CB=CE时：
∵CB=CE，CH⊥AB，
∴H为BE中点，
∵BH=6，
∴ HE=BH=6；
②当点E在线段AB上，且BC=BE时：
∵ BC=10，
∴ BE=BC=10，
∴ HE=BE−BH=10−6=4，
③当EB=EC时：如图
在Rt△CHE中
∵H E2+CH2=CE2，CH=8，CE=BE=HE+6
∴H E2+82=(HE+6) 2，
7
∴HE=
3
7
综上所述，线段的长度为6或4或 ；
3
（3）①如图，当点P在线段AB上时：设AP=a，则PH′=PH=15−a，
∵ CH′=CH=8，
∴AH′=AC−CH′=17−8=9，
在Rt△APH′中，
根据勾股定理可得92+(15−a) 2=a2：
51
解得a= ，
5
51
∴AP= ；
5
②如图，当点P在AB延长线上时，连接PH′，
设AP=a，则PH′=PH=a−15，∠CHP=∠CH′P=90°，
∵ CH′=CH=8，
∴AH′=AC+CH′=17+8=25，
在Rt△APH′中，
根据勾股定理可得252+(a−15) 2=a2：
85
解得a= ，
3
85
∴AP= ；
351 85
综上所述，AP的值为 或 ．
5 3
22．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，E是AC
上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．
（1）求证：AB2−AD2=BD⋅CD；
（2）如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；
（3）如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【思路点拨】
（1）在△ABC中，由AB=AC，AD⊥BC，可得BD=CD，由勾股定理得AB2−AD2=BD2，进而可
证AB2−AD2=BD⋅CD；
1
（2）由（1）可知BD=CD= BC=2.5，由勾股定理得，AD=❑√AB2−BD2=6，在Rt△BDF中，
2
∠CBE=45°，可得△BDF是等腰直角三角形，则DF=BD=2.5，根据AF=AD−DF，计算求解即可；
（3）如图，在BF上取一点H，使BH=EF，连接CF，CH，由∠CBE=45°，AD⊥BC，可得
∠BFD=45°，∠AFE=∠BFD=45°，证明△CHB≌△AEF(SAS)，则AE=CH，∠AEF=∠CHB，
由∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，可得∠CEF=∠CHF，CE=CH，由BD=CD，
FD⊥BC，可得CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，则∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH
，由CE=CH，可得EF=FH，由勾股定理，得CF2+FH2=CH2，则BF2+EF2=AE2，进而可得以
BF，EF和AE为边，能围成直角三角形．
【解题过程】
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
由勾股定理得AB2−AD2=BD2，∴AB2−AD2=BD⋅CD；
1
（2）解：由（1）可知BD=CD= BC=2.5，
2
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=❑√AB2−BD2=❑√6.52−2.52=6，
∵在Rt△BDF中，∠CBE=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF=BD=2.5，
∴AF=AD−DF=6−2.5=3.5，
∴AF的长为3.5；
（3）解：能围成直角三角形，理由如下：
如图，在BF上取一点H，使BH=EF，连接CF，CH，
∵∠CBE=45°，AD⊥BC，
∴∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
∵BH=FE，∠CBH=∠AFE=45°，BC=AF，
∴△CHB≌△AEF(SAS)，
∴AE=CH，∠AEF=∠CHB，
∵∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，
∴∠CEF=∠CHF，
∴CE=CH，
∵BD=CD，FD⊥BC，
∴CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，
∴∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH，
又∵CE=CH，∴EF=FH，
在Rt△CFH中，由勾股定理，得CF2+FH2=CH2，
∴BF2+EF2=AE2，
∴以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形．
23．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点．E为
直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC上一点时，请依题意补全图形，并判断以AE、BF、EF三条线段为边构成
的三角形是 三角形；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，
请说明理由．
【思路点拨】
本题主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质，
（1）延长FD到P，使得DP=DF，连接AP，PE，EF，可证△ADP≌△BDF(SAS)，可得AP=BF，
EF=PE，在△AEP中，运用勾股定理逆定理可得PE2=AP2+AE2，于是有EF2=BF2+AE2，即可求
解；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，可证△ADE≌△BDM(AAS)，可得
AE=BM，DE=DM，运用勾股定理逆定理即可求解．
【解题过程】
（1）解：结论：以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形，
