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专题24.42 圆（全章直通中考）（基础练）
【要点回顾】
【要点一】圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等.
【要点二】垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【要点三】圆周角定理及推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：直径所对的圆周角是直角； 圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【要点四】切线性质定理和判定定理
切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定
理.
【要点五】弧长公式与扇形面积公式
正 变形的圆心角为 度.
弧长计算公式：在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长计算公式为 .
如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
一、单选题
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C， 交
于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·四川·统考中考真题）如图，半径为 的扇形 中， ， 是 上一点，
， ，垂足分别为 ， ，若 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用
的一种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形
是“莱洛三角形”．若等边 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，线段 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大
于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接 ，
，若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
6．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交
AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
7．（2023·吉林·统考中考真题）如图， ， 是 的弦， ， 是 的半径，点 为 上
任意一点（点 不与点 重合），连接 ．若 ，则 的度数可能是（ ）A． B． C． D．
8．（2019·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上
一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图， 都是 的半径， 交于点D．若
，则 的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如
《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，
又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，
用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，
单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；
（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在 ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半
径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当 △ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
△
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图， 是 的直径， 切 于点A， 交 于点 ，
连接 ，若 ，则 ．
13．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在 中， 为直径，C为圆上一点， 的角平分
线与 交于点D，若 ，则 °．
14．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，
垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．15．（2021·河南·统考中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在
小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为 ．
16．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连
接 ， ， ，则 ．
17．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为
OC的中点，若 ，则BC的长为 ．
18．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，弦 半径 ，则 的
度数为 ．三、解答题
19．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
20．（2020·山西·统考中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的
与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和
的度数．
21．（2018·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， ， 于点 ， 于
点 ，以点 为圆心， 为半径作半圆，交 于点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 边上的动点，当 取最小值时，直接写出 的长．
22．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知
．
（1）若 的半径为5，求 的长；
（2）试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）23．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上， ，直线
， ，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24．（2020·安徽·统考中考真题）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 的两点
与 相交于点 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 ，
求证： ；
若 求 平分 ．参考答案
1．C
【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，从而可得
．
解：如图，连接 ，
∵ 切 于点B，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点拨】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形
的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】连接 ，证明四边形 是正方形，进而得出 ， ，然后根据扇
形面积公式即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴图中阴影部分面积 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形 是正方形是解题的关键．
3．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式 求解即可．
解：∵等边三角形 的边长为3， ，∴ ，
∴该“莱洛三角形”的周长 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的
关键．
4．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形 内接于 ，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关
键．
5．A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得 ， ，根据圆的半径得 ，
，根据圆周角的推论得 ，根据勾股定理即可得 ．
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∵线段AB是半圆O的直径，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
6．C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质
以及角平分线的性质逐一判断即可．
解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF<OD，故选项C不正确；
故选：C．
【点拨】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过
切点的半径是解题的关键．7．D
【分析】根据圆周角定理得出 ，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的度数可能是
故选：D．
【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等
腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
解：如图，∵ ，
∴ ．
∵ 是 的弦， 交 于点 ，
∴ ．
∴ ．
故选D．
【点拨】本题考查垂径定理，解题关键证明 .
