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专题24.43 圆（全章直通中考）（提升练）
一、单选题
1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知 的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
2．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，在 中，直径 与弦 相交于点P，连接
，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图， 的圆心O与正方形的中心重合，已知 的半径和正
方形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A． B．2 C． D．
4．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图， 是 的直径，D，C是 上的点， ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点C，连接 ，若，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②
是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图． 是 的一部分， 是 的中点，连接 ，
与弦 交于点 ，连接 ， ．已知 cm，碗深 ，则 的半径 为（ ）
A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm
7．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点 在 上， 是
的中点，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，弦 交 于点E， ，
，过点O作 于点F，延长 交 于点G，若 ， ，则 的长为（ ）A． B．7 C．8 D．
9．（2023·福建·统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，
可得 的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
10．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y
轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D两点
在圆上运动时， 面积的最大值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3二、填空题
11．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
，则 的长是 ．
12．（2023·北京·统考中考真题）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 是
的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．
13．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在 中， ．以点C为圆心，
r为半径作圆，当所作的圆与斜边 所在的直线相切时，r的值为 ．
14．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，六边形 是 的内接正六边形，设正六边形
的面积为 ， 的面积为 ，则 ．15．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ．
将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长
是 cm（结果用含 的式子表示）．
16．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在 中， ，以 为直径
作半圆，交 于点 ，交 于点 ，则弧 的长为 ．
17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，小珍同学用半径为 ，圆心角为 的扇形纸片，制
作一个底面半径为 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．
18．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
，则线段 的最小值为 ．
三、解答题
19．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交
于点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
（1）求证：四边形 为矩形．
（2）已知 的半径为4， ，求弦 的长．
20．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．21．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形 是半径为R的 的内接四边形， 是
的直径， ，直线l与三条线段 、 、 的延长线分别交于点E、F、G．且满足
．
（1）求证：直线 直线 ；
（2）若 ；
①求证： ；
②若 ，求四边形 的周长．
22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， ，
于点 ， 交 于点 ，交 于点 ， ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）判断 的形状，并说明理由；
（3）当 时，求 的长．23．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图1，在 中， 为 的直径，点 为 上一点，
为 的平分线交 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2）如图2，过点 作 的切线交 延长线于点 ，过点 作 交 于点 ．若
，求 的长．
24．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径， 平分 交
于点E，过点E作 ，交 的延长线于点F．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，过点E作 于点M，交 于点G，交 于点N，求 的长．参考答案
1．B
【分析】过点 作 于点 ，连接 ，判断出当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直
线 的距离最大，由此即可得．
解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，， ，
当点 为 的延长线与 的交点时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的性质，正确判断出点 到直线 的距离最大时，点 的位置是解题关键．
2．D
【分析】先根据圆周角定理得出 ，再由三角形外角和定理可知
，再根据直径所对的圆周角是直角，即 ，然后利用
进而可求出 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为直径，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关
知识．
3．D
【分析】设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，由题意可得，
的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
解：设正方形四个顶点分别为 ，连接 并延长，交 于点 ，过点 作 ，如
下图：则 的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得： ，
由勾股定理可得： ，
∴ ，
故选：D
【点拨】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆与正多边形的性质，
确定出圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值的位置．
4．A
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点
是关键．
5．B
【分析】连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，从而可得 ，再根据等腰三角
形的性质即可得．
解：如图，连接 ，直线 与 相切，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
6．A
【分析】首先利用垂径定理的推论得出 ， ，再设 的半径 为
，则 ．在 中根据勾股定理列出方程 ，求出 即可．
解： 是 的一部分， 是 的中点， ，
， ．
设 的半径 为 ，则 ．
在 中， ，
，
，
，
即 的半径 为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 的半径 为 ，列出关于 的方程是解题的关键．
7．C
【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即
可．
解：如图，连接 ，
∵正六边形 ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选Ｃ．
【点拨】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题
的关键．
8．B
【分析】作 于点M，由题意可得出 ，从而可得出 为等边三角形，从而
得到 ，再由已知得出 ， 的长，进而得出 ， 的长，再求出 的
长，再由勾股定理求出 的长．
解：作 于点M，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾
