文档内容
专题 22.10 特殊三角形——二次函数的综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n
与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求3m+n的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出
所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数综合运用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三种情况，分别求解即可．
【解题过程】
（1）直线y=x−3，令y=0，则x=3，令x=0，则y=−3，
故点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，
将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：
{ n=−3 )
，
0=−9+3m+n
{m=4
)
解得： ，
n=−3
则抛物线的表达式为：y=−x2+4x−3，
则点A坐标为(1,0)，顶点P的坐标为(2,1)，∴3m+n=12−3=9；
（2）设Q(2,t)，
①当CP=CQ时，如图，
则C点纵坐标与PQ中点的纵坐标相同，
∵P(2,1),C(0,−3)，
1+t
∴ =−3，
2
解得：t=−7，
故此时Q点坐标为(2,−7)；
②当CP=PQ时，如图，
∵P(2,1),C(0,−3)，
∴ PQ=PC=❑√(2−0) 2+(1+3) 2=2❑√5，
故此时点Q的坐标为(2,1−2❑√5)或(2,1+2❑√5)；
③当CQ=PQ时，如图，∴QC2=QP2,
∴22+(t+3) 2=(1−t) 2,
3
解得：t=− ，
2
3
故此时点Q的坐标为(2,− )；
2
3
综上所述，点Q的坐标为(2,1−2❑√5)或(2,1+2❑√5)或(2,− )或(2,−7)．
2
◆ 学霸必刷
1
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，抛物线y=− x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y
2
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
27
（2）P是抛物线上x轴上方的一个动点，当△PAB的面积为 时，求点P的坐标；
2
（3）在y轴上是否存在点D，使△BCD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明
理由．
【思路点拨】
1
（1）把点A的坐标(−1,0)代入抛物线y=− x2+2x+c中可得c的值，从而可得抛物线的解析式；
227
（2）根据△PAB的面积为 列方程可得点P的坐标；
2
（3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当BC=BD时；②当CD=BC时；③当CD=BD时，从而可以
解答．
【解题过程】
1 1
（1）解：把点A的坐标(−1,0)代入抛物线y=− x2+2x+c中得：− −2+c=0
2 2
5
∴c= ，
2
1 5
∴抛物线的解析式为：y=− x2+2x+ ；
2 2
1 5
（2）解：当y=0时，− x2+2x+ =0，解得x =5，x =−1，
2 2 1 2
∴B(5,0)，
∵A(−1,0)，
∴AB=5−(−1)=6，
27
∵ S = ，
△PAB 2
1 27
∴ ×6×y = ，
2 P 2
9
∴y = ，
P 2
9 1 5 9
当y= 时，− x2+2x+ = ，
2 2 2 2
∴x =x =2，
1 2
( 9)
∴P 2, ；
2
5
（3）解：当x=0时，y= 时，
2
( 5)
∴C 0, ，
2
∵B(5,0)，
∴BC=❑
√
52+
(5) 2
=
5❑√5
，
2 2( 5)
①当BC=BD时，D 0,− ；
2
( 5 5❑√5)
②当CD=BC时，D 0, − ；
2 2
5
③当CD=BD时，设BD=a，则OD=a− ，
2
在Rt△ODB中，OD2+OB2=BD2，即 ( a− 5) 2 +52=a2 ，解得a= 25 ，
2 4
25 5 15
∴OD= − = ，
4 2 4
( 15)
∴D 0,− ；
4
( 5) ( 5 5❑√5) ( 15)
综上，点D的坐标为 0,− 或 0, − 或 0,− ．
2 2 2 4
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C :y=ax2+bx+1
1
（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=3．
（1）求抛物线C 的函数表达式和点D的坐标；
1
（2）将抛物线C 向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C ，抛物线C 的顶点为E，连接CE、DE
1 2 2
