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专题23.4 图形的旋转（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022春·七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．正三角形旋转 与自身重合 B．正三角形旋转 与自身重合
C．矩形旋转 与自身重合 D．正方形旋转 与自身重合
2．（2022秋·福建漳州·八年级校考期中）如图，点 在 上，点 在 上， 与 交于点 若
≌ ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 与 关于直线 对称 D． 只通过旋转变换能与 重合
3．（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，已知在 中， ， ，把一块含
有角 的三角板的直角 顶点D放在 的中点上（ ），将 绕点D按顺时针方
向旋转a度（F始终在点B上方），则 与 重叠部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形
边长为6，点D在直线 上，将 绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，
点D的对应点为E，设 ， 的面积为y，则y关于x的关系式为（ ）A． B． C． D．
5．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将
绕原点 旋转， 的对应点分别为 、 ，当 取得最小值时， （ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图矩形 由矩形 逆时针旋转一个锐角得到，点C在
边 上，过点E作 平行线得矩形 ，则要知道矩形 的面积只需知道（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，已知矩形 ， ， ，矩形 是由矩
形 绕点 顺时针旋转 得到的，点 为 边上一点，现将四边形 沿 折叠得到四边形 ，当点 恰好落在 上时， 的长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图， ， ，连接 ，分别以 、 为直角边
作等腰 和等腰 ，连接 ， ，当 最长时， 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与两
坐标轴交于 、 两点，以 为边作等边 ，将等边 沿射线 方向作连续无滑动地翻滚．
第一次翻滚：将等边三角形绕 点顺时针旋转 ，使点 落在直线 上，第二次翻滚：将等边三角
形绕点 顺时针旋转 ，使点 落在直线l上……当等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是
（ ）A． B． C． D．
10．（2022春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点为A
（x，0）和B（x，0），与y轴负半轴交点为C，点D为线段OC上一点．且满足c=x+b，
1 2 1
∠ACO=∠DBO，则下列说法：①b-c=1；②△AOC≌△DOB；③若∠DBC=30°，则抛物线的对称轴为直
线x= ；④当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上，则抛物线的解析式为y=x2-
2x-3．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ，
若将线段 绕点B旋转使得 ，则至少旋转 度．12．（2023春·江西宜春·八年级江西省丰城中学校考期中）如图，直线 ，等边 的边长为
，其中点 与原点 重合，点 在 轴负半轴上，将等边 沿 轴方向无滑动滚动，当等边三角
形的一个顶点落到直线 上时，则点 的对应点的坐标为 ．
13．（2023春·浙江·七年级期末）将一副直角三角板 ， 按如图1所示位置摆放，其中
， ， ， ．若将三角板 绕点 按
每秒 的速度顺时针旋转 ，如图2，在此过程中，设旋转时间为 秒，当线段 与三角板 的
一条边平行时， ．
14．（2023·福建宁德·统考二模）如图，将矩形 沿 折叠，使顶点B落在 上点 处；再将
矩形展平，沿 折叠，使顶点B落在 上点G处，连接 ． 小明发现 可以由 绕
某一点顺时针旋转 得到，则 °．15．（2023春·四川成都·八年级校考期末）喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定
义：对于线段 ，先将线段 绕点M逆时针旋转 ，再绕点N顺时针旋转 ，旋转后的两条
线段交于点P，我们称点P为线段 的“双旋点”，如图，已知直线 与x轴和y轴分别相交
于点A，点B，则线段 的“双旋点”P的坐标为 ．
16．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平
行四边形纸片重叠在一起， ． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对
应点 和 分别落在边 和 上时， ，则 的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部
分）的面积是 ．
17．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有 ， ， ， 四点，且 ，以
为边作等边 ，连接 ， ；若 ， ，则 的长是 ．18．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）在 和 中，
．如图1，点 与点 重合，点 在边 上．如图2，将
绕点 顺时针旋转 ，边 与边 分别交于点 时，连接 ．下列4
个以下结论：
① ；
②当 时， ；
③当 时， ；
④当 时， 为定值．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·北京海淀·九年级校考开学考试）在 中， ， 是直角三角
形，且 ．将 绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，其中点D的对应点是点G，
