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第 04 讲 空间直线、平面的垂直 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·山东省莱西市第一中学高一期中）已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，
下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ，且 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
2．（2022·四川·模拟预测（文））已知 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：
①若 ，则 ； ②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 ．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④
3．（2022·湖南张家界·高一期末）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称
之为阳马．已知在阳马PABCD中，侧棱 底面ABCD，且 ，则直线PD与平面PAC
所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））如图，在直三棱柱 中，
为 上一点，平面 分三棱柱为上下体积相等的两部分，则 与
所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·四川·成都七中高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上，则下列结论正确的有（ ）个
①点 在平面 的射影为 的中心
②直线 平面
③异面直线 与BM所成角为
④三棱锥 的外接球表面积的最小值为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·河南新乡·高二期末（文））如图，在棱长为2的正方体 中，点M在线段
（不包含端点）上运动，则下列4个命题中所有正确命题的序号为（ ）①异面直线 与 所成角的取值范围是 ；
② ；
③三棱锥 的体积为定值 ；
④ 的最小值为 ．
A．②④ B．①④ C．②③④ D．①③
7．（2022·河北承德·高一期末）在三棱锥 中， 互相垂直， ，M是线段BC
上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 ，则三棱锥 外接球的体积是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）正方体 中，点 ， 分别为棱 ， 上的点（不包含
端点），设二面角 的平面角为 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·广东广州·高一期末）如图，四棱锥 的底面为菱形， ，
底面 ，P是 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．若 平面 ，则 B．B到平面 的距离为C．当P为 中点时，过P、A、B的截面为直角梯形 D．当P为 中点时， 有最小值
10．（2022·云南红河·高二期末）如图，正方体 的棱长为2，E，F，G分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．直线 与直线 所成角的余弦值为
三、填空题
11．（2022·山东济南·高一期末）如图，水平桌面上放置一个装有水的圆柱形玻璃水杯，AB为杯底直径，
现以点B为支点将水杯倾斜，使AB所在直线与桌面所成的角为 ，则此时圆柱母线与水面所在平面所成
的角大小为______．
12．（2022·四川宜宾·高一期末）如图，正方体 的棱长为1，点P是线段 上的动点，
给出以下四个结论：
① ；
②三棱锥 体积为定值；
③当 时，过P，D，C三点的平面与正方体表面形成的交线长度之和为3；
④若Q是对角线 上一点，则PQ＋QC长度的最小值为 ．
其中正确的序号是______．四、解答题
13．（2022·河南许昌·高一期末（文））如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，
为等边三角形，平面 平面 ， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
14．（2022·福建·三明市第二中学高一阶段练习）如图．正方体 中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正弦值．B 能力提升
1．（多选）（2022·湖南衡阳·高一期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，
∠DAB=60°，AB=2，PB= ，侧面PAD为正三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．平面PAD⊥平面ABCD B．异面直线AD与PB所成的角为60°
C．二面角P－BC－A的大小为45° D．三棱锥P－ABD外接球的表面积为
2．（多选）（2022·江苏·高二）在正方体 中， 分别为 的中点，则下
列结论中正确的是（ ）
A．
B．二面角 的正切值为
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的2倍
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图，点 是棱长为 的正方体 中的侧面
上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）A．有无数个点 满足
B．当点 在棱 上运动时， 的最小值为
C．若 ，则动点 的轨迹长度为
D．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是
4．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知正方体 的棱长为1，空间一动点 满足
，且 ，则 ______，点 的轨迹围成的封闭图形的面积为______．
C 综合素养
1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）已知菱形 的边长为2， .将 沿 折起，使得
点 至点 的位置，得到四面体 .当二面角 的大小为120°时，四面体 的体积为
___________；当四面体 的体积为1时，以 为球心， 的长为半径的球面被平面 所截得的
曲线在 内部的长为_______________.
2．（2022·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1，动点P在对角线 上，过点P作
垂直于 的平面 ，记平面 截正方体表面所得截面多边形的面积为y，令 ， ，当
时，则 ______，函数 的值域为______．3．（2022·湖北·高一期末）如图， 和 都垂直于平面 ， 是 上一点，且
， 为等腰直角三角形，且 是斜边 的中点， 与平面 所成的角为
.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的正切值；
(3)若点P是平面ADE内一点，且 ，设点P到平面ABE的距离为 ，求
的最小值.
