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专题24.42 圆（全章直通中考）（基础练）
【要点回顾】
【要点一】圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量都分别相等.
【要点二】垂径定理及推论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【要点三】圆周角定理及推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：直径所对的圆周角是直角； 圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【要点四】切线性质定理和判定定理
切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定
理.
【要点五】弧长公式与扇形面积公式
正 变形的圆心角为 度.
弧长计算公式：在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长计算公式为 .
如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
一、单选题
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C， 交
于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2023·四川·统考中考真题）如图，半径为 的扇形 中， ， 是 上一点，
， ，垂足分别为 ， ，若 ，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用
的一种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形
是“莱洛三角形”．若等边 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，线段 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大
于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接 ，
，若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
6．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交
AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
7．（2023·吉林·统考中考真题）如图， ， 是 的弦， ， 是 的半径，点 为 上
任意一点（点 不与点 重合），连接 ．若 ，则 的度数可能是（ ）A． B． C． D．
8．（2019·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上
一点， ，则 的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图， 都是 的半径， 交于点D．若
，则 的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如
《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，
又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，
用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，
单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 的延长线及 上取点A，B，使 ；
（3）连接 ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 ．按以上作图顺序，若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在 ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半
径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当 △ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
△
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图， 是 的直径， 切 于点A， 交 于点 ，
连接 ，若 ，则 ．
13．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在 中， 为直径，C为圆上一点， 的角平分
线与 交于点D，若 ，则 °．
14．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的 上， ， ，
垂足为E，交 于点D，连接 ，则 的长度为 ．15．（2021·河南·统考中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ， ， 均在
小正方形的顶点上，且点 ， 在 上， ，则 的长为 ．
16．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图， 内接于 ， ，点 是 的中点，连
接 ， ， ，则 ．
17．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为
OC的中点，若 ，则BC的长为 ．
18．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在 中，弦 半径 ，则 的
度数为 ．三、解答题
19．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
20．（2020·山西·统考中考真题）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 为半径的
与 相切于点 ，与 相交于点 ， 的延长线交 于点 ，连接 交 于点 ，求 和
的度数．
21．（2018·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 中， ， 于点 ， 于
点 ，以点 为圆心， 为半径作半圆，交 于点 ．（1）求证： 是 的切线；
（2）若点 是 的中点， ，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 边上的动点，当 取最小值时，直接写出 的长．
22．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作
，垂足为F， 交 于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知
．
（1）若 的半径为5，求 的长；
（2）试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）23．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，如图，点A、B、C在圆O上， ，直线
， ，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
24．（2020·安徽·统考中考真题）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 的两点
与 相交于点 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 ，
求证： ；
若 求 平分 ．参考答案
1．C
【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，从而可得
．
解：如图，连接 ，
∵ 切 于点B，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点拨】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形
的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】连接 ，证明四边形 是正方形，进而得出 ， ，然后根据扇
形面积公式即可求解．
解：如图所示，连接 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴图中阴影部分面积 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形 是正方形是解题的关键．
3．B
【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式 求解即可．
解：∵等边三角形 的边长为3， ，∴ ，
∴该“莱洛三角形”的周长 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的
关键．
4．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形 内接于 ，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点拨】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关
键．
5．A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得 ， ，根据圆的半径得 ，
，根据圆周角的推论得 ，根据勾股定理即可得 ．
解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∵线段AB是半圆O的直径，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点拨】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
6．C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质
以及角平分线的性质逐一判断即可．
解：∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，
∴DE=DF