连接 并延长交 于点H，连接 ．
（1）如图1，当点D在边 上时，求证 ；
（2）如图2，当点D在 内部时，直接写出 的大小，并证明．20．（8分）（2023春·辽宁锦州·八年级统考期末）已知 和 都是等边三角形，连接 ，
将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）如图 ，求证：① ≌ ；②四边形 是平行四边形；
（2）如图 ， ， 分别是 ， 的中点，若 的顶点 在 边上， ， ，求
的长．
21．（10分）（2023春·河南南阳·七年级统考期末）在 中， ， ，点 为
内一点，连接 、 ．
（1）把 逆时针旋转得到了 如图1，旋转中心是点______，旋转角是______．
（2）在（1）的条件下，延长 交 于 ，求证： ．
（3）在图1中，若 ，把 绕 点逆时针旋转得到 ，如图2，若旋转一周，当旋
转角是多少度时， ，直接写出结果．22．（10分）（2023春·山西太原·八年级统考期中）如图，已知 中， ， ，
点 是平面内一点，将线段 绕点A按逆时针方向旋转 得到线段 ．
（1）当点 在 内部时，连接 ， ．请判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
（2）请从A， 两题中任选一题作答．
A．当点 在 内部时，若直线 恰好经过点 ，直接写出 的度数．
B．当点 在 外部时，若直线 恰好经过点 ，直接写出 的度数．
23．（10分）（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．
（1）问题探究：如图1，在 中， ， ，点D是边 上的一点（点D不与端
点B、C重合），连接 ，将线段 绕点A逆时针方向旋转 ，得到线段 ，点D的对应点为
点E，连接 ，根据以上操作，直接判断线段 与 的数量关系与位置关系：___________．
（2）类比延伸如图2，在 中， ， ，点D是边 上的一点（点D不与端点B、C重合），连接 ，将线段 绕点D顺时针方向旋转 ，得到线段 ，点A的对应点为点
E，连接 ，根据以上操作，请判断问题（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）拓展应用在 中， ， ，点D是射线 上的一点，且 ，连接
，
将线段 绕点D时针方向旋转 ，得到线段 ，点A的对应点为点E，连接 ，请直接写出线
段 的长，不必说明理由．
24．（12分）（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）直角三角板是我们经常使用的画图工具，三角
板里也蕴含着很多数学问题，请你解决下列问题：
（1）一副三角板按图1摆放，求 ______；
（2）如图1，将含 角的三角板 保持不动，现将含 角的三角板 绕点A按顺时针方向旋转，记 为 ，在旋转过程中：
①当顶点E在 内部时，求 的度数范围；
②当 中 边与 的其中一边垂直时，请你直接写出所有满足条件的垂直关系及相应的
的度数．
（4）如图2，将三角板 摆放在正方形 上，点C、B、N在同一直线上，点F是 上一点，
且 ，猜想 之间的关系并证明．
参考答案
1．B
【分析】根据正三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转的角度即可确定，根据
矩形可以被经过中心的射线平分成2个全等的部分，则旋转的角度即可确定，根据正方形可以被经过中心的射线平分成4个全等的部分，则旋转的角度即可确定，进而得出答案即可．
解：A、∵ ，
∴正三角形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故A选项错误；
B、由A得出，此选项正确；
C、矩形是中心对称图形，旋转180°与自身重合，故此选项错误；
D、∵ ，
∴正方形绕中心至少旋转90度后能和原来的图案互相重合．故D选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查旋转对称图形的知识，难度不大，注意正三角形、矩形、正方形是旋转对称图形，
确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．
2．D
【分析】连接 ，根据全等三角形的性质可得 ， ， ，从而利用等式的性
质可得 ，再根据对顶角相等可得 ，然后根据 可证 ，从而可得
，再利用 证明 ，从而可得 与 关于直线 对≌称，最后根据旋转
的性质可得 不能通过旋转变换≌与 重合，逐一判断即可解答．
解：连接 ，
，
≌ ， ， ，
，
，
，
，
≌
，
，，
≌
与 关于直线 对称，
故A、B、C不符合题意；
因为 不能通过旋转变换与 重合，
故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握旋转的性质，
以及全等三角形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】由“ ”可证 和 全等，可得 ，即可求解．
解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全
等是解题的关键．
4．D
【分析】过点E作 于F，根据等边三角形的性质及旋转的性质求出 ，得到
，利用勾股定理求出 ，即可得到问题的答案．
解：如图，过点E作 于F，
∵等边三角形 边长为6，
∴ ，
∴ ，
由旋转得
∴
∵
∴ ，
∴
∴ 的面积 ，
故选：D．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形中30度角的性质，勾股定理的应用，
根据图象的面积求函数解析式等知识与方法，正确地作出需要的辅助线是解题的关键．
5．D【分析】当 三点共线时 取得最小值，由旋转的性质可得 三点共线，此时，
，从而可得结论．
解：在旋转过程中，点 在以 点为圆心， 长为半径的圆上，所以当点 在 轴上时， 取得
最小值．如图，点 在 轴正半轴上，
，
故选D．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及线段最短等知识，确定 三点共线时 取得最小值是
解答本题的关键．
6．D
【分析】如图，过C作 于 ，依题意得： 均为矩形，结合矩形的性质
