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专题 21.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中
的三大动点问题的理解！
【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】
1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，动点P
从点A出发沿AB向点B移动，作PQ∥AC，PR∥BC，当 ▱PQCR的面积为△ABC面积的一半时，点P
移动的路程为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4√2cm，动点P从点A出
发沿折线AC-CB向点终B以√2cm/s的速度运动，PQ⊥AB于点Q．设运动时间为t(s)，当t= s
时，△APQ的面积为4cm2．
3．（2023春•驻马店期末）如图，已知AG∥CF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上
的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延
长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 ．4．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，
B两点出发，分别沿AB，BC匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止
运动，设点P的运动时间为ts，解答下列问题：
(1)当t为何值时，△PBQ是以∠PQB为直角的直角三角形？
2
(2)是否存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3
5．（2023春·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P
从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移
动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
6．（2023·浙江金华·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于
点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到
1
终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S = S ？若存在，请求出t的值；若不存在，请
△PMD 12 △ABC
说明理由．
7．（2023春·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的
高，动点P从点A出发，沿A→D方向以√2 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，
设 ABP的面积为S，矩形PDFE的面积为S，运动时间为t秒(0＜t＜8)．
1 2
△(1)经过几秒钟后，S＝S
1 2?
(2)经过几秒钟后，S＋S 最大？并求出这个最大值．
1 2
8．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，
在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒7
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的 ，求t的值；
9
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形
PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【类型2 利用一元二次方程解决四边形中的动点问题】
1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=7,点E是AD上的一个动
点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A 恰好落在∠BCD的平分线上时，C A 的长为
1 1
．
2．（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）如图所示，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，
AD=8cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q
以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始 秒时，点P和点Q的距离是10cm．（若一点
到达终点，另一点也随之停止运动）
3．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q
分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离
是10cm？(2)若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试
探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）如图，点E，F分别在平行四边形ABCD的边BC，AD上，且
BE=DF，AD=10，CD=8，动点P从点A出发沿着线段AE向终点E运动，同时点Q从点C出发沿着折
线段C-F-A向终点A运动，且它们同时到达终点，设Q点运动的路程为x，PE的长度为y，且y=kx+8
（k为常数，k≠0）．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）求AE的长．
4
（3）当k=- 时，
5
①求AF的值；
②连结PQ，QE，当△PQE为直角三角形时，求所有满足条件的x的值．
5．（2023春·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在 ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的
平行线交AO的延长线于点C,连接BC △
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形
ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的
速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后， MON
△1
的面积为 m2？
4
6．（2023春·浙江·九年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝
12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从
点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动
到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0AD，对角线AC、BD相交于
点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数
关系图像如图②所示，则AB边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴上，边OC在x
轴上，点B的坐标是(8,6)，D为AB边上一个动点，把△OAD沿OD折叠，若点A的对应点A'恰好落在矩
形的对角线AC上，则点A'的坐标为（ ）
(144 42) (104 72) (56 42) (96 72)
A． , B． , C． , D． ,
25 25 25 25 25 25 25 25
3．（2023春·四川德阳·九年级统考期末）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC=14，AD=8，BD=6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，
点F在DC上，点G、H在AC上，设DE=x，连接BE．
(1)设矩形 的面积为 ， 的面积为 ，令 S ，求y关于x的函数解析式；（要求写出自变
EFGH S △ABE S y= 1
1 2 S
2
量的取值范围）
(2)如图②，点M是（1）中得到的函数图象上的任意一点，N的坐标为(2，0)，当△OMN为等腰三角形
时，求点M的坐标．
4．（2023春·广东佛山·九年级佛山市华英学校校考期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A(10,0)，点
B(0,8)，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP．
(1)求出S =__________；
ΔAOP
(2)若OP平分∠APB，求点P的坐标；
8
(3)已知点C是直线y= x上一点，若ΔAPC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标.