，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，
请说明理由．
【思路点拨】
本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题
的关键．
（1）利用待定系数法可求得抛物线C 的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标；
14
（2）根据平移的性质得到C :y= (x−3+m) 2−3，则顶点E的坐标为(3−m,−3)，利用两点之间的距
2 9
离公式求得CD=5，CE=❑√m2−6m+25，DE=m，分CD=DE或CD=DE或DE=CE三种情况讨论，
列出方程，据此求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵经过点(9,13)的抛物线C :y=ax2+bx+1，且对称轴为直线x=3，
1
{81a+9b+1=13
)
∴ b ，
− =3
2a
4
{ a= )
9
解得 ，
8
b=−
3
4 8
∴抛物线C 的函数表达式为y= x2− x+1，
1 9 3
4 8 4
y= x2− x+1= (x−3) 2−3，
9 3 9
∴顶点D的坐标为(3,−3)；
4
（2）解：由题意将y= (x−3) 2−3向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C ，
9 2
4
∴C :y= (x−3+m) 2−3，
2 9
∴C 的顶点E的坐标为(3−m,−3)，
2
对于C ，令x=0，则y=1，
1
∴C 与y轴交于点C的坐标为(0,1)，
2
即C(0,1)，D(3,−3)，E(3−m,−3)其中m>0，
∴CD=❑√(3−0) 2+(−3−1) 2=5，
CE=❑√(3−m) 2+(−3−1) 2=❑√m2−6m+25，
DE=❑√(3−m−3) 2+(−3+3) 2=m，当CD=CE时，则❑√m2−6m+25=5，
解得m=0（舍去）或m=6，此时CD=CE=5，DE=6，符合题意；
当CD=DE时，则m=5，
此时CD=DE=5，CE=❑√52−6×5+25=2❑√5，符合题意；
当DE=CE时，
25 25
则❑√m2−6m+25=m，解得m= ，此时CD=5，DE=CE= ，符合题意；
6 6
25
综上，m的值为6或5或 ．
6
3．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4x+c(a≠0)与x
轴分别交于点A(1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC，点P在线段BC上，设点P的横坐标为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如果以P为顶点的新抛物线经过原点，且与x轴的另一个交点为D，若△PAB是以PA为腰的等腰三角
形，求新抛物线的解析式．
【思路点拨】
（1）先确定点C的坐标，再利用待定系数法求直线BC的解析式即可；
（2）利用等腰三角形定义分类求解即可．
本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的分类求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：设抛物线的解析式为：y=a(x−1)(x−3)=a(x2−4x+3)，
∴−4a=−4，
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x2−4x+3，
令x=0得y=3，∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+3，
将点B(3,0)代入得：0=3k+3，
解得：k=−1，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3.
（2）解：∵点P的横坐标为m，点P在线段BC上，
∴P(m,−m+3)，(0≤m≤3)，
∴设新抛物线的解析式为y=s(x−m) 2−m+3，
∵点A(1,0)、点B(3,0)，
∴PA2=(m−1) 2+(−m+3) 2，PB2=(m−3) 2+(−m+3) 2，AB2=4.
分情况讨论：
（1）当PA=PB时，则(m−1) 2+(−m+3) 2=(m−3) 2+(−m+3) 2，
解得m=2，
此时，P(2,1)，
∴新抛物线的解析式为y=s(x−2) 2+1，
∵新抛物线经过原点，
∴0=4s+1，
1
解得s=− ，
4
1
∴新抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+1；
4
（2）当PA=AB时，(m−1) 2+(−m+3) 2=4，
解得m =1，m =3（此时P与B重合，舍去），
1 2
∴P(1,2)，
∴新抛物线的解析式为y=s(x−1) 2+2，
∵新抛物线经过原点，
∴0=s+2，
解得s=−2，∴新抛物线的解析式为y=−2(x−1) 2+2.
1
综上所述，新抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+1或y=−2(x−1) 2+2.