得 ，依据 转换可得 ，即可求解．
解：如图，过C作 于 ，
依题意得： 均为矩形，
由矩形性质可知 ，，
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质；解题的关键是有矩形的性质得到
．
7．B
【分析】根据折叠的性质，得出 ， ，再根据矩形的性质和旋转的性质，得
出 ， ，再根据勾股定理，得出 ，再根据线段之间的
数量关系，得出 ，连接 ，再根据勾股定理，得出 ， ，再根据线段之间的数量
关系，得出 ，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出答案．
解：∵四边形 沿 折叠得到四边形 ，
∴ ， ，
∵矩形 是由矩形 绕点 顺时针旋转 得到的， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，
，
，
即 ，
解得： ，
∴ ．
故选：B
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质定理，
并正确作出辅助线是解本题的关键．
8．D
【分析】先证明 ，得到 ，根据勾股定理求出 ，结合三角形三边关系，
得A、B、D三点共线时， 最大，画出图形，由勾股定理即可求得 ．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当点A在 上时， 最大，最大值为 ，
如图，过C作 于E，
由等腰三角形“三线合一”得 ，
∴ ，
再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形
的三边关系、勾股定理，证明 以及由三角形三边关系得A、B、D三点共线时， 最
大是解题的关键．
9．B
【分析】先令 ， 求得点 与点 的坐标，从而求出 、 、 的长度，然后结合图形的
翻转知道点 经过 次旋转后重新落在直线 ： 上，第 次旋转点 的位置不变，再结合 次一
循环得到翻滚 次后点 的坐标．
解：∵直线l： 与两坐标轴交于 、 两点，
∴ ， ，∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，等边 经过第 次翻转后， ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
，
等边 经过第 次翻转后， ，
等边 经过第 次翻转后，点 仍在点 处，
∴每经过 次翻转，点 向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∵ ，第 次与第 次翻转后点 处在同一个点，
∴点 经过 次翻转后，向右平移了 个单位，向上平移了 个
单位，
∴等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是 ，
故选：B．【点拨】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过
实际操作理解等边 经过第 次翻转与第 次翻转后点 处在同一个点．
10．B
【分析】利用已知条件分别求得点A，B，C的坐标，表示出线段OA，OB，OC的长度，利用二次函
数的性质，待定系数法与全等三角形的判定定理对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
解：将A（x，0）代入物线y=x2+bx+c得：
1
x2+bx+c=0．
1 1
∵c=x+b，
1
∴x2+bx+x+b=0，
1 1 1
∴x（x+1）+b（x+1）=0，
1 1 1
∴（x+b）（x+1）=0，
1 1
∵c=x+b≠0，
1
∴x+1=0，
1
∴x=-1，
1
∴A（-1，0），
∴OA=1，
∴c=-1+b，
∴b-c=1．∴①的结论正确；
∵c=-1+b，
∴y=x2+bx+b-1，
令y=0，则x2+bx+b-1=0，
解得：x=-1或x=1-b，
∴B（1-b，0），
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∴OB=1-b，
∵C（0，b-1），
∴OC=1-b，
∴OB=OC，
在 AOC和 DOB中，
△ △，
∴△AOC≌△DOB（ASA）．∴②的结论正确；
若∠DBC=30°，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵△AOC≌△DOB，
∴OA=OD=1，AC=BD，
∴CD=OC-OD=-b，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵DH⊥BC，
∴DH=- b，
∵DH⊥BC，∠DBC=30°，
∴BD=2DH=- b，
∴AC=− b，
∵OA2+OC2=AC2，
∴12+（1−b） 2＝（ b） 2．
解得：b=-1± ．
∵b＜0，
∴b=-1- ．∴抛物线的对称轴为直线x= ．
∴③的结论不正确；
当点B绕点D顺时针旋转90°后得到的点B'也在抛物线上时，
过点B′作B′M⊥y轴于点M，如图，
由题意：DB=DB′，∠BDB′=90°，
∴∠MDB′+∠ODB=90°，
∵∠ODB+∠OBD=90°，
∴∠MDB′=∠OBD，
在 MDB′和 OBD中，
△ △
，
∴△MDB′≌△OBD（AAS），
∴MD=OB=1-b，MB′=OD=1，
∴OM=OD+DM=2-b，
∴B′（1，b-2），
∴1+b+b-1=b-2，
解得：b=-2，
∴c=b-1=-3，
∴此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∴④的结论正确；
综上，正确的结论是：①②④．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线
上点的坐标的特征，图形的旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．70
【分析】线段 绕点B旋转到该位置得到 ，过点E作 ，先根据平行线的性质，得
到 ，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．
解：如图，线段 绕点B旋转到该位置得到 ，过点E作 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