5
5．（2023春·广东江门·九年级江门市福泉奥林匹克学校校考期中）已知，如图：在直角坐标系中，正方形
AOBC的边长为4，点D，E分别是线段AO，BO上的动点，D点由A点向O点运动，速度为每秒1个单位，E点由B点向O点运动，速度为每秒2个单位，当一个点停上运动时，另一个点也随之停止，设运动时间
为t（秒）
(1)如图1，当t为何值时，△DOE的面积为6；
(2)如图2，连接CD，与AE交于一点，当t为何值时，CD⊥AE；
(3)如图3，过点D作DG∥OB，交BC于点G，连接EG，当D，E在运动过程中，使得点D，E，G三点构
成等腰三角形，求出此时t的值
6．（2023春·浙江·九年级期中）如图直角坐标系中直线AB与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已
知B(0,4)，∠BAO=30°，P，Q分别是线段OB，AB上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速
度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终
点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．
(1)求线段AB的长，及点A的坐标；
(2)t为何值时，△BPQ的面积为2√3；
(3)若C为OA的中点，连接QC，QP，以QC，QP为邻边作平行四边形PQCD．是否存在时间t，使x轴恰
好将平行四边形PQCD的面积分成1:3两部分，若存在，求出t的值．
7．（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）在平面直角坐标系xoy中，A，B 点的坐标分别为（0，4），
（-4，0） ，P点坐标为(0,m)，点E是射线BO 上的动点，满足BE=1.5OP ，以PE，EO 为邻边作
▱PEOQ．（1）当m=2时，求出PE的长度；
1
（2）当m﹥0时，是否存在m的值，使得 ▱PEOQ的面积等于△ABO面积的 ，若存在求出m的值，若
4
不存在，请说明理由；
（3）当点Q在第四象限时，点Q关于E点的对称点为Q′，点Q ′刚好落在AB上时，求m的值（直接写出
答案）．
8．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形AOCD的顶点A，C分别
√3
在y轴和x轴上．直线y=- x+8经过点A，与x轴交于点F.已知∠D=90°，∠OAD=120°，
3
FC=4√3.CE平分∠OCD，交AD于点E，动点Q从A点出发沿着线段AF向终点F运动，动点P从C点
出发沿着线段CE向终点E运动，P，Q两动点同时出发，且速度相同，当Q点到达终点时P点也停止运动，
设AQ=m．
(1)求AF和EC的长；
(2)如图2，连接AP，CQ，求证：四边形AQCP为平行四边形；
(3)如图3，连接QP，PF，当△QPF为直角三角形时，求所有满足条件的m值．
9．（2023春·浙江·九年级期中）如图1，已知，点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上．在 ▱AOCB中，
边AO=2,OC=4,∠AOC=60°,∠AOC的角平分线交AB于点D．（1）求B,D两点的坐标；
（2）若点M是直线OD上的一个动点，点N是坐标平面上的点，以点A,O,M,N为顶点的四边形是菱形
时，请直接写出点N的坐标；
（3）如图2，点P从点O出发，以每秒√3个单位长度的速度沿射线OD方向移动：同时点Q从点O出发，
以每秒2个单位长度的速度沿射线OC方向移动，连结QP,BQ,BP，设移动时间t秒．当t为何值时，
△PQB是直角三角形．
10．（2023春·重庆·九年级重庆市育才中学校联考期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点A(2,0)和点
3
B(0,2)．点C的横坐标为 ，点D为线段OB的中点．
2
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段OA上的一个动点，当PC+PD的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段AB上，若△DPQ是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，
并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
11．（2023春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，
O为坐标原点，点A(-8,0)，点C(3,4)BC交y轴于点D. 动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点
E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为 t（秒）．
（1）用t的代数式表示： BE= ________， OF= ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（3）当△BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．
12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，
4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单
位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．
（1）如图1，当时间t＝ 秒时，四边形APQO是矩形；
（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于 秒；
（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接
OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．