9．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出 根据勾股定理求出 ，进一步可求出 的长．
解：∵
∴点 为 的中点，
∵
∴ ，由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答
本题的关键
10．A
【分析】证明 ，可得 ，结合 ，C为 的中点，可
得 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，C为 的中点，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟
记等腰三角形的性质是解本题的关键．
11． 或
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，
设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=2，在Rt AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
△
解得：r= ，
即AD=AO= ；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵ AO•AC= OC•AD，
∴AD= ，
∵AO= ，AC=2，OC=4-r= ，
∴AD= ，
综上所述，AD的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
12．34
【分析】首先根据等边对等角得到 ，然后利用外角的性质得到
，利用切线的性质得到 ，最后利用三角形内角和定理求解即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 切 于点A，
∴ ，
∴ ．故答案为：34．
【点拨】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟
练掌握以上知识点．
13．35
【分析】由题意易得 ， ，则有 ，然后问题可求解．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ；
故答案为35．
【点拨】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．
14．1
【分析】连接 ，利用圆周角定理及垂径定理易得 ，则 ，结合已知条件，
利用直角三角形中 角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得 是解题的关键．
15．
【分析】先找到 的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．
解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为 的圆心O，
从图中可得： 的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=2 22.5°=45°，
的长为 ．
．
故答案为：
【点拨】本题考查了弧长公式，找到 的圆心是解题的关键．
16．
【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答
案．
解：解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，，
为等腰三角形，
又 点 是 的中点，根据等腰三角形三线合一，
为 的角平分线，
，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关
键是：根据性质求出 ，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
17．7
【分析】根据垂径定理可得 垂直平分 ，根据题意可得 平方 ，可得四边形 是菱形，
进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，连接 ，
A、B、C是 上的点， ，
，
D为OC的中点，
，
四边形 是菱形， ，
．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
18．100°/100度
【分析】先根据平行线的性质求出∠OCA的度数，再根据等边对等角求出∠OAC的度数，即可利用三
角形内角和定理求出∠AOC的度数．
解：∵ ，
∴∠OCA=∠BOC=40°，∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=40°，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=100°，
故答案为：100°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，圆的基本性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟
知相关知识是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）2
【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可；
（2）连接OB，OC．过点O作 于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出
∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
（1）解：如图，切线AD即为所求；
（2）如图：连接OB，OC．过点O作 于点H，
∵AD是切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，
∴∠OAB＝15°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，∴∠BCA＝ ∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC＝2，
∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝OC•cos30°＝ ，
∴BC＝2 ．
【点拨】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．45°，22.5°
【分析】连接OB,即可得 ,再由平行四边形得出∠BOC=90°,从而推出∠C=45°,再由平行四边
形的性质得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根据圆周角定理即可得出∠E=22．5°．
解：连接 ．
与 相切于点 ，
． ．
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，．
．
【点拨】本题考查圆周角定理、平行四边形的性质,关键在于根据条件结合性质得出角度的变换．
21．（1）证明见分析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）过 作 垂线 ，垂足为 ，证明OM=OE即可；
（2）根据“S AEO-S EOF=S ”进行计算即可；
扇形 阴影
△
（3）作 关于 的对称点 ，交 于 ，连接 交 于 ，此时 最小． 通过证明
∽ 即可求解
解：（1）过 作 垂线 ，垂足为
∵ ，
∴ 平分
∵
∴
∵ 为⊙ 的半径，
∴ 为⊙ 的半径，
∴ 是⊙ 的切线
（2）∵ 且 是 的中点
∴ ， ，
∴
∵
∴ 即 ，∴
（3）作 关于 的对称点 ，交 于 ，连接 交 于
此时 最小
由（2）知 ， ，
∴
∵
∴ ， ，
∵ ，
∴ ∽
∴ ，即
∵ ，
∴ 即 ，
∴ ．
【点拨】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，不规则图形的面积计算以及最短路径问题．
找出点E的对称点G是解决一题的关键．
22．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）由题意得， ，根据 得 ，根据切线的
性质得 ，即 ，根据题意得 ，则 ，即可得 ，
根据角之间的关系和边之间的关系得 是等边三角形，即可得∴ ，则 ,根据题
意得， ， ，在 中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得， 为等边三角形，可得 ，在
中，根据直角三角形的性质得 ，即 ；方法二：连接 ，过点O作 ，
垂足为H，根据题意得，四边形 是矩形，所以 ，根据等边三角形的性质得 ，根
据边之间的关系得CE=OE，根据HL得 ，即可得 ，由此即可得 ．
（1）解：如图所示，连接 ．∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，C为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，垂足为F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为5，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴在 中， ．
（2） ，证明如下
证明：方法一：如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ，
∴ ，
即 ；
方法二：如图所示，连接 ，过点O作 ，垂足为H，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，即DE=2EH，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩
形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
23．（1）直线AD与圆O相切，理由见分析；（2）
【分析】（1）连接OA，根据 和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到
∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解；
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得 ，进而得到 ，再根
据阴影部分的面积为 ，即可求解．
（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵ ，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵ ，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴扇形BOC的面积为 ，
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【点拨】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题
意得到阴影部分的面积为 是解题的关键．
24． 证明见分析； 证明见分析．
【分析】 利用 证明 利用 为直径，证明 结合已知条件可得结论；
利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所
对的圆周角是直角证明： 从而可得答案．
解： 证明：
为直径，
．
证明：
为半圆 的切线，
平分 ．
【点拨】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直
角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