股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
9．C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得
，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为 ，
设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作 交 于点于点 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故正十二边形的面积为 ，
圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，
圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
10．D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延
长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接
，
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高
的最大值是解题关键．
11．4
【分析】根据圆周角定理得出 ，再由勾股定理确定 ，半径为 ，利用垂径定理
确定 ，且 ，再由勾股定理求解即可．
解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点
是解题关键．
12．
【分析】根据 ，得出 ， ，根据等腰直角三角形的性质得出
，即 ，根据 ， ，得出 为等腰直角三角形，
即可得出 ．
解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练
掌握垂径定理，得出 ．
13．
【分析】根据勾股定理，得 ，根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，
根据直角三角形的面积不变性计算即可．
解：∵ ，
∴ ，
根据切线的性质，得到圆的半径等于 边上的高，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键．
14．2
【分析】连接 ，首先证明出 是 的内接正三角形，然后证明出
，得到 ， ，进而求解即可．
解：如图所示，连接 ，
∵六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，
∴ 是 的内接正三角形，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由圆和正六边形的性质可得， ，
由圆和正三角形的性质可得， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定
等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．
【分析】由于 旋转到 ，故C的运动路径长是 的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
解：以A为圆心作圆弧 ，如图所示．
在直角 中， ，则 ，则 ．
∴ ．
由旋转性质可知， ，又 ，
∴ 是等边三角形．
∴ ．
由旋转性质知， ．
故弧 的长度为： ；
故答案为：
【点拨】本题考查了含 角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题
的关键是明确C点的运动轨迹．
16． /
【分析】连接 ， ， ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式
计算即可．
解：如图，连接 ， ， ，
∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴弧 的长为 ，故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧
长公式，圆周角定理是解题的关键．
17． /
【分析】由题意知，底面半径为 的圆锥的底面周长为 ，扇形弧长为 ，则
扇形中未组成圆锥底面的弧长 ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧
长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为 ，计算求解即可．
解：由题意知，底面半径为 的圆锥的底面周长为 ，扇形弧长为 ，
∴扇形中未组成圆锥底面的弧长 ，
∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，
∴圆锥上粘贴部分的面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握 ， ，其
中 为扇形的圆心角， 为扇形的半径．
18． /
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明
，可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有
最小值，据此求解即可．
解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，
∴ ，，
∴ ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的
运动轨迹是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关
键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，即
可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在 中，
根据勾股定理得出 ，求出 即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆
周角定理．
21．（1）见分析；（2）①见分析，② ．
【分析】（1）在 中，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，结合已知在 中
根据三角形内角和定理可求得 ；
（2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得 ，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得 ，结合已知即可证得 ；
②在 中由 ，可得 ，结合题意易证 ，在 中由勾股定理可求得
，由①可知易得 ，最后代入计算即可求得周长．
解：（1）证明：在 中，
，
，即 ，
在 中，
，
，
即直线 直线 ；
（2）①四边形 是半径为R的 的内接四边形，
，
，
，
是 的直径，
，
由（1）可知 ，
，
在 与 中，
，
，
②在 中， ，
，
是 的直径，
，，
，
，
在 中，
，
即 ，
解得： ，
由①可知 ，
，
，
四边形 的周长为：
．
【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、
邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计
算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．
22．（1）见分析；（2） 是等腰三角形，理由见分析；（3）
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据已知得出 ，
根据 得出 ，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得 ，
即可得证；
（2）根据题意得出 ，则 ，证明 ，得出 ，等量代换
得出 ，即可得出结论；
（3）根据 ， ，设 ，则 ，等边对等角
得出 ，则 ．
解：（1）证明：如图所示，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
即 ，又 是 的直径，
∴ 是 的切线；
（2）∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
（3）∵ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；
（2）由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．
解：（1）∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）如图，连接 ，设 ，
则 ， ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
在 中，有勾股定理得：
由（1）得： ，
∴ ，
由勾股定理得： ， ，
∴ ，∴ ，整理得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟
练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
24．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，由 是 的直径可得 ，进而可得 ，再
根据圆周角定理可得 ，进而可证 ， ，即可证明 与 相切；
（2）连接 ， ，先证 是等边三角形，推出 ，再根据圆周角
定理证明 ，进而可得 ，再根据弧长公式即可求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，
是 的直径，
，
平分 交 于点E，，
，
，
，
，
是 的半径，
与 相切；
（2）解：如图，连接 ， ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
，
，
， 是 的直径，
，
．
即 的长为 ．
【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周
角定理是解题的关键．
