文档内容
专题 2.2 二次函数全章十类必考点
【人教版】
【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】.....................................................................................................1
【考点2 二次函数图象与系数的关系】..................................................................................................................7
【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】...........................................................................................................16
【考点4 二次函数图象的几何变换】....................................................................................................................21
【考点5 由二次函数的最值求字母的值】...........................................................................................................24
【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】.......................................................................................................27
【考点7 由二次函数的性质求几何最值】...........................................................................................................31
【考点8 二次函数的实际应用】............................................................................................................................38
【考点9 二次函数中的存在性问题】....................................................................................................................49
【考点10 二次函数中的新定义问题】..................................................................................................................66
【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】
1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行
判断．
n
【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（− ，0），函数y＝mx+n与x轴的交
m
n
点坐标为（− ，0），
m∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意；
若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0，
∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上，
n
∵对称轴x=− ＞0，
2m
∴在y轴的右侧，故选项B符合题意；
故选：B．
2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及与 y轴的位置关系，即可得出a、b的
正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【解答】解：A．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数y＝bx﹣a过二，三，四象限，故本选项符合题意；
B．∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴，
∴a＜0，b＞0，
1
∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为x=− ＞0，故本选项不符
2a
合题意；
C．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴，
∴a＞0，b＜0，∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意；
D．∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴，
∴a＜0，b＞0，
∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．（2024春•无为市月考）已知二次函数 y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2+bx+c
与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的
开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数y＝ax2+（b+1）x+c对称轴在y轴的左侧，得b＜﹣1，即可
得出答案．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，
b+1
抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴为x=− ＜0，
2a
∴b＜﹣1，
b
∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为x=− ＜0；
2a
一次函数y＝﹣x﹣b的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且
a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口
2
向上，对称轴x=− ＜0，故选项错误；
−2a
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴
2
x=− ＜0，故选项正确；
−2a
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选
项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选
项错误．
故选：B．
5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正
比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴
的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半
轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c
与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣
x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．
故选：B．
b
6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=(c+3a)x− 的图象可能
a
是（ ）
A． B．C． D．
b
【分析】先根据抛物线对称轴为直线x＝1推出− =2，再根据当x＝﹣1时，y＞0，得到3a+c＞0，由
a
此即可得到答案．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
b
∴− =2
a
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，
b
∴一次函数y=(c+3a)x− 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于（0，2），
a
故选：B．
7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y ＝x与二次函数y =ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则
1 2
函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】由一次函数y ＝x与二次函数y ＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝
1 2
ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断．
【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，
∴A符合条件，
故选：A．
【考点2 二次函数图象与系数的关系】
1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，
②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可．
【解答】解：如图：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵图象交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴是直线x＝1，
b
∴− =1，
2a
∴b＝﹣2a，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错；
∵b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②对；
∵图象与x轴两个交点，
∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对；
根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0），
故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对；
由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对，
故选：D．
2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）
如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）
（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断 a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断
①；根据a＞0，c＜0可判断②；根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据二次函数的
性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
b
∵对称轴为直线：x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②∵a＞0，c＜0，
∴ac＜0，
∴a2＞4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误；
⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
故选：B．
3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数 y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（
）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b 1
【分析】观察图象易得a＞0，又− = ，从而b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②
2a 3
是正确的，而④是错误的；由图象，当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判
定a﹣b+c＞0，③是正确的；由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，
c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0，⑤是正确的．
【解答】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a＞0．
b 1
又对称轴是直线x=− = ，
2a 3
2
∴b=− a＜0，故①错误．
3
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c＜0．
∴abc＞0，故②是正确．
由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴③是正确．
b 1
由对称轴是直线x=− = ，
2a 3
∴3b＝﹣2a．
∴2a﹣3b＝4a＞0，故④是错误．
又由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0，
∴⑤正确．
故选：B．
4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax2+bx =ax2+bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
b
②∵抛物线对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；⑤∵ax2+bx =ax2+bx ，
1 1 2 2
∴ax2+bx −ax2−bx ＝0，
1 1 2 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
而x ≠x ，
1 2
b
∴a（x +x ）+b＝0，即x +x =− ，
1 2 1 2 a
∵b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，
1 2
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x
轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①b＝2a；
②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
1
⑤一元二次方程ax2+（b− ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
2
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；
②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；
④根据抛物线的平移即可求解；
⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1，
b
即− = 1，所以b＝﹣2a，
2a
所以①错误；
②当x＝1时，y＝n，
所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a，
所以﹣a+c＝n，
所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），
即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；
所以③正确；
④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x，
根据图象可知：
把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象，
所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x，
即ax2+（b+2）x＜0．
所以④正确；
1
⑤一元二次方程ax2+（b− ）x+c＝0，
2
1
Δ＝（b− ）2﹣4ac，
2
因为根据图象可知：a＜0，c＞0，
所以﹣4ac＞0，
1
所以Δ＝（b− ）2﹣4ac＞0，
21
所以一元二次方程ax2+（b− ）x+c＝0有两个不相等的实数根．
2
所以⑤正确．
故选：D．
6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直
线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关
于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x x ，且满足x ＜x ，则x ＜﹣2，x ＞4；⑤直线y＝kx﹣4k
1 2 1 2 1 2
（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论
的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解．
