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第二课时 参数方程
考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、
圆和椭圆的参数方程.
1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数
t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这
条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y的变数t
叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的
关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，
那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值
范围保持一致.
3.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹 普通方程 参数方程
直线 y－y ＝tan α(x－x ) (t为参数)
0 0
圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数)
椭圆 ＋＝1(a＞b＞0) (φ为参数)
1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，
必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义
为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M (x ，y )的距离.
0 0 01.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.( )
(2)过M (x ，y )，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义
0 0 0
表示：直线l上以定点M 为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量.
0
( )
(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，
则直线OM的斜率为.( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
解析 (4)当t＝时，点M的坐标为(2cos ，4sin )，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝
2.
2.(2019·北京卷)已知直线l的参数方程为 (t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离
是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1，0)到直线l的距
离d＝＝.故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，
则常数a的值是________.
答案 3
解析 直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.
4.(2019·天津卷)设直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则实数a＝________.
答案
解析 圆的参数方程消去θ，得
(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圆心(2，1)，半径r＝2.
又直线ax－y＋2＝0与圆相切.
∴d＝＝2，解得a＝.5.已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，
且|AB|＝，则直线l的斜率为________.
答案 ±
解析 由(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，
得k＝±.
6.(易错题)设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则的最大值
为________.
答案
解析 由曲线C：(θ为参数)，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1
的圆，表示的是圆上的点和原点连线的斜率，
设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，
即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的最大值为.
考点一 参数方程与普通方程的互化
1.下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；
对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；
对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；
对于D，x＝＝＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.
2.把下列参数方程化为普通方程.
(1)(t为参数)；(2)(θ为参数，θ∈[0，2π)).
解 (1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2).
即它的普通方程为x－y＋5－＝0.
(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2.
又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1).
3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，求这两条切线的极坐标方程.
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为(α为参数).
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为 y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－
4k＝0，
所以＝1，解得k＝±，
则这两条切线方程分别为
y＝x－＋1，y＝－x＋＋1，
故这两条切线的极坐标方程分别为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1，
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有
代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意
参数的范围.
2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线
的参数方程直接写出.
考点二 参数方程的应用
例1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数)，
1
以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方
2
程为cos＝0.
(1)求曲线C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2
(2)已知点P(3，)，曲线C 和C 相交于A，B两个不同的点，求||PA|－|PB||的值.
1 2解 (1)将的参数t消去得曲线C 的普通方程为x2－＝1.
1
∵cos＝0，∴ρcos θ－ρsin θ＝0，
由可得曲线C 的直角坐标方程为x－y＝0.
2
(2)由题意得点P(3，)在曲线C 上，曲线C 的参数方程可表示为(t′为参数)，
2 2
将上述参数方程代入x2－＝1得
11t′2＋44t′＋4×29＝0，①
Δ>0，设t′ ，t′ 为方程①的两根，
1 2
则t′ ＋t′ ＝－4，t′ t′ ＝，
1 2 1 2
∴(|PA|－|PB|)2＝(|PA|＋|PB|)2－4|PA||PB|＝(t′ ＋t′ )2－4t′ t′ ＝，
1 2 1 2
∴||PA|－|PB||＝.
感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解
决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通
方程中，根据参数的取值条件求解.
2.过定点P (x ，y )，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几
0 0 0
何意义是P0P的数量，即|t|表示P 到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，
0
当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t∈R，t为参
数，α∈).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极
坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.
(1)求半圆C的参数方程和直线l的普通方程；
(2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D在半圆C上，且直线CD的倾
斜角是直线l的倾斜角的2倍，△ABD的面积为1＋，求α的值.
解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入，得半圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
∵θ∈，
∴y＝ρsin θ＝2sin2θ∈(1，2]，x＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)，
∴半圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1(1<y≤2).
由sin φ＝y－1∈(0，1]，cos φ＝x∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)，
∴半圆C的参数方程为(其中φ为参数，φ∈(0，π)).
将直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为y＝xtan α－2，α∈.(2)由题意可知，A，B(0，－2)，
根据圆的参数方程中参数的几何意义，
结合已知条件，可得φ＝2α，
所以D(cos 2α，1＋sin 2α).
则点D到直线AB的距离
d＝
＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α|
＝sin α＋3cos α，
又|AB|＝＝.
∴△ABD的面积
S＝·|AB|·d＝1＋＝1＋，
∴tan α＝.又α∈，∴α＝.
考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用
例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数).以坐
1
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4ρcos
2
θ－16ρsin θ＋3＝0.
(1)当k＝1时，C 是什么曲线？
1
(2)当k＝4时，求C 与C 的公共点的直角坐标.
1 2
解 (1)当k＝1时，C ：
1
消去参数t得x2＋y2＝1，
故曲线C 是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.
1
(2)当k＝4时，C ：消去参数t得C 的直角坐标方程为＋＝1.
1 1
C 的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0.
2
由解得
故C 与C 的公共点的直角坐标为.
1 2
感悟提升 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活
地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和
参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一
种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与
化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，
曲线C上异于原点的两点M，N所对应的参数分别为t ，t .以坐标原点O为极点，
1 2
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝2asin θ.
(1)当t ＝1，t ＝3时，直线MN平分曲线D，求a的值；
1 2
(2)当a＝1时，若t ＋t ＝2＋，直线MN被曲线D截得的弦长为，求直线MN的
1 2
方程.
解 (1)因为t ＝1，t ＝3，
1 2
所以M(－1，－1)，N(1，3).
所以直线MN的方程为y＝2x＋1.
因为ρ＝2asin θ，所以ρ2＝2aρsin θ，
又x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ，
所以曲线D的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2，
因为直线MN平分曲线D，所以直线MN过点(0，a)，所以a＝1.
