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专题24.41 圆（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，在 中，直径 于点E， ．点F是弧 上动点，且与点B、C不重合，
P是直径 上的动点，设 ，则m的取值范围是（ ）
A．8 B． C． D．
2．如图，矩形 的顶点 ， 在半径为5的 上， ，当点 在 上运动时，点 也随之运
动，则矩形 的对角线 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在半圆 中，直径 ， 是半圆上一点，将弧 沿弦 折叠交 于 ，点 是弧
的中点．连接 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
4．如图，一圆与y轴相交于点B（0，1），C两点，与x轴相切于点A（3，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，5） B．（0， ） C．（0，9） D．（0， ）
5．如图， 为 直径，C为圆上一点，I为 内心， 交 于D， 于I，若 ，则
为（ ）
A． B． C． D．5
6．如图， 内切于正方形 ，边 、 分别与 切于点 、 ，点 、 分别在线段 、
上，且 与 相切．若 的面积为6，则 的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．如图， 是 的直径，点C是 延长线上的一点， 与 相切于点D，连接 ．若
，则（ ）A． B．
C． D．
8．如图，由5个边长为1的小正方形组成的“L”形，圆O经过其顶点A、B、C，则圆O的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
9．如图，点 是正方形 和正五边形 的中心，连接 、 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，在扇形 中， 平分 交 于点 ，点 为半径 上一动点．若
，则阴影部分周长的最小值为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．如图， ， 为 的三等分点，分别以 ， 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ， ，连
接 ．若 ，则 的长为 ．
12．已知 中有弦 ， ， ，且四边形ABCD的面积为49，则 的半径为
．
13．如图， 是 的直径，点 、 是 上的点．且 ， 分别与 、 相交于点 ，
．若 的半径为 ， ，点 是线段 上任意一点，则 的最小值是 ___________．
14．如图，圆内接四边形 ， ，对角线 平分 ，过点 作 交 的延长
线于点 ，若 ， ，则 的面积为 ．15．如图，已知点A的坐标是 ， 的半径为1， 切 于点B，点P为 上的动点，当
是等腰三角形时，则点P的坐标为 ．
16．如图，点 在以 为直径的半圆上， ， ，点 在线段 上运动，点 与点 关
于 对称， 于点 ，并交 的延长线于点 ．下列结论正确的 ．（填序号）
① ；
②当 时，点 恰好落在弧 上；
③当 与半圆相切时， ；
④当点 从点 运动到点 时，线段 扫过的面积是 ．
17．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， ，连接 ，过点 作
， ，垂足分别为点 、点 .则下列结论正确的是 .
① ；② ；③ 与 相切；④若 ， ，则 .
18．如图，点 是 的内心， 的延长线和 的外接圆相交于点 ，与 相交于点 ，则下列
结论：① ；②若 ，则 ；③ ；④若点 为 的中点，则
，其中一定正确的序号是 ．三、解答题
19．如图， 是 外一点， 分别与 相交于 ．
（1） 平分 ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．
20．如图1，⊙ 的直径 的长为16， 为半圆的中点， 为劣弧 上的一动点， 和 的延长线
交于点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ．
（2）以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如图2的平面直角坐标系 ，则点 的坐标为
，设点 的坐标为 ，若 ， 是方程 的两根，求 的值．
（3）若 ，求 的值．21．如图， 是 的直径，弦 平分 交 于点 ．交 于点D．连接 ，
．
(1）求四边形 的面积；
（2）求 的长．
22．如图，四边形 是正方形，点A，点B在 上，边 的延长线交 于点E，对角线 的延
长线交 于点F，连接 并延长至点G，使 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 的半径为1，求 的长．23．如图，点P是等边三角形 中 边上的动点（ ），作 的外接圆交 于点
D．点E是圆上一点，且 ，连接 交 于点F．
（1）求证：
（2）当点P运动变化时， 的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求 的度数．
（3）探究线段 、 、 之间的数量关系，并证明．
24．如图，在 中， ， ，D是 上的动点，以D为圆心，
的长为半径作圆交 于点E，F，G分别是 上的点，将 沿 折叠，点A与点E恰好重
合．（1）如图1，若 ，求证： 与直线 相切．
（2）如图2，若 经过点B，连接 ．
① 的长是___．
②判断四边形 的形状，并证明．
参考答案
1．C【分析】连接 ，利用垂径定理可得 是 的垂直平分线，则 ；利用三角形
的任意两边之和大于第三边，可得不等式 （当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图
形即可得出结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵P是直径 上的动点， ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵(当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，
∴ 直径，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，利用圆
的对称性解答是解题的关键．2．A
【分析】如图，取 的中点 ，连接 ， ，在Rt 中， 为 中点， ，
当 时， 最小，此时矩形的对角线最小. 、 、 三点共线时， 最小，此时在Rt
中，设 ，知道 ， 长度，根据勾股定理建立方程，即可求解 的长度，进而
求得 的长度.
