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专题21.9 公式法（直通中考）
【要点回顾】
【1】求根公式：一般地，对于一元二次方程 ，
当
一、单选题
1．（2022·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
2．（2022·湖南常德·统考中考真题）关于 的一元二次方程 无实数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
4．（2012·江西·中考真题）下列说法不正确的是（ ）
A．方程 有一根为0 B．方程 的两根互为相反数
C．方程 的两根互为相反数 D．方程 无实数根
5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
6．（2021·四川雅安·统考中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程 的两根，则该直角
三角形的面积是（ ）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
7．（2020·湖北随州·统考中考真题）将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将
表示为关于 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方
法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2013·山东日照·中考真题）已知一元二次方程 的较小根为x ，则下面对x 的估计正确的
1 1
是
A． B． C． D．
9．（2018·浙江嘉兴·统考中考真题）欧几里得的《原本》记载，形如 的方程的图解法是：画
，使 ， ， ，再在斜边 上截取 ．则该方程的一个正根是
（ ）A． 的长 B． 的长 C． 的长 D． 的长
10．（2019·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O， ，垂
足为点E， ，且 ，则AD的长为（ ）
A． B． C．10 D．
二、填空题
11．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是_____．
12．（2022·上海·统考中考真题）已知x2- x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．
13．（2022·江苏扬州·统考中考真题）请填写一个常数，使得关于 的方程 ____________ 有两
个不相等的实数根．
14．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）方程 的解是_____________．
15．（2022·山东东营·统考中考真题）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
则实数k的取值范围是_______．
16．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）设 与 为一元二次方程 的两根，则 的
值为________．
17．（2015·浙江台州·统考中考真题）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程
只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中
正确的是__（填序号）．
18．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条
线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，大正方形的边长为 ，小正方形
的边长为 ，若 ，则 的值为______．
三、解答题
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
20．（2011·北京·中考真题）先化简再计算： ，其中x是一元二次方程 的
正数根.
21．（2022·广东广州·统考中考真题）已知T=
(1)化简T；
(2)若关于 的方程 有两个相等的实数根，求T的值．22．（2020·广东·统考中考真题）已知关于 ， 的方程组 与 的解相同．
（1）求 ， 的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为 ，另外两条边的长是关于 的方程 的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
23．（2019·湖南衡阳·统考中考真题）关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）如果 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程 有一个相
同的根，求此时 的值．
24．（2014·湖南株洲·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、
c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．（2019·浙江杭州·中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为 ，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为 ，且 .
⑴求线段CE的长；
⑵若点H为BC边的中点，连结HD，求证： .
26．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），
交y轴于点B，
（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标．参考答案
1．A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2−4ac：当Δ＞0，方程有两个
不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．2．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式小于0即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 无实数解，
∴
解得：
故选：A．
【点拨】本题考查了一元二次方程 ( 为常数)的根的判别式 ，理解
根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方
程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
3．B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，
解得：a＞-1且a≠0，
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程
有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4．C
【详解】解：A． ，移项得： ，因式分解得：x（x﹣1）=0，解得x=0或x=1，所以有一根为
0，此选项正确，不符合题意；
B． ，移项得： ，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确，
不符合题意；
C． ，移项得： ，直接开方得：x﹣1=1或x﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相
反数，此选项错误，符合题意；
D． ，找出a=1，b=﹣1，c=2，则△=1﹣8=﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确，不符
合题意．故选C．
【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，考查了利用根的判别式不解方程判断方程解的情况，是一道基
础题．
5．B
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，
根的判别式判断即可．
【详解】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
6．D
【分析】根据题意，先将方程 的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜
边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．
【详解】解方程 得 ，
当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为 ；
当4为斜边，3为直角边时根据勾股定理得另一直角边为 ，面积为 ；
则该直角三角形的面积是6或 ，故选：D．
【点拨】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练
掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．
7．C
【分析】先求得 ，代入 即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴ ， ，
∴
=
=
=
=
= ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴原式= ，
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
8．A
【详解】试题分析：解 得 ，∴较小根为 ．
∵ ，
∴ ．故选A．9．B
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论．
【详解】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【点拨】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．
10．A
【分析】设 ，根据矩形对角线相等且互相平分的性质和已知 的条件可得OC、OE与x的
关系，再在 中根据勾股定理列出方程即可求出x的值，进一步即可求出AC与DC的长，然后在
Rt△ADC中再次运用勾股定理即可求出结果.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
在 中，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，则 ，
∴ ，∴ ，
故选A．
【点拨】本题以矩形为载体，重点考查了矩形的性质和勾股定理以及运用方程解决问题的数学思想方法，
熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键.
