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专题18.34 平行四边形题型分类专题（折叠问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，将▱ABCD沿对角线折叠，使点B落在B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为 ，若∠AD ＝20°，
则∠BDC的度数为（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
3．如图，菱形 的对角线相交于点O， ， ，将菱形按如图所示的方式折叠，使
点B与O重合，折痕为 ，则五边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形 中， 为 的中点， 为 上一点（不与 ， 重合），将 沿所在的直线折叠，得到 ，连接 ．当 时， 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点A落在点E处．若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，则重叠部分 的面积为（
）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．如图，将边长为4，锐角为 的菱形 沿 折叠，使顶点 恰好落在边 的中点处，记为
，则 的长度为（ ）A． B． C．3 D．
8．如图，欧几里德在《几何原本》中记载了用这样一个图，一张边长为2的正方形纸片 ，先折
出 、 的中点 、 ，再折出线段 ，然后通过沿线段 折叠使 落在线段 上，得到点
的新位置点 ，并连接 、 ．则此时 的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折
叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形 中，E是 的中点，将 沿直线 折叠后得到 ．延长 交 于
点F，若 ， ，则 的长为（ ）A．1.8 B．2 C． D．2.2
11．如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点，点 是 上一点，以 为对
称轴将 折叠得到 ，以 为对称轴将 折叠得到 ，使得点 落到 上，连接 ．
下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形 中，点 在边 上，点 分别是 的中点，连接 ，现将
沿 所在的直线折叠，使得点 的对应点 落在线段 上．以下四个结论：
① ；
② ；
③连接 ，则 是等边三角形；
④若正方形面积为12，则 ．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题
13．如图，将 先沿 折叠，再沿 折叠后，A点落在线段 上的 处，C点落在E处，连
接 ， ．若恰有 ，则 ．
14．如图已知矩形 ， ，点 是 的中点，连接 ，将 沿 折叠后得到
，延长 交 于点 ，连接 ．若点 是 的中点， ，求 的长是 ．
15．如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线 上的点G处
（不与B、D重合），折痕为 ，则 ；若 ，则 的长为 ．
16．如图，在矩形纸片 中， ， ，先将矩形纸片 沿过点B的直线折叠，使点
A落在边 上的点E处，折痕为 ，再沿过点F的直线折叠，使点D落在 上的点M处，折痕为 ，
则 两点间的距离为 .17．如图，在 中，E是边 上一点，将 沿AE折叠至 处， 与 交于点
F，若 ， ，则 的度数为 ．
18．矩形 中， ， ，对角线 、 相交于点O，点E为 上一点，将
沿 折叠，使点D落在对角线 的点F处，则线段 的长为 ．
19．如图，将矩形 沿对角线 所在直线折叠，点 落在同一平面内，落点记为 ， 与
交于点 ，若 ， ，则 的长为 ．
20．如图菱形 的边长为4， ，将菱形沿 折叠，顶点C恰好落在 边的中点G处，
则 ．21．如图，将四边形纸片 沿过点 的直线折叠，使得点 落在 上的点 处．折痕为 ；再
将 ， 分别沿 ， 折叠，此时点 ， 落在 上的同一点 处， ；
若四边形 是平行四边形，则 的值为 ．
22．如图，矩形 中， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点
落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为 ．
23．菱形 中， ，E，F分别在 ， 边上，将菱形沿 折叠，点A，D的对应
点分别是 ， ，且 经过B点，若 ，则 ．
24．已知正方形的边长为12，点P是边 上的一个动点，连接 ，将 沿 折叠，使点A落
在点 上，延长 交 于E，当点E与 的中点F的距离为2时，则此时 的长为 ．三、解答题
25．如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点C落在点 处， 与 相交于点E．
求证：
26．如图1，在矩形纸片 中， ， ，折叠纸片使B点落在边 上的点E处，折痕
为 ．过点E作 交 于F，连接 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）当点E在 边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形 的边长
②若限定P、Q分别在边 、 上移动，菱形 的面积的最大值为______；最小值为______．27．如图，将平行四边形 折叠，使得点 落在点 处，点 落在点 处，折痕为 ，连接
．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ， ，求平行四边形 的面积．
28．数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．
【操作】：
操作一：对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：在 上选一点 （点 不与 重合），沿 折叠，使点 落在正方形内部 处，把纸
片展平，连结 ，延长 交 于点 ，连结 ．
【琛究】：
（1）如图①，当点 在 上时， ______ ．
（2）改变点 在 上位置，如图②，判断线段 之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【应用】：
若正方形纸片 的边长为 ，当 时， 的长为______．29．图，在菱形 中， ，E，F分别是 的中点，点G，H分别在 上，且
，分别沿 折叠菱形 ，点B，D的对应点分别为点M，N，连接
．
（1）问题解决：如图①，请判断线段 的数量关系和位置关系： ；
（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在 上时，请判断四边形 的形状，并说明
理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求 的值．30．课本再现：
（1）如图，在矩形 中， ， ， 是 上不与 和 重合的一个动点，过点 分别
作 和 的垂线，垂足分别为 ， ．求 的值．
如图1，连接 ，利用 与 的面积之和是矩形面积的 ，可求出 的值，请你写出
求解过程；
知识应用：
（2）如图2，在矩形 中，点 ， 分别在边 ， 上，将矩形 沿直线 折叠，使
点 恰好与点 重合，点 落在点 处．点 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），过点 分别
作直线 ， 的垂线，垂足分别为 和 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，若 ，
，求平行四边形 的周长；
（3）如图3，当点 是等边 外一点时，过点 分别作直线 、 、 的垂线、垂足分别为
点 、 、 ．若 ，请直接写出 的面积．
参考答案：
1．A