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
在Rt 中， 为 中点， ，
当 时， 最小，此时矩形的对角线最小，
∵ ， 为弦， 为中点，
∴ 在过 的直径上，
而 为圆心，则 、 、 三点都在一条直线上；
故 、 、 三点共线时， 最小；
此时在Rt 中，设 ，知道 ， ，
有 ，
有 ，
解得 ，(舍去），
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键．3．D
【分析】把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，求出∠F=90°，CE长，OE的最小值为EC-
OC．
【详解】解：把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵ 是弧 的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC= ，
∵OE≥EC-OC
即OE≥ -2，
的最小值为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题关键是通过作辅助线,根据三角形
三边关系确定OE的取值范围．
4．C【分析】设圆心为M，连接CM，由圆M与x轴相切，得到M的纵坐标等于半径也等于ON，在 中，
设BC=x利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解，即可得到结果．
【详解】解：过点M作MN⊥y轴，连接CM，∵圆M与x轴相切于点A（3，0），BC=x，
∴MN=3，ON=1+ ，MC=ON
在 中，
由勾股定理得：
x=8
又∵B（0，1），∴点C的坐标是（0，9）
故答案为：C．
【点拨】本题考查了切线的性质、坐标与图形的性质、以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．A
【分析】如图，连接 ， ，由题意知， 平分 ， 平分 ，则 ，
， ， ，由
，可得 ，由垂径定理得
，则 ，由勾股定理得， ，如图，连接 交 于 ，则
，设 ，则 ，由勾股定理得， ，即，解得 ，进而可得 ， ，由勾股定理得，
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ，
由题意知， 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
如图，连接 交 于 ，则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6．D
【分析】设 与 相切与点K，设正方形的边长为 ．因为 是切线，可得
， ，设 ，在 中，以为
，则 ，推出 ，根据
，构建方程求出a即可解决问题；
【详解】解：如图所示，设 与 相切与点K，
由题意得，
由切线长定理可知 ，
设正方形边长为 ， ，则
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ 的半径为 ，故选D．
【点拨】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会
利用参数解决问题．
7．B
【分析】连接 ．根据切线的性质可得出 ，根据直径所对圆周角为直角得出 ，结
合题意易证 为等边三角形，最后由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理逐项计算判断即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ 与 相切于点D，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，故A错误，不符合题意；
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故B正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，故C错误，不符合题意；
∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D错误，不符合题意．
故选B．
【点拨】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的
性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
8．D
【分析】取AB的中点E，作 ，取圆心O，连接OB、OC，根据圆的性质，再结合勾股定理即可求解；
【详解】解：取AB的中点E，作 ，取圆心O，连接OB、OC，
则
∵
设
解得：
∴
故选：D
【点拨】本题主要考查圆的性质、勾股定理，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．
9．B
【分析】根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可．
【详解】解：如图，连接 、 、 、 、 ， 是正方形 和正五边形 的外接
圆，
∵正方形 内接于 ，∴ ，
又∵正五边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B
【点拨】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答
的前提．
10．A
【分析】利用轴对称的性质，得出当点 移动到点 时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为 的长
与 的长度和，分别进行计算即可．
【详解】解：因为 是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求 最小值即可