【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①是正确的；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的；
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4，
∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的；
由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边，
∴x ＜﹣2，x ＞4；故④是正确的；
1 2
∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0），
∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的；
故选：B．7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说
法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x ，y ）和B
1 1
（x ，y ），当m＜x ＜x ＜m+3时，满足y ＝y ，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q
2 2 1 2 1 2
与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正
确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的对称轴得出b＝4a，由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，即可判断①；用a与b的数
量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二
次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣2，
b
∴− = 2，
2a
∴b＝4a，代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c，
由图象可得：当x＝﹣1时，y＞0，
即：a×（﹣1）2+4a×（﹣1）+c＞0，
∴c﹣3a＞0，故①正确；设4a2﹣2ab≥at（at+b），则4a﹣2b≤at•t﹣bt，
∴4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，
∵左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，显然不成立，故②错误；
由题意得：x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c﹣y ＝0的两个根，
1 2 1
从图象上看，由于二次函数具有对称性，x 、x 关于直线x＝﹣2对称，
1 2
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x ，y ）和B（x ，y ），
1 1 2 2
当m＜x ＜x ＜m+3时，满足y ＝y ，
1 2 1 2
即m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，故③正确；
直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1和﹣4，则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q，
即：ax2+bx+c＜px+q的解集为：x＜﹣4或x＞﹣1，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：B．
【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】
1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y ），点B（1，
1
y ），点C（3，y ），那么y ，y ，y 的大小关系为（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2
【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可．
2m
【解答】解：二次函数y＝﹣mx2+2mx+4的对称轴为直线x=− =1，
−2m
∵m＞0，
∴抛物线开口向下，
∴x＝1时，y 最大，
2
∵1﹣（﹣2）＝3＞3﹣1＝2，
∴y ＞y ，
3 1
∴y ，y ，y 的大小关y ＜y ＜y ．
1 2 3 1 3 2
故选：B．
2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数 y＝（x﹣1）2+2的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为
1 2 3
y ，y ，y ．当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．不能确定
1 2 3 2 1 3 3 1 2
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，2），
∴当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，
1 2 3
观察图象可知：y ＜y ＜y ，
2 1 3
故选：B．
3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C
（﹣2，y ）、D（−❑√2，y ）、E（❑√3，y ），则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 1 3
【分析】由A（﹣1，a）B（3，a）的对称性，可求函数的对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的性
质，即可判断y ＜y ＜y ．
1 2 3
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，a）、B（3，a），
−1+3
∴开口向下，对称轴为直线x= =1，
2
∴当x≤1时，y随x的增大而增大，
∵E（❑√3，y ）关于对称轴的对称点为（2−❑√3），且﹣2＜−❑√2＜2−❑√3＜1，
3
∴y ＜y ＜y ；
1 2 3
故选：A．
4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x ，
1
p），B（x ，q），其中x ＜x ，则（ ）
2 1 2
A．若a＞0，当x +x ＞﹣5，则p＞q
1 2
B．若a＞0，当x +x ＜﹣3，则p＞q
1 2
C．若a＜0，当x +x ＞﹣3，则p＞q
1 2D．若a＜0，当x +x ＜﹣5，则p＞q
1 2
【分析】由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x ＝
1
m﹣4，x ＝﹣m，则二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2），则对称
2
m−4−m
轴为直线 x= =−2，再逐项推理即可．
2
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得
x ＝m﹣4，x ＝﹣m，
1 2
∴二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2），
m−4−m
∴对称轴为直线 x= =−2，
2
A、若a＞0，当 x +x ＞﹣5 时，
1 2
x +x 5
∵ 1 2＞− 则p＜q，故不符合题意；
2 2
B、若a＞0，当 x +x ＜﹣3 时，
1 2
x +x 3
∵ 1 2＜− 则p＜q，故不符合题意；
2 2
x +x 3
C、若a＜0，当 x +x ＞﹣3时， 1 2＞− 则p＞q，故符合题意；
1 2
2 2
D、若a＜0，当 x +x ＜﹣5，
1 2
x +x 5
∴ 1 2＜− ，则p＜q，故不符合题意；
2 2
故选：C．
5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ），D（4，y ）是二次函数y＝﹣
1 2 3 4
2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＞0
3 4 1 2 2 3 1 4
−4
【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x =− =−1，再根据函数的单
2×(−2)
调性得知，y ＞y ＞y ＞y ，接着判断每个选项即可得出答案．
2 3 1 4
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2，
−4
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =− =−1，
2×(−2)
∴A（﹣4，y ）关于对称轴的对称点为（2，y ），B（﹣2，y ）关于对称轴的对称点为B（0，y ），
1 1 2 2∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y ＞y ＞y ＞y ，
2 3 1 4
A．若y y ＞0，
1 2
则y ，y ，y 同号，
1 2 3
则y 可能与它们同号，也可能异号
4
则y y ＞0或y y ＜0，故本选项不符合题意；
3 4 3 4
B．若y y ＞0，
1 4
则y y 同号或者y y 异号，
2 3 2 3
故本选项不符合题意；
C．若y y ＜0，
3 4
则y ＜0，y ＞0，
4 3
则y ＞0，y ＞0或y ＜0，
2 1 1
故本选项不符合题意；
D．若y y ＜0，
2 3
则y ＞0，y ＜0，
2 3
则y ＜0，y ＜0，
1 4
则y y ＞0．
1 4
故本选项符合题意．
故选：D．
6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x ，y ）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x ，y ），C（x ，y ）在抛物线y
1 1 2 2 3 3
＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则x +x +x 的取值范围是（ ）
1 2 3 1 2 3 1 2 3
A．﹣8＜x +x +x ＜﹣4 B．﹣10＜x +x +x ＜﹣6
1 2 3 1 2 3
C．﹣4＜x +x +x ＜0 D．﹣12＜x +x +x ＜﹣8
1 2 3 1 2 3
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 x的
值，即可求得x 取值范围，根据抛物线的对称性求得x +x ＝﹣2，从而求得x +x +x 的取值范围．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣4，
1 2
∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2），
把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8，若y ＝y ＝y ，x ＜x ＜x ，则﹣8＜x ＜﹣4，x +x ＝﹣4，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
∴﹣12＜x +x +x ＜﹣8，
1 2 3
故选：D．
7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两
1 1 2 2
点，当t﹣1＜x ＜t+1，t+2＜x ＜t+4 时，下列说法正确的是（ ）
1 2
3 1
A．若t＞− ，则y ≤y B．若y ＜y ，则t＞−
2 1 2 1 2 2
1 1
C．若y ＞y ，则t＜ D．若t＜− ，则y ≥y
1 2 2 2 1 2
【分析】根据二次函数性质逐项分析判断即可．
【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝1，且x ＜x ，
1 2
3 5 1 1 5
A．当t=− 时，− ＜x＜ ， ＜x＜ ，
2 2 1 2 2 2 2
则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，故y ＞y ，
1 2
3
故t＞− 时，y ＞y ，
2 1 2
故A错误，不符合题意；
B．若y ＜y ，则A、B在对称轴的异侧或右侧，
1 2
当A、B在对称轴的右侧时，
则t≥2，
当A、B在对称轴的异侧时，
则t+2﹣1≥1﹣（t﹣1），
1
解得：t≥ ；
2
1
综上，t≥ ；
2
故B错误，不符合题意；
若y ＞y ，则点A、B在对称轴异侧或左侧，
1 2
当A、B在对称轴异侧时，则1﹣t﹣1≥t+4﹣1，
3
解得：t≤− ；
2
当A、B在对称轴左侧时，则t+4≤1，
解得：t≤﹣3，
则t≤﹣3，
故C错误，不符合题意；
1
当t=− 时，
2
3 1 1 3
则− ＜x＜ ， ＜x＜ ，
2 1 2 2 2 2
则点A到对称轴的距离大于或等于点B到对称轴的距离，故y ＞y ，
1 2
1
∴t＜− ，则y ≥y ，
2 1 2
故D正确，符合题意；
故选：D．
【考点4 二次函数图象的几何变换】
1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C ：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到
1
新抛物线C ：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（ ）
2
A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【解答】解：依题意，y＝3x2+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：y＝3（x+1）2+a
（x+1）+b+1
＝3x2+6x+3+ax+a+b+1
＝3x2+（6+a）x+a+b+4，
∴6+a＝3，a+b+4＝﹣17，
解得：a＝﹣3，b＝﹣18，
∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣18）＝15，
故选：B．
2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向
下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（ ）
A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3
【分析】先求出平移后的解析式，再把（1，5）代入解析式求值即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+6＝（x﹣3）2+m2﹣3，
∴将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到y＝（x﹣3+1）2+m2﹣3﹣2，即y＝（x﹣2）2+m2﹣5，
∵经过点（1，5），
∴5＝1+m2﹣5，
解得m＝±3，
故选：D．
1
3．（2024•广西模拟）将抛物线y= x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
2
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1
1 1
C．y=− x2+1 D．y=− x2−1
2 2
1
【分析】先确定抛物线y= x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点
2
（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线．
1
【解答】解：抛物线y= x2+1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），
2
1
此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为y=− x2﹣1．
2
故选：D．
4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将
该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值
为（ ）
1 1
A．1或− B．1或﹣3 C．3 D．
3 3
【分析】先求解A的坐标，再求解旋转后的解析式及B的坐标，再利用AB＝12，再建立方程求解即
可．
【解答】解：∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．
∴当x＝0时，y＝9m﹣3，
∴A（0，9m﹣3），
∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3的图象以原点为旋转中心旋转180°，
∴旋转后的解析式为：﹣y＝m（﹣x+3）2﹣3即y＝﹣m（x﹣3）2+3，
当x＝0时，y＝﹣9m+3，
∴B（0，﹣9m+3），∵AB＝12，
∴|9m﹣3﹣（﹣9m+3）|＝12，即|18m﹣6|＝12，
1
解得：m＝1或m=− ，
3
故选：A．
5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与
另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8
C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4
【分析】直接根据平面直角坐标系中，点关于直线对称的特点得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（0，﹣4），