【分析】由平行线的性质可得∠1=∠B'AB=48°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=24°，由三角形内角和
定理即可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AED=∠B'AB=48°，
∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC=∠B'AC=24°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=124°，
故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握折叠的性
质是解题的关键．
2．A
【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD ，故∠ADB=∠BD -∠AD =∠BDC-20°，根据
∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．
解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BD ，
则∠ADB=∠BD -∠AD =∠BDC-20°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，
解得∠BDC=55°．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC=90°列方程求解．
3．A
【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得 ，即可得 是等边三角形，
，根据等边三角形的性质和折叠的性质得 和 是等边三角形，即
可得 ， ，根据 ， 得 是 的中位线，可
得 ，即可得
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∵折叠，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴五边形AEFCD的周长： ，
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，解题的关
键是掌握这些知识点，正确计算．
4．B
【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含 角的直角三角
形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
根据正方形的性质，点 是 的中点， ，可判定 是等边三角形，由此可推出
， ，再根据含 角的直角三角形的性质即可求解．
解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ 沿 所在的直线折叠，得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，即 ，∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
5．D
【分析】根据折叠得出 ， ，根据平行线的性质得出 ，
得出 ，根据 ，求出 ，即可得出 ，根据
三角形内角和定理求出结果即可．
解：根据折叠可知， ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形
外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出 ．
6．B
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质；
证明 ，可得 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理构建方程求出 ，可得 的长，然后利用三角形面积公式计算即可．
解：由折叠得： ， ，
在矩形 中， ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含 角的直角三角形的性质等知识．过
作 于点 ，先求出 ， ，则 点与 重合，再由折叠
的性质得 ，设 ，则 ，然后由勾股定理得 ，即可得出答案．
解：如图，过 作 于点 ，
，
边长为4，锐角为 的菱形 ，
， ， ，，
是 的中点，
，
，
，
， ，
点与 重合，
， ，
由折叠的性质得： ，
设 ，
则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是设 ，由
，可列方程 ，解得
即可得到答案．
解：设 ，则 ，
由题意可知： ， 是 的中点，
， ，
，，
，
，即 ，
故选：B．
9．B
【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质
可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，
利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可
得CF的长，进而可得DE的长．
解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵ ，
∴CN＝ ，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∴S ABCD＝AB•DM＝AC•BF，
平行四边形∴4× ＝2 BF，
∴BF＝ ，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2 ﹣2× ＝ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯
形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
10．B
【分析】连接 ，根据点E是 的中点以及翻折的性质可以求出 ，然后利用“
”证明 和 全等，根据全等三角形对应边相等可证得 ；设 ，表示出 、 ，
然后在 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解：如图，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∵ 沿 折叠后得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在矩形 中，
∴ ，
∴ ，∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
即 ；
故选：B．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质；熟
记矩形的性质和翻折变换的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
11．D
【分析】A.由折叠的性质可以知道 和 分别是 和 的平分线，同时 是平角，
所以可知 ，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道 、 ，就可以得
到 ，选项B正确；C和D.过点 作 于点 ， ，可得 ， ．
设 ，可以得到 ， ．根据折叠的性质可得 ，根据勾
股定理，求得 ，即可得到 ， ，所以 ．故选项C正确，选项D错误．
解：A.由折叠可知 和 分别是 和 的平分线．
又 ，
，
故选项A正确．
B.又 点 与点 关于 对称，
，
又 ，
，
故选项B正确．
C和D.如答图，过点 作 于点 ．，
，
，
易知 ， ，
设 ，
， ，
点 是 的中点，折叠后点 落到 上，
点 与点 重合， ．
易知点 共线，
．
，
，
解得 ．
， ，
，
故选项C正确，选项D错误．
综上，故选：D．
【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题
的关键．
12．D
【分析】根据折叠的性质得到 ，根据直角三角形的性质得到
