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第 2 节 不等式选讲
第一课时 绝对值不等式
考试要求 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等
号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)；2.会
利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|
＋|x－b|≥a.
1.绝对值三角不等式
定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.
定理2：如果a，b，c是实数，那么 | a － b | ≤ | a － c | ＋ | c － b |，当且仅当 ( a － c )( c －
b ) ≥ 0 时，等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集.
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a { x | － a ＜ x ＜ a }
{x|x＞a或x＜－
|x|＞a {x|x∈R且x≠0} R
a}
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法.
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
⇔
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法.
⇔
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.1.利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若
用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小
过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
解析 (1)中当c＝0时，解集为{x|x≠0}；
(3)中应该是ab≤0且|a|≥|b|时等号成立；
(4)中应该是ab≥0且|a|≥|b|时等号成立.
2.(易错题)设A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x||x－1|0时，由|x－1|2，则关于实数 x 的不等式|x－a|＋|x－b|>2 的解集是
________.
答案 R
解析 ∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|.
又∵|a－b|>2，
∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，
即该不等式的解集为R.
考点一 绝对值不等式的解法
例1 (2022·西安五校联考)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋a|.
(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－5|的解集为A，且[0，2] A，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝－1时，f(x)≥3，
⊆即|x－3|＋|x－1|≥3，
∴或或
∴x≤或无解或x≥，
∴不等式的解集为.
(2)由题意知当x∈[0，2]时，恒有f(x)≤|x－5|，
此时f(x)≤|x－5| 3－x＋|x＋a|≤5－x，
即|x＋a|≤2，
⇔
∴－x－2≤a≤－x＋2在区间[0，2]上恒成立，
∴a∈[－2，0].
感悟提升 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤
(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每
个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.
2.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式也可利用分段函数的图象的
几何直观性求解，体现了数形结合的思想.
训练1 (2021·全国甲卷改编)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；
(2)求f(x)≥g(x)的解集.
解 (1)由已知得f(x)＝
g(x)＝
所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图.(2)因为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点为(0，2)和(6，4)，结合函数图象可得
f(x)≥g(x)的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞).
考点二 绝对值不等式性质的应用
例2 (1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解 (1)∵x，y∈R，
∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|
≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|
≤1＋2|y－2|＋2≤5，当且仅当x＝0，y＝3时等号成立，
即|x－2y＋1|的最大值为5.
感悟提升 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.
(3)利用零点分区间法.
训练2 若f(x)＝＋3|x－a|的最小值为4，求a的值.
解 因为f(x)＝＋3|x－a|
≥|－(3x－3a)|＝，
由＝4得a＝±1或a＝±.考点三 绝对值不等式的综合应用
角度1 绝对值不等式恒成立问题
例3 (2022·绵阳诊断)已知函数f(x)＝|x－2|－a|x|＋1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<0；
(2)若对任意x>0，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|－|x|＋1，
不等式f(x)<0等价于或或
解得x>，
所以f(x)<0的解集为.
(2)当00且2(1－a)－1≥0，所以a≤.
综上，a的取值范围是.
角度2 绝对值不等式能成立问题
例4 (2022·太原模拟)已知函数f(x)＝＋|x－m|(m>0).
(1)当m＝1时，求函数f(x)的最小值；
(2)若存在x∈(0，1)，使得不等式f(x)≤3成立，求实数m的取值范围.
解 (1)当m＝1时，f(x)＝|x＋2|＋|x－1|，
∵|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，
当且仅当(x＋2)(x－1)≤0，
即－2≤x≤1时等号成立，
∴f(x)的最小值为3.
(2)由题意得存在x∈(0，1)，使得x＋＋|x－m|≤3成立，
(ⅰ)当m≥1时，x＋＋|x－m|≤3等价于＋m≤3，∴1≤m≤2.
(ⅱ)当0时，由4x＋1≤6，得f(x＋1)的解集.
解 (1)由题设知
f(x)＝
画出y＝f(x)的图象如图(1)所示.
图(1)
(2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数 y＝f(x＋1)的图象，如图
(2)所示.
图(2)
易得y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.
由图象可知，当且仅当x<－时，
y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方.
故不等式f(x)>f(x＋1)的解集为.
2.(2021·陕西考前适应性测试)设f(x)＝|x－1|－|x＋3|.
(1)解不等式f(x)>2；
(2)若不等式f(x)≤kx＋1在x∈[－3，－1]上恒成立，求实数k的取值范围.解 (1)∵f(x)＝|x－1|－|x＋3|，
∴当x≤－3时，f(x)＝－x＋1＋x＋3＝4>2，
∴x≤－3满足原不等式；
当－32，解得
x<－2，∴－32，故无解；
当－3≤x≤时，－5x<0，解得x>0，
∴0时，3x－6<0，解得x<2，
∴0，若不等式f(x)＋2|x－1|<0的解集为(m，n)，且n－m＝，求a的值.
(1)证明 f(x)－|x＋a－5|＝|x＋a|－|x＋a－5|－5，
因为|x＋a|－|x＋a－5|≤|(x＋a)－(x＋a－5)|＝5，
所以f(x)－|x＋a－5|≤5－5＝0，
即f(x)≤|x＋a－5|.
(2)解 f(x)＋2|x－1|<0，
即|x＋a|＋2|x－1|<5，
令g(x)＝|x＋a|＋2|x－1|
＝
则得
①当g(－a)＝2＋2a≥5时，－m＋a＋2＝5，得m＝a－3，
即得a＝3.
②当g(－a)＝2＋2a<5时，－3m＋2－a＝5，得m＝，
即此时a无解.
综上，a＝3.