11．
【分析】两边开方，然后解关于 的一元一次方程．
【详解】解：由原方程，得 ．
解得 ．
故答案是： ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程 直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：
； ， 同号且 ； ； ， 同号且 ．法则：要
把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．m<3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2 )2-4m>0，求解即可．
【详解】解：∵x- x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2 )2-4m>0
解得：m<3，
故答案为: m<3．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有
两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．
13．0（答案不唯一）
【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，∴ ，
∴ ，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
14． ，
【分析】先把两边同时乘以 ，去分母后整理为 ，进而即可求得方程的解．
【详解】解： ，
两边同时乘以 ，得
，
整理得：
解得： ， ，
经检验， ， 是原方程的解，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本
题的关键．
15．k＜2且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且 ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出
两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式 ＝b2﹣4ac：当 ＞0，方程有两个不
相等的实数根；当 ＝0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根．16．20
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
【详解】解：∵
△=9-4=5＞0，
∴ ， ，
∴ = ，
故答案为：20；
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
17．①③
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
【详解】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程， =1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有
两个实数解，②错误； △
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
18．
【分析】如图（见解析），设 ，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出
的值，再根据 建立等式，然后根据 建立等式求出a的值，最后代入求解即可．
【详解】如图，由题意得： ， ， ， 是直角三角形，且 均为正数
则大正方形的面积为
小正方形的面积为
设
则又 ，即
解得 或 （不符题意，舍去）
将 代入 得：
两边同除以 得：
令
则
解得 或 （不符题意，舍去）
即 的值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确
求出 的值是解题关键．
19． ，
【分析】直接开方可得 或 ，然后计算求解即可．
【详解】解：∵∴ 或
解得 ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
20． . （或 ）.
【分析】先把原式化为最简形式，再利用公式法求出一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的根，把正根代入原式计
算即可．
【详解】原式=
=
= ．
解方程x2﹣2x﹣2=0得：
x =1+ ＞0，x =1﹣ ＜0，
1 2
所以原式= ．
21．(1) ；
(2)T=
【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；
(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到 ，整体代入即可求解．
【详解】（1）解：T=
= ；
（2）解：∵方程 有两个相等的实数根，∴ ，
∴ ，
则T= ．
【点拨】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练
掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
22．（1） ； （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组 与 的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与 为边长，
判断三角形的形状．
【详解】解：由题意列方程组：
解得
将 ， 分别代入 和
解得 ，
∴ ，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵∴该三角形是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解
法和勾股定理是得出正确答案的关键．
23．（1） ；（2） 的值为 ．
【分析】（1）利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到 的最大整数为2，解方程 解得 ，把 和 分
别代入一元二次方程 求出对应的 ，同时满足 ．
【详解】解：（1）根据题意得 ，
解得 ；
（2） 的最大整数为2，
方程 变形为 ，解得 ，
∵一元二次方程 与方程 有一个相同的根，
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
而 ，
∴ 的值为 ．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
24．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x =0，x =﹣1．
1 2
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【详解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x =0，x =﹣1．
1 2
25．（1）CE= ；（2）见解析.
【分析】根据正方形的性质，
（1）先设CE=x（0