∴沿直线x＝2翻折后的二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（4，﹣4），
∴另一个二次函数的表达式为y＝（x﹣4）2﹣4，即y＝x2﹣8x+12．
故选：C．
6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 ．
【分析】由抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），可得沿x轴翻折后的顶点坐标是（﹣1，
﹣3），即可求解．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣
3），开口向下，
∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3，
故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3．
7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线
的解析式为 ．
【分析】根据点关于y轴对称的特点即可求得．
【解答】解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”，
∴把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为y＝﹣3（﹣x+2）2﹣1，即y＝﹣3
（x﹣2）2﹣1．
故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣1．
【考点5 由二次函数的最值求字母的值】
1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（
）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值
时x的值，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），
∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，
∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5，
解得c＝3或c＝﹣1，
故选：A．
1
2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数y= x2−mx+1(m＞0)的最小值为0，则m
2
＝（ ）
9 3 3
A．− B．❑√2 C． D．❑√2或
4 2 2
【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m=❑√2；当m＞2时，则x＝2时，
3
y有最小解得m= ＜2，即可求得m=❑√2．
2
1 1 1
【解答】解：∵y= x2﹣mx+1= （x﹣m）2+（− m2+1），
2 2 2
∴图象f的对称轴为直线x＝m，
当m≤2时，抛物线开口向上，
1
∴当x＝m时，y有最小值，y最小 =−
2
m2+1＝0，
解得m=❑√2，
当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，
1 1
∴x＝2时，y有最小值，y最小 =
2
（2﹣m）2+（−
2
m2+1）＝0，
3
解得m= （不合题意，舍去），
2
综上，m=❑√2．
故选：B．3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为
（ ）
A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1
【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的
增减性列方程求解即可．
【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+5＝4
解得m＝﹣3；
②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值为5，不合题意；
③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+5＝4，
解得m＝2．
故选：C．
4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的
值为（ ）
A．2 B．2或−❑√3
7 7
C．2或−❑√3或− D．2或±❑√3或−
4 4
【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
7
【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大 ＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m =−
4
（舍），
当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大 ＝m2+1＝4，解得m=−❑√3；
当m＞1，x＝1时，y最大 ＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为−❑√3或2，
故选：B．
5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y
的最大值为9，则m的值为（ ）
A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4
【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取
最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1
和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解．【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x
的增大而增大．
①当m+2≤1时，即m≤﹣1，
∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9．
∴m＝﹣1或m＝3（舍去）．
②当m≥1时，
∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣3（舍去）或m＝1．
③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1，
∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意．
综上，m＝﹣1或m＝1．
故选：C．
6．（2024•邢台三模）点A（a，b ），B（a+2，b ）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数
1 2
的最大值为4，最小值为b ，则a的取值范围是（ ）
1
A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0
【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；
②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围．
【解答】解：由y＝﹣x2+2 x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，
4）．
由题意得A点在B点的左边．
如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2＝1，解得a＝﹣1；
当点A，B对称时，a＝0．此时若函数的最大值为4，最小值为b ；
1
当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近，
∴1﹣a＞（a+2）﹣1，
解得a＜0，
∴a的取值范围是﹣1≤a≤0．
故选：D．7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为
（ ）
3 3 3
A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或−
4 4 4
【分析】求得抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），分2b﹣2＞b，2b+1＜b和2b
﹣2≤b≤2b+1，三种情况讨论，即可求解．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），且开口向下，
当2b﹣2＞b，即b＞2时，有﹣（2b﹣2﹣b）2+4b﹣1＝2，
解得b＝1（舍去）或b＝7；
当2b+1＜b，即b＜﹣1时，有﹣（2b+1﹣b）2+4b﹣1＝2，
整理得b2﹣2b+4＝0，Δ＝4﹣16＜0，方程无实数解；
当2b﹣2≤b≤2b+1，即﹣1≤b≤2时，有4b﹣1＝2，
3
解得b= ；
4
3
综上，b的值为7或 ，
4
故选：C．
【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】
1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（ ）
A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9
【分析】由已知得y2＝2x﹣4≥0，代入x2+y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求解．
【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0，
∴y2＝2x﹣4≥0，
∴2x﹣4≥0，
∴x≥2，
∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8，∵（x+2）2≥0，x≥2，
∴x＝2时最小值是8．
故选：A．
2．（2023 秋•如皋市校级月考）已知实数 a、b 满足 a﹣b2＝2，则代数式 a2﹣3b2+a﹣9 的最小值是
（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9
【分析】由a﹣b2＝2可得a与b2的数量关系，将代数式 a2﹣3b2+a﹣9化为只含a的代数式并配方求
解．
【解答】解：∵a﹣b2＝2，
∴b2＝a﹣2，
∴a2﹣3b2+a﹣9＝a2﹣3（a﹣2）+a﹣9＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）2﹣4，，
∵b2＝a﹣2≥0，
∴a≥2，
∴a＝2时，代数式（a﹣1）2﹣4的最小值为﹣3，
故选：B．
1 1 4
3．（2024•浙江模拟）已知：m= a2−a− (0≤a≤4)，n= (1≤b≤4)，m+n＝2，则下列说法中正确
2 2 b
的是（ ）
A．n有最大值4，最小值1
3
B．n有最大值3，最小值−
2
C．n有最大值3，最小值1
5
D．n有最大值3，最小值
2
1
【分析】依据题意，由m+n＝2，从而n＝2﹣m=− （a﹣1）2+3，进而根据二次函数的性质可得，
2
3
− ≤n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解．
2
【解答】解：由题意，∵m+n＝2，
1 1 1 5 1
∴n＝2﹣m＝2﹣（ a2﹣a− ）=− a2+a+ =− （a﹣1）2+3．
2 2 2 2 25 3
又当a＝0时，n= ；a＝4时，n=− ；a＝1时，n取最大值为3．
2 2
3
∴当0≤a≤4时，− ≤n≤3．
2
∵1≤b≤4，
1 1
∴ ≤ ≤1．
4 b
4
∴1≤ ≤4．
b
∴1≤n≤4．
3
又− ≤n≤3，
2
∴1≤n≤3．
∴n有最大值3，最小值1．
故选：C．
4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，
则w的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】根据题意t2＝﹣2s2+6s，代入w＝t2+s2+2s即可得到w＝﹣（s﹣4）2+16，利用二次函数的性质
即可得到结论．
【解答】解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，
∴t2＝﹣2s2+6s，
∵t2≥0，
∴﹣2s2+6s≥0，
∴0≤s≤3，
∴w＝t2+s2+2s
＝﹣2s2+6s+s2+2s
＝﹣s2+8s
＝﹣（s﹣4）2+16，
∴s＝3时，w有最大值，
∴w的最大值为15．
故选：A．5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最
小值为b，则a﹣b的值为（ ）
10
A．6 B．5 C．4 D．
3
【分析】用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数
的增减性求出a、b的值，再相减即可得解．
【解答】解：∵x+y＝3，z﹣3x＝4，
∴y＝3﹣x，z＝4+3x，
∵y，z都是非负数，
{3−x≥0①)
∴ ，
4+3x≥0②
解不等式①得，x≤3，
4
解不等式②得，x≥− ，
3
4
∴− ≤x≤3，
3
又∵x是非负数，
∴0≤x≤3，
s＝﹣x2+y+z＝﹣x2+3﹣x+4+3x＝﹣（x﹣1）2+8，
∴对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，最小值b＝﹣（3﹣1）2+8＝4，
x＝1时，最大值a＝8，
∴a﹣b＝8﹣4＝4．
故选：C．
6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 ．
【分析】将已知等式适当变形得到用含有x的代数式表示2x2+y2的形式，利用配方法变形后，依据x的
取值范围即可求得结论．
【解答】解：∵3x2+y2＝6x，
∴2x2+y2＝﹣x2+6x．
∵2x2+y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9．
∵3x2+y2＝6x，
∴y2＝﹣3x2+6x．∵y2≥0，
∴﹣3x2+6x≥0．
解得：0≤x≤2．
∴当x＝2时，
2x2+y2的最大值为：﹣（2﹣3）2+9＝8．
故答案为：8．
7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t
的最小值为 ．
【分析】依据题意，由 q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，可得 q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0，故（q+1）2﹣2a
（q+1）+1＝0，又 p2﹣2ap+1＝0，从而 p 和（q+1）是方程 x2﹣2ax+1＝0 的两个根，则 p+q+1
−2a 1 1
=− =2a，进而p+q＝2a﹣1，求得t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a− ）2− ，再结合
1 4 8
a≥2，可由二次函数的性质判断得解．
【解答】解：由题意，∵q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，
∴q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0．
∴q2+2q+1﹣2aq﹣2a+1＝0．
∴（q+1）2﹣2a（q+1）+1＝0．
又p2﹣2ap+1＝0，
∴p和（q+1）是方程x2﹣2ax+1＝0的两个根，
−2a
∴p+q+1=− =2a．
1
∴p+q＝2a﹣1．
1 1
∴t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a− ）2− ．
4 8
1
∵当a＞ 时，t随a的增大而增大，
4
1 1
∴当a≥2时，有当a＝2时，t取最小值为2（2− ）2− =6．
4 8
故答案为：6．
【考点7 由二次函数的性质求几何最值】
1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过
点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（ ）A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，于
是四边形OPMQ的周长L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，根据二次函数
性质求解．
【解答】解：令y＝0，则x2+x﹣2＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝1，
1 2
∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（1，0），
设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，
∴令四边形OPMQ的周长为L，L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴m＝﹣1时，L取最大值，为6．
故选：D．
2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若
AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2❑√2
【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等
1
腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF =
2
×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝
﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD于M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
1
∵S△APF =
2
AF•PM，
1
