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第二课时 参数方程
考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、
圆和椭圆的参数方程.
1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数
t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这
条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y的变数t
叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的
关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，
那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致.
3.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 普通方程 参数方程
直线 y－y ＝tan α(x－x ) (t为参数)
0 0
圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数)
椭圆 ＋＝1(a＞b＞0) (φ为参数)
1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，
必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义
为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M (x ，y )的距离.
0 0 01.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.( )
(2)过M (x ，y )，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义
0 0 0
表示：直线l上以定点M 为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量.
0
( )
(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，
则直线OM的斜率为.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
解析 (4)当t＝时，点M的坐标为(2cos ，4sin )，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝
2.
2.(2019·北京卷)已知直线l的参数方程为 (t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离
是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1，0)到直线l的距
离d＝＝.故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，
则常数a的值是________.
答案 3
解析 直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.
4.(2019·天津卷)设直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则实数a＝________.
答案
解析 圆的参数方程消去θ，得
(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圆心(2，1)，半径r＝2.
又直线ax－y＋2＝0与圆相切.
∴d＝＝2，解得a＝.5.已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，
且|AB|＝，则直线l的斜率为________.
答案 ±
解析 由(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，
得k＝±.
6.(易错题)设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则的最大值
为________.
答案
解析 由曲线C：(θ为参数)，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1
的圆，表示的是圆上的点和原点连线的斜率，
设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，
即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的最大值为.
考点一 参数方程与普通方程的互化
1.下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；
对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；
对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；
对于D，x＝＝＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.
2.把下列参数方程化为普通方程.
(1)(t为参数)；(2)(θ为参数，θ∈[0，2π)).
解 (1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2).
即它的普通方程为x－y＋5－＝0.
(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.
又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1).
3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为(α为参数).
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为 y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－
4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为
y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1，
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有
代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意
参数的范围.
2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线
的参数方程直接写出.
考点二 参数方程的应用
例1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数)，
1
以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
2
程为cos＝0.
(1)求曲线C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2
(2)已知点P(3，)，曲线C 和C 相交于A，B两个不同的点，求||PA|－|PB||的值.
1 2解 (1)将的参数t消去得曲线C 的普通方程为x2－＝1.
1
∵cos＝0，∴ρcos θ－ρsin θ＝0，
由可得曲线C 的直角坐标方程为x－y＝0.
2
(2)由题意得点P(3，)在曲线C 上，曲线C 的参数方程可表示为(t′为参数)，
2 2
将上述参数方程代入x2－＝1得
11t′2＋44t′＋4×29＝0，①
Δ>0，设t′ ，t′ 为方程①的两根，
1 2
则t′ ＋t′ ＝－4，t′ t′ ＝，
1 2 1 2
∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t′ ＋t′ )2－4t′ t′ ＝，
1 2 1 2
∴||PA|－|PB||＝.
感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解
决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通
方程中，根据参数的取值条件求解.
2.过定点P (x ，y )，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几
0 0 0
何意义是P0P的数量，即|t|表示P 到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，
0
当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t∈R，t为参
数，α∈).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极
坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.
(1)求半圆C的参数方程和直线l的普通方程；
(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾
斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1＋，求α的值.
解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入，得半圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
∵θ∈，
∴y＝ρsin θ＝2sin2θ∈(1，2]，x＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)，
∴半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(10)，
∴曲线C 的普通方程为－＝1(y≥2).
1
曲线C ：ρsin－2＝0，
2
化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴y－x－4＝0，
∴曲线C 的直角坐标方程为x－y＋4＝0.
2
(2)设曲线C 的参数方程为
2
(t′为参数).
代入曲线C 的方程得
1
－4＝8，
即3t′2－20t′＋40＝0.
Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t ，t ，
1 2
则t ＋t ＝，t t ＝，
1 2 1 2
∴＝＝＝
＝＝＝，
∴－＝或－.
5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(φ为参
1
数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐
2
标方程为ρcos θ＋2＝0.
(1)求曲线C 的极坐标方程并判断C ，C 的位置关系；
1 1 2
(2)设直线θ＝α分别与曲线C 交于A，B两点，与曲线 C 交于P点，若|AB|＝3|
1 2
OA|，求|OP|的值.
解 (1)曲线C ：
1
①2＋②2得(x－3)2＋y2＝5，
即x2＋y2－6x＋4＝0，
将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式，得曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝
1
0.
由得ρ2＋16＝0，此方程无解.
所以C ，C 相离.
1 2
(2)由得ρ2－6ρcos α＋4＝0，
因为直线θ＝α与曲线C 有两个交点A，B，
1
所以Δ＝36cos2α－16>0，得cos α>.
设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ ，ρ ，
1 2
则
因为|AB|＝3|OA|，
所以|OB|＝4|OA|，即ρ ＝4ρ ，⑤
2 1
由③④⑤解得ρ ＝1，ρ ＝4，cos α＝，满足Δ>0，
1 2
由得ρ＝＝－，
所以|OP|＝|ρ|＝.
6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1
(0
