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专题24.44 圆（全章直通中考）（培优练）
一、单选题
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴
上，点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，
连接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
2．（2022·安徽·统考中考真题）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，
△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为 ， ， ， ．若 ，则线段OP长的
最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 ．将弓形沿x
轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广西梧州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．3 4 B．12 C．6+3 D．6
5．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图， 中， ， ， ．点 为
内一点，且满足 ．当 的长度最小时， 的面积是（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2020·四川·统考中考真题）已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为
该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（ ）
A．2 B．2 ﹣2 C．2 +2 D．2
7．（2020·山东临沂·中考真题）如图，在 中， 为直径， ，点D为弦 的中点，点E为
上任意一点，则 的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·湖北武汉·统考中考真题）如图， 是 的直径， 、 是弧 （异于 、 ）上两
点， 是弧 上一动点， 的角平分线交 于点 ， 的平分线交 于点 ．当点 从点
运动到点 时，则 、 两点的运动路径长的比是（ ）A． B． C． D．
9．（2019·四川宜宾·统考中考真题）如图， 的顶点O是边长为2的等边 的重心，
的两边与 的边交于E，F， ，则 与 的边所围成阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·四川广安·统考中考真题）如图，在 中， 以BC为
直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，点B的坐标为 ，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线 与 交于点D．与y轴交于点E．动点
M在线段 上，动点N在直线 上，若 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M
的坐标为
12．（2023·四川·统考中考真题）如图， ，半径为2的 与角的两边相切，点P是⊙O
上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 ，则t的取值范围是 ．
13．（2020·四川达州·中考真题）已知 的三边a、b、c满足 ，则
的内切圆半径= ．
14．（2020·贵州贵阳·统考中考真题）如图， 是 的内接正三角形，点 是圆心，点 ， 分
别在边 ， 上，若 ，则 的度数是 度．15．（2020·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形 中， 是对角线， ，⊙O与
边 相切于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2020·青海·统考中考真题）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ，
， ，则 与 之间的距离为 cm．
17．（2020·广西·统考中考真题）如图，在边长为 的菱形 中， ，点 分别是
上的动点，且 与 交于点 .当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为
．
18．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点
从点 出发沿 方向运动，到达点B时停止运动，连结 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接
A′C， ．在运动过程中，点 到直线 距离的最大值是 ；点 到达点 时，线段 扫过的
面积为 ．
三、解答题
19．（2019·河南·统考中考真题）如图，在 中， ， ，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是 上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点
G．
（1）求证： ；
（2）填空：
①若 ，且点E是 的中点，则DF的长为 ；
②取 的中点H，当 的度数为 时，四边形OBEH为菱形．
20．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
（1）求证 平分 ，并求 的大小；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．21．（2007·安徽芜湖·中考真题）已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC
组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
、
22．（2020·江苏扬州·中考真题）如图， 内接于 ， ，点E在直径CD的延长线上，
且 ．
（1）试判断AE与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ，求阴影部分的面积．23．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形 内接于 ，在 上取一点E，连接 ，
．过点A作 ，交 于点G，交 于点F，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．
24．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、
B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长；
（3）连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．参考答案
1．A
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，
再证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，
半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最
小值，即可得到答案．
解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
在 中， ，
∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 的最小值为3，
故选A．
【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，
含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
2．B
【分析】根据 ，可得 ，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高
和△PAB中AB边上的高 的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作
OE⊥BC，求得OC= ，则可求解．
解：如图，， ，
∴
=
=
=
= = ，
∴ ，
设△ABC中AB边上的高为 ，△PAB中AB边上的高为 ，
则 ，
，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴ ，
，∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于 的线段上，
∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，
过O作OE⊥BC于E，
∴ ，
∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC
∴∠OCE=30°，CE=
∴OC=2OE
∵ ，
∴ ，
解得OE= ，
∴OC= ，
∴OP=CP-OC= ．
故选B．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位
置是解题的关键．
3．D
【分析】求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为 时圆心的位置，故可求解．
解：如图，圆心在 ，可得r=2
∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =故选D．
【点拨】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．
4．A
【分析】如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于
则四边形 是矩形，再证明 是等边三角形，再分别求解 即可得到答案.
