文档内容
第二课时 不等式的证明
考试要求 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分
析法.
1.基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥ 2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立.
定理2：如果a，b＞0，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立，即两个正数的算
数平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3：如果a，b，c∈(0，＋∞)，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
2.不等式的证明
(1)比较法
①作差法(a，b∈R)：a－b＞0 a ＞ b ；a－b＜0 a＜b；a－b＝0 a＝b.
②作商法(a＞0，b＞0)：＞1 a＞b；＜1 a＜b；＝1 a＝b.
⇔ ⇔ ⇔
(2)综合法与分析法
⇔ ⇔ ⇔
①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推
理论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.
②分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等
式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执
果索因”的证明方法.
1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与
0的大小关系.
2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲
证)…”“即要证…”“就要证…”等.
3.几个重要不等式
(1)＋≥2(a，b同号)；(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推
理，最后达到待证的结论.( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结
论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)作商比较法是商与1的大小比较.
(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件.
(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用.
2.(易错题)已知a，b∈R ，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
＋
A.1 B.2 C.4 D.8
答案 B
解析 因为a，b∈R ，且a＋b＝2，
＋
所以＋＝·(a＋b)
＝≥＝2，
即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立).
3.(易错题)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )
A.x＞y B.x＜y
C.x≥y D.x≤y
答案 A
解析 x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.
4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假
设为( )
A.a<0，b<0，c<0 B.a≤0，b>0，c>0
C.a，b，c不全是正数 D.abc<0
答案 C5.若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
答案 A
解析 “分子”有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.
6.下列四个不等式：①log 10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；
x
④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 log 10＋lg x＝＋lg x≥2(x>1)，①正确；
x
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
因为ab≠0，与同号，
所以＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，
综上①③④正确.
考点一 比较法、放缩法证明不等式
例1 设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明＜；
(2)证明|1－4ab|>2|a－b|.
证明 (1)设f(x)＝|x－1|－|x＋2|
＝
由－2＜－2x－1＜0，解得－＜x＜.
因此集合M＝，
则|a|＜，|b|＜.
所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝.
(2)由(1)得a2＜，b2＜.
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝16a2b2－4a2－4b2＋1
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，
故|1－4ab|＞2|a－b|.
感悟提升 1.比较法证明不等式的方法与步骤
(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论.
(2)作商比较法：作商、变形、 判断、下结论.
2.利用放缩法证明不等式时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩.
训练 1 (1)已知 a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则 M，N 的大小关系为
________.
答案 M≥N
解析 M－N＝2a3－b3－(2ab2－a2b)
＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)
＝(a－b)(a＋b)(2a＋b).
因为a≥b＞0，
所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，
故2a3－b3≥2ab2－a2b，即M≥N.
(2)求证：＋＋＋…＋<2.
证明 ∵<＝－(n∈N*，n>1)，
＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋
＝1＋＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－<2.
∴原不等式成立.
考点二 综合法证明不等式
例2 (2022·河南六市调研)已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝2，求证：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)··≥8.
证明 (1)将a＋b＋c＝2平方得
a2＋b2＋c2＋2ab＋2cb＋2ac＝4，
因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，所以三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
则4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3ac，
所以ab＋bc＋ac≤，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.
(2)＝≥，＝≥，＝≥，
则··≥··＝8，
即··≥8，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.
感悟提升 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两
端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些
性质时，要注意性质成立的前提条件.
训练2 (2020·全国Ⅲ卷)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.
(1)证明：ab＋bc＋ca<0；
(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥.
证明 (1)由题设可知，a，b，c均不为零，
所以ab＋bc＋ca＝[(a＋b＋c)2－(a2＋b2＋c2)]＝－(a2＋b2＋c2)<0.
(2)不妨设max{a，b，c}＝a.
因为abc＝1，a＝－(b＋c)，
所以a>0，b<0，c<0.
由bc≤，可得abc≤，当且仅当b＝c＝－时取等号，
故a≥，所以max{a，b，c}≥.