，故①正确；根据正方形的性质得到 ， ，求得
，故②正确；根据等边三角形的判定定理得到 是等边三角形，故③正确；过作 于 ，过 作 于 ，解直角三角形得到， 故④正确．
解： 点 是 的中点，
，
将 沿 所在的直线折叠，使得点 的对应点 落在线段 上，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，故②正确；
如图所示，
，
， ，
是等边三角形，故③正确；
过 作 于 ，过 作 于 ，，
则 ，
正方形面积为12，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，故④正确，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，
直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
13． /126度
【分析】由平行四边形的性质得 ， ，由折叠得 ，
， ，则 ，所以
，则 ，于是得 ，则 ，，即可求得 ，于是得到问题的答案．
解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
由折叠得 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，
证明 是解题的关键．
14．
【分析】先证明 ， ，再根据“ ”证明 ，根据全等三角形
性质得出 ，从而得出 ，证明 ，根据勾股定理得出
，求出 即可
解：将 沿 折叠后得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在矩形 中， ，
又由折叠可知 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是
熟练掌握三角形全等的判定方法．
15．
【分析】作 于 ，根据折叠的性质得到 ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理
得到 为等边三角形，得到 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
解：
解:作 于 ,由折叠的性质可知， ， ,
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 为等边三角形, ，
∴ ，
设 ,则 .
在 中, ，
在 中, ,即 ，
解得 ,即 .
故答案为 .
【点拨】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折
叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
16．
【分析】判定四边形 是正方形，即可得到 ，再根据 ，即
可利用勾股定理求得 的长．
解：如图所示，连接 ，由折叠可得， ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
又 ，
∴四边形 是正方形，
，
又 ，
，
由折叠可得， ，
中， ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性
质和折叠的性质是解题的关键；
由平行四边形的性质得 ，由由折叠的性质得： ， ，
，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质
和勾股定理，求得 ，进而得到 ，由折叠的性质可知， ， ，，设 ，利用勾股定理列方程，求出 ，再利用勾股定理，即可
求出线段 的长．
解： 四边形 是矩形， ， ，
， ， ， ，
在 中， ，
，
由折叠的性质可知， ， ， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，即 ，
，
在 中， ，
故答案为：
19．
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，先根据等角对等边，得出 ，再设
，在 中，根据勾股定理列出关于 的方程，求得 的值即可．熟练掌握勾股定理及利用
方程的思想是解题的关键．
解：由折叠得， ， ， ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得 ，
∴ 的长为 ，
故答案为： ．
20．
【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含
x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．
过点 作 于点 ，由菱形的性质和已知条件得出 ，再设 ，则
，在 中，依据勾股定理得到方程 ，求
得 的值即可得到 的长．
解：如图所示，过 作 ，交 的延长线于点 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
解得 ，
故答案为：1.2．21． 30
【分析】由折叠的性质可得： ， ， ，
， ， ，由平角的性质可得 ，从而得到 ，
通过求得 即可得到答案；由平行四边形的性质、折叠的性质可得 ，由含有 角的直
角三角形的性质可得 ，即可得到答案．
解：由折叠的性质可得： ， ， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由折叠的性质可得： ，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：30， ．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、含有 角的直角三角形的性质，熟练掌
握折叠的性质、平行四边形的性质、含有 角的直角三角形的性质，是解题的关键．
22． 或1
【分析】当 为直角三角形时，有两种情况：①当点 落在矩形内部时，如答图 所示．连结
，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得 ，而当 为直角三角
形时，只能得到 ′ ，所以点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的
点 处，则 ， ，可计算出 ，设 ，则 ， ，然
后在 中运用勾股定理可计算出 ．
②当点 落在 边上时，如答图 所示．此时 为正方形．
解：当 为直角三角形时，有两种情况：
①当点 落在矩形内部时，如图 所示．连接 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ 沿 折叠，使点 落在点 处，
∴ ，当 为直角三角形时，只能得到 ，
∴点 、 、 共线，即 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
②当点 落在 边上时，如图 所示．此时 为正方形，
∴ ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾
股定理得出方程是解决问题的关键．
23．
【分析】延长 交 的延长线于点H，作 交 的延长线于点G，由菱形的性质得
，则 ，所以 ，由 ，得
，则 ，所以四边形 是矩形，由折叠得
， ，所以 ， ，则 ，设 则 可求得 ，所以
则 ， ，所以
，可求得 则 即可求得 ，于是得到问题的答
案．
解：延长 交 的延长线于点H，作 交 的延长线于点G，则 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
由折叠得 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴设 则
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半、
勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．2.4或6
【分析】分两种情况讨论：E点在线段 上和E点在线段 上.接 ，先根据折叠的性质和HL得到
， .设 ，则 ， ，求出 ，把 用含有x的式子表示出来.