解：如图，作 的外接圆 连接 过 作 轴于 作 轴于 则四
边形 是矩形，
是等边三角形，故选：
【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，
矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
5．D
【分析】由题意知 ，又 长度一定，则点P的运动轨迹是以 中点O为圆心，
长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在 中，利用勾股定理可求BO的长，并
得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到 是等边三角形，利用特殊 三边关系即可求解．
解：
取 中点O，并以O为圆心， 长为半径画圆
由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短
点P是BO的中点
在 中，
是等边三角形
在 中，
．
【点拨】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．
6．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝4 ，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为
半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．
解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，
∴斜边AB＝4 ，
∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，
∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，
当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM＝ AB＝2 ，
∵PC＝2，
∴PM＝CM﹣CP＝2 ﹣2，
故选：B．
【点拨】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出
图形找到取最小值的状态然后求解．
7．C
【分析】连接OD、OE，先求出∠COD=40°，∠BOC=100°，设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-
x+40°；然后运用等腰三角形的性质分别求得∠OED和∠COE，最后根据线段的和差即可解答．
解：连接OD、OE
∵OC=OA
∴△OAC是等腰三角形
∵ ，点D为弦 的中点∴∠DOC=40°，∠BOC=100°
设∠BOE=x，则∠COE=100°-x，∠DOE=100°-x+40°
∵OC=OE，∠COE=100°-x
∴∠OEC=
∵OD＜OE，∠DOE=100°-x+40°=140°-x
∴∠OED＜
∴∠CED＞∠OEC-∠OED= =20°．
又∵∠CED＜∠ABC=40°，
故答案为C．
【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解
答本题的关键．
8．A
【分析】连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运
动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则
CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为
弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为 ，DA＝ R，进而求出点E的运
动路径为弧AEB，弧长为 ，即可求得答案.
解：连结BE，∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－ （∠CAB+∠CBA）＝135°，为定值， ，
∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵ ，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为： ，
DA＝ R，点E的运动路径为弧AEB，弧长为： ，
C、E两点的运动路径长比为： ，
故选A.
【点拨】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综
合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
9．C
【分析】连接 、 ，过点O作 ，垂足为N，由点O是等边三角形 的内心可以得到
，结合条件 即可求出 的面积，由 ，从而得到
，进而可以证到 ，因而阴影部分面积等于 的面积．
解：连接 、 ，过点O作 ，垂足为N，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵点O为 的内心
∴ ， ．
∴ ．
∴ ． ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，即 ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴
故选C．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与
性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10．A
【分析】根据三角形的内角和得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据扇
形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵在 中， ，
，
，
，BC为半圆O的直径，
，
，
，
图中阴影部分的面积
故选A．
【点拨】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积．11． 或
【分析】如图，由 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得 在以 为直径的圆 上，
，可得 是圆 与直线 的交点，当 重合时，符合题意，可得 ，当N在
的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ， ，
证明 ，设 ，可得 ， ，而
，则 ，再解方程可得答案．
解：如图，∵ 是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ 在以 为直径的圆 上， ，
∴ 是圆 与直线 的交点，
当 重合时，
∵ ，则 ，
∴ ，符合题意，
∴ ，
当N在 的上方时，如图，过 作 轴于 ，延长 交 于 ，则 ，
，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，设 ，
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
解得： ，则 ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的
关键．
12．
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得 ，再求得
，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．解：设 与 两边的切点分别为D、G，连接 ，延长 交 于点H，
由 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，延长 交 于点Q，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
当 与 相切时， 有最大或最小值，
连接 ，
∵D、E都是切点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，∴ 的最大值为 ；
如图，
同理， 的最小值为 ；
综上，t的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得 是解题的关键．
13．1
【分析】先将 变形成 ，然后根据非负
性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内
切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
解：
则 =0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴ 的内切圆半径= =1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了非负数性质的应用、勾股定理逆定理的应用以及直角三角形内切圆的求法，掌握直角三角形内切圆半径的求法以及求得a、b、c的值是解答本题的关键．
14．120
【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后
根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
解：连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH △OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA △OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧 ，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅
助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌
握．
15．
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
解：如图，连接OD，∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形 中，
∴ ，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD= ，
∴ ，
∴扇形的面积为： ，