考点三 分析法证明不等式
例3 (2021·哈尔滨模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2)＋＋≥(＋＋).
证明 (1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
又ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)
≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
又易知ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，
∴原不等式成立.
(2)＋＋＝.
由于(1)中已证a＋b＋c≥，
因此要证原不等式成立，
只需证明≥＋＋，
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
又a＝≤，b≤，c≤，
∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立).
∴原不等式成立.
感悟提升 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来
寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：
→→→…→
训练3 已知a>0，用分析法证明：－≥a＋－2.
证明 要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－).
因为a>0，所以－(2－)>0，
所以只需证
≥，
即2(2－)≥8－4，
只需证a＋≥2.
因为a>0，a＋≥2显然成立(当a＝＝1时等号成立)，
所以要证的不等式成立.
柯西不等式
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789～
1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式
除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果.
1.(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋
bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
推广一般情形：设a ，a ，…，a ，b ，b ，…，b ∈R，则(a＋a＋…＋a)(b＋b
1 2 n 1 2 n
＋…＋b)≥(a b ＋a b ＋…＋a b )2(当且仅当b＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实
1 1 2 2 n n i
数k，使得a＝kb(i＝1，2，…，n)时，等号成立).
i i
2.(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当
且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立.
3.(柯西不等式的三角不等式)设x ，y ，x ，y ，x ，y 为任意实数，则：
1 1 2 2 3 3
＋
≥.
例 (1)已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值为________.
答案
解析 2x＋y＝×x＋1×y
≤×
＝×＝.
当且仅当x＝y＝时取等号.
所以2x＋y的最大值为.
(2)已知a ，a ，b ，b 为正实数，求证：(a b ＋a b )·≥(a ＋a )2.
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
证明 (a b ＋a b )·
1 1 2 2
＝[()2＋()2]
≥
＝(a ＋a )2.
1 2
当且仅当b ＝b 时，等号成立.
1 2
1.设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|2＋.
证明 (1)(x2＋y2)－(2x＋2y－2)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＝(x－1)2＋(y－1)2，
而(x－1)2≥0，(y－1)2≥0，
∴(x2＋y2)－(2x＋2y－2)≥0，
∴x2＋y2≥2x＋2y－2.
(2)要证＋>2＋，
只需证(＋)2>(2＋)2成立，
即证13＋2>13＋2成立，
即证>成立，
即证42>40成立，
因为42>40显然成立，
所以原不等式成立.
3.(2022·成都诊断)已知函数f(x)＝|x－3|＋|x－2|.
(1)求不等式f(x)<3的解集；
(2)记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝mabc，证明：ab＋bc＋
ac≥9.
(1)解 当x≥3时，f(x)＝x－3＋x－2＝2x－5，
由f(x)<3，得x<4，综合得3≤x<4.
当21，综合得13；
当－1≤x≤时，f(x)＝3x＋3－2x＋1＝x＋4∈；
当x>时，f(x)＝3x＋3＋2x－1＝5x＋2>.
综上，当x＝－1时，f(x) ＝3，∴m＝3.
min
(2)证明 由(1)知，即证
≥9.
∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋1＋≥3，＋1＋≥3.
∴≥3·3＝9.
当且仅当即a＝b＝1时，等号成立.
6.(2022·合肥质检)已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3.
(1)证明：＋＋≥3；
(2)证明：＋＋≥3.
证明 (1)由a，b，c都是正数得，3＝a＋b＋c≥3，
∴≤1，即abc≤1，
∴＋＋＝＝≥3，
即＋＋≥3(当且仅当a＝b＝c等号成立).
(2)∵＋＋≥＋＋＝＋＋，
又∵a＋b＋c＝3，(a＋3)＋(b＋3)＋(c＋3)＝12，
∴＋＋＝[(a＋3)＋(b＋3)＋(c＋3)]
＝(3＋＋＋＋＋＋)
＝[3＋＋＋]
≥3，
∴＋＋≥3(当且仅当a＝b＝c等号成立).