∴S△APF =
2
×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF 有最大值4，
故选：C．
3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的
速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、
DF，则△DEF面积最小值为（ ）
3 3 4 8
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
2 4 5 5
【分析】由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图
1
得：S△DEF +S△PDC =
2
S正方形EFPC ，代入可得结论．
【解答】解：设△PCD的面积为y cm2，
由题意得：AP＝t cm，PD＝（5﹣t）cm，
1 1
∴y= CD•PD= ×2×(5−t)=5−t，
2 2
∵四边形EFPC是正方形，1
∴S△DEF +S△PDC =
2
S正方形EFPC ，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
1 1 19 1 3
∴S△DEF =
2
（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）=
2
t2﹣4t +
2
=
2
（t﹣4）2+
2
，
3
当t为4s时，△DEF的面积最小，且最小值为 cm2．
2
故选：A．
4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿
边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q
两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 mm2．
【分析】根据题意得到AP＝2t mm，BQ＝4t mm，则BP＝（12﹣2t）mm，有三角形的面积公式可得S
1 1
= BP×BQ= （12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2（0＜t＜6），利用二次函数的性质即可求得△PBQ的面积S的最
2 2
大值．
【解答】解：根据题意有：AP＝2t mm，BQ＝4t mm，
∵AB＝12mm，BC＝24mm，
∴BP＝（12﹣2t）mm，
1 1
∴S= BP×BQ= （12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，
2 2
∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t，
∴0＜t＜6，
故S关于t的函数解析式为S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）；
∵S＝24t﹣4t＝﹣4（t﹣3）2+36，
∵﹣4＜0，
∴当t＝3时，△PBQ的面积S有最大值36mm2．
故答案为：36．5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且
BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 ；
运动过程中，△DEH的面积的最小值是 ．
【分析】结合图形，由已知先证明CGHF为正方形，设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，求出x的长，进
1 3 15
而求出DH；由S△DEH ＝S△DEC +S梯形DCGH 得到S△DEH =
2
（x−
2
）2+
8
，利用二次函数的性质即可求得
△DEH的面积的最小值．
【解答】解：连接FH，
∵△EGH≌△BCF，
∴∠DCB＝∠G＝90°，FC＝GH，BC＝EG＝3，
∴FC∥GH，BE＝CG，
∴四边形FCGH是平行四边形，
∴四边形FCGH是矩形，
∵BE＝CF，
∴CG＝CF，
∴四边形CGHF为正方形，
∴EH＝CF，
设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，
∴EC＝3﹣x，
∵DE＝EH，
∴（3﹣x）2+22＝32+x2，
2
解得x= ，
3
2
∴CF＝FH= ，
3
2 4
∴DF＝2﹣x＝2− = ，
3 3√ 4 2 2❑√5
∴DH=❑√DF2+FH2=❑( ) 2+( ) 2= ；
3 3 3
1 1 1 1 3 1 3
∵S△DEH ＝S△DEC +S梯形DCGH ﹣S△EHG =
2
（3﹣x）×2 +
2
（2+x）•x−
2
×3⋅x=
2
x2−
2
x+3 =
2
（x−
2
）2
15
+ ，
8
1
∵ ＞0，
2
15
∴△DEH的面积的最小值是 ．
8
2❑√5 15
故答案为： ， ．
3 8
6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、
C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB
上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴
于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 ．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得
b−2 1 1
出BF＝AE =
2
，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH ＝S△EFG +S△EFH =
2
EF•OG得出S△FGH ==
2
（6﹣
1
b）•b=− （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
2【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
b−2
当y＝2时，x= ，
2
b−2
∴E（ ，2），
2
b−2
∴AE= ，
2
b−2
∴BF＝AE= ，
2
b−2
∴EF＝4﹣2× =6﹣b，
2
1 1 1
∴S△FGH ＝S△EFG +S△EFH =
2
EF•OG =
2
（6﹣b）•b =−
2
（b﹣3）2+4.5，
1
∵− ＜0，
2
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标
为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若
不存在，请说明理由．【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式
中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
1 1
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC ＝S△MNC +S△MNB =
2
MN（OD+DB）=
2
MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC 、m的函数关系式，根据
函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1；
∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
{3k+b=0)
，
b=3
{k=−1)
解得 ；
b=3
故直线BC的解析式：y＝﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
1 1
∵S△BNC ＝S△MNC +S△MNB =
2
MN（OD+DB）=
2
MN•OB，
1 3 3 27
∴S△BNC =
2
（﹣m2+3m）•3 =−
2
（m−
2
）2+
8
（0＜m＜3）；
3 27
∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 ．
2 8【考点8 二次函数的实际应用】
1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长
40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动
区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．
A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉
B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉
的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III
三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各
有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁
种总价不超过65400元，求S的最大值；
（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3．
①求MF，FN的长；
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长
5
的 倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值．
4
【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过
65400元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；
（2）①设AB＝a米，EF＝b米，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN
＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达
式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得．【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2），
由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400，
解得：S≤52，
故S的最大值为52米2．
（2）①设AB＝a米，EF＝b米，
∵四边形ABCD和EFGH均为正方形，
∴AD＝AB＝a米，FG＝EF＝b米，
∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米，
FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米，
MF 1
又∵ = ，
FN 3
a+b−16 1
∴ = ．
a+b−12 3
∴a+b＝18．
∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米），
答：MF的长为2米，FN的长为6米．
②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a，
∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，
DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，
BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a，
则由题意得：
w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160，
5
又∵BN≥ ME且AB＜12，
4
5
∴a﹣4≤ （16﹣a）且a＜12，
4
32
解得： ≤a＜12，
3
32
由二次函数的性质可知，当 ≤a＜12时，W随a的增大而减小，
3
32 32 2
则当a= 时，w取得最大值，最大值为﹣300×（ −10）2+6160＝6026 （元）．
3 3 32
答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为6026 元．
3
3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品
成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示：
类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元）
A m 8 30
（m为常数，且4≤m≤6）
B 12 20 y
其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日
产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2．
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w 元，w 元，请分别写出w ，w 与x的函数关系式，并写
1 2 1 2
出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】
【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围．
（2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值．
（3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B
即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，得w ＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．
1
w ＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）
2
＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．
（2）∵8﹣m＞0，∴w 随x的增大而增大，又0≤x≤500，
1
∴当x＝500时，w
1
有最大值，即w最大 ＝﹣500m+3970（元）．
∵w ＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．
2
又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．
∴当0≤x≤300时，w 随x的增大而增大，
2
∴当x＝300时，w
2最大
＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．
（3）①若w
1最大
＝w
2最大
，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，
②若w
1最大
＞w
2最大
，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，
③若w
1最大
＜w
2最大
，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：
当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；
当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；
当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．
答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工
厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．
4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为 10元/斤的某种水
果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息
如表所示：
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15
售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之
间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．
②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果．
【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意
作出取舍即可；
（2）①写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x
＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时 y的最大值，两者比较即可得出答案；②当
1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，解得此时符合题意的天数；当9≤x＜15时，令y＝330得一元二次方
程，解方程，根据二次函数与一元二次方程的关系可得此时符合题意的天数，两种情况的天数之和即为
所求．
【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得：
10（1﹣x）2＝8.1，
解得：x ＝0.1，x ＝1.9（不合题意，舍去），
1 2
∴x＝0.1＝10%，
∴该种水果每次降价的百分率为10%；（2）①当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元），
∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大，最大值为：