理由：延长FD到P，使得DP=DF，连接AP，PE，EF，在△ADP和△BDF中，DA=DB，∠ADP=∠BDF，DP=DF，
∴△ADP≌△BDF(SAS)，
∴∠APD=∠DFB，AP=BF，
∴AP∥BC，
∴∠PAE+∠ACB=180°，
∴∠PAE=90°，
∵ED⊥PF，DP=DF，
∴EF=PE，
∵PE2=AP2+AE2，
∴EF2=BF2+AE2，
∴以AE、BF、EF三条线段为边构成的三角形是直角三角形；
（2）解：结论：AE2+BF2=EF2．
理由：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADE和△BDM中，∠AED=∠BMD，∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，
∵DF⊥DE，
∴EF=MF，
∵BM2+BF2=M F2，
∴AE2+BF2=EF2．
24．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，点P从点A出发，沿折线
A−C−B−A的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒(t>0)．
【问题探究】
（1）当AB=5时
①判断△ABC的形状，并说出理由．
②点P在AC边上运动，当BP=4时，求t的值．
【深入探索】
（2）在（1）的条件下①当点P运动到∠CAB的角平分线上时，t的值为_____．
②如图，当点P运动到AB边上时，过点P作PD⊥CP，交边AC于点D，且△BCP是以CP为腰的等腰三
角形，那么PD的长等于_____．
【引发思考】
（3）如图3，以AB为边，在△ABC下方作等腰△ABE，∠AEB=120°，CE的最大值为_____．
【思路点拨】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
②根据勾股定理求出CP=❑√7，再求出AP即可；
（2）①过点P作PQ⊥AB于点Q，根据角平分线性质得出CP=PQ，证明Rt△APC≌Rt△APQ(HL)，
4
得出AQ=AC=4，设CP=PQ=x，则BP=3−x，根据勾股定理得出(3−x) 2=x2+12，求出x= ，即可
3
得出答案；
②分两种情况讨论：当CP=BP时，当CP=CB=3时，分别画出图形，进行求解即可；
（3）将CE绕点E逆时针旋转120°到EF，连接AF，CF，过点E作EG⊥CF于点G，证明△CEB≌△FEA(SAS)，得出AF=BC=3，根据三角形三边关系得出CF≤AF+AC=3+4=7，根据等腰
7❑√3
三角形的性质和勾股定理求出CF=2CG=❑√3CE，即可得出❑√3CE≤7，求出CE≤ ，即可求出结
3
果。
【解题过程】
解：（1）①△ABC为直角三角形，理由如下：
∵32+42=25=52，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形；
②∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴BP=4时，CP=❑√BP2−BC2=❑√42−32=❑√7，
∴AP=AC−CP=4−❑√7，
∴t=4−❑√7；
（2）①过点P作PQ⊥AB于点Q，如图所示：
∵∠ACB=90°，PQ⊥AB，AP平分∠BAC，
∴CP=PQ，
∵AP=AP，
∴Rt△APC≌Rt△APQ(HL)，
∴AQ=AC=4，
∴BQ=AB−AQ=5−4=1，
设CP=PQ=x，则BP=3−x，
根据勾股定理得：BP2=BQ2+PQ2，
即(3−x) 2=x2+12，
4
解得：x= ，
34 16
∴AC+CP=4+ = ，
3 3
16
∴t= ；
3
②当CP=BP时，过点P作PM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，如图所示：
则∠PMB=90°，
∵∠ACB=∠PMB=90°，
∴PM∥AC，
∴∠CAB=∠BPM，∠ACP=∠CPM，
∵CP=BP，PM⊥BC，
∴∠BPM=∠CPM，
∴∠ACP=∠CAP，
∴AP=CP，
1
∴AP=BP=CP= AB=2.5，
2
∵AP=CP，PN⊥AC，
1
∴AN=CN= AC=2，∠ANP=∠CNP=90°，
2
∴PN=❑√CP2−CN2=❑√2.52−22=1.5，
设DN=x，则CD=2+x，
∵DP⊥CP，
∴∠CPD=90°，
∴DP2=CD2−CP2=(2+x) 2−2.52，
∵DP2=DN2+PN2=x2+1.52，
∴(2+x) 2−2.52=x2+1.52，9
解得：x= ，
8
∴PD=❑√PN2+DN2=❑
√
1.52+
(9) 2
=
15
；
8 8
当CP=CB=3时，如图所示：
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵DP⊥CP，
∴∠CPD=90°，
∴∠APD+∠CPB=90°，
∵∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠APD，
∴AD=DP，
设AD=DP=x，则CD=AC−AD=4−x，
∵CD2=DP2+CP2，
∴(4−x) 2=x2+32，
7
解得：x= ，
8
7
即DP= ；
8
15 7
综上分析可知：DP的长为 或 ．
8 8
（3）将CE绕点E逆时针旋转120°到EF，连接AF，CF，过点E作EG⊥CF于点G，如图所示：根据旋转可知：EF=CE，∠AEF=120°，
∵∠AEB=120°，
∴∠CEB+∠CEA=∠CEA+∠AEF=120°，
∴∠CEB=∠AEF，
∵AE=BE，
∴△CEB≌△FEA(SAS)，
∴AF=BC=3，
∵AC=4，
∴CF≤AF+AC=3+4=7，
∵EG⊥CF，CE=EF，
1
∴CG=FG，∠CEG=∠FEG= ∠CEF=60°，∠CGE=90°，
2
∴∠ECG=90°−60°=30°，
1
∴EG= CE，
2
∴CG=❑√CE2−EG2=❑ √ CE2− (1 CE ) 2 = ❑√3 CE，
2 2
∴CF=2CG=❑√3CE，
∴❑√3CE≤7，
7❑√3
∴CE≤ ，
3
7❑√3
∴CE的最大值为 ．
3