中，根据勾股定理列方程求出x即可.
解：①如图1，当E点在线段 上时，连接 ,
∵四边形 是正方形，
∵折叠后，又
（HL）
∴
设 ,则 ，
在Rt 中，
解得
②如图2，E点在线段 上时，连接 ,
设 ,则 ，
在Rt 中
解得故答案为：2.4或6
【点拨】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识并根据勾股定理列
方程是解题的关键.
25．见详解
【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明 ，即可证明结论成立．
解：证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵沿 折叠，点C落在点 处，
∴ ， ，
在 和 中
∴ ，
∴ ．
26．（1）见分析；（2）① ；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出 ， ， ，由平行线的性质得出
，证出 ，得出 ，因此 ，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得 的长，在 中求得 ，即可求得菱形的边长；②
当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时 ；当点P与点A重合时，点E离点A最远，
此时四边形 为正方形， ，即可得出答案．
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边 上的E处，折痕为 ，
∴点B与点E关于 对称，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（2）①∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点B与点E关于 对称，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，解得： ，
∴菱形 的边长为 ；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时 ， ，则
，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形 为正方形，如图，
则 ，
那么 ，
∴菱形 的面积范围为 ，即最大值为36；最小值为 ．【点拨】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判
定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键．
27．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用翻折的性质和平行线的性质可得 ，即可证明结论；
（2）利用含 角的直角三角形的性质得 ， ，再利用勾股定理列方程求出 的长，
即可得出答案．
解：（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
将平行四边形 折叠，使得点 落在点 处，点 落在点 处，折痕为 ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：作 于 ，
， ，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，，
解得 ，
，
平行四边形 的面积为 ．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理列方
程是解题的关键．
28．[探究]（1） ；（2） ； 应用 ．
【分析】[探究] （1）连接 ，可推出 ，从而得出 ，进一步得出
结果；
（2）可证得 ，从而 ，进而得出结果；
[应用]设 ，则 ，在 中， ， ， ，
根据勾股定理得 ，求得 的值，进一步得出结果．
解：[探究] （1）如图①，连接 ，
垂直平分 ，
，
由折叠得，
， ， ，
四边形 是正方形，， ，
，
是等边三角形，则 ，
，
，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
由（1）可知： ， ， ，
，
，
，
，
；
应用 设 ，则 ，
由（2）知： ，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
29．（1） ， ；（2）四边形 是矩形，理由见分析；（3）
【分析】（1）连接 ，由菱形的性质和线段中点的定义得到 ， ，进而证明
得到 ，由折叠的性质可得 ，
，再证明 ， ，进而证明，得到 ，证明 ，得到 ，则
， ；
（2）由菱形的性质得到 ， ，则 ，由折叠的性质可
得 ， ，即可证明 是等边三角形，得到 ，证明 ，得
到 ，则 ，同理可证明 ，即可证明四边
形 是矩形；
（3）如图所示，过点M作 于H，连接 ，证明 是等边三角形，由E为 的中点，
得到 ．由折叠的性质可得 ，则 ， ，推
出 ，则 ，在 中， ，则 ．
（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵E，F分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：四边形 是矩形，理由如下：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵点E、F是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证明 ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：如图所示，过点M作 于H，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，∴ 是等边三角形，
∵E为 的中点，
∴ ．
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，全等三
角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是
解题的关键．
30．（1） ；（2）24；（3）
【分析】（1）连接 ，由矩形的性质得出 ， ， ，
， ，再由勾股定理得 ，则 ， ，然后由三角形面积即
可得出结论；
（2）连接 ，过点 作 于 ，证 ，则 ，再由勾股定理
得 ，然后由三角形面积求出 ，即可解决问题；（3）连接 ， ， ，由 ，求得 ，由
，得 ，从而求出 ．
（1）解：如图1，连接 ，
四边形 是矩形，
， ， ， ， ，
， ，
， ，
，
解得： ；
（2）解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
连接 ，过点 作 于 ，如图2所示：则四边形 是矩形，
，
由折叠的性质得： ， ，
，
，
，
，
在 中，
由勾股定理得： ，
，
， ， ，
，
，
，
的周长 ；
（3）解：如图3，连接 ， ， ，
，，
，
，
∴ ，
．
【点拨】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾
股定理，三角形面积等知识是解题的关键．