y＝﹣17.7×1+352＝334.3；
当9≤x＜15时，
y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∵﹣3＜0，
∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380．
综上所述，
{ −17.7x+352(1≤x＜9) )
y = ，第10天时的销售利润最大；
−3x2+60x+80(9≤x＜15)
②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，
220
解得：x≤ ，
177
有1天的销售利润不低于330元；
当9≤x＜15时，令y＝330得：
﹣3x2+60x+80＝330，
5❑√6 5❑√6
解得：x ＝10+ ，x ＝10− ，
1 3 2 3
5❑√6 5❑√6
∴当10− ＜x＜10+ 时，﹣3x2+60x+80≥330，
3 3
又∵9≤x＜15，
5❑√6
∴9≤x＜10+ ，
3
∴有6天的销售利润不低于330元．
综上所述，共有7天的销售利润不低于330元．
5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第 x天（1≤x≤28，且x
为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示：
第x天 1 2 3 4 5 6 7 …
销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 …
为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价 z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整
数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润；
（3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价
在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，
问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值．
【分析】（1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）设总利润为w元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求
最值；
（3）设第20天总利润为w 元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数
1
的性质求出函数取得最大值时x的值，再根据最大利润是20250，解出a的值．
【解答】解：（1）由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，
{k+b=220
)
把（1，220）和（2，240）代入可得： ，
2k+b=240
{k=20
)
解得： ，
b=200
∴y关于x的函数表达式为y＝20x+200（1≤x≤28）；
（2）设总利润为w元，
则w＝y（z﹣20）＝（20x+200）（﹣2x+80）＝﹣40x2+1200x+16000＝﹣40（x﹣15）2+25000，
∵﹣40＜0，1≤x≤28，
∴当x＝15时，w最大，最大值25000，
答：第15天利润最大，最大值为25000元；
（3）由题意可得：
第20天开始每件商品的单价为（﹣2x+100﹣a）元，
每件商品的利润为：﹣2x+100﹣a﹣20＝（﹣2x+80﹣a）元，
设此时利润为w 元，
1则w ＝（20x+200）（﹣2x+80﹣a）＝﹣40x2+（1200﹣20a）x+200（80﹣a），
1
b 1200−20a 60−a
对称轴x=− =− = ＜15，
2a 2×(−40) 4
又∵a＝﹣40＜0且20≤x≤28，
∴w 随x的增大而减小，
1
当x＝20时，w 有最大值为20250，
1
∴（20×20+200）（﹣2×20+80﹣a）＝20250，
解得：a＝6.25．
综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝6.25．
6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹
（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物
线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度
为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米．
（1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；
（3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米．
【分析】（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；
（2）利用坡度求出AB，再根据二次函数关系式求出当x＝30时，y的值，再进行比较即可；
1 1 1 81
（3）求出OA的关系式，设M（m，− m2+m），N（m， m），利用MN=− （m﹣18）2+ ，
40 10 40 10
由函数的性质求出最大值即可．
【解答】解：（1）由题意得：顶点（20，10），且抛物线过原点，
所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣20）2+10，
把（0，0）代入得：0＝a（0﹣20）2+10，1
解得a=− ，
40
1 1
∴抛物线的解析式为：y=− （x﹣20）2+10=− x2+x；
40 40
（2）∵山坡OA的坡度为1：10，OB＝30米，
∴AB＝3米，
∵AC＝4.4米，
∴BC＝3+4.4＝7.4（米），
1
当x＝30时，y=− ×900+30＝7.5，
40
∵7.5＞7.4，
∴小明投出的手榴弹能越过这棵树；
1
（3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（30，3）代入可得k= ，
10
1
∴直线OA的关系式为y= x，
10
如图：
1 1
设M（m，− m2+m），N（m， m），
40 10
1 1 1 9 1 81
∴MN＝（− m2+m）− m=− m2+ m=− （m﹣18）2+ ，
40 10 40 10 40 10
1
∵− ＜0，
40
∴当m＝18时，MN最大为8.1，
答：飞行的过程中手榴弹离坡面的最大高度是8.1米．
7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解
答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成
点）的运动路线为抛物线C 的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为 3m，其高
1
度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、
P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯
规）．
（1）求抛物线C 的解析式和c的值（不必写x的取值范围）；
1
1 8
（2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C ：y=− x2+ +c的一部分．
2 5 5
①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？
12
②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度 m，若嘉嘉因接球高度
5
不够而失球，直接写出d的取值范围．
【分析】（1）设抛物线 C 的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2，由C 经过点A（6，1），求出a的值即可；
1 1
（2）①令x＝3求出y的值与1.5比较即可，令y＝0，解方程求出x的值与10比较即可；
12
②根据x＝d时，y＞ 以及d＞3求出d的取值范围．
5
【解答】解：（1）依题意，嘉嘉发球时，球在（3，2）处达到最高点，
设抛物线 C 的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2，
1
∵C 经过点A（6，1），
1
∴1＝a（6﹣3）2+2，
1
解得a=− ，
9
1
∴抛物线 C 的解析式为y=− (x−3) 2+2；
1 9
当x＝0 时，y＝1，
∴c＝1；
1 8
（2）①由（1）得c＝1，故抛物线 C 的解析式为y=− x2+ x+1，
2 5 51 8
当x＝3时，y=− ×32+ ×3+1=4＞1.5
5 5
∴球可以过网；
1 8
当y＝0时，− x2+ x+1＝0，
5 5
整理得x2﹣8x﹣5＝0，
解得x =4−❑√21（舍去），x =4+❑√21，
1 2
由题意可得，OQ＝3+7＝10（m），
∵4+❑√21＜10，
∴球没有出界，
综上，球可以过网，球没有出界；
1 8 12
②由题意得：− d2+ d+1＞ ，
5 5 5
解得1＜d＜7．
∵嘉嘉在球网的右侧，
∴d＞3，
∴d的取值范围为3＜d＜7．
【考点9 二次函数中的存在性问题】
9
1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x−1) 2+ 与x轴交于A，B（4，0）两点，与y
2
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．9
【分析】（1）将B（4，0）代入y=a(x−1) 2+ ，待定系数法求解析式，进而分别令x，y＝0，解方
2
程即可求解；
1 9
（2）根据题意y=− (x−1) 2+ ，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），根据勾股定理BC2＝42+42＝
2 2
32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，分①当∠BCP＝90°时，②当∠CBP＝90°时，③当
∠BPC＝90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得
2 4
直线AQ的解析式y= x+ ，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程即可求解．
3 3
9
【解答】解：（1）将B（4，0）代入y=a(x−1) 2+ ，
2
9
即0=9a+ ，
2
1
解得：a=− ，
2
1 9
∴y=− (x−1) 2+ ，
2 2
1 9
令x＝0，则y=− + =4，
2 2
1 9
令y＝0，则− (x−1) 2+ =0，
2 2
解得：x ＝4，x ＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；
1 2
（2）存在点P，使△BCP是直角三角形，
1 9
∵y=− (x−1) 2+ ，对称轴为直线x＝1，
2 2
设P（1，n），∵B（4，0），C（0，4），
∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，
①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2，
∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2，
解得：n＝5；
②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2，
∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32
解得：n＝﹣3；
③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2
解得：n=2−❑√7或n=2+❑√7，
综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+❑√7），（1，2−❑√7）；
（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，
由对称性可知，OM＝QM，
∴AM+OM＝AM+QM≥AQ，
当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠QBM＝45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q（4，4），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b，
{−2k+b=0)
∴ ，
4k+b=42
{k= )
3
解得： ，
4
b=
3
2 4
∴直线AQ的解析式y= x+ ，
3 3
设直线BC的解析式为y＝mx+4，
∴4m+4＝0，
∴m＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
{y=−x+4
)
联立方程组 2 4 ，
y= x+
3 3
8
{x= )
5
解得： ，
12
y=
5
8 12
∴M（ ， ）．
5 5
2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左
1
侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x= ，P是第一象限内抛物线上一个动点．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积；
（3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长；（4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，
K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出C点坐标，进而求出直线BC的解析式，设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M
（m，﹣2m+4），根据PM＝MH列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面
积即可；
（3）分PM＝PC和CP＝CM两种情况，进行讨论求解；
11 3
（4）求出直线PC的解析式，设K( ，n)，Q(q，− q+4)，利用平移思想求出Q点坐标，进而
8 4
求出K点坐标，再验证CK⊥KM即可．
1
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x= ，过点B（2，0），
2
{ − b = 1 )
∴ −2×2 2 ，
−2×22+2b+c=0
{b=2)
解得： ，
c=4
∴y＝﹣2x2+2x+4；
（2）∵y＝﹣2x2+2x+4，
∴当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
1
∵图象过点B（2，0），对称轴为直线x= ，
2
∴A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+4，把B（2，0）代入，得：k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+4，
设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4），
∵PM＝MH，
∴PH＝2MH，即：﹣2m2+2m+4＝2（﹣2m+4），
解得：m＝1或m＝2（舍去）；
∴P（1，4），M（1，2），
∴PM＝2，1 1
∴S = PM⋅OB= ×2×2=2；
△PBC 2 2
（3）设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4），
∴PM＝﹣2m2+2m+4+2m﹣4＝﹣2m2+4m，
①当PM＝PC＝﹣2m2+4m时，过点C作CE⊥PH，如图1，则CE＝m，
∴PE＝EH﹣PH＝4+2m2﹣2m﹣4＝2m2﹣2m，
在Rt△CEP中，由勾股定理，得：（﹣2m2+4m）2＝m2+（2m2﹣2m）2，
11
解得：m＝0（舍去）或m= ；
8
11 2 11 55
∴PM=−2×( ) +4× = ；
8 8 32
②当CP＝CM时，过点C作CE⊥PM，如图2，则：PM＝2ME，
∵ME＝HE﹣MH＝4+2m﹣4＝2m，
∴﹣2m2+4m＝4m，
解得：m＝0（不合题意，舍去）；
55
故PM= ；
32（4）直线PM上存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形；理由如下：
11 95 11 5
由（3）可知：P( ， )，M( ， )，
8 32 8 4
11 95 3
设直线PC的解析式为y＝k x+4，把P( ， )代入得：k =− ，
1 8 32 1 4
3
∴y=− x+4，
4
11 3
设K( ，n)，Q(q，− q+4)，
8 4
若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形CMQK为矩形，
∴CM∥KQ，CM＝KQ，KC⊥CM，
11 11
∵点C先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到点M，
8 4
11 11
∴将点K先向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到点Q，
8 4
11 11 11
∴q= + = ，
8 8 4
3 3 11 31
∴− q+4=− × +4= ，
4 4 4 16
31 11 75
∴n= + = ，
16 4 16
11 75
∴K( ， )，
8 16
75 2 11 2 605 75 5 2 3025 5 2 11 2 605