4
4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1
，且抛物线经过A(1,0)， C(0,3)两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【解题过程】
（1）抛物线的对称轴为直线x=−1，且抛物线经过A(1，0)，
∴B(−3，0)，
设抛物线的表达式为y=a(x−1)(x+3)，
将C(0,3)代入上式得：3=a(0−1)(0+3)，解得a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−(x−1)(x+3)=−x2−2x+3；
{ 3=n )
把B(−3，0)，C(0,3)代入y=mx+n得：
0=−3m+n
{n=3)
，解得 ，
m=1
∴直线的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=−1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，把x=−1代入直线y=x+3得y=2，故M(−1,2)，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(−1,2)；
（3）设P(−1,t)，
∵B(−3，0)，C(0,3)，
∴BC2=18，PB2=(−1+3) 2+t2=4+t2，PC2=(t−3) 2+1，
若点B为直角顶点时，则BC2+PB2=PC2，
即18+4+t2=(t−3) 2+1，
解得t=−2；
若点C为直角顶点时，则BC2+PC2=PB2，
即18+(t−3) 2+1=4+t2
解得t=4，
若P为直角顶点时，则PB2+PC2=BC2，
∴4+t2+(t−3) 2+1=18，
3±❑√17
解得t= ，
2
( 3+❑√17) ( 3−❑√17)
综上，点P的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或 −1, 或 −1, ．
2 2
1
5．（2023九年级·辽宁铁岭·学业考试）如图，一次函数y=− x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点
2
1 1
B，二次函数y= x2+bx+c的图象与一次函数y=− x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两
2 2
点，且点D坐标为(−1,0)．（1）求二次函数的解析式；
（2）求四边形BDEC的面积S；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐
标，若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论
是解题关键．
（1）根据题意得出B(0,1)，然后利用待定系数法确定函数解析式即可；
（2）根据两个函数得出C(−4,3)，结合图象得出S=S −S 求解即可；
ΔACE ΔABD
（3）设点P(m,0)，根据题意得出BC2=20,PB2=m2+1,PC2=(m+4) 2+9，然后分三种情况：当P为
直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可．
【解题过程】
1
（1）解：根据题意得，当x=0时，y=− ×0+1=1，
2
∴B(0,1)，
1
将B(0,1)，D (−1,0)代入y= x2+bx+c得
2
{
c=1
)
{c=1
)
1 ，解得 3 ，
−b+c=0 b=
2 2
1 3
得解析式y= x2+ x+1；
2 2
（2）根据题意得：联立两个函数¿，
解得：¿或¿，∴C(−4,3)，
1 1
∴S = ×4×3=6，S = ×1×3=1.5，
ΔACE 2 ΔABD 2
∴四边形BDEC的面积为：S=S −S =4.5；
ΔACE ΔABD
（3）设点P(m,0)，
∵B(0,1),C(−4,3)，
∴BC2=20,PB2=m2+1,PC2=(m+4) 2+9，
当P为直角顶点时，PB2+PC2=CB2，
∴m2+1+(m+4) 2+9=20，
解得：m=−1或m=−3，
∴P(−1,0)或(−3,0)；
当B为直角顶点时，PB2+BC2=PC2，
∴m2+1+20=(m+4) 2+9，
1
解得：m=− ，
2
1
∴P(− ,0)；
2
当C为直角顶点时，PC2+BC2=PB2，
∴(m+4) 2+9+20=m2+1，
11
解得：m=− ，
2
11
∴P(− ,0)；
2
11 1
综上可得：P的坐标为(− ,0)或(− ,0)或(−1,0)或(−3,0) ．
2 2
6．（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），连接CD、BD，求△BDC面积的最
大值；
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【思路点拨】
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由点D横坐标为m得出点D、点E的坐标，结合两点间的距离公式以及三角形的面积公式，即可求
解；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M(2,t)，利用两点间的距离公式得到BC2=50，
MC2=t2−10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2=MB2时，△BCM