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，
解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
16．7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定
理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE= CD=3cm，AF=BF= AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OE OF=4cm 3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关
键．
17．
【分析】根据题意证得 ，推出∠BPE =60 ，∠BPD =120 ，得到C、B、P、D四点共圆，
知点 的运动路径长为 的长，利用弧长公式即可求解．
解：连接BD，
∵菱形 中， ，
∴∠C=∠A=60 ，AB=BC=CD=AD，
∴ ABD和 CBD都为等边三角形，
∴△BD=AD，△∠BDF=∠DAE=60 ，∵DF=AE，
∴ ，
∴∠DBF=∠ADE，
∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60 ，
∴∠BPD=180 -∠BPE=120 ，
∵∠C=60 ，
∴∠C+∠BPD =180 ，
∴C、B、P、D四点共圆，即⊙O是 的外接圆，
∴当点 从点 运动到点 时，则点 的运动路径长为 的长，
∴∠BOD =2∠BCD =120 ，
作OG⊥BD于G，
根据垂径定理得：BG=GD= BD= ，∠BOG = ∠BOD =60 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
从而 点的路径长为 ．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边
形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．
18．
【分析】（1）通过分析点A′的运动轨迹，是以点C为圆心，CA为半径的圆上，从而求解；
（2）画出相应的图形，从而利用扇形面积和三角形面积公式计算求解
解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，
∵点 从点 出发沿 方向运动，到达点B时停止运动， ，点 关于直线 的对称点
为 ，
∴∠ACA′最大为90°
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图
过点B作BE⊥AC
∵ ， ， ，∴在Rt△ABE中，BE=1，AE= ，
在Rt△BCE中，BE=CE=1
∴CA′=CA=
又∵CA′⊥AB
∴在Rt△ACF中，CF=
∴A′F=A′C-CF=
即点 到直线 距离的最大值是 ；
点 到达点 时，线段 扫过的面积为：
= =
故答案为： ；
【点拨】本题考查轨迹，含30°直角三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（1）见分析（2）① ②30°【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得 ，再应用同角的余角相等可
得 ，易得 ， 得证；
（2）作 ，应用等弧所对的圆周角相等得 ，再应用角平分线性质可得结论；
由菱形的性质可得 ，结合三角函数特殊值可得 ．
解：（1）证明：如图1， ， ，
AB是 的直径，
，
；
（2）①如图2，过F作 于H， 点E是 的中点，
，，
，即
，
，即 ，
故答案为 ．
②连接OE，EH， 点H是 的中点，
，
四边形OBEH为菱形，
．
故答案为
【点拨】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，
特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．
20．（1）见分析， ；（2）
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据平分 ，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点拨】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度
角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的
关键．
21．2
【分析】作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆
心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是
r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解．
解：如图，
作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt ABF中， ∵∠BAF= ，
△∴ ．
∴OH= = ｒ．
在Rt ODH中， ．
△
∴ ．解得ｒ＝2．
∴该圆的半径长为2．
22．（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2） ．
【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据 ，即可求出阴影部分的
面积．
解：（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则 ，∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∠AOD=60°，
∴
∴ ．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
23．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）如图，连接 ，证明 ，再证明 ，
，可得 ，结合 ，从而可得结论；
（2）如图，连接 ， ，过 作 于 ，设 ，在 上取Q，使 ，证明
， ， ，可得 ， ，求解
，而 ，可得 ， ， ，可得
，再求解x，利用 进行计算即可．
（1）解：如图，连接 ，
∵ ，则 ，∴ ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图，连接 ， ，过 作 于 ，设 ，在 上取Q，使 ，
∵O为正方形中心，
∴ ， ，而 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
而正方形的边长 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应
用，含 的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（1）⊙M与x轴相切，理由见分析；（2）6；（3）
【分析】（1）连接CM，证CM⊥x即可得出结论；
（2）过点M作MN⊥AB于N，证四边形OCMN是矩形，得MN=OC，ON=OM=5，设AN=x，则OA=5-
x，MN=OC=6-（5-x）=1+x，利用勾股定理求出x值，即可求得AN值，再由垂径定理得AB=2AN即可求解；
（3）连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，得直角三角形BCD，由（2）知：AB=6，OA=2，
OC=4，所以OB=8，C（4，0），在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，求得BC= ，在Rt△BCD
中，∠BCD=90°，由勾股定理，即可求得CD，在Rt△CPD和在Rt△MPD中，由勾股定理，求得CP=2，
PD=4，从而得出点D坐标，然后用待定系数法求出直线CD解析式即可．
（1）解：⊙M与x轴相切，理由如下：
连接CM，如图，∵MC=MA，
∴∠MCA=∠MAC，
∵AC平分∠OAM，
∴∠MAC=∠OAC，
∴∠MCA=∠OAC，
∵∠OAC+∠ACO=90°，
∴∠MCO=∠MCA+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°，
∵MC是⊙M的半径，点C在x轴上，
∴⊙M与x轴相切；
（2）解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
由（1）知，∠MCO=90°，
∵MN⊥AB于N，
∴∠MNO=90°，AB=2AN，
又∵∠CON=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴MN=OC，ON=CM=5，
∵OA+OC=6，
设AN=x，
∴OA=5-x，MN=OC=6-（5-x）=1+x，
在Rt△MNA中，∠MNA=90°，由勾股定理，得
x2+（1+x）2=52，解得：x=3，x=-4（不符合题意，舍去），
1 2
∴AN=3，
∴AB=2AN=6；
（3）解：如图，连接BC，CM，过点D作DP⊥CM于P，
由（2）知：AB=6，OA=2，OC=4，
∴OB=8，C（4，0）
在Rt△BOC中，∠BOC=90°，由勾股定理，得
BC= ，
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BCD=90°，BD=10，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，由勾股定理，得
CD= ，即CD2=20，
在Rt△CPD中，由勾股定理，得PD2=CD2-CP2=20-CP2，
在Rt△MPD中，由勾股定理，得PD2=MD2-MP2=MD2-（MC-CP）2=52-（5-CP）2=10CP-CP2，
∴20-CP2=10CP-CP2，
∴CP=2，
∴PD2=20-CP2=20-4=16，
∴PD=4，即D点横坐标为OC+PD=4+4=8，
∴D（8,-2），
设直线CD解析式为y=kx+b，把C（4,0），D（8,-2）代入，得
，解得： ，
∴直线CD的解析式为： ．【点拨】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，待定系数法求一
次函数解析式，熟练掌握直线与圆相切的判定、待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