∴CK2=( −4) +( ) = ，K M2=( − ) = ，CM2=(4− ) +( ) = ，
16 8 256 16 4 256 4 8 64
∴CM2+CK2＝KM2，
则四边形CMQK为矩形，满足题意；
11 75
故K( ， )．
8 16
1 3
3．（2024春•南川区期中）已知抛物线y=− x2+ x+2与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左
2 2
侧），与y轴交于点A．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四
边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积；（3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得以P、C、
M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）先求出AC的直线解析式，然后假设P点坐标，即可得到H和Q点的坐标，然后四边形OAPC分
成△OAC和△APC求出面积和P点坐标得关系，根据二次函数最值问题的即可求出 S的最大值，从而
求得P点坐标和Q点坐标，从而得到△QHC的面积；
（3）根据菱形的性质，得出△PMC为等腰三角形，再根据腰的不同分类讨论，即可求解．
【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
1 3
∵y=− x2+ x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
2 2
与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝2，
1 3
当y＝0时，− x2+ x+2＝0，
2 2
解得：x＝﹣1或x＝4，
∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝1，OC＝4，
∴AB=❑√5，BC＝5，AC＝2❑√5，
∵(❑√5) 2+52=(2❑√5) 2 ，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，2），C（4，0），
{ b=2 )
∴ ，
4k+b=0{ k=− 1 )
解得： 2
b=2
1
∴直线AC的解析式为：y=− x+2，
2
1 3
∵点P（m，n）是抛物线y=− x2+ x+2在第一象限部分上的点，PH⊥x轴，
2 2
1 3 1
∴P（m，− m2+ m+2），H（m，0），Q（m，− m+2），
2 2 2
1 3 1 1
∴PQ=− m2+ m+2﹣（− m+2）=− m2+2m，
2 2 2 2
1 1
∵S△OAC =
2
•OA•OC =
2
×2×4＝4，
1 1 1
S△APC =
2
PQ（x
C
﹣x
A
）=
2
（−
2
m2+2m）（4﹣0）＝﹣m2+4m，
∴S四边形OAPC ＝S△OAC +S△APC ＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8，
∴S＝﹣m2+4m+4，
∴当m＝2时，S四边形OAPC 的最大值为8，此时P（2，3），
∴Q（2，1），H（2，0），
1 1
∴S△QHC =
2
•CH•QH =
2
×2×1＝1；
（3）存在，
1 3
理由如下：∵y=− x2+ x+2，
2 2
3
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
3
设M（ ，t），
2
由（1）（2）可知，P（2，3），C（4，0），
3 37 3
∴PM2＝（2− ）2+（3﹣t）2＝t2﹣6t+ ，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（ −4）2+（t﹣
2 4 2
25
0）2＝t2+ ，
4
由菱形的对称性可知，若P，C，M，N为顶点的四边形是菱形，∴△PCM为等腰三角形，
①当PM＝PC时，
37
t2﹣6t+ =13，
4
6±❑√51
解得：t= ，
2
3 6+❑√51 3 6−❑√51
∴M（（ ， ）或（ ， ）；
2 2 2 2
②当CM＝PC时，
25
t2+ =13，
4
3❑√3
解得：t＝± ，
2
3 3❑√3 3 3❑√3
∴M（ ， ）或（ ，− ）；
2 2 2 2
③当MC＝MP时，
37 25
t2﹣6t+ =t2+ ，
4 4
1
解得：t= ，
2
3 1
∴M（ ， ）；
2 2
3 6+❑√51 3 6−❑√51 3 3❑√3 3 3❑√3 3
综上所述，点M坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，− ）或（
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1
， ）．
2
5 5
4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线y=ax2+bx+ 与直线AB交于点A(−1，0)，B(4， )．点
2 2
D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB
于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，
Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求得点C、D坐标以及直线AB的解析式，根据平行四边形的性质得到PQ∥y轴，且PQ＝CD＝
1 5 1 1
3 ， 设 P(m，− m2+2m+ )， 则 Q(m， m+ )， 由
2 2 2 2
1 5 1 1 1 3
PQ=|− m2+2m+ −( m+ )|=|− m2+ m+2|=3解一元二次方程即可求解．
2 2 2 2 2 2
5 5
【解答】解：（1）由题意，将点A(−1，0)，B(4， )代入y=ax2+bx+ 中，得：
2 2
5
{ a−b+ =0 )
2
，
5 5
16a+4b+ =
2 2
{ a=− 1 )
解得 2 ，
b=2
1 5
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x+ ；
2 2
（2）存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形．
1 5 1 9 9
由y=− x2+2x+ =− (x−2) 2+ 得顶点D坐标为(2， )，
2 2 2 2 2
设直线AB的解析式为y＝kx+t，
5
将点A(−1，0)，B(4， )代入，得：
2
{−k+t=0
)
5 ，
4k+t=
21
{k= )
2
解得 ，
1
t=
2
1 1
∴直线AB的解析式为y= x+ ，
2 2
1 1 3 3
当x＝2时，y= ×2+ = ，∴C(2， )，
2 2 2 2
9 3
∴CD= − =3，
2 2
∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，CD在抛物线对称轴上，
∴PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3，
1 5 1 1
由题意，设P(m，− m2+2m+ )，则Q(m， m+ )，
2 2 2 2
1 5 1 1 1 3
∴PQ=|− m2+2m+ −( m+ )|=|− m2+ m+2|=3，
2 2 2 2 2 2
1 3 1 3
∴− m2+ m+2=3①或− m2+ m+2=−3②，
2 2 2 2
解①得m＝1或m＝2（舍去），则Q（1，1）；
1
解②得m＝﹣2或m＝5，则Q(−2，− )或Q（5，3），
2
1
综上，符合条件的Q坐标为（1，1）或(−2，− )或（5，3）．
2
5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点
C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是
BE的中点．
（1）求m的值；
（2）求该抛物线对应的函数关系式；
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所
有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m；
（2）易得B（﹣2，3），根据二次函数的对称性得出A（4，0），设抛物线对应的函数关系式为y＝
ax2+bx+c，把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的
函数关系式为．
（3）连接CD，易得C（2，0），则BC＝CE，进而得出CD是BE的垂直平分线，用待定系数法求出
1
CD所在直线的函数表达式为y= x−1，与二次函数表达式联立求解即可．
2
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5，
∴E（2，﹣5），
∵B（﹣2，m），点D是BE的中点，
∴m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（﹣5），
解得：m＝3．
（2）∵m＝3，
∴B（﹣2，3），
∵该抛物线经过原点O，对称轴x＝2，
∴A（4，0），
设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入得：
{
c=0
)
3=4a−2b+c ，
0=16a+4b+c1
{ a= )
4
解得： ，
b=−1
c=0
1
∴抛物线对应的函数关系式为y= x2−x．
4
（3）连接CD，
∵对称轴x＝2与x轴交于点C，
∴C（2，0），
∵B（﹣2，3），E（2，﹣5），
∴BC=❑√(2+2) 2+32=5，CE=0−(−5)=5，
∴BC＝CE，
∴点C在BE的垂直平分线上，
∵点D是BE的中点，
∴CD是BE的垂直平分线，
设CD所在直线的函数表达式为y＝kx+t，
把D（0，﹣1），C（2，0）代入得：
{ −1=t )
，
0=2k+t
{ k= 1 )
解得： 2 ，
t=−1
1
∴CD所在直线的函数表达式为y= x−1，
21
{ y= x−1)
2
联立得： ，
1
y= x2−x
4
{x
1
=3+❑√5
)
{x
2
=3−❑√5
)
解得： 1+❑√5 ， 1−❑√5 ，
y = y =
1 2 2 2
1+❑√5 1−❑√5
∴P(3+❑√5， )或P(3−❑√5， )．
2 2
6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）．
（1）求抛物线表达式；
（2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可
得到抛物线表达式；
2 4 2
（2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，求出BC解析式，设Q(t， t2− t−2)，则M(t， t−2)
3 3 3
2 2 4 2
， 得 出 MQ=( t−2)−( t2− t−2)=− t2+2t， 得 到
3 3 3 3
1 2 3 9 3
S
△BCQ
=S
△CMQ
+S
△BMQ
=
2
(−
3
t2+2t)⋅3=−t2+3t =−(t−
2
) 2+
4
，当t =
2
时，S△BCQ 取最大值，最大
9 3 2 4 5 3 5
值为 ，当t= 时， t2− t−2=− ，△BCQ的面积最大时，点Q坐标为( ，− )；
4 2 3 3 2 2 2
（3）分三种情况讨论即可．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
{
a−b+c=0
)
得： 9a+3b+c=0 ，
c=−2
2
{ a= )
3
解得： 4 ，
b=−
3
c=−2
2 4
∴二次函数的解析式为y= x2− x−2；
3 3
（2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，
设BC：y＝mx+n，
将B（3，0），C（0，﹣2）代入，
{0=3m+n)
得： ，
−2=n
{ m= 2 )
∴ 3 ，
n=−2
2
∴y= x−2，
3
2 4 2
设Q(t， t2− t−2)，则M(t， t−2)，
3 3 3
2 2 4 2
∴MQ=( t−2)−( t2− t−2)=− t2+2t，
3 3 3 3
1 2 3 9
∴S =S +S = (− t2+2t)⋅3=−t2+3t =−(t− ) 2+ ，
△BCQ △CMQ △BMQ 2 3 2 4
3 9
∴当t =
2
时，S△BCQ 取最大值，最大值为
4
，3 2 4 5
当t= 时， t2− t−2=− ，
2 3 3 2
3 5
∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为( ，− )；
2 2
2 4
（3）∵y= x2− x−2，
3 3
4
−
3
∴对称轴为x=− =1，
2
2×
3
设点P（1，a），
∵B（3，0）、C（0，﹣2），
∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a+2）2，BC=❑√13，
①BP＝CP，
∴4+a2＝1+（a+2）2，
1
∴a=− ，
4
1
∴P(1，− )；
4
②BP＝BC，
∴4+a2＝13，
∴a＝±3，
∴P（1，3）或P（1，﹣3）；
③CP＝BC，
∴1+（a+2）2＝13，
∴a=−2±2❑√3，
∴P(1，−2+2❑√3)或P(1，−2−2❑√3)；
1
综上所述，P(1，− )或P（1，3）或P（1，﹣3）或P(1，−2+2❑√3)或P(1，−2−2❑√3)．
4
7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两
点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP．
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存
在，请说明理由；（3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即
可得其顶点坐标；
（2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；
（3）需要分两种情况，当∠AQB＝2∠ACB及∠ACB＝2∠AQB，再根据题目中条件求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B（﹣3，0）、C（0，﹣3），
{9−3b+c=0) { b=2 )
∴ ，解得： ，
c=−3 c=−3
∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣4，
即顶点坐标为：（﹣1，﹣4）；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D，
∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为（p，p2+2p﹣3），则D的坐标为（p，﹣p﹣3），∴PD＝﹣p﹣3﹣p2﹣2p+3＝﹣p2﹣3p，
1 3 3 27
∴S△BCP =
2
×3（﹣p2﹣3p）=−
2
（p +
2
）2+
8
，
3 27 3 15
∴当p=− 时，△BCP面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（− ，− ）；
2 8 2 4
（3）设Q（m，﹣m﹣3），
Ⅰ，当∠AQB＝2∠ACB，如图2，
∵∠AQB＝∠ACB+∠QAC，
∴∠E AC＝∠ACQ，
Q
∴AQ＝CQ，即点Q在线段AC的垂直平分线上，
∵抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．令y＝0，则x2+2x﹣3＝0．
解得x＝﹣3或1，
∴A（1，0），C（0，﹣3），
5
∴（1﹣m）2+（﹣m﹣3）2＝m2+（﹣m﹣3+3）2，解得m=− ，
2
5 1
∴点Q的坐标为（− ，− ）；
2 2
Ⅱ，当∠ACB＝2∠AQB时，如图3，∵∠ACB＝∠AQB+∠CAQ，
∴∠AQB＝∠CAQ，
∴AC＝CQ=❑√32+12m2+（﹣m﹣3+3）2，
∴m2+（﹣m﹣3+3）2＝（❑√10）2，
∴m=❑√5或−❑√5（舍去），
∴点Q的坐标为（❑√5，−❑√5−3）；
当∠AC′C＝∠ACB＝2∠AQ′B时，AC′＝AC，C′Q′＝AC′，
设C′（n，﹣n﹣3），
∴（1﹣n）2+（﹣n﹣3）2＝（❑√10）2，解得n＝﹣2或0（舍去），
∴C′（﹣2，﹣1），
∴（﹣2﹣m）2+（﹣m﹣3+1）2＝（❑√10）2，
∴m＝﹣2−❑√5或﹣2+❑√5（舍去），
∴点Q的坐标为（﹣2−❑√5，❑√5−1）；
5 1
综上，点Q的坐标为（− ，− ）或（❑√5，−❑√5−3）或（﹣2−❑√5，❑√5−1）．
2 2
【考点10 二次函数中的新定义问题】
1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图
象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”．
3
（1）在函数①y＝﹣x+3，②y= ，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函
x
数是 ；（填序号）
4
（2）设函数y=− （x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足
x为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值；
（3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有
1个“平衡点”时，求M的坐标．
【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在
3
“平衡点”；同理可得y= ，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平
x
衡点”；
4 b b
（2）在y=− 中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（− ，
