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第 06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）若两个半平面的法向量所成的角为 ，则这个二面角的平面角的大小为
（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
3．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习（理））如图，在正方体 中，点E是上底
面A B C D 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（理））如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥
P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线
PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）A． B．
C． D．
5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－ABC D 的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂
1 1 1 1
直，若点C到平面ABD 的距离为 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱锥 中，PA，PB，PC互相垂直， ，M是线段
BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是 ，则三棱锥 外接球的体积是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一单元测试）正方体 棱长为2， 是棱 的中点， 是四边形
内一点（包含边界），且 ，当三棱锥 的体积最大时， 与平面 所成角的正
弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·模拟预测）如图，四边形 中， ．现将 沿
折起，当二面角 处于 过程中，直线 与 所成角的余弦值取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
9．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）三棱锥 中，平面 与平面 的法向量分别
为 、 ，若 ， ，则二面角 的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北十堰·高二阶段练习）如图，在多面体 中， 平面 ，四边形 是正
方形，且 ， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 是线段 上的一个动
点（含端点 ， ），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得异面直线 与 所成的角为
C．三棱锥 体积的最大值是
D．当点 自 向 处运动时，二面角 的平面角先变小后变大
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）在如图所示的正方体 中，E是 的中点，则异面直线
DE与AC所成角的余弦值为___________.
12．（2022·四川绵阳·高二期末（理））在正方体 A B C D 中，点Р在侧面 (包括边界)上运
1 1 1 1
动，满足 记直线 与平面 所成角为 ，则 的取值范围是_____________四、解答题
13．（2022·上海·复旦附中高二期末）如图所示， 是棱长为1的正方体.
(1)设 的重心为O，求证：直线 平面 ；
(2)设E､F分别是棱 ､ 上的点，且 ，M为棱 的中点，若异面直线 与EF所成的
角的余弦值为 ，求a的值.
14．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）如图， 垂直于梯形 所在平面，
， 为 中点， ， ，四边形 为矩形．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的大小为 ？若存在，求出 的长；若不
存在，说明理由．
B 能力提升1．（多选）（2022·河北承德·高一期末）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱
， 的中点， 为面对角线 上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．线段 上存在点 ，使 平面
C．线段 上存在点 ，使平面 平面
D．设直线 与平面 所成角为 ，则 的最大值为
2．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则（ ）
A．直线 平面
B．三棱锥 的体积为定值
C．异面直线AP与 所成角的取值范围是
D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已如平面四边形ABCD， ， ， ，
．沿直线AC将 翻折成 ，则 ___________；当平面 平面ABC
时，则异面直线AC与 所成角余弦值是___________．4．（2022·江苏·高三专题练习）如图，在等腰梯形 中， ， ，过点 作 交
于点 ， ，现将 沿 折起，使平面 平面 ，连接 、 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为____________；当 时，则二面角 的余弦值
为__________．
C 综合素养
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图，在四面体 中， 平面 ， ，
，点 在线段 上．
(1)当 是线段 中点时，求 到平面 的距离；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
2．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知等边△ 边长为 ，△BCD中，BD=CD=1，BC=(如图1所示)，现将B与 ，C与 重合，将△ 向上折起，使得AD= (如图2所示).
(1)若BC的中点O，求证：平面BCD⊥平面AOD；
(2)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成 角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明
理由；
(3)求三棱锥A—BCD的外接球的表面积.
3．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为
正方形， 底面ABCD，M为线段PC的中点， ，N为线段BC上的动点．
(1)证明：平面 平面
(2)当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并
说明理由．
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形 中， ，点 ，
分别是边 ， 的中点， ， ．沿 将 翻折到 的位置，连接， ， ，得到如图2所示的五棱锥 ．
(1)在翻折过程中是否总有平面 平面 ？证明你的结论；
(2)当四棱锥 体积最大时，求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 余弦值的绝对值为 ？若
存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