为直角三角形，则50+t2−10t+29=t2+9；当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，则
50+t2+9=t2−10t+29；当MC2+BM2=BC2时，△BCM为直角三角形，则t2−10t+29+t2+9=50，
然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解题过程】
（1）解：在y=ax2+bx+5中，令x=0，则y=5，即C(0,5)，
设y=a(x+1)(x−5)，
∴5=a(0+1)×(0−5)，
解得a=−1，
∴抛物线的函数关系式为y=−(x+1)(x−5)，即y=−x2+4x+5；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b，
{5k+b=0)
将B(5,0)，C(0,5)代入直线解析式得 ，
b=5
{k=−1)
解得： ，
b=5
∴直线BC的解析式为y=−x+5，设D(m,−m2+4m+5)，则E(m,−m+5)，
∴DE=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，
∴△BDC面积=
1
×5×(−m2+5m)=−
5(
m−
5) 2
+
125
≤
125
，
2 2 2 8 8
125
∴△BDC面积的最大值为： ；
8
（3）解：∵y=−x2+4x+5=−(x−2) 2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
故设M(2,t)，
∵B(5,0)，C(0,5)，
∴BC2=52+52=50，MC2=22+(t−5) 2=t2−10t+29，MB2=(2−5) 2+t2=t2+9，
当BC2+MC2=MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM=90°，即50+t2−10t+29=t2+9，
解得t=7，
此时M点的坐标为(2,7)；
当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM=90°，即50+t2+9=t2−10t+29，
解得t=−3，
此时M点的坐标为(2,−3)；
当MC2+BM2=BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB=90°，即t2−10t+29+t2+9=50，
解得t =6，t =−1，
1 2
此时M点的坐标为(2,6)或(2,−1)，
综上所述，满足条件的M点的坐标为(2,7)，(2,−3)，(2,6)，(2,−1)．
7．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点
A(−2,0)、B(4,0)（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0,8)，点P是抛物线上一个动点，连接
PB，PC，BC．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时
P点坐标；
（3）若点M是x轴上的一个动点，点P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B、M、P
为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
本题考查二次函数的几何综合，二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握
相关性质定理是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P(t,-t2+2t+8)，则Q(t,−2t+8)，所以四边形ABPC面积
=S +S ，可得当t=2时，四边形ABPC面积有最大值32，此时P(2,8)；
△ABC △PCB
（3）先求出P(3,5)，设M(x,0)，分别求出M P2=(x−3) 2+25，MB2=(x−4) 2，再由勾股定理分类讨
论求出M点坐标即可．
【解题过程】
（1）解：将点A(−2,0)、B(4,0)、C(0,8)代入y=ax2+bx+c，
{4a−2b+c=0
)
∴ 16a+4b+c=0 ，
c=8
{a=−1
)
解得 b=2 ，
c=8
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+8；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+8，
把B(4,0)代入，
∴4k+8=0，
解得k=−2，
∴直线BC的解析式为y=−2x+8，
过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P(t,−t2+2t+8)，则Q(t,−2t+8)，
∴PQ=−t2+2t+8+2t−8=−t2+4t，
∵AO=2，CO=8，OB=4，
1
∴S = ×(2+4)×8=24，
△ABC 2
1 1 1
S =S +S = ⋅PQ⋅x + PQ(x −x )= ⋅PQ⋅x
△PCB △PQC △PQB 2 P 2 B P 2 B
1
∴四边形ABPC面积=S +S =24+ ×4×(−t2+4t)=−2(t−2) 2+32，
△ABC △PCB 2
∵点P在直线BC上方，
∴03时
∵S =2S
△BPO △APN
1 1
∴ ×3×t= ×2×(t−3)(t−3)，
2 2
整理得2t2−15t+18=0，
3
∴x= （舍去）或x=6；
2
∴P(6,3)
当t<0时
S