x 3 3
b b2 b
），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2+ ）2，BC2= +（2+ ）2，AC2＝4，分三种
3 9 3
情况列方程可得答案；
（3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M
（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣
x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0
9 9
有两个相等实数根，故9+8m＝0，m=− ，从而得M的坐标为（0，− ）．
8 8
【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，
∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；
3
同理可得y= ，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”；
x
故答案为：③；
4 4
（2）在y=− 中，令y＝﹣x得﹣x=− ，
x x
解得x＝2或x＝﹣2，
∵x＞0，
∴A（2，﹣2）；
在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b，
b
解得x=− ，
3b b
∴B（− ， ），
3 3
当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），
b b2 b
∴AB2＝2（2+ ）2，BC2= +（2+ ）2，AC2＝4，
3 9 3
b b2 b
若AB＝BC，则2（2+ ）2= +（2+ ）2，
3 9 3
解得b＝﹣3；
b
若AB＝AC，则2（2+ ）2＝4，
3
解得b＝﹣3❑√2−6或b＝3❑√2−6；
b2 b
若BC＝AC，则 +（2+ ）2＝4，
9 3
解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）；
∴b的值为﹣3或﹣3❑√2−6或3❑√2−6或0；
（3）设M（0，m），m＜﹣1，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），
点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），
∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，
在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得：
﹣x＝﹣x2+2x+2m，
∴x2﹣3x﹣2m＝0，
∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝0，即9+8m＝0，
9
∴m=− ，
8
9
∴M的坐标为（0，− ）．
8
2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数
值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正{ x(x≥0) )
比例函数y＝x，它的相关函数为y = ．
−x(x＜0)
（1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值；
1
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x− ．
2
3
①当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
2
1
②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x− 的相关函数的最大值和最小值．
2
1 9
（3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（− ，1）、（ ，1），连接MN．直接写出线段
2 2
MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
【分析】（1）先求出y＝ax﹣5的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解
1
即可；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+ ，然后可求得此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y
2
1
＝x2+4x− ，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值；
2
（3）首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时
n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，
{ y=ax−5，(x≥0) )
一次函数y＝ax﹣5的相关函数为 ，
y=−ax+5，(x＜0)
∴把点A（﹣5，10）代入y＝﹣ax+5，则﹣a×（﹣5）+5＝10，
∴a＝1；
1
{−x2+4x− ，(x≥0))
1 2
（2）根据题意，二次函数y＝﹣x2+4x− 的相关函数为y = ，
2 1
x2−4x+ ，(x＜0)
2
3 1 1 3
①当m＜0时，将B（m， ）代入y＝x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，
2 2 2 2解得：m＝2+❑√5（舍去）或m＝2−❑√5，
3 1 1 3
当m≥0时，将B（m， ）代入y＝﹣x2+4x− 得：﹣m2+4m− = ，
2 2 2 2
解得：m＝2+❑√2或m＝2−❑√2，
综上所述：m＝2−❑√5或m＝2+❑√2或m＝2−❑√2．
1
②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+ ，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，
2
∴当x＝﹣3时，有最大值，即
1 43
y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）+ = ，
2 2
43
∴此时y的最大值为 ．
2
1
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x− ，抛物线的对称轴为x＝2，
2
1
当x＝0有最小值，最小值为− ，
2
7
当x＝2时，有最大值，最大值为y= ，
2
1 43 1
综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x− 的相关函数的最大值为 ，最小值为− ；
2 2 2
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．1
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（− ，1），
2
1 5
∴ +2﹣n＝1，解得：n= ，
4 4
5
∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
4
5
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤ ，
4
3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2
﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的
“特征数”是【0，﹣2，0】．
（1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单
位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
❑√3
（2）将“特征数”是【0，− ，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数
3
的解析式是 ．
（3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界
点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值．
（4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若
（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3时，
直接写出m的值．（m为常数）
【分析】（1）由函数的特征数是【1，﹣4，1】，知函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，将函数向左
平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2，即可得到答案；❑√3 ❑√3
（2）由函数的“特征数”是【0，− ，﹣1】，得函数解析式为y=− x﹣1，将图象向上平移2个
3 3
❑√3
单位得新函数解析式为y=− x+1；
3
（3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m，抛物
线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m，分四种情况：①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛
物线的最高点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线
的最高点在x＝1处取得，有（1﹣m）2﹣3m＝5，③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最
高点在x＝1取得，有5＝（1﹣m）2﹣3m，④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高
点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，分别解方程可得答案；
（4）由抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1，分四种情况：①当﹣3m﹣1＜1＜﹣
2 1
3m，即− ＜m＜− 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m
3 3
2 1
＜− 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m＞− 时，有两种情
3 3
3 3 3
况：抛物线与直线y＝1有两个交点，可得M（m− ，1），N（m+ ，1），故（m+ −m）2﹣3m＝
2 2 2
1，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得M（﹣1，1），故（﹣1﹣m）2﹣3m＝1，④当m＞2时，可得
x ＝2m﹣5，故（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1，解方程可得答案．
M
【解答】解：（1）∵函数的特征数是【1，﹣4，1】，
∴函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2，
∴函数y＝x2﹣2的“特征数”是【1，0，﹣2】，
故答案为：【1，0，﹣2】；
❑√3
（2）∵函数的“特征数”是【0，− ，﹣1】，
3
❑√3
∴函数解析式为y=− x﹣1，
3
❑√3 ❑√3
将函数y=− x﹣1的图象向上平移2个单位得新函数解析式为y=− x+1，
3 3❑√3
故答案为：y=− x+1；
3
（3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m，
抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m，
由抛物线的性质可知，当x＝m+2与x＝m﹣2时，y相等且m﹣2＜m，
①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，
∴y＝（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，
1
解得m=− ，不符合题意，舍去；
3
②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线的最高点在x＝1处取得，
∴（1﹣m）2﹣3m＝5，
5+❑√41 5−❑√41
解得m= 或m= （舍去），
2 2
③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最高点在x＝1取得，
∴5＝（1﹣m）2﹣3m，
5−❑√41 5+❑√41
解得m= ＞−1（舍去）或m= （舍去），
2 2
④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，
∴（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，
1
解得m=− ，
3
1 5+❑√41
综上所述，m的值为− 或 ；
3 2
（4）由（3）知抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1，
2 1
①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即− ＜m＜− 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
3 3
2
②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m＜− 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
3
1
③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m＞− 时，
3
需要分以下两种情况：
抛物线与直线y＝1有两个交点，如图，∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
∴MN＝3，
3 3
∴M（m− ，1），N（m+ ，1）；
2 2
3
∴（m+ −m）2﹣3m＝1，
2
5
解得m= ，
12
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，P到y轴距离与B到y轴距离都为2，
∴M到y轴距离为1，即x ＝﹣1，
M
∴M（﹣1，1），
∴（﹣1﹣m）2﹣3m＝1，
解得m＝0（舍去）或m＝1；④当m＞2时，如图：
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，
∴m﹣x +m﹣x ＝3，
P M
又x ＝2，
P
∴x ＝2m﹣5（﹣2＜x ＜2），
M M
∴M（2m﹣5，1），
∴（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1，
13−❑√73 13+❑√73
解得m= 或m= （舍去），
2 2
5 13−❑√73
综上所述，m的取值为 或1或m= ．
12 2
4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：
点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”．
函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”．
【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上．
点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2；
函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大
值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：
（1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 ；
4
②求出函数y= +x（2≤x≤4）的“最优纵横值”；
x3
（2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
（3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b
的值．
【分析】（1）①根据定义直接求解即可；
②根据定义先求出1≤y≤2，再求“最优纵横值”为2；
（2）先确定函数的解析式为y＝﹣x2+3x+c，再由y﹣x＝﹣（x﹣1）2+c+1的最优纵横值为5，得到c+1
＝5，解得c＝4；
（3）先求y﹣x＝﹣（x﹣b）2+3，再分类讨论：当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3
（舍）；当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2．
【解答】解：（1）①∵B（﹣6，2），
∴2﹣（﹣6）＝8，
∴点B（﹣6，2）的“纵横值”为8，
故答案为：8；
4 4
②y﹣x= +x﹣x= ，
x x
∵2≤x≤4，
∴1≤y≤2，
4
∴函数y= +x（2≤x≤4）的“最优纵横值”为2；
x
3
（2）∵抛物线的顶点在直线x= 上，
2
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x+c，
∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∵最优纵横值为5，
∴c+1＝5，
解得c＝4；
（3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3，