(2)由题意可知k ＝＝＝，
MN
曲线D的方程为x2＋(y－1)2＝1，
设直线MN的方程为y＝x＋m，圆心D到直线MN的距离为d，则d＝，
因为d2＋＝12，
所以＋＝1，
所以m＝0或m＝2，
所以直线MN的方程为y＝x或y＝x＋2.
1.将下列参数方程化成普通方程.
(1)(t为参数)；
(2).
解 (1)消去参数t，得y＝x＋2，由于t2≥0，所以普通方程为y＝x＋2(x≥－1)，
表示一条射线.
(2)消去参数θ，得x2＋y2＝1，由于θ∈，所以x∈[－1，0]，y∈[0，1]，所以普
通方程为x2＋y2＝1(－1≤x≤0，0≤y≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1，0)，点M为C上的动点，点P满足AP＝AM，写出点
P的轨迹C 的参数方程，并判断C与C 是否有公共点.
1 1
解 (1)根据ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，
所以x2＋y2＝2x，
所以曲线C的直角坐标方程为
(x－)2＋y2＝2.
(2)设P(x，y)，M(x′，y′)，
则AP＝(x－1，y)，AM＝(x′－1，y′).
因为AP＝AM，所以
即
因为点M为C上的动点，
所以＋＝2，
即(x－3＋)2＋y2＝4.
所以点P的轨迹C 的参数方程为
1
(其中α为参数，α∈[0，2π)).
所以|CC |＝3－2，⊙C 的半径r ＝2，
1 1 1
又⊙C的半径r＝，所以|CC |＜r －r，
1 1
所以C与C 没有公共点.
1
3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系 xOy中，直线l过定点P(3，0)，倾斜角为
α，曲线C的参数方程为(t为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)已知直线l交曲线C于M，N两点，且|PM|·|PN|＝，求l的参数方程.
解 (1)由得
∵－＝t2＋2＋－t2＋2－＝4，
∴x2－(2y)2＝4，即x2－4y2＝4.又∴ρ2cos2θ－4ρ2sin2θ＝4.
即曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ－4ρ2sin2θ＝4.
(2)设l的参数方程为(t为参数)，代入x2－4y2＝4整理得(cos2α－4sin2α)t2＋6tcos α
＋5＝0，
设M，N对应的参数分别为t ，t ，
1 2
则t t ＝，
1 2
则|PM|·|PN|＝|t t |＝＝.解得cos α＝±，
1 2
∵0<α<，∴cos α＝，∴α＝.
故l的参数方程为(t为参数).
4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(t为参数).在以原
1
点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为ρsin－2
2
＝0.
(1)求曲线C 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
1 2
(2)若曲线C 与曲线C 交于点A，B，M(－2，2)，求－的值.
2 1
解 (1)由得
两式平方相减得y2－2x2＝4，即－＝1.
又y＝(t＋t－)≥2(t>0)，
∴曲线C 的普通方程为－＝1(y≥2).
1
曲线C ：ρsin－2＝0，
2
化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴y－x－4＝0，
∴曲线C 的直角坐标方程为x－y＋4＝0.
2
(2)设曲线C 的参数方程为
2
(t′为参数).
代入曲线C 的方程得
1
－4＝8，
即3t′2－20t′＋40＝0.
Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t ，t ，
1 2
则t ＋t ＝，t t ＝，
1 2 1 2
∴＝＝＝
＝＝＝，
∴－＝或－.
5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(φ为参
1
数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐
2
标方程为ρcos θ＋2＝0.
(1)求曲线C 的极坐标方程并判断C ，C 的位置关系；
1 1 2
(2)设直线θ＝α分别与曲线C 交于A，B两点，与曲线 C 交于P点，若|AB|＝3|
1 2
OA|，求|OP|的值.
解 (1)曲线C ：
1
①2＋②2得(x－3)2＋y2＝5，
即x2＋y2－6x＋4＝0，
将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式，得曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝
1
0.
由得ρ2＋16＝0，此方程无解.
所以C ，C 相离.
1 2
(2)由得ρ2－6ρcos α＋4＝0，
因为直线θ＝α与曲线C 有两个交点A，B，
1
所以Δ＝36cos2α－16>0，得cos α>.
设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ ，ρ ，
1 2
则
因为|AB|＝3|OA|，
所以|OB|＝4|OA|，即ρ ＝4ρ ，⑤
2 1
由③④⑤解得ρ ＝1，ρ ＝4，cos α＝，满足Δ>0，
1 2
由得ρ＝＝－，
所以|OP|＝|ρ|＝.
6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
1
(0<r<2，α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：
2
ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r＝，求曲线C 的极坐标方程，并求曲线C 与C 交点的直角坐标；
1 1 2
(2)已知曲线C 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 与C 交于不同的
2 1 2
四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值.
解 (1)∵r＝，∴x2＋y2＝2，
又x2＋y2＝ρ2，
∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝，
1
∴cos 2θ＝⇒cos θ＝±，
当cos θ＝时，sin θ＝±，
当cos θ＝－时，sin θ＝±，
分别代入
可得四个交点的直角坐标分别为，，，.
(2)由(1)知曲线C 的极坐标方程为ρ＝r.
1
由得cos 2θ＝.
∵曲线C 关于原点和坐标轴对称，
2
∴S ＝4|rcos θ||rsin θ|
矩形ABCD
＝4r2|cos θsin θ|＝2r2|sin 2θ|
＝2r2＝2r2
＝r2＝
≤＝4.
当且仅当r4＝16－r4，即r2＝2时等号成立.
故矩形ABCD面积的最大值为4.