∴至少旋转70度，
故答案为：70．
【点拨】本题考查了旋转问题，涉及到平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．
12． 或 或 ．
【分析】利用等边三角形的性质可以求出 ， 坐标，先绕点 顺时针旋转 ，即可求出 ，再绕点顺时针旋转 ，即可求出 ，绕点 顺时针旋转 即可求出 ．
解：如图，
，
由题意得： ， ，
如解图，①当点 的对应点 落在直线 上时，点 的对应点 与点 重合，
∴点 的坐标为 ；
②当点 的对应点 落在直线 上时，点 与点 重合，
∴此时点 的纵坐标为 ，当 时， ，
∴点 的坐标为 ；
③当点 的对应点 落在直线 上时，点 与点 重合，
∴此时点 的对应点 的坐标为 ；
综上所述，点 的对应点的坐标为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】此题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，分情况画
出图形．
13．10秒或30秒或40秒
【分析】由线段 与三角板 的一条边平行可知有三种情况：（1）当 时，点 落在线段 上，由此可求出旋转角，进而可求出 的值；（2）当 时，则 ，由此可求出旋转
角，进而可求出 的值；（3）当 ，则 ，由此可求出旋转角，进而可求出 的值．
解：设旋转角为 ，则旋转的时间 （秒），
在顺时针旋转 的过程中，线段 与三角板 的一条边平行，
有以下三种情况：
（1）当 时，
点 落在线段 上时，如图所示：
旋转角 ，
（秒）；
（2）当 时，如图所示：
，
，
，
旋转角 ，
（秒）；
（3）当 时，如图所示：，
，
旋转角 ，
（秒）；
综上所述： 秒或30秒或40秒，
故答案为：10秒或30秒或40秒．
【点拨】本题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线
的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．
14．
【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线 与 的夹角即可．
解：延长 与 交于点 ，
∵ 可以由 绕某一点顺时针旋转 得到，
∴ ，
∵将矩形 沿 折叠，使顶点B落在 上点 处，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：【点拨】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所
在直线的夹角．
15．
【分析】根据直线 与x轴和y轴分别相交于点A，点B，得到 ，从而得到
，根据题意，得 ，继而得
到 ，过点P作 于点G，继而得到 ，过点B作
交 于点Q，过点A作 于点D，解直角三角形计算即可．
解：∵直线 与x轴和y轴分别相交于点A，点B，
∴ ，
∴ ，
根据题意，得 ，
∴ ，
过点P作 于点G，
∴ ，
过点B作 交 于点Q，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 于点D，∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性
质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．
【分析】作 ，连接 ，根据旋转的性质可得 即四边形 是矩形可得 , ，进而可得；然后根据勾股定理可得 、 ；
再证 可得 ，设 可得 ，然后根据勾股定理列方程求得
，最后根据平行四边形的面积公式解答即可．
解：作 ，连接
∵将其中一张纸片绕它的中心旋转，点A和点C的对应点 和 分别落在边 和 上
∴
∴四边形 是矩形
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴
∵
∴
∵
∴
∴
设
∵
∴
∵ ,即 ，解得：
∴阴影部分的面积为：
故答案为 ， ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质等知识点，正确做辅助线是解答本题的关键．
17． /
【分析】设 则 把 绕点 顺时针旋转 得到 ，根据旋转的性质得
， ， ，再证明 得到 ，
过 点作 于 ，如图，由于 ，则 ，所以 点与 点重合，然后在
中，利用含 度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求得 ，从而得到 的长．
解：设 则
为等边三角形，
， ，
，
把 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，，
过 点作 于 ，如图，
，
点与 点重合，即 ，
在 中， ，
即 ，
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了旋转的性质等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角
的直角三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．
18．①②④
【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①；根据内错角相等，两直线平行即可判断②；根据三角
形内角和定理即可判断③；根据三角形外角的性质即可判断④，即可求解．
解：在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
当 时，即 ,
∴ ，
∴ ，故②正确；设 交于点M，当 时，即 ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，是定值，故④正确；
综上，正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点，并灵
活运用是解题的关键．
19．（1）见分析；（2） ，证明见分析
【分析】（1）利用余角的性质得 ，证明 得 ，
，再用三角形的外角得到 ，即可证明结论成立；
（2）在 上截取 ，同（1）可证 ，最后利用等腰三角形三线合一可得结论．
解：（1）如图1，在 上截取 ，
∵ ，∴ ，