∴当x＝b时，y﹣x有最大值3，
当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）；
当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2；综上所述：b的值为5或﹣2．
c
5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数y= 上，若
x
c
存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数y= 的
x
“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点 P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在
2
y=− 上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数
x
2
y=− 的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”．
x
2
（1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数y=− 是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”
x
坐标；若不存在，请说明理；
k+3
（2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数y= 只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；
x
c
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y= 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函
x
数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：
S
①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求 的取
a
值范围．
【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），分别代入
2
一次函数y＝x+1和反比例函数y=− ，得到关于x的一元二次方程，解方程可得m ＝1，m ＝﹣3，根
x 1 2
据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标；
k+3
（2）因为一次函数y＝x﹣k和反比例函数y= 只有一个“幸福点”，则一次函数y＝x﹣k与反比例
x
k+3 k+3
函数y= 只有一个交点，联立一次函数y＝﹣x﹣k与反比例函数y= 得到关于x的一元二次方
x x
程，得到关于x的一元二次方程，令Δ＝0，求出k的值，即可求出“向光函数”的解析式；
c
（3）一次函数y＝ax+b与反比例函数y= 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴
x对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b，上，根据“向光函数”y＝ax2+bx+c满足的条件可以得出b＝2a
S
﹣1，c＝1﹣3a，进而表示边形ACBD的面积为S，即可求 的取值范围．
a
2
【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数y=− 存在“向光函数”，理由如下：
x
c
点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数y= 上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次
x
c
函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数y= 的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设
x
“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），
{m+1=n
)
∴ 2 ，
− =n
−m
{m =1
)
{m =−2
)
1 2
解并检验得： ， ，
n =2 n =−1
1 2
3
∴一次函数y＝x+2和反比例函数y=− 是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，
x
﹣1）；
（2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比
k+3
例函数y= 只有一个“幸福点”，
x
k+3
所以y＝﹣x﹣k与反比例函数y= 只有一个交点，
x
k+3
∴y＝﹣x﹣k③，y= ④，
x
整理得：x2+kx+（k+3）＝0，
Δ＝k2﹣4（k+3）＝0，
解得：k ＝﹣2，k ＝6，
1 2
1
当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数y= 只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y
x
＝x2+2x+1，
9
当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数y= 只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝
xx2﹣6x+9，
∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9．
c
（3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y= 有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函
x
数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），
c
∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与y= 的交点坐标，
x
c
∴−ax+b= ，
x
整理得：ax2﹣bx+c＝0，
又∵“向光函数”为y＝ax2+bx+c，
∴y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴x
B
﹣x
A
＝x
A′
﹣x
B′
，
∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝
0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，
∴D（1，0），c＜0，
{ a+b+c=0 )
∴ ，
9a−3b+c=4
{b=2a−1)
∴ ，
c=1−3a
即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
又∵a＞b＞0，
{a＞2a−1
)
∴ 2a−1＞0 ，
1−3a＜0
1
∴ ＜a＜1，
2
又∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为
y＝ax2+bx+c关于y轴对称，
∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0，
3a−1
∴x ＝﹣1，x = ，
1 2 a
3a−1
∴x
B′
＝﹣1，x
A′
=
a
，1−3a
∴x ＝1，x = ，
B A a
1−3a
∴B（1，3a﹣1），A( ，−a)，
a
令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a），
3a−1
解得x ＝1，x = ，
1 2 a
1−3a
∴x ＝1，x = ，
D C a
1 3a−1 (4a−1) 2
∴S = ×(a+3a−1)×( +1)= ，
四 边 形AC2BD a 2a
(4a−1) 2
∴S 2a 1 1 ，
= = (4− ) 2
a a 2 a
1
∵ ＜a＜1，
2
1
∴2＜4− ＜3，
a
1
∴4＜(4− ) 2＜9，
a
1 1 9
∴2＜ (4− ) 2＜ ，
2 a 2
S S 9
∴ 的取值范围是：2＜ ＜ ．
a a 2
6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C ：y ＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得
1 1
到新函数C 的图象，我们称C 是C 关于点P的相关函数，C 的图象顶点纵坐标为m．
2 2 1 2
（1）当n＝0时，求新函数C 的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
2
3
（2）若a＝1，当− ≤x≤m时，函数C 的最大值为y ，最小值为y ，且y +y ＝7，求C 的解析式；
2 1 1 2 1 2 2
（3）当n＝1时，C 的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．
2
把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C 的图象有公共
2
点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围 ．
【分析】（1）先将函数C 写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n＝0时，点P的坐标，然后根
1
据对称性得出新函数C 的顶点坐标；
23 11 11
（2）先由a＝1得出函数C 的解析式，再分段讨论：①当− ≤x≤ 时，②当m＞ 时，从而可解
1 2 2 2
得m的值，则可求得C 的解析式；
2
（3）先得出n＝1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分
析解得相应的a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y ＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
1
∴函数C 的顶点坐标为（2，﹣9a）．
1
∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0），
∴新函数C 的顶点坐标为（﹣2，9a）；
2
（2）∵a＝1，
∴函数C ：y ＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
1 1
∴函数C 的顶点坐标为（2，﹣9）．
1
3
把x=− 代入函数C ，得：
2 1
3 3 13
y ＝（− ）2﹣4×（− ）﹣5= ，
1 2 2 4
11 13
根据抛物线的对称性可知，当x= 时y = ．
2 2 4
3 11
①当− ≤x≤ 时，y +y ＜7，不符合题意，舍去）．
2 2 1 2
11
②当m＞ 时，y ＝﹣9，y ＝m2﹣4m﹣5，
2 2 1
∴y +y ＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7，
1 2
解得m ＝7，m ＝﹣3（不合题意，舍去）．
1 2
∴y ＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3，
2
∴C 的解析式为y ＝﹣x2﹣4x+3；
2 2
（3）∵n＝1，函数C ：y ＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
1 1
∴函数C ：y ＝﹣a（x+2）2+2+9a，
2 2
∵当y ＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y ＝5a+2，
2 2
∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）．
∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，
∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）．①当a＞0时，
当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C 的图象有公共点，如图1：
2
∴﹣5a≤﹣5，
∴a≥1；
当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C 的图象有公共点，如图
2
2：
∴5a+2≤3，
1
解得a≤ ，
5
1
∴0＜a≤ ．
5
②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C 的图象有公共点，如图3：
2∴﹣5a≥1，
1
∴a≤− ．
5
1 1
综上所述，a≤− 或0＜a≤ 或a≥1．
5 5
7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，
两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是
“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”．
（1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 （填写序号）；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和
点”，求该二次函数的解析式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A
15
（x ，y ）和B（x ，y ），且x2+x2=5，该二次函数的图象与 y轴交点的纵坐标是− ，若已知
1 1 2 2 1 2 2
1 2 24
M=a− b2− b+ ，求M的取值范围．
5 5 5
【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案；
m 2 m2 m m2
（2）由y＝x2+mx+n的顶点恰好是“零和点”，求出y=(x+ ) +n− 的顶点(− ，n− )，再
2 4 2 4
由y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），得到4+2m+n＝0，联立方程组求解即可
得到答案；
（3）由“零和函数”定义，联立{y=ax2+bx+c)，得到ax2+（b+1）x+c＝0，由根与系数关系及
y=−x1 2 24
x2+x2=5得到（b+1）2＝5a2﹣15a，从而将M=a− b2− b+ 化为M＝﹣（a﹣2）2+9结合Δ＞
1 2 5 5 5
0，利用二次函数图象与性质即可得到答案．
【解答】解：（1）若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象
的交点称为“零和点”，据此联立得：
{y=2x−1)
，
y=−x
1
{ x= )
3 1 1
解得 ，即函数y＝2x﹣1的图象与直线y＝﹣x有交点，为( ，− )，由“零和函数”定义可
1 3 3
y=−
3
得①是“零和函数”；
{y=x2+x+4)
联立 ，
y=−x
则x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程组无解，即函数y＝x2+x+4的图象与直线y＝﹣x无
交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”；
故答案为：①；
（2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和
点”，
m 2 m2 m m2
∴y=(x+ ) +n− 的顶点为(− ，n− )，
2 4 2 4
m2 m
∴n− = ，
4 2
∵y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），
∴4+2m+n＝0，
{ n− m2 = m )
联立 4 2 ，
4+2m+n=0
则m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函数”，
{m=−2) {m=−8)
∴ 或 ，
n=0 n=12
∴该二次函数的解析式y＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12；（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A
（x ，y ）和B（x ，y ），
1 1 2 2
{y=ax2+bx+c)
∴联立 ，
y=−x
则﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0，
b+1 c
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∵x2+x2=5，
1 2
b+1 2 2c
∴5=(x +x ) 2−2x x =(− ) − ，
1 2 1 2 a a
15
∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是− ，
2
15
∴c=− ，则（b+1）2＝5a2﹣15a，
2
1 2 24
∴M=a− b2− b+
5 5 5
1
=a− (b2+2b+1)+5
5
1
=a− (b+1) 2+5
5
1
=a− (5a2−15a)+5
5
＝a﹣a2+3a+5
＝﹣a2+4a+5
＝﹣（a﹣2）2+9，
15
∵ax2+(b+1)x− =0有两个不相等的实数根，
2
∴Δ＝（b+1）2+30a＞0，
∴b2+2b+1+30a＞0，
∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0，
∴a2+3a＞0，
∴a（a+3）＞0，∵题中已知条件a＜0，
∴a＜﹣3，
∴M的取值范围是M＜﹣16，
∴当a＜0时，M随着a的增大而增大，即M的取值范围是M＜﹣16．
