文档内容
专题21.7 公式法（知识梳理与考点分类讲解）
一般地，对于一元二次方程
【知识点1】 ，
当
【知识点2】公式法求解一元二次方程
1、公式法的定义：用求根公式求解一元二次方程的方法叫公式法。
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
【例1】用公式法解下列方程： ．
【答案】 ， ．
【分析】先写出各项的系数，再利用求根公式求解即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，注意各项系数的符号．【变式】用公式法解方程：
(1) ． (2)
【答案】(1) ， ； (2) ，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程即可求解．
解：（1）
∵ ， ， ；
∴ ，
∴ ，
（2）
方程整理得： ．
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是公式法解一元二次方程时要化成一般形式．
【知识点2】一元二次方程根的判别式
【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（3）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
解：（1）
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2）
原方程化为一般式是： ，
∴
∴原方程有两个相等的实数根；
（3）
∴原方程没有实数根．
【点拨】本题考查了一元二次方程 ， ， ， 为常数）的根的判别式 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数
根．
【变式】不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
【分析】（1）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（3）先化为一般式，然后计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．
解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0，
∵Δ=12-4×5×（-7）=141＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ=202-4×25×4=0，
∴方程有两个相等的实数根；
（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0，
∵Δ=32-4×4×1=-7＜0，
∴方程有没有实数根．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ＞0时，
方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
【题型一】用公式法解含有字母参数的一元二次方程；
【例1】解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．
【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝± ；当b≤1时，原方程无实数解．
【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．
解：移项得：by2﹣y2＝2+1，
合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，
当b＝1时，原方程无解；
当b＞1时，原方程的解为y＝± ；
当b＜1时，原方程无实数解．
【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．
【变式】解方程：
【答案】当 时，原方程的解是 ，当 时，原方程无实数解
【分析】先移项，再合并同类项可得 ，根据 求出 ，再讨论 时，
，分别计算出方程的解.
解：移项得： ，化简得： ，
，
，
当 时， ，
原方程无实数解，
当 时， ，
，
当 时，原方程的解是
当 时，原方程无实数解．
【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.
【题型二】由方程根的情况确定字母参数的值或取值范围；
【例2】若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得 且 ，求解
即可获得答案．
解：根据题意，
可得 且 ，
解得 且 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次
方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键．【变式】关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 （ ）
A． 且 B． 且 C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：① =0，为一元一次方程；② ≠0，为一元二次方程，根据根的判
别式计算即可．
解：①当 =0时 ，此时方程为 ，有实数根；
②当 ≠0时 ，此时方程为为一元二次方程，
∵方程有实数根
∴ ，解得：
综上所述：
故选：D
【点拨】本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关
键．
【题型三】利用一元二次方程根的情况讨论分式的意义；
【例3】若关于 的一元二次方程 有实数解，且关于 的分式方程
有正数解，则符合条件的整数 的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程 有实数解，求出满足题意的 的取值范围；再
根据关于 的分式方程 有正数解，可进一步求出满足分式方程的 的取值范围，两者求
共同部分即可，注意需要验证 的取值是否符合题意．解：∵关于 的一元二次方程 有实数解，
∴
解得： 且
∵
∴
∴
∴
∵方程有正数解
∴
解得：
∴ 且
∵ 为整数
∴ 可取 、 、0
又∵ 时， ，经检验：当 时， ，故舍去
∴符合条件的整数a有2个
故选：B
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的情况、解含参数的分式方程，熟练掌握对应得知识点是解题的关
键．
【变式】从 ， ， ，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数 使关于 的一元
二次方程 有实数解．且关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的
的值的和是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由一元二次方程 有实数解，确定a的取值范围，由分式方程有整数解，确定a的值即可判断．
解：方程 有实数解，
∴△=4(a−4)2−4a2 0，
解得a 2 ⩾
∴满足⩽条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2
方程
解得y= +2
∵y有整数解
∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点拨】本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的
定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
【题型四】一元二次方程与一次函数综合；
【例4】若一次函数 的图象不经过第二象限，则关于 的方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解.
解： 一次函数 的图象不经过第二象限，
， ，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选 ．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式
是解题的关键.
【变式1】若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0无实数根，则一次函数y＝(m－1)x－m的图象不经过()
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】C
【分析】一次函数y=(m-1)x-m所过象限是由一次项系数和常数项决定的，因此要先知道（m-1）和m的正
负；一元二次方程mx2-2x+1=0无实数根，利用判别式可得出关于m的不等式(-2)2-4m×1＜0；确定m的取值
范围，进而可以判断出（m-1）和m的正负，即可解决问题.
解：根据题意得m≠0且 =(-2)2-4m×1＜0，
解得m＞1， △
所以一次函数y=(m-1)x-m的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限.
故选:C.
【点拨】考查一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，得到m的取值范围是解题的关键.
【变式2】一元二次方程 有两个相等的实数根，点 、 是一次函数
上的两个点，若 ，则 ______ （填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞
【分析】首先根据题意和一元二次方程根的判别式，即可求得m的值，再根据一次函数的性质，即可解答．
解： 一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得m=4，
一次函数的解析式为 ，
，
一次函数 的图象中，y随x的增大而减小，
点 、 是一次函数 上的两个点，且 ，
，
故答案为：＞．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，熟练掌握和运用一元二次方程根
的判别式及一次函数的性质是解决本题的关键．【题型五】根的判别式与三角形的综合；
【例5】三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为（
）
A． B．10 C． D． 或10
【答案】A
【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案.
解： ， ，
∴ ，
解得： ， ，
∵ ，
∴2，3，5无法构成三角形，
∴这个三角形的三边长为：2，3， ，
其周长为： .
故选A.
【点拨】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.
【变式】已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．
(1) 求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析； (2)m的值为4或3
【分析】（1）根据根的判别式的意义得Δ的值，于是得到结论；
（2）分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
解：（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．
∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当腰为4时，
把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；
当底为4时，
则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（m﹣3）2＝0，
∴m＝3，
综上所述，m的值为4或3．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考
查了解一元二次方程．
【题型六】与公式法相关的新定义题；
【例6】定义运算：a※b＝3ab2﹣4ab﹣2．例如：4※2＝3×4×22﹣4×4×2﹣2＝14．则方程2※x＝0的根的情
况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用新定义得到6x2﹣8x﹣2＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
解：由新定义得6x2﹣8x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×6×（﹣2）＝112＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程 的根与 有
如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，
方程没有实数根．
【变式】定义新运算“※”：对于实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通常
的加法和乘法运算，如： ．若关于 的方程 有两个实
数根，则 的取值范围是（ ）A． 且 B． C． 且 D．
【答案】C
【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入
手，即可解决．
解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0，
∴ ．
整理得， ．
∵方程有两个实数根，
∴判别式 且 ．
由 得， ，
解得， ．
∴k的取值范围是 且 ．
故选：C
【点拨】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题
的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目
容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视．