作点 关于 对称的对称点 ，连接 与直线 交于点 ，则
， ，此时 为最小值
连接 ，
平分 ， ，
，在 中， ，
，
阴影部分周长的最小值为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称
解决路程最短问题是关键．
11．
【分析】如图，连接 、 、 、 ，设 与 交于点 ，根据菱形的判定与性质可得 ，
然后根据勾股定理及菱形的性质可得答案．
【详解】解：连接 ，设 与 交于点 ，
C，D为 的三等分点， ，
，
根据题意可得： ，
四边形 是菱形，
和 互相平分，，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆的相关概念，菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解本题的
关键．
12．5
【分析】梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的
同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯
形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，设⊙O的半径为r，
∵AB＝6，CD＝8，
∴AE AB 6＝3，CF CD 8＝4，
在Rt△AOE中，OE ；
在Rt△COF中，OF ，
S ABCD （AB+CD）•EF （6+8）×EF＝49，
梯形
∴EF＝7，
当点AB，CD在圆心O的异侧时，如图1所示：EF＝OE+OF 7，
解得r＝5；
当点AB，CD在圆心O的同侧时，如图2所示：
EF＝OE﹣OF 7，无解
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论．
13．
【分析】作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，求出 的长，可得结论．
【详解】解：作 点关于 的对称点 ， 交 于 ，连接 ，如图，
，
，
此时 的值最小，
，
，
，
点 和点 关于 对称，
，
，
作 于 ，如图，
则 ，
则 ，
在 中， ，
，
，
的最小值为 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂
径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
14．
【分析】首先证明 ，再过点A作 ，垂足为点M，过点B作
，垂足为点N．根据 ，分别求出 ， 的面积，即可求得四边形
的面积，然后通过证得 ，即可求得 的面积=四边形 的面积．
【详解】∵四边形 内接于圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
过点A作 ，垂足为点M，过点B作 ，垂足为点N．
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
中， ，
∵ 是等边三角形，
∴四边形 的面积
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ 的面积=四边形 的面积 ．
故答案为：
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15． ， 或
【分析】分情况讨论：①当 时；②当 时；③当 时，分别利用圆的基本性质、切
线的性质等求解即可．
【详解】解：①过点 作 与 相切，此时 ，连接 ，作 轴于点 ，
根据题意易得 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
②当 时，若点 位于如图所示位置，∵
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
满足 ，此时点 的坐标为 ；
③当 时，点 的位置如图所示：
过点 作 轴于点 ，
由①知 ， ，
∴ ，
∵ ， ，即 为 的垂直平分线，
则满足 ，此时点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、圆的基本性质、切线的性质等内容，熟练运用几何知识是解题的关
键．
16． /
【分析①】②由②点①与点 关于 对称可得 ，再根据 即可证到 ，可判定①；连接、 、 ，先求出 ， ，从而求得 ，即可得出点 恰好落在弧
上，从而判定②；连接 ，先证明 是等边三角形，从而可得 ，再由 与半圆相
切，则 ，从而求得 ，利用三角形的三线合一性质可得 ，可求出 ，即可
判断③；根据对称性确定线段 扫过的图形，然后探究出该图形与 的关系，就可求出线段 扫过
的面积可判定④．
【详解】解：如图1，连接 ，
点 与点 关于 对称，
，
，
，
，
， ，
，
，
．故①正确；
连接 、 、 ，如图，
点 与点 关于 对称，
，
，
，
，
，，
，
， ，
，
是 的垂直平分线，
，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵
∴
∵
∴四边形 菱形，
∴ ，
∴
∵ 为半圆的直径，
∴点 恰好落在弧 上，故②正确；
连接 ， ，如图，
∵ ， ，∴ ，
， ，
是等边三角形，
，
当 与半圆相切时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∴
∴ ，故③错误；
如图，
点 与点 关于 对称，点 与点 关于 对称，
当点 从点 运动到点 时，点 的运动路径 与 关于 对称，点 的运动路径 与 关于
对称，
扫过的图形就是图中三角形 的面积与三角形 的和，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
扫过的面积 ，故④错误．
故答案为：①②.