∵把 绕点A逆时针旋转一定角度得到 ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，在 上截取 ，
同（1）可证 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了同角或等角的余角相等，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，以及等
腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．20．（1）①见分析；②见分析；（2）
【分析】（1）①根据等边三角形的性质，利用 即可证明 ；②连接 ，先根据旋
转的性质证明 是等边三角形，再证明 ，得 ，由①得 ，得
，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据三角形的中位线定理和勾股定理求出 的长，再根据三角形
的中位线定理求出 的长即可．
（1）解：证明：① 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
；
②如图1，连接 ，
由旋转得 ， ，
是等边三角形，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
由① ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）如图2，取 的中点 ，连接 ，， ，
， ，
，
是等边三角形， 是 的中点，
，
， ，
，
，
、 分别为 、 的中点，
，
线段 的长度为 ．
【点拨】此题是四边形综合题，考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判
定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．（1）C， ；（2）证明见分析；（3）30°或210°
【分析】（1）根据图形旋转的概念回答即可；
（2）由旋转的性质可得 ，对顶角 ，再根据三角形内角和定理推出
，结论即可得证；
（3）结合图形，由平行线的性质即可求解．
（1）解：在图1中，点 是三角形 的旋转中心，旋转角为 ；
故答案为：C，
（2）证明： 由 逆时针旋转得到了 可知，在 中， ，
在 中， ，
而
，
即
（3）解：如图，依题意得 ，
当点 在 内部时，
，
，
当点 在 外部时，
，
，
绕点 旋转 ，
综上所述，当 旋转角是 或 时， ．
故答案为： 或
【点拨】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，正
确理解相关的概念及性质是解决本题的关键．
22．（1） ，见分析；（2）A： ；B：
【分析】（1）由“ ”可证 ≌ ，可得 ；
（2）A、由等腰三角形的性质可求 ，由全等三角形的性质可求
，即可求解；
B、分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求解．
（1）解： ，理由如下：
， ，，
将线段 绕点 按逆时针方向旋转 得到线段 ，
， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
；
（2）A、如图：
， ，
，
，
≌ ，
，
；
B、如图，当点 在线段 上时，
， ，
，
，≌ ，
，
；
如图，当点 在线段 上时，
， ，
，
，
≌ ，
，
；
综上所述： ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想
解决问题是解题的关键．
23．（1） ， ；（2） 成立，但 不成立；理由见分析；（3）
【分析】（1）证明 ，得出 ， ，根据等腰三角形性质求出
，得出 ，求出 ，得出 ；
（2）连接 ，证明 ，得出 ， ，证明 为等边三角形，得出
，求出 ，得出 ，证明 与 不垂直；
（3）证明 为等边三角形，得出 ，根据 ，求出 ，根据
即可得出结果．
（1）解：根据旋转可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解： 成立，但 不成立；理由如下：
连接 ，如图所示：
根据旋转可知， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 不垂直．
（3）解：∵ ， ，
∴ 为等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据解析（2）可知， ．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，
垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判断方法，证明 ．
24．（1） ；（2）① ；②当 时， ；当 时，
；（3） ，证明见分析
【分析】（1）根据三角形外角的性质进行求解即可；
（2）①分当 恰好重合时，当 恰好重合时，求出这两种临界情况下 的度数即
可得到答案；
②分当 时，当 时，两种情况讨论求解即可；
（3）如图所示，将 绕点A顺时针旋转得到 ，证明 ， 三点共线，
从而证明 是等边三角形，得到 ，由此即可得到结论 ．
（1）解：由三角板中角度的特点可知 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：①如图2-1所示，当 恰好重合时，
∵ ，
∴ ；如图2-2所示，当 恰好重合时，
∴ ；
∴当顶点E在 内部时， ；
②如图2-1所示，当 时，
∵ ，
∴ 此时重合，
∴ ；
如图2-3所示，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当 时， ；当 时， ；（3）解： ，证明如下：
如图所示，将 绕点A顺时针旋转得到 ，
由题意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ， ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，旋转的性质，三角板中角度的特点，等边三角形的性质与判
定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