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、切线的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、含30角的直角三角形等知识．本题属于圆的综合题，综合性强，
有一定的难度．
17．①③④
【分析】根据已知条件得出 ，根据圆内接四边形得出 ，进而得出
，根据圆周角定理即可判断①，不能确定 ，即可判断②；证明 得出
，根据三线合一得出 ，进而根据 是直径，得出 ，结合已知条件即可
判断③；证明 ， ，得出 ， ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，故①正确
∵不能确定
∴ 不一定成立，故②错误；
如图所示，连接 ，∵ ，
∴
在 中，
∴
∴
∴
∵ 是直径，
∴ ，
即 ，
∵
∴
∴
∴ 与 相切，故③正确；
∵ ， ， ,
∴
∴ ，
在 中，
∴
∴
∵ ， ，∴ ，故④正确
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
18．①②③④
【分析】根据点 是 的内心，可得 ，故①正确；连接 ，可得
，从而得到 ，进而得到∠BEC=120°，故②正确；
根据点 是 的内心和三角形的外角的性质，可得 ，再由圆周角定理可得
，从而得到 ，故③正确； ，得出 ，再
由点 为 的中点，则 成立，故④正确．
【详解】解：∵点 是 的内心，
∴ ，故①正确；
如图，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵点 是 的内心，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵点 是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴线段 经过圆心O，
∴ 成立，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点拨】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内
心的定义，圆周角定理，垂径定理及其推论是解题的关键．
19．见解析
【分析】可选条件为③④，结论为①②，由垂径定理可得 ，再证 可
得 即可得到 即证明②；再证 可得 即可证明②．
【详解】选条件为③④，结论为①②，证明如下：
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,∴ ，
∵ ,
∴
∴ ,
∴ 平分 ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，本题为开放性
题目、可有多种组合，只要符合这四个已知条件即可．
20．(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）若求 ，连接 是显然的，然后再讨论 和 ，而发现这两个角都在圆
外，而外部也无复杂图象包含它们，所以常规作法显然不好处理．故想到把它们也放在圆中，连接 发
现 ， ，则若以 为直径画圆，其圆必过 、 两点，则利用圆周角、对顶角性质可证
恰与劣弧 的圆周角相等，因为 为中点，显然为 ，则结论易证．
（2）综合题，后问往往要用前问的结论，前问中 ，本题利用可求出 中， 与 的关系．
在利用根与系数的关系列出方程即可讨论 ，但要注意还有讨论两根存在的前提 ；
（3）连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，由 ， ，设 ，
利用勾股定理可以求出 ，然后根据 即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ， ，以 为直径画圆．， ，
、 两点必过以 为直径的圆，
，
．
为劣弧 的圆周角，且 为半圆的中点，
∵ 为半圆的中点，
∴ ，
为劣弧 的圆周角，
．
在 中，
，
，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
．
，
、 为方程 的两根，， ，
，
∴ ，
解得 或 ．
在第一象限，
，
舍去，
即此时 为 ． ，
综上所述：
（3）如图3，连接 、 ，过点 作 ，垂足为 ，
由（1）可得 ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
又∵在 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题难度较高，考查了圆、三角形、一元二次方程根与系数关系及用勾股定理解三角形等相关知
识，其中（1）辅助线的作法并不易想到，需要特殊留意．总体来说，综合性极高，学生一定要加强理解．
21．(1)
(2)
【分析】（1）四边形 的面积可以分为两部分，分别求解两部分三角形的面积，即可求解；
（2）作 ，根据直角三角形的性质，分别求得 ， ，即可求解.
【详解】（1）解：∵ 是 的直径，
∴ ,
又∵弦 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
，解得 ，
∴ ，
；
（2）解：作 ，如下图：由（1）得， ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
由勾股定理得， ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ .
【点拨】此题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质， 直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握
相关基本性质.
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据四边形 是正方形，得到 ,从而得到 是圆 的直径，结合
， ，证明 即可；
（2）连接 ，证明 ,从而证明 ，利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ 是 的直径，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 是 的切线；
（2）如图，连接 ，
∵四边形 是正方形， 是圆的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理，圆周角定理，勾
股定理是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆
周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD
＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC；
（2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝
60°，即可解答；（3）延长 交于点 ，先证明 是等边三角形，然后证明 即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接PE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠PEB＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠PEB，
∵ ，
∴∠PBD＝∠PBE，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△EBP（AAS），
∴AB＝EB，
∴EB＝BC；
（2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化，
∵ ，
∴∠DEP＝∠EBP，
∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB，
∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB
＝∠PEB
＝60°，∴∠BFD的度数为60°；
（3） ，理由如下：
延长 交于点 ，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，
， ，
，
连接 ，
四边形 是圆的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中，
，，
，
，
即 ．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的
关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)① ；②菱形，证明见解析
【分析】（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，证明 即可；
（2）①根据三角形外角的性质求出 ,再由弧长公式进行计算即可；②证明四边形 是平行
四边形即可得出结论．
【详解】（1）过点D作 ，交 的延长线于点 ，如图，
∵
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴
∴ ，∴ ，
∴ 与直线 相切；
（2）①如图，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 的长是 ；
故答案为： ；
②由折叠得， ,
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，
又 ,
∴四边形 是菱形
【点拨】本题主要考查了切线的判定、弧长公式以及菱形的判定，证明四边形是平行四边形是解答本题的
关键．
